3.5分式与比（教学课件）数学青岛版2024八年级上册

青岛版2024·八年级上册 3.5 分式与比 第3章 分式 导入新课 ①树高和影长的比是3∶4 ②地球上的淡水总量与其他水总量的比为m∶n， ③某省2022年高中毕业生本科录取人数与2012年录取人数的比约为124∶100; ④某种消毒液的说明书上注明,当 给水果、蔬菜消毒时,该消毒液与所加清水的体积比应为1∶1000。 比在我们的生活中有着广泛的应用。 你知道这些比分别代表什么含义吗？ 学 习 目 标 1 2 3 理解比的含义以及能利用分式的基本性质进行比的化简。（重点） 理解比例的意义以及掌握比例的基本性质，（重点） 了解线段的成比例的线段的意义以及了解连比的意义，会进行有关的计算（难点） 新知探究 写出下列问题中的比: (1) 长方形的长为a ， 宽为b ， 长方形的长、 宽之比为_____________; (2) 八年级1 班男生有m 人， 女生比男生少3 人， 男、 女生人数的比是___________________; (3) 轮船在静水中的平均速度为v km/h， 河水流动的平均速度为a km/h，轮船在静水中的平均速度与轮船在河水中顺流而下的平均速度之比为_______________。 a:b m:(m-3) v:(v+a ) 思考：你能发现下列问题(1)(2)(3)中的比与3：4，124∶100,1∶1000有什么不同吗? 前三者是用字母表示的比，后三者是具体数值的比。 新知探究 总结归纳 比的概念: 两个整式A 与B(B≠0)相除,叫作A 与B 的比 1.A∶B 或。其中，A 叫作比的前项， B 叫作比的后项. 2.比的前项与后项是有顺序的，如，不同， 3.“：”是比号，读作“比”.比的前项除以后项所得的商，叫做比值. 记作A∶B 或 注意： 新知探究 问题1：若长方形的长、宽之比为m∶n， 是否代表长方形的长为m， 宽为n 呢? 问题2：整式A 与B 的比一定是分式吗? 为什么? 不一定，m:n是数量关系的比,是一个比值，有可能化简后的比，长、宽可以是km、kn(k为正数) 不一定，若A是B的整式倍，如A=5B，则=5是整式，不是分式；只有当A不能被B(含有字母)整除时， 会才是分式。 (小组讨论) 问题3：如何化简一个比? 新知探究 你能化简18a∶16b和4a2∶9a2吗? 利用分式的基本性质 18a ∶ 16b = = A∶ B 可以写成的形式， 可通过化简分式来化简A∶ B 。 观察，你发现怎样去化简一个比？ 典例分析 例1 八年级1班有学生a名。如果男、女生人数的比是m∶n,那么该班有女生多少名? 解: 因为男、女生人数的比是m∶n， 所以女生人数为该班学生总数的。 因为a= ， 所以， 该班有女生 名。 典例分析 例2 如图,某中学的校园中有两块草坪。草坪甲是边长为a的正方形,中间有一个边长为b的正方形喷水池。草坪乙是长为c,宽为(a-b)的长方形。求两块草坪面积的比。 甲 乙 解: 草坪甲的面积是， 草坪乙的面积是c(a -b) 。 因为 所以， 甲、 乙两块草坪面积的比是 ， 新知探究 如图， 已知☉ 的半径为 ， 直径为 ， 周长为; ☉ 的半径为 ， 直径为， 周长为。分别计算. = 2π 2π 观察计算结果,你能得到什么结论? 表示两个比相等的式子叫作比例式， 简称比例。 新知探究 总结归纳 比例的概念: 1.a ∶b =c ∶ d 或。。其中，a与d叫作比例的外项，b与c叫作比例的内项。 2.a ∶b =c ∶ d 或中，a,b,c,d是有顺序的。 3.当比例的两个内项相等， 即当= 时， b叫作a和c的比例中项。 注意： 表示两个比相等的式子叫作比例式， 简称比例。 成比例: 如果a与b的比等于c与d的比， 那么就说a ，b ，c ，d 四个数成比例。 a ∶b =c ∶ d 或。 符号表示： 新知探究 比例是一个包含比的等式， 依据等式的基本性质， 你能推出比例具有什么性质? bd∙ bd 比例的基本性质 在比例中， 两外项的乘积等于两内项的乘积。 符号语言：如果，那么ad =bc。 如果ad =bc，那么(bd≠0)。 反之也成立，即 等式的基本性质2 两边都乘以bd 典例分析 例3 宇航员在空间站与地球上所受的重力比大约是1∶ 5 000。 如果一名宇航员在地球上所受的重力为650 N， 那么他在空间站上所受的重力约为多少? 解: 设该宇航员在空间站上所受的重力约为x N。 根据题意， 得 x ∶650=1∶ 5 000。 利用比例的基本性质， 得5 000x =650 ， 解方程， 得 x=0.13， 所以， 该宇航员在空间站上所受的重力是0.13 N。 典例分析 例4 已知求a∶b。 解: 因为， 所以利用比例的基本性质， 得 2(a -b) =a ， 所以a =2b ，所以a:b =2。 比能不能在几何问题中应用呢? 新知探究 1.设线段AB=2 cm，BC=4 cm，两条线段的长度比是 . 填一填： 2.设线段CD=200cm，DE=4m，两条线段的长度比是 . AB:BC=2：4 CD:DE=200：400 两条线段单位要统一 在同一单位长度下， 两条线段长度的比， 叫作这两条线段的比。 观察结果，你发现了什么？ 两个比的比值相等 这四条线段的长成比例 注意：两条线段的比与所选用的单位长度无关，但必须使用同一单位长度。 新知探究 四条线段a, b, c, d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a , b ,c , d叫做成比例线段，简称比例线段. 注意：成比例线段是有顺序的，不能随意颠倒顺序 总结归纳 成比例线段： 典例分析 例5 如图已知 = ，且AD =15， AB =40， AC =28。 求AE的长。 解: 因为AD =15， AB =40， AC=28， 所以DB =AB -AD =40-15=25， EC=AC-AE =28-AE。 因为 = ，所以 = ， 所以15(28-AE ) =25AE 。 解关于AE的方程， 得AE =10.5。 经检验， AE =10.5 是原方程的解，所以AE 的长为10.5。 新知探究 （1）根据例5，求线段比AD：DB与DB：AB是多少？ （2）按照上面的结果我们可以写成 AD：DB：AB是多少？ 3：5 5：8 3：5：8 例5 如图已知 = ，且AD =15， AB =40， AC =28。 15 25 连比 3：5 5 ：8 什么叫作连比呢？ 像这样，前一个比的后项与后一个比的前项是相同的，因而可以把这两个比连起来写，这种形式叫做连比. 典例分析 例6 △ABC 的周长为52cm， AB ∶ BC∶ AC=3∶ 4∶ 6， 求三条边的长。 解: 设AB =3x cm， BC=4x cm， AC=6x cm。 根据题意， 得3x +4x +6x =52。 解方程， 得 x =4。 所以AB =3x =12cm， BC=4x =16cm， AC=6x =24cm。 所以AB ， BC， AC 的长分别是12cm， 16 cm， 24cm。 遇见几比几，设参数法。 新知探究 已知有理数a ， b ， c 都不等于0， 下列命题是真命题吗? 如果是， 请说明理由; 如果不是， 请举出反例。 如果 = = ，那么a ∶b ∶c =2∶ 3∶ 4; 分析：设 = = ，则a = 2k，b= 3k，c=4k， 所以a:b:c=2:3:4，是真命题。 (2)如果2a =3b =4c ， 那么a ∶b ∶c =2∶ 3∶ 4。 分析：设2a=3b=4c=24k(取公倍数，方便计算)，则a=12k，b=8k，c=4k，所以a:b:c=6:4:3≠2:3:4，是假命题。反例a=12，b=8，c=6。 (小组讨论) 遇见几比几，设参数法。 新知探究 (3)一般地,若有理数m,n,k都不等于0,在 = = 与ma=nb=kc中,能够使得a∶b∶c=m∶n∶k的条件是哪个? 请说明理由 . 设 = = ，则a = mx，b= nx，c=kx， 所以a:b=m:n,b:c=n:k 所以a:b:c=m:n:k， 添加条件是 = = 。 (小组讨论) 设参数法。 新知应用 基础巩固题 1.下列关于比的表示错误的是( ) A.5x∶2x                B.7∶0                 C.               D.3.2∶6.4 B 2.我班有学生50人，男学生20人，男生与女生的人数之比是 . 2:3 3.如果a是b的2倍，b是c的3倍，那么a∶c的值是(　　) A. 　    B. 　    C.6　    D.  C 分析：由题意知a=2b，c= b，所以a∶c=  =6. 新知应用 基础巩固题 4.一 个 直 角 三 角 形 的 两个 锐 角 的 度 数 的 比 是1:2，则 较 小 锐 角 的度数为 .   30° 5、已知四个实数a，b，c，d 成比例，其中a=2，b=4，c=5，则d 等于( ) A. 1 B. 10 C. D. B 。 。   10 新知应用 基础巩固题 6. 已知5∶7=3∶(x+4)，则下列等式正确的是（ ） A. 7(x+4)=5×3 B. 5(x+4)=7×3 C. 3(x+4)=5×7 D. 5∶(x+4)=7∶3 解析：在比例5∶7=3∶(x+4)中，7和3是内项，5和(x+4)是外项，根据比例的基本性质“两外项之积等于两内项之积”，可知B选项正确. B 7.若 =－， 则的值为________. 8.已 知=，那么=_________. 新知应用 基础巩固题 9、一条线段的长度是另一条线段的 5 倍，则这两条线段的比为 。 5：1 10、下列长度的线段中，能成比例的是（ ） A. 3cm，6cm，8cm，9cm B. 3cm，5cm，6cm，9cm C. 3cm，6cm，7cm，9cm D. 3cm，6cm，9cm，18cm D 按从小到大（从大到小）的顺序排序，计算前两条线段的比是否等于后两条线段的比. 新知应用 基础巩固题 11.化简： (1) (3) )； (4))； 解：(1) (3) )= ； (4))= 。 利用分式的基本性质 新知应用 基础巩固题 12.b,c都是不为0的数，则： （1）a：b等于(ca):(cb)吗？为什么？ （2）a：b等于(a+c)：(b+c)吗？举例说明. （3）a:b等于a2：b2吗？举例说明. 解:（1）因为c不等于0， 根据分式的基本性质可知，a：b等于(ca):(cb). （2）当a=c=1,b=2时，a：b不等于(a+c)：(b+c). （3）当a=1，b=2时，a:b不等于a2：b2. 新知应用 基础巩固题 13.判断下面各组比能不能组成比例： (1)4:6和5:10 (2)10:20和30:60 解：(1) 所以4:6和5:10不能成比例。 所以10:20和30:60能成比例。 新知应用 基础巩固题 14. 已知，,求 解：a=2b ∴ 还有没有其他解法？ ∴a=k，b=3k 解法2： 新知应用 基础巩固题 15.已知=,求的值。 解： =3(3b-a) =9b-3a =19b ∴ 比例的基本性质 在比例中， 两外项的乘积等于两内项的乘积。 新知应用 基础巩固题 16.已知a,b,c,d是比例线段. （1）若a=0.8cm，b=1cm，c=1cm，求d； （2）若a=12cm，c=3cm，d=15cm，求b； （3）若a=5cm，b=4cm，d=8cm，求c。 解：(1)∵ a,b,c,d是比例线段 ∴ ∴ ∴d=1.25cm (2)∵ a,b,c,d是比例线段 ∴ ∴ ∴b=60cm (3)∵ a,b,c,d是比例线段 ∴ ∴ ∴c=10cm 17.某三角形三个内角的度数之比是3∶ 4∶ 5，求这三个内角的度数. 解： 设该三角形三个内角的度数分别是 3x，4x，5x， 根据三角形的内角和是 180° ，得 3x+4x+5x=180° ， 解方程，得 x=15° ， 所以 3x=45° ，4x=60° ，5x=75° ， 所以这三个内角的度数分别是 45° ，60° ，75° . 新知应用 基础巩固题 新知应用 能力提升题 18.已知线段a、b、c满足 =  = ，且a+2b+c=26. (1)求a、b、c的值. (2)若线段d=2c，线段x是线段a、d的比例中项，求x的值. 解：(1)设 = = =k(k≠0)，则a=3k，b=2k，c=6k， 因为a+2b+c=26，所以3k+2×2k+6k=26，解得k=2， 所以a=6，b=4，c=12. (2)因为线段d=2c，所以d=2×12=24. 因为线段x是线段a、d的比例中项，所以 = ， 所以x2=ad=6×24=144，所以x=12(舍去负值). 方法技巧： 设参数法是指出现比例、连等时，一般先设它们都等于一个参数(比如k，k≠0)，然后把比例中的未知数用参数表示，最后在解答过程中约去参数，从而解决问题. 新知应用 能力提升题 19.小明从家到学校的路先是一段平路，然后是上坡路，最后是下坡路.平路、上坡路、下坡路的长分别是2a km、a km、0.5a km，小明骑车在平路、上坡路、下坡路上的速度分别为v km/h，0.6v km/h，1.5v km/h，求小明上学和放学回家所需时间的比. 解：上学所需时间为 + + = (h)， 放学回家所需时间为 + + = (h)， 时间比为 ∶ = × = ， 所以小明上学和放学回家所需时间的比为8∶7. 课堂小结 比 含义:两个数a与b(b≠0)相除，叫做a与b的比, 记作A:B或.a是比的前项，b是比的后项. 比的应用 化简：利用分式的基本性质把化简. 课堂小结 比例 定义：表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例. 定义和性质的应用 性质：内项积=外项积，即若，则ad=bc(bd≠0). 课堂小结 比 线段的比：选用同一单位长度表示两条线段长度，则它们量数的比，叫作两条线段的比. 连比：前一个比的后项与后一个比的前项相同，把两个比连起来写，这种形式叫做连比. 比例线段:若四条线段a:b=c:d，则线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段. 应用它们解决相关计算问题 感谢聆听! $