河北省石家庄市第一中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

石家庄市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上指定位置，在其他位置作答一律无效。 3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若函数y=ax+b－1(a＞0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有 A．0＜ ＜1,且 ＞0　　　　 B．a＞1,且 ＞0　　　　 C．0＜ ＜1,且 ＜0　　　　 D．a＜1,且 ＞0 2．将个相同的球放入三个不同的盒中，每盒至少一个球，不同的方法共有 A．种 B．种 C．种 D．种 3．随机变量ξ服从标准正态分布，已知，则等于 A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975 4．在的展开式中，则的系数为 A．10 B．21 C．30 D．9 5．函数f(x)＝(x∈R)的值域是 A．[0,1] B．[0,1) C．(0,1] D．(0,1) 6．函数的零点所在区间为 A． B． C． D． 7．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为，当且仅当时称为“凹数”（如213，312等），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为 A． B． C． D． 8．定义已知函数．若方程有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是． A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则 A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 10．将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个1点”，则下列说法中正确的是 A．“至少出现一个1点”所包含的样本点数为6×6×6－5×5×5＝91 B．“三个点数都不相同”所包含的样本点数为 ＝120 C．P(A|B)＝ D．P(B|A)＝ 11．已知函数满足对任意，均有，且，设，则下列结论正确的有 A． B． C．若，则在上为奇函数 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 13．某班4名同学去学校食堂就餐，他们在一号、二号、三号食堂都可能就餐，如果他们中有同学在一号食堂就餐，则他们在三个食堂就餐情况有 种（用数字作答） 14．已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知的展开式中，前两项的二项式系数之和是9. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中的系数. 16．为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有1台玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的1台玩具车和2个不同的玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换． (1)两人进行一次交换后，设小明手中玩具车的台数为，求的分布列及数学期望； (2)两人进行次交换后，记小明手中恰有1个玩具车的概率为． ①求； ②求． 17．已知定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)若对任意的，都有，求的最大值. 18．某小型企业在开春后前半年的利润情况如下表所示： 第1个月 第2个月 第3个月 第4个月 第5个月 第6个月 利润(单位：万元) 设第个月的利润为万元． （1）根据表中数据，求关于的回归方程(系数精确到)； （2）由（1）中的回归方程预测该企业第个月的利润是多少万元？（结果精确到整数部分，如万元万元) （3）已知关于的线性相关系数为．从相关系数的角度看，与的拟合关系式更适合用还是，说明你的理由． 参考数据：，，取． 附：样本（，2，，）的相关系数， 线性回归方程中的系数，. 19．某医院已知5名病人中有一人患有一种血液疾病，需要通过化验血液来确定患者，血液化验结果呈阳性的即为患病，呈阴性即没患病.院方设计了两种化验方案： 方案甲：对患者逐个化验，直到能确定患者为止； 方案乙：先将3人的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明患者在此三人中，然后再逐个化验，直到能确定患者为止；若结果呈阴性则在另外2人中选取1人化验. （1）求方案甲化验次数的分布列； （2）求甲方案所需化验次数不少于乙方案所需化验次数的概率. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石家庄市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试 数学答案 1.C 2.A 3.C 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.BCD 10.ABC 11.BCD 12． 13．65 14． 15．（1）依题意，即，解得， 所以展开式的通项为（且）， 则展开式中二项式系数最大的项为. （2）令，解得， 所以，所以展开式中的系数为. 16．（1）由题意知X的可能取值为0，1，2 ， ， X 0 1 2 P 所以． （2）①若两次都交换玩具车，则概率为， 若两次都交换玩偶，则概率为， 若一次交换玩具车，一次交换玩偶， 情况1：每次互换的玩具相同，则概率为， 情况2：每次互换的玩具不同，则概率为， 则. ②重复n复这样的操作后，记小明手中恰有0个玩具车的概率为， 则小明手中恰有2个玩具车的概率为， 根据全概率公式可得，当时，， ∴， 由（1）是，∴， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故， 所以，即 ． 17．（1）题意可得，解得. 因为，所以，解得. 经验证，符合题意. （2）证明：由（1）可知. 任取，则. 因为，所以，则，即. 故在上单调递增. （3）不等式等价于. 因为为奇函数，所以. 因为在上单调递增，所以，即. 因为，所以， 解得，即的最大值为4. 18．（1）设，， ， 则， 所以， 故关于的回归方程为； （2）当时，， 故可预测第个月的利润约为万元． （3）由（1）知，关于的线性相关系数： ， 因为， 所以与的拟合关系式更适合用． 19．解：（1）依题知的可能取值为1，2，3，4 ，，，. 故方案甲化验次数的分布列为： 1 2 3 4 （2）若乙验两次时，有两种可能： ①验3人结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中 ②先验3人结果为阴性，再从其他两人中验出阳性 故乙用两次的概率为 若乙验三次时，只有一种可能：先验3人结果为阳性，再从中逐个验时，第一次为阴性，第二次为阴性或阳性，其概率为 故甲方案的次数不少于乙次数的概率为 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$