3.5分式与比（题型专练）数学青岛版2024八年级上册

3.3分式的加法与减法 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 比的化简 题型二 判断四条线段是否成比例 题型三 比例的基本性质的应用 题型四 连比 题型一 比的化简 1．化简5m2x:10mx2的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：5m2x:10mx2=， 故选：D． 【点睛】本题考查比的化简，掌握比的化简方法解题的关键． 2．化简：（a2-b2）:(a2+2ab+b2)= ． 【答案】 【详解】解：（a2-b2）:(a2+2ab+b2)=， 故答案为． 【点睛】本题考查比的化简，掌握比的化简方法解题的关键及多项式分解因式的法则是解题的关键． 3．化简： (1)16x2y3:20xy4； (2)(ab2+2b):b； (3)(x2-4):(xy+2y)； (4)(a2+6a+9):(a2-9)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了比的化简； 【详解】（1）16x2y3:20xy4=； （2）(ab2+2b):b= （3）(x2-4):(xy+2y)=； （4）(a2+6a+9):(a2-9)=． 题型二 判断四条线段是否成比例 1．下列各组线段的长度成比例的是（    ） A．2cm，4cm，6cm，8cm B．10cm，20cm，30cm，40cm C．2.2cm，3.3cm，5cm，8cm D．20cm，30cm，60cm，40cm 【答案】D 【分析】根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对每一项进行分析即可． 【详解】解：A、2×8≠4×6，故本选项错误； B、10×40≠20×30，故选项错误； C、2.2×8≠3.3×5，故选项错误； D、20×60=30×40，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了比例线段，用到的知识点是成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等． 2.下列四组线段中，是成比例线段的一组是 A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D; 【解析】解：、，四条线段不成比例；  、，四条线段不成比例；  、，四条线段不成比例；  、，四条线段成比例；  故选：  根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．  此题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 3.下面的四条线段中不能成比例的是 A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B; 【解析】 解：、：：，则：：，即，，，成比例；  、四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例；  、：：，则：：故，，，成比例；  、：：，即：：，故，，，成比例．  故选：  若，，，成比例，即有：：只要代入验证即可．  此题主要考查了成比例的定义，并且注意叙述线段成比例时，各个线段的顺序，难度适中． 4.下列各组中的四条线段不是成比例线段的是 A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C; 【解析】 解：、，所以选项不符合题意；  、，所以选项不符合题意；  、，所以选项符合题意；  、，所以选项不符合题意．  故选：  根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．  此题主要考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 5.四条线段，，，成比例，其中，，，则等于 A. B. C. D. 【答案】C; 【解析】 解：四条线段、、、成比例，  ，  ，，，  ，  解得：  故选：  根据成比例线段的概念，得：：，再根据比例的基本性质，求得的值．  此题主要考查了比例线段，理解比例线段的概念，写比比例式是本题的关键． 6已知线段，，是，的比例中项，则的值为 A. B. C. D. 【答案】C; 【解析】 解：线段，，是、的比例中项，  ，  ，舍去  故选：  根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．  此题主要考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． 题型三 比例的基本性质的应用 1．如果，那么下列比例式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把比例式转化为乘积式，逐项判断，即可． 【详解】A、，变形为：，不符合题意； B、，变形为：，符合题意； C、，变形为：，不符合题意； D、，变形为：，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查比例的基本性质，解题的关键是掌握比例式与乘积式的互换． 2．若，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用比例的性质可得，可判断 由可得再计算可判断 由 利用分式的基本性质可判断 由利用分式的加法的逆运算可判断 从而可得答案． 【详解】解： ， ，故不符合题意； 故不符合题意； ， ，故不符合题意； ， ，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，分式的加法的逆运算，比例的基本性质，掌握以上知识是解题的关键． 3．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是求出． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 4．若，则 ． 【答案】 【分析】根据比例的性质，即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查比例的知识，解题法关键是掌握比例的性质． 5．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】两边都乘以5（a+b）得出5a＝3a+3b，求出2a＝3b，再根据比例的性质得出即可． 【详解】解：， 两边都乘以5（a+b）得：5a＝3a+3b， 2a＝3b， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 题型四 连比 1.把的线段分成三部分，它们的比为：：，则最长线段长为 ______ . 【答案】; 【解析】解：  答：最长线段长为  故答案为：  根据按比例分配，列出算式计算即可求解．  此题主要考查了比例线段，关键是根据题意正确列出算式计算求解． 2.一个三角形的周长为，三边长的比为：：，则最长边是 ______ . 【答案】; 【解析】解：设这个三角形的三边长分别为、、  由题意得，    最长边为  故答案为：  根据方程的思想，设这个三角形的三边长分别为、、，列出方程，从而解决此题．  此题主要考查成比例线段、方程的思想，熟练掌握方程的思想、成比例线段的性质是解决本题的关键． 3.根据下列条件求：：的值.  ：：，：：；  ：：，：： 【答案】(1)12:28:49(2)2:3:2; 【解析】  ∵：：，：：=28:49； ∴x:y:z=12:28:49 (2) ：：=2:3，：： ∴x:y:z=2:3:2 用同一个字母表示，然后再进一步求得三个字母的比值．  此题主要考查了比例的性质，解答该题的关键在于能够表示出三个字母的比值．要把含有同一个字母所占的份数变成相同的，即可表示出来． 1．已知非零有理数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的约分，先根据求出x、y的关系，然后代入约分即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 2.已知是、的比例中项，且，，则的值为 A. B. C. D. 【答案】B; 【解析】解：线段是、的比例中项，  ，  ，  可设，则，  ，  ，  ，  ，  ，  ，，，    故选：  由题意线段是、的比例中项，可知，根据，可设，则，所以，所以，再根据，求出，由此即可解决问题．  此题主要考查比例线段，比例中项的定义，解答该题的关键是熟练掌握比例中项的性质，属于中考常考题型． 3．已知，则 ． 【答案】 【分析】设可得再代入求值即可得到答案． 【详解】解：设 故答案为： 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握利用设参数法解决比例问题是解题的关键． 4．如果，试求k的值. 【答案】k的值为或-1. 【分析】根据已知条件得a=（b+c+d）k①，b=（a+c+d）k②，c=（a+b+d）k③，d=（a+b+c）k④，将①②③④相加，分a+b+c+d=0与不等于0两种情况讨论，所以k有两个解． 【详解】由题意知：a＝（b＋c＋d）k，b＝（a＋c＋d）k，c＝（a＋b＋d）k，d＝（a＋b＋c）k， 故a＋b＋c＋d＝3（a＋b＋c＋d）k，当a＋b＋c＋d时，， 当a＋b＋c＋d＝0时，b＋c＋d＝－a，所以k＝－1， 故k的值为或-1. 【点睛】本题考查了分式的混合运算，以及分式的基本性质，比较简单要熟练掌握． 5.已知：：：：：  求代数式的值；  如果，求、、的值． 【答案】解：∵a：b：c=3：4：5，  ∴设a=3k，b=4k，c=5k，  （1）==；  （2）∵3a-b+c=10，  ∴9k-4k+5k=10，  解得k=1，  ∴a=3，b=4，c=5．; 【解析】  设，，，  把，，代入代数式中进行分式的混合运算即可；  把，，代入得到关于的方程，求出，从而得到、、的值．  此题主要考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等是解决问题的关键． 1．如图，将一张长方形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形（）． (1)观察图形，代数式可因式分解为______； (2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作． ①用含的代数式表示； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①；②1 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算与图形，完全平方公式的应用，分式的约分： （1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解； （2）①直接观察图形，即可求解；②根据，可得，从而得到，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为的正方形，1块是边长为的正方形，3块是长为y，宽为的长方形， 所以长方形纸片的面积为， ∵长方形纸片的长为，宽为， ∴长方形纸片的面积为， ∴， 即代数式可因式分解为； 故答案为： （2）解：①根据题意得：； ②∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即， ∴ 2.设，，是的三条边，且，判断为何种三角形，并说明理由. 【答案】等边三角形 【解析】 3.若：：，：：，则：：______ ；  若线段是线段、的比例中项，且，，则______ ； 若，则______ . 【答案】：：;;; 【解析】解：：：，：：，  ：：，：：，  ：：：：；  故答案为：：：；  根据比例中项的概念，结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，  所以，即，解得线段是正数，负值舍去  故答案为：；  ，      故答案为：  根据比的基本性质，把比的前、后项都乘一个适当的数，把两个比中的化成相同的数，即可写出、、这三个数的连比；  根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项，注意线段不能为负；  利用等比性质求解即可．  此题主要考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． 4．若P在线段AB上，点Q在AB的延长线上，，且，求PQ的长． 【答案】24 【解析】 根据＝，分别求出BP，BQ的长，两者相加即可求出PQ的长. 【详解】设AP＝3x，BP＝2x， ∵AB＝10，∴AB＝AP＋BP＝3x＋2x＝5x，即5x＝10， ∴x＝1，∴AP＝6，BP＝4. ∵＝，∴可设BQ＝y，则AQ＝AB＋BQ＝10＋y， ∴， 解得y＝20， ∴PQ＝PB＋BQ＝4＋20＝24. 【点睛】本题考查了比例线段、两点间的距离等知识，运用好线段之间的比例关系是解答本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3分式的加法与减法 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 比的化简 题型二 判断四条线段是否成比例 题型三 比例的基本性质的应用 题型四 连比 题型一 比的化简 1．化简5m2x:10mx2的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：5m2x:10mx2=， 故选：D． 【点睛】本题考查比的化简，掌握比的化简方法解题的关键． 2．化简：（a2-b2）:(a2+2ab+b2)= ． 【答案】 【详解】解：（a2-b2）:(a2+2ab+b2)=， 故答案为． 【点睛】本题考查比的化简，掌握比的化简方法解题的关键及多项式分解因式的法则是解题的关键． 3．化简： (1)16x2y3:20xy4； (2)(ab2+2b):b； (3)(x2-4):(xy+2y)； (4)(a2+6a+9):(a2-9)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了比的化简； 【详解】（1）16x2y3:20xy4=； （2）(ab2+2b):b= （3）(x2-4):(xy+2y)=； （4）(a2+6a+9):(a2-9)=． 题型二 判断四条线段是否成比例 1．下列各组线段的长度成比例的是（    ） A．2cm，4cm，6cm，8cm B．10cm，20cm，30cm，40cm C．2.2cm，3.3cm，5cm，8cm D．20cm，30cm，60cm，40cm 【答案】D 【分析】根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对每一项进行分析即可． 【详解】解：A、2×8≠4×6，故本选项错误； B、10×40≠20×30，故选项错误； C、2.2×8≠3.3×5，故选项错误； D、20×60=30×40，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了比例线段，用到的知识点是成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等． 2.下列四组线段中，是成比例线段的一组是 A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D; 【解析】解：、，四条线段不成比例；  、，四条线段不成比例；  、，四条线段不成比例；  、，四条线段成比例；  故选：  根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．  此题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 3.下面的四条线段中不能成比例的是 A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B; 【解析】 解：、：：，则：：，即，，，成比例；  、四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例；  、：：，则：：故，，，成比例；  、：：，即：：，故，，，成比例．  故选：  若，，，成比例，即有：：只要代入验证即可．  此题主要考查了成比例的定义，并且注意叙述线段成比例时，各个线段的顺序，难度适中． 4.下列各组中的四条线段不是成比例线段的是 A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C; 【解析】 解：、，所以选项不符合题意；  、，所以选项不符合题意；  、，所以选项符合题意；  、，所以选项不符合题意．  故选：  根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．  此题主要考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 5.四条线段，，，成比例，其中，，，则等于 A. B. C. D. 【答案】C; 【解析】 解：四条线段、、、成比例，  ，  ，，，  ，  解得：  故选：  根据成比例线段的概念，得：：，再根据比例的基本性质，求得的值．  此题主要考查了比例线段，理解比例线段的概念，写比比例式是本题的关键． 6已知线段，，是，的比例中项，则的值为 A. B. C. D. 【答案】C; 【解析】 解：线段，，是、的比例中项，  ，  ，舍去  故选：  根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．  此题主要考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． 题型三 比例的基本性质的应用 1．如果，那么下列比例式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把比例式转化为乘积式，逐项判断，即可． 【详解】A、，变形为：，不符合题意； B、，变形为：，符合题意； C、，变形为：，不符合题意； D、，变形为：，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查比例的基本性质，解题的关键是掌握比例式与乘积式的互换． 2．若，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用比例的性质可得，可判断 由可得再计算可判断 由 利用分式的基本性质可判断 由利用分式的加法的逆运算可判断 从而可得答案． 【详解】解： ， ，故不符合题意； 故不符合题意； ， ，故不符合题意； ， ，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，分式的加法的逆运算，比例的基本性质，掌握以上知识是解题的关键． 3．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是求出． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 4．若，则 ． 【答案】 【分析】根据比例的性质，即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查比例的知识，解题法关键是掌握比例的性质． 5．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】两边都乘以5（a+b）得出5a＝3a+3b，求出2a＝3b，再根据比例的性质得出即可． 【详解】解：， 两边都乘以5（a+b）得：5a＝3a+3b， 2a＝3b， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 题型四 连比 1.把的线段分成三部分，它们的比为：：，则最长线段长为 ______ . 【答案】; 【解析】解：  答：最长线段长为  故答案为：  根据按比例分配，列出算式计算即可求解．  此题主要考查了比例线段，关键是根据题意正确列出算式计算求解． 2.一个三角形的周长为，三边长的比为：：，则最长边是 ______ . 【答案】; 【解析】解：设这个三角形的三边长分别为、、  由题意得，    最长边为  故答案为：  根据方程的思想，设这个三角形的三边长分别为、、，列出方程，从而解决此题．  此题主要考查成比例线段、方程的思想，熟练掌握方程的思想、成比例线段的性质是解决本题的关键． 3.根据下列条件求：：的值.  ：：，：：；  ：：，：： 【答案】(1)12:28:49(2)2:3:2; 【解析】  ∵：：，：：=28:49； ∴x:y:z=12:28:49 (2) ：：=2:3，：： ∴x:y:z=2:3:2 用同一个字母表示，然后再进一步求得三个字母的比值．  此题主要考查了比例的性质，解答该题的关键在于能够表示出三个字母的比值．要把含有同一个字母所占的份数变成相同的，即可表示出来． 1．已知非零有理数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的约分，先根据求出x、y的关系，然后代入约分即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 2.已知是、的比例中项，且，，则的值为 A. B. C. D. 【答案】B; 【解析】解：线段是、的比例中项，  ，  ，  可设，则，  ，  ，  ，  ，  ，  ，，，    故选：  由题意线段是、的比例中项，可知，根据，可设，则，所以，所以，再根据，求出，由此即可解决问题．  此题主要考查比例线段，比例中项的定义，解答该题的关键是熟练掌握比例中项的性质，属于中考常考题型． 3．已知，则 ． 【答案】 【分析】设可得再代入求值即可得到答案． 【详解】解：设 故答案为： 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握利用设参数法解决比例问题是解题的关键． 4．如果，试求k的值. 【答案】k的值为或-1. 【分析】根据已知条件得a=（b+c+d）k①，b=（a+c+d）k②，c=（a+b+d）k③，d=（a+b+c）k④，将①②③④相加，分a+b+c+d=0与不等于0两种情况讨论，所以k有两个解． 【详解】由题意知：a＝（b＋c＋d）k，b＝（a＋c＋d）k，c＝（a＋b＋d）k，d＝（a＋b＋c）k， 故a＋b＋c＋d＝3（a＋b＋c＋d）k，当a＋b＋c＋d时，， 当a＋b＋c＋d＝0时，b＋c＋d＝－a，所以k＝－1， 故k的值为或-1. 【点睛】本题考查了分式的混合运算，以及分式的基本性质，比较简单要熟练掌握． 5.已知：：：：：  求代数式的值；  如果，求、、的值． 【答案】解：∵a：b：c=3：4：5，  ∴设a=3k，b=4k，c=5k，  （1）==；  （2）∵3a-b+c=10，  ∴9k-4k+5k=10，  解得k=1，  ∴a=3，b=4，c=5．; 【解析】  设，，，  把，，代入代数式中进行分式的混合运算即可；  把，，代入得到关于的方程，求出，从而得到、、的值．  此题主要考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等是解决问题的关键． 1．如图，将一张长方形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形（）． (1)观察图形，代数式可因式分解为______； (2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作． ①用含的代数式表示； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①；②1 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算与图形，完全平方公式的应用，分式的约分： （1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解； （2）①直接观察图形，即可求解；②根据，可得，从而得到，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为的正方形，1块是边长为的正方形，3块是长为y，宽为的长方形， 所以长方形纸片的面积为， ∵长方形纸片的长为，宽为， ∴长方形纸片的面积为， ∴， 即代数式可因式分解为； 故答案为： （2）解：①根据题意得：； ②∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即， ∴ 2.设，，是的三条边，且，判断为何种三角形，并说明理由. 【答案】等边三角形 【解析】 3.若：：，：：，则：：______ ；  若线段是线段、的比例中项，且，，则______ ； 若，则______ . 【答案】：：;;; 【解析】解：：：，：：，  ：：，：：，  ：：：：；  故答案为：：：；  根据比例中项的概念，结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，  所以，即，解得线段是正数，负值舍去  故答案为：；  ，      故答案为：  根据比的基本性质，把比的前、后项都乘一个适当的数，把两个比中的化成相同的数，即可写出、、这三个数的连比；  根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项，注意线段不能为负；  利用等比性质求解即可．  此题主要考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． 4．若P在线段AB上，点Q在AB的延长线上，，且，求PQ的长． 【答案】24 【解析】 根据＝，分别求出BP，BQ的长，两者相加即可求出PQ的长. 【详解】设AP＝3x，BP＝2x， ∵AB＝10，∴AB＝AP＋BP＝3x＋2x＝5x，即5x＝10， ∴x＝1，∴AP＝6，BP＝4. ∵＝，∴可设BQ＝y，则AQ＝AB＋BQ＝10＋y， ∴， 解得y＝20， ∴PQ＝PB＋BQ＝4＋20＝24. 【点睛】本题考查了比例线段、两点间的距离等知识，运用好线段之间的比例关系是解答本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$