第03讲 等式与不等式的性质（高效培优讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第03讲 等式与不等式性质 目录 考情探究 2 知识梳理 2 探究核心考点 3 考点一 用不等式(组)表示不等关系 3 考点二 数（式）大小的比较 6 考点三 不等式的实际应用 8 考点四 利用不等式的性质证明简单的不等式 9 考点五 利用不等式的性质求范围 12 考点六 糖水不等式及其应用 14 三阶突破训练 18 基础过关 18 能力提升 22 真题感知 28 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年高考I卷，第8题，5分 不等式比较大小 函数 二、命题规律及备考策略 【命题规律】 近三年考情显示，高考对不等式性质的考查虽单独命题频率较低，但相关知识贯穿各类题型，是进行不等式变形、证明及解题的核心工具。其重要性体现在：作为数学逻辑的基础支撑，不等式性质为函数、数列、几何等模块的解题提供理论依据；同时，其应用能力直接影响考生对复杂问题的转化与分析能力，成为高考数学考查逻辑思维与运算素养的关键载体。因此，掌握不等式性质不仅是应对单一题型的需要，更是提升整体数学能力的必备基础。 【备考策略】 1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系. 2.掌握不等式的有关性质. 3.能利用不等式的性质比较数或式的大小或证明不等式. 4.能利用糖水不等式解决不等式的相关问题 【命题预测】 高考还是结合函数，数列交叉命题，不单独设置考点。 一、比较两个数大小 作差法： 如果是正数,那么; 如果等于零,那么; 如果是负数,那么. 反过来也对. 这个基本事实可以表示为: . 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 则有；；． 2、 不等式性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 考点一 用不等式(组)表示不等关系 典例1．为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表.规定各村每15户推选1人，当全村户数除以15所得的余数大于10时再增加1人.那么，各村可推选的人数y与该村户数x之间的函数关系用取整函数(表示不大于x的最大整数)可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用除以15所得余数分别为，其中当余数为时结果就是商，但当余数为时，函数值是商加1，因此可利用后除以15取整得． 【详解】解：根据规定15推选一名代表，当各班人数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加4， 因此利用取整函数可表示为. 故选：. 典例2．生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得糖水甜可用浓度体现，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，对照选项，即可得到结论． 【详解】由题意，若，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为， 选项A，C不能说明糖水变得更甜， 糖水甜可用浓度体现，而，能体现糖水变甜； 选项D等价于，不成立， 故选B． 跟踪训练1．在函数 的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可列出S与t的函数关系式，再根据解析式判定函数图像. 【详解】因为，所以其对应图象为B, 故选：B 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析判断与求解能力，属基础题. 跟踪训练2．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为、、（单位：），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式即可． 【详解】由题意可知． 故选：D． 跟踪训练3．下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 【答案】B 【分析】根据数量的大小关系，判断不等式使用是否正确，选出正确答案. 【详解】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为，A错误； 对于B，变量y不超过a可表示为，B正确； 对于C，变量x至少为a可表示为，C错误； 对于D，小明身高，小华身高，小明比小华矮表示为，D错误. 故选：B. 考点二 数（式）大小的比较 典例1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式性质即可分析判断AC；举反例即可判断BD. 【详解】因为，所以，则，A错误； 当，，时满足，此时，B错误； 由，，得，C正确； 当时，，此时，D错误． 故选：C 典例2．已知实数a，b，c满足，且b是a，c的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设条件构造函数，求导判断其单调性推得，结合可得，又由可得，由取平方推出即得结论. 【详解】由，得， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 故，因，则， 又b是a，c的等比中项，则，故， 0，则，，所以，即， 结合，得，故，综上所述，． 故选：C. 跟踪训练1．已知非零实数满足，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于A，取即可判断；对于B，由不等式性质以及指数函数单调性即可判断；对于C，取即可判断；对于D，取即可判断. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，所以，故B正确； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，取，则，故D错误. 故选：B. 跟踪训练2．（多选）对于实数a，b，m下列真命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则的最小值为 【答案】BD 【分析】对于A，C，通过举反例即可排除；对于B，利用作差比较法即可推得；对于D，结合函数的图象特征得到，，再利用基本不等式即可求得. 【详解】对于A：时，，故A错误； 对于B：，则，因，即，故B正确； 对于C：因，若其中有一个不大于0，则与中就有一个没有意义，故C错误； 对于D：，且，由函数的图象可得：，解得， 由图可得，则，当且仅当，即时等号成立．故D正确． 故选：BD． 跟踪训练3．（多选）下面说法正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 因为，且，所以，故选项A正确； 对于选项B： 若，则，故选项B错误； 对于选项C： 因为，所以，又因为，所以，故选项C正确； 对于选项D： 若，则，不等式两边同时除以得，故选项D错误． 故选：AC． 考点三 不等式的实际应用 典例1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在(　　) A．每个95元 B．每个100元 C．每个105元 D．每个110元 [答案]　A [解析]　设每个涨价x元，则利润y＝(x＋10)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000， ∴当x＝＝5时，y取得最大值． 故每个售价为95元时利润最大． 典例2．设计用32m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m，则车厢的最大容积是(　　) A．(38－3)m3 B．16m3 C．4m3 D．14m3 [答案]　B [解析]　设长方体长为a m，高为h m，则有2a＋2(2h)＋2(ah)＝32，即a＋2h＋ah＝16， ∴16≥2＋ah，即()2＋2·－16≤0， 解得0<≤2，∴ah≤8， ∴V＝2ah≤16. 跟踪训练1．光线透过一块玻璃，其强度要减弱.要使光线的强度减弱到原来的以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771) [答案]　11 [解析]　设至少需要经过这样的n块玻璃板，则， (1－)n<，即n·lg<lg ∴n>＝＝≈10.45. 又∵n∈N＋，∴n＝11. 跟踪训练2．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．计算： (1)仓库底面积S的最大允许值是多少？ (2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ [解析]　(1)设正面铁栅长xm，侧面长为ym，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝yx. 由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320. ∵x>0，y>0，∴4x＋9y≥2＝12. ∴6＋S≤160，即()2＋6－160≤0. ∴0<≤10，∴0<S≤100. 故S的最大允许值为100m2. (2)当S＝100m2时，4x＝9y，且xy＝100. 解之得x＝15(m)，y＝(m)． 答：仓库面积S的最大允许值是100m2，此时正面铁栅长15m. 考点四 利用不等式的性质证明简单的不等式 典例1．若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用不等式的基本性质和作差比较法即可证明. 【详解】因，则由 ， （当且仅当时等号成立）； 又因， 则；同理可证， 故可得（当且仅当时等号成立）. 故原不等式得证． 典例2．已知函数和，其中且．若和是方程的两根，且满足，求证：当时，． 【答案】证明见解析 【分析】由题可得，结合，，由二次不等式解可证；又由题可得，结合，可得. 【详解】由题意可知， 因，则或. 所以当时，，即； 又 . 因为, 所以，，所以，即， 综上可得，． 跟踪训练1．（2025·河北保定·模拟预测）记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】由不等式性质可得，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由题意，， 则， 当且仅当时，全部取得等号，所以，故的最小值为4. 故答案为：4. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据新定义结合不等式性质求得. 跟踪训练2．已知的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)证明：； (2)证明：； (3)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）应用余弦定理计算化简证明； （2）应用（1）结合基本不等式即可证明； （3）结合（1）应用三角形三边的关系及不等式的性质证明即可. 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得， 化简得， 整理得； （2）由（1）得， 当且仅当时取得等号，与题意不符. 故，即. （3）由（1）知， 又， 则， 解得， 故 解得， 所以. 考点五 利用不等式的性质求范围 典例1．设定义在上的函数，满足，且对任意，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将转化为，由同向不等式相加，得，也即，从而得到，然后累加求. 【详解】由①， 又②， 由①＋②得， 即③， 又①＋③得，即， 已知，所以， 累加可得，， 故选：B． 典例2．已知，若，，且，则实数c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得，，在平面直角坐标系aOb中作出可行域，得，由得，即求解即可. 【详解】因为，， 故，， 在平面直角坐标系aOb中作出可行域，    由，可得，即 ． 由得，， 解得． 故答案为：. 跟踪训练1．设，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的范围利用不等式的性质直接求解即可. 【详解】由已知，得， 由同向不等式相加得到． 故选：D． 跟踪训练2．已知且，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据且得，，同时除以，解出的取值范围. 【详解】由，得，则， 得. 跟踪训练3．已知满足且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】用和表示出系数和，再把用和表示，结合不等式性质得到证明. 【详解】由，，可解得，， 将以上两式代入，得 整理得， 故． 又，，，. 即． 考点六 糖水不等式及其应用 典例1．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即. 【详解】这一事实表示为一个不等式为． 证明：， 又，， ，即， 即. 故选： 典例2．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的信息，利用不等式的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，，则，B错误. 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误； 故选：C 跟踪训练1．已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度更大），对应的不等式为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则及换底公式，利用糖水不等式比较大小即可. 【详解】由题意知， 又． 综上，． 故选：A 跟踪训练2．（多选）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“榶水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ） A．若，，则 B． C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】BD 【分析】根据糖水不等式逐项判断即可. 【详解】A，由糖水不等式得：，时，，故A错误. B，，故B正确. C，，故C错误. D，，故D正确. 故选：BD 跟踪训练3．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了， (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)运用该不等式比较以下三个值的大小：，，； (3)当时，比较的大小. 【答案】(1)；证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可． （2）利用（1）中结论可得，时，，依此不等式即可比较所给三个数的大小. （3）令，求导可得，可得结论. 【详解】（1）由题意可得：，时，. 证明如下：，，， ，，，. （2）由（1）知，时，，即； 则，， 又， 综上所述，. （3）设，则， 故为上减函数，故. 1．如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm，根据题意可列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列不等式即可． 【详解】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形， 设道路的宽应为x米，草坪面积为（22﹣x）（17﹣x）， 因为草坪的面积不小于300m2， 所以(22－x)(17－x) 300， 故选：B． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列出不等关系，考查了转化思想与建模能力，属于基础题. 2．王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 【答案】C 【分析】设教师、家长、女生、男生人数分别为，根据给定的信息，建立不等关系，即可求解作答. 【详解】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为，且， 于是，则， 又，解得，因此，此时， 所以当时，，即该钉钉群人数的最小值为22. 故选：C 3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必聚条件 【答案】A 【分析】令可判断必要性，设取绝对值可判断充分性. 【详解】当时，成立，但不成立， 所以是不必要条件； 若，则，所以是充分条件. 综上，是的充分不必要条件. 故选：A 4．若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用特殊值法计算判断A，B，C，根据不等式的性质计算判断D. 【详解】因为，， 当时 ，，A选项错误； 当时 ，，B选项错误； 当时 ，，C选项错误； 因为，所以，又因为，所以，D选项正确； 故选：D. 5．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】化简，对照条件的定义可得答案. 【详解】不等式，等价于， 因为，所以，显然，不一定得出； 也不一定得出. 故选：D 6．已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】D 【分析】利用不等式性质一一判断，得到ABC正确，D错误. 【详解】A选项，，故，即，A正确； B选项，因为，所以， 又，故，故，B正确； C选项，，故，即的取值范围为，C正确； D选项，因为，所以， 又，故，即，D错误. 故选：D 7．（2025·四川泸州·模拟预测）（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式及不等式的性质依次判断各项的正误. 【详解】用替代中的，得到，当且仅当时取等号，故A正确； 取，则，故B错误； ，当且仅当时取等号，故C正确； 因为，所以， 即，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD 8．（2025·山东聊城·二模）（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】A举反例；B利用基本不等式即可；C作差法；D举反例. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因，则，，则， 等号成立时，故B正确； 对于C，因且，则，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：BC 9．已知实数，满足关系：，.则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用待定系数法把用与表示，再由不等式的性质得答案. 【详解】设， 则，解得，， ， 由，， 得，， 所以，即， 的取值范围为， 故答案为：. 10．已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，求出，然后将不等式进行参变量分离，将恒成立问题，转化为最值问题，通过换元，转化为求二次函数的最值，从而得解. 【详解】因为，，则，所以，， 又不等式恒成立，且，可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， 当时，， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 1.已知正实数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形得，由，进而判断与的大小，又得，即，进而求解. 【详解】因为，所以， 即， 因为，所以，所以， 即，所以； 又，结合， 可得，而， 所以，即， 两边同时取对数得，即， 则必有， 所以． 故选：A． 2.已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用作商法及基本不等式比较大小，由对数的运算性质求，再由对数的性质比较大小，即可得. 【详解】因为，所以， 因为，又，故. 故选：A 3.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】思路一：结合对数函数、指数函数以及幂函数的性质逐一判断即可；思路二：由排除法即可求解. 【详解】解法一： 选项 正误 原因 A × 因为，所以，而的充要条件为 B × 在R上是单调递增函数，由得 C √ 在R上是单调递增函数，由得 D × 若为正数，为负数，满足，不一定满足 解法二：（特值排除法）A项：取，，则，排除A项； 取，，则，排除B；D项：取，，则，排除D. 故选：C． 4.（多选）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（   ） A．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 【答案】AD 【分析】设窗户面积与地板面积分别为、，由题意可知，即，结合作差法逐项判断即可. 【详解】设窗户面积与地板面积分别为、，由题意可知，即， 按采光标准，窗户面积与地板面积的比值，且当越大时，住宅的采光条件越好． 对于AB选项，当时，， 故，所以若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好，A对B错； 对于C选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 若，则，此时住宅的采光条件不变，C错； 对于D选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 所以若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差，D对. 故选：AD. 5.（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．命题“，”的否定是“，或” C．如果，那么“”是“”的充分不必要条件 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】根据不等式性质，命题逻辑，充分条件判定及二次不等式恒成立的条件，逐一分析选项，验证每个命题的正误. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，原命题“存在x满足”的否定应为“所有x都不满足”，即“所有x都满足或”，原命题表述正确，故B正确； 对于C，若，，则，则，即，必要性成立； 若，，则，所以，充分性成立，所以如果，那么“”是“”的充要条件，故C错误； 对于D，当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，，故D正确. 故选：BD. 6.已知正数a，b，c满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，，从而可得，根据，数形结合可求得取值范围. 【详解】由，得，令，， 则，从而有，作出可行域如图所示．   ， 表示过与两点的直线的斜率， 设切点为， 则，，，得，所以，所以， 因为，又，所以，整理可得， 所以，解得，当时，所以， 所以，，由图形可得， 所以，所以，所以． 故答案为：. 7.已知正数a，b，c满足，，则的取值范围是 【答案】 【分析】令，，可得，作出可行域，利用线性规划可求得的最小值. 【详解】令，，， 由题意知，则， 作出可行域如图所示，易知，， 所以． 故答案为：． 8.已知实数a，b满足，且，求的取值范围． 【答案】 【分析】令，则原式，利用线性规划求得的范围，可求解. 【详解】由已知配方得， 令，则原式， 故只需通过线性规划求x的范围即可， 以a为横轴，b为纵轴画出可行域，如图所示， 图中重叠颜色最深部分为可行域，过点时x最大，为14， 当与相切时x最小．    令得， 令得x的最小值为， 于是，从而目标函数． 9.设（均为常数），为方程的两个实根，满足． (1)求证：； (2)若，试比较与的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由韦达定理，结合可完成证明； （2）注意到，然后分别判断符号可比较两式大小. 【详解】（1）因为为方程的两个实根，满足， 所以，由韦达定理：,. 则. 所以； （2）由（1）， 所以， 所以 . 因为，， 所以，所以， 所以． 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 2．（上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】因为，则，故，A对B错； ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错. 故选：A. 3．（新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 4．（上海·高考真题），，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】分析可得，利用不等式的基本性质可求得的最小值. 【详解】设，则，解得， 所以，， 因此，的最小值是. 故答案为：. 5．（上海·高考真题）已知：，，且， （1）若，求的取值范围； （2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值. 【答案】（1）；（2）时，. 【分析】（1）当时根据函数的解析表达式，利用指数函数的单调性得到，进而解得；当时，利用不等式的基本性质可得,此时无解. （2）根据已知条件，结合函数的解析式，求得的值，进而分段讨论，当时可利用不等式的基本性质得到, 当时利用二次函数的性质求得>400，从而得到答案. 【详解】（1）当时，,即,； 当时，,此时无解. 综上所述，； （2）当时，,解得, 当时， 当时，, 当 时取得最大值. 综上所述当 时取得最大值，. 【点睛】本题考查分段函数模型的应用，涉及不等式的基本性质，函数的最大值，指数函数的单调性，指数不等式和不等式的求解，属中档难度试题，关键在于分段讨论.难点在于（2）中的求最值部分，当时，关于的函数的单调性比较复杂，先探求范围，求出当时的最值，这样可以避免对复杂函数的单调性的分析. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 等式与不等式性质 目录 考情探究 2 知识梳理 3 探究核心考点 4 考点一 用不等式(组)表示不等关系 4 考点二 数（式）大小的比较 5 考点三 不等式的实际应用 5 考点四 利用不等式的性质证明简单的不等式 6 考点五 利用不等式的性质求范围 6 考点六 糖水不等式及其应用 7 三阶突破训练 8 基础过关 8 能力提升 9 真题感知 10 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年高考I卷，第8题，5分 不等式比较大小 函数 二、命题规律及备考策略 【命题规律】 近三年考情显示，高考对不等式性质的考查虽单独命题频率较低，但相关知识贯穿各类题型，是进行不等式变形、证明及解题的核心工具。其重要性体现在：作为数学逻辑的基础支撑，不等式性质为函数、数列、几何等模块的解题提供理论依据；同时，其应用能力直接影响考生对复杂问题的转化与分析能力，成为高考数学考查逻辑思维与运算素养的关键载体。因此，掌握不等式性质不仅是应对单一题型的需要，更是提升整体数学能力的必备基础。 【备考策略】 1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系. 2.掌握不等式的有关性质. 3.能利用不等式的性质比较数或式的大小或证明不等式. 4.能利用糖水不等式解决不等式的相关问题 【命题预测】 高考还是结合函数，数列交叉命题，不单独设置考点。 一、比较两个数大小 作差法： 如果是正数,那么; 如果等于零,那么; 如果是负数,那么. 反过来也对. 这个基本事实可以表示为: . 作商法： 任意两个值为 的代数式、，可以作商后比较与 的关系，进一步比较与的大小． 则有；；． 2、 不等式性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 考点一 用不等式(组)表示不等关系 典例1．为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表.规定各村每15户推选1人，当全村户数除以15所得的余数大于10时再增加1人.那么，各村可推选的人数y与该村户数x之间的函数关系用取整函数(表示不大于x的最大整数)可以表示为（    ） A． B． C． D． 典例2．生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（　） A． B． C． D． 跟踪训练1．在函数 的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为 A． B． C． D． 跟踪训练2．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为、、（单位：），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3．下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 考点二 数（式）大小的比较 典例1．已知，则（   ） A． B． C． D． 典例2．已知实数a，b，c满足，且b是a，c的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．已知非零实数满足，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（多选）对于实数a，b，m下列真命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则的最小值为 跟踪训练3．（多选）下面说法正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 考点三 不等式的实际应用 典例1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在(　　) A．每个95元 B．每个100元 C．每个105元 D．每个110元 典例2．设计用32m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m，则车厢的最大容积是(　　) A．(38－3)m3 B．16m3 C．4m3 D．14m3 跟踪训练1．光线透过一块玻璃，其强度要减弱.要使光线的强度减弱到原来的以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771) 跟踪训练2．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．计算： (1)仓库底面积S的最大允许值是多少？ (2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 考点四 利用不等式的性质证明简单的不等式 典例1．若，求证：． 典例2．已知函数和，其中且．若和是方程的两根，且满足，求证：当时，． 跟踪训练1．（2025·河北保定·模拟预测）记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为 . 跟踪训练2．已知的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)证明：； (2)证明：； (3)证明：. 考点五 利用不等式的性质求范围 典例1．设定义在上的函数，满足，且对任意，满足，，则（    ） A． B． C． D． 典例2．已知，若，，且，则实数c的取值范围是 ． 跟踪训练1．设，则的范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．已知且，求的取值范围． 跟踪训练3．已知满足且，求证：． 考点六 糖水不等式及其应用 典例1．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 典例2．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度更大），对应的不等式为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（多选）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“榶水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ） A．若，，则 B． C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 跟踪训练3．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了， (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)运用该不等式比较以下三个值的大小：，，； (3)当时，比较的大小. 1．如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm，根据题意可列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 2．王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必聚条件 4．若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 7．（2025·四川泸州·模拟预测）（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东聊城·二模）（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 9．已知实数，满足关系：，.则的取值范围是 . 10．已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 1.已知正实数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3.若，则（    ） A． B． C． D． 4.（多选）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（   ） A．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 5.（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．命题“，”的否定是“，或” C．如果，那么“”是“”的充分不必要条件 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 6.已知正数a，b，c满足，则的取值范围是 ． 7.已知正数a，b，c满足，，则的取值范围是 8.已知实数a，b满足，且，求的取值范围． 9.设（均为常数），为方程的两个实根，满足． (1)求证：； (2)若，试比较与的大小． 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（上海·高考真题），，则的最小值是 . 5．（上海·高考真题）已知：，，且， （1）若，求的取值范围； （2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$