精品解析：云南省怒江州民族中学2024-2025学年高二下学期期末检测数学试卷

怒江州民族中学2024-2025学年高二下学期期末质量检测 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填 写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规 定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳 素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题，本题共计8题，共计40分 1. 设复数满足,则 A. B. C. D. 2. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数在的图像大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知展开式中各项系数之和为，则其展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上.若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的半径为 A. B. C. D. 6. 若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足,则称成一个“等差数列”.已知集合,则由中的三个元素组成的所有数列中,“等差数列”的个数为 A. B. C. D. 7. 某射击运动员射击一次命中目标的概率为，已知他独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率，则为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且的一条渐近线与直线平行．分别是在第一、二、三、四象限内的四点，且四边形是平行四边形．若三点共线，则面积的最小值为（ ） A. 12 B. 24 C. 16 D. 8 二、多选题，本题共计3题，共计18分 9. 在全国人民的共同努力下，特别是医护人员的奋力救治下，“新冠肺炎”疫情得到了有效控制.如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图. 则下列关于甲、乙两省新增确诊人数的说法，正确的是（ ） A. 甲省的平均数比乙省低 B. 甲省的方差比乙省大 C. 甲省的中位数是27 D. 乙省的极差是12 10. 已知数列满足，设的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，则和满足（ ） A. B. C. D. 三、填空题，本题共计3题，共计15分 12. 已知，求与向量方向相同的单位向量为__________. 13. 若直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数的取值范围是_____________. 14. 在边长为2的正方形中，为的中点，交于.若，则________. 四、解答题，本题共计5题，共计60分 15. 设的内角，，所对的边分别为，，，已知，，. （1）求的面积及； （2）求. 16. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝BD＝2，AB＝2，E是棱PC上的一点． （1）若PA∥平面BDE，证明：PE＝EC； （2）在（1）的条件下，棱PB上是否存在点M，使直线DM与平面BDE所成角的大小为30°？若存在，求PM：MB的值；若不存在，请说明理由． 17. 已知函数f（x）x+1，x∈R. （1）求函数f（x）的最小正周期并写出函数f（x）图象的对称轴方程和对称中心； （2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值. 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆短轴端点，若为直角三角形且周长为. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，直线,斜率的乘积为，求的取值范围. 19. 某校数学兴趣小组由水平相当的n位同学组成，他们的学号依次为1，2，3，…，n.辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为，每个同学的答题过程都是相互独立的挑战的具体规则如下： ①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题； ②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战； ③若第号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战； ④若第号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战在第轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战； ⑤若挑战进行到了第轮，则不管第n号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战. 令随机变量表示n名挑战者在第轮结束. （1）求随机变量的分布列； （2）若把挑战规则①去掉，换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答. 令随机变量表示n名挑战者在第轮结束. （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怒江州民族中学2024-2025学年高二下学期期末质量检测 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填 写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规 定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳 素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题，本题共计8题，共计40分 1. 设复数满足,则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，所以，选C. 2. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得集合或，求得，结合集合的交集运算，即可求解. 【详解】由题意，集合或， 又由集合，可得， 所以. 故选：B. 3. 函数在的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性，以及特殊值即可判断. 【详解】因为 又定义域关于原点对称，故该函数为奇函数，排除B和D. 又，故排除C. 故选：A. 4. 已知展开式中各项系数之和为，则其展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入，求出的值，然后根据二项式的通项公式，结合已知进行求解即可. 【详解】由题意知，当时，则有，所以， 展开式中项为， 项的系数为. 故选：B. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了数学运算能力，注意利用二项展开式的通项公式和多项式的乘法来计算.. 5. 已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上.若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的半径为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1， 设圆C的圆心为C（﹣1，h），则圆C的半径r=， ∵直线x+y﹣3=0与圆C相切， ∴圆心C到直线的距离d=r，即=， 解得h=0（舍）或h=﹣8． ∴r==14． 故选D 6. 若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足,则称成一个“等差数列”.已知集合,则由中的三个元素组成的所有数列中,“等差数列”的个数为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先要确定构成“等差数列”的三个数的内在关系，和，结合所给集合找出符合条件的数组有50组． 【详解】由三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，知 消去，并整理得， 所以（舍去），， 于是有． 在集合中，三个元素组成的所有数列必为整数列， 所以必为2的被数，且， 故这样的数组共50组．答案选B． 【点睛】此题属于新情境问题，这类问题关键是要从问题情境中寻找“重要信息”，研究对象的本质特征，如本题中能构成“等差数列”的三个数的内在关系，和，这种明确数量关系（数量化的特征）是解决问题的关键，将地应用于新情境，即可达到解决问题的目的．这实质上是属于数学建模问题，一般考查较深刻，综合性强，难度略大，除要有相应的数学知识和数学能力外，还应耐心读题，仔细思考，增强信心，以应对此类问题． 7. 某射击运动员射击一次命中目标的概率为，已知他独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 三次都未命中的概率为，连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，即可求解. 【详解】因为射击一次命中目标的概率为， 所以射击一次未命中目标的概率为， 因为每次射击结果相互独立， 所以三次都未命中的概率为， 因为连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中， 所以连续射击三次，至少有一次命中的概率， 解得. 故选：A 【点睛】本题主要考查了n次独立重复试验，对立事件，属于中档题. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且的一条渐近线与直线平行．分别是在第一、二、三、四象限内的四点，且四边形是平行四边形．若三点共线，则面积的最小值为（ ） A. 12 B. 24 C. 16 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】已知条件双曲线 【详解】由题意知解得，故双曲线C的标准方程为． 由题意及双曲线的对称性，平行四边形与双曲线如图． 四边形为平行四边形，所以． 由题知，直线的斜率不为零，且，故设直线的方程为． 由，消去并整理得，，， 设，由根与系数的关系可得． 因为点均在双曲线的右支上，且双曲线渐近线的斜率为：，所以，解得， 所以．， 令，则，所以． 因为在上单调递减， 当时，，所以面积的最小值为12 故选：A 二、多选题，本题共计3题，共计18分 9. 在全国人民的共同努力下，特别是医护人员的奋力救治下，“新冠肺炎”疫情得到了有效控制.如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图. 则下列关于甲、乙两省新增确诊人数的说法，正确的是（ ） A. 甲省的平均数比乙省低 B. 甲省的方差比乙省大 C. 甲省的中位数是27 D. 乙省的极差是12 【答案】ABD 【解析】 【分析】由折线图取原始数据，可计算甲乙的平均数、中位数、极差，摆动幅度大小决定方差大小. 【详解】甲省确诊人数的平均数是， 乙省确诊人数的平均数是 所以正确； 甲省确诊人数摆动幅度比乙省大，所以甲省的方差大 所以正确； 甲省确诊人数，中位数是24， 所以错误； 乙省确诊人数，极差是12， 所以正确； 故选：. 【点睛】本题主要考查折线图的均值、方差、中位数，考查学生的识图能力、理解能力和应用能力. 10. 已知数列满足，设的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】若，则，两式相减可得，可证得为周期2的周期数列，由数列的周期性可判断A，B；若，可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式和前项和公式可判断C，D. 【详解】对于A，B，若，则， 两式相减可得，为周期2的周期数列， ，则，故A正确； ，故B正确； 对于C，D，若，则， 可得 数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ，则，故C错误； ，故D正确， 故选：ABD． 11. 已知函数，则和满足（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】 直接代入计算即可判断A；判断的单调性，可得成立,计算的值可判断B；分别计算以及可判断C；直接计算可判断D. 【详解】解:选项A:.故A正确; 选项B:为增函数，则成立， ，故B正确; 选项C: ，故C正确; 选项D:,故D错误. 故选：ABC 【点睛】本题主要考查了函数解析式以及函数值的计算，考查了学生的计算能力，属于中档题. 三、填空题，本题共计3题，共计15分 12. 已知，求与向量方向相同的单位向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意求得，进而可得与向量方向相同的单位向量. 【详解】由，得，所以，与向量方向相同的单位向量是. 故答案为： 13. 若直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】画出不等式组表示的区域，然后直线过定点，结合图形求解即可. 【详解】不等式组表示的区域如图： 由可得，故. 直线过定点. 根据图形可知：当直线过点时取得最小值. 当直线过点时取得最大值1. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是一元二次不等式组表示的区域的画法，考查了直线过定点的问题，属于基础题. 14. 在边长为2的正方形中，为的中点，交于.若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据向量加法的三角形法则得， 根据三角形相似可得，，代入可得，结合已知，根据平面向量基本定理可得，，即可求解 【详解】因为在正方形中，E为CD中点， 所以， 又为，所以，所以，， 所以， 又已知， 根据平面向量基本定理可得，， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于利用，证得，进而，可以求出，难度属于基础题 四、解答题，本题共计5题，共计60分 15. 设的内角，，所对的边分别为，，，已知，，. （1）求的面积及； （2）求. 【答案】（1）面积为， （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式、三角形的面积公式、余弦定理求得正确答案. （2）根据同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得正确答案. 【小问1详解】 因为，则为锐角，所以， 所以的面积为， 因为， 所以. 【小问2详解】 因为，， 且，，为锐角， 所以，， 所以. 16. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝BD＝2，AB＝2，E是棱PC上的一点． （1）若PA∥平面BDE，证明：PE＝EC； （2）在（1）的条件下，棱PB上是否存在点M，使直线DM与平面BDE所成角的大小为30°？若存在，求PM：MB的值；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）连接交于，连接，则是平面与平面的交线.因为平面，平面，所以.又因为是中点，所以是的中点.所以. （2）在棱上存在点使直线与平面所成角的大小为，此时. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接由平面的性质定理得是的中点，即可得出；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线与平面所成角的向量法，得出的值. 【详解】（1）略 （2）由已知条件可知，所以， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. 则，，，， ，，，. 假设在棱上存在点，设， 得，. 记平面的法向量为，则 即取，则， 所以. 要使直线与平面所成角的大小为， 则，即，解得. 所以在棱上存在点使直线与平面所成角的大小为. 此时. 【点睛】本题考查了线与面平行的性质定理的应用，也考查了向量法解决线与面所成角的问题，属于中档题. 17. 已知函数f（x）x+1，x∈R. （1）求函数f（x）的最小正周期并写出函数f（x）图象的对称轴方程和对称中心； （2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）π，x，（，1）；（2）最大值，最小值1. 【解析】 【分析】 （1）利用二倍角公式、辅助角公式化简解析式，由此求得的最小正周期、对称轴和对称中心. （2）根据三角函数最值的求法，求得在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1）f（x）x+1， ， sin（2x）+1， 故函数f（x）的最小正周期T=π， 令2xk，可得x， 令2xkπ可得x，k∈Z， 即函数f（x）图象的对称轴方程x，k∈Z，对称中心（，1），k∈Z. （2）∵x∈， ∴2x ∴﹣1， 根据正弦函数的性质可知，最大值，最小值1. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数最小正周期、对称中心、对称轴、最大和最小值的求法，属于中档题. 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆短轴端点，若为直角三角形且周长为. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，直线,斜率的乘积为，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据的形状以及周长，计算出的值，从而椭圆的方程可求； （2）分类讨论直线的斜率是否存在：若不存在，直接分析计算即可；若存在，联立直线与椭圆方程，得到坐标对应的韦达定理形式，再根据条件将直线方程中的参数关系找到，由此即可化简计算出的取值范围. 【详解】（1）因为为直角三角形，所以，， 又周长为，所以，故，，， 所以椭圆：. （2）设，，当直线斜率不存在时， ,，，所以， 又，解得，，. 当直线斜率存在时，设直线方程为， 由得， 得 即， ， 由得，即， 所以 所以. 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，其中涉及到焦点三角形的周长以及向量数量积的取值范围，难度一般.（1）椭圆的焦点三角形的周长为：；（2）椭圆中的向量数量积问题，首选方法：将向量数量积表示为坐标形式，借助韦达定理完成求解. 19. 某校数学兴趣小组由水平相当的n位同学组成，他们的学号依次为1，2，3，…，n.辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为，每个同学的答题过程都是相互独立的挑战的具体规则如下： ①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题； ②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战； ③若第号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战； ④若第号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战在第轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战； ⑤若挑战进行到了第轮，则不管第n号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战. 令随机变量表示n名挑战者在第轮结束. （1）求随机变量的分布列； （2）若把挑战规则①去掉，换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答. 令随机变量表示n名挑战者在第轮结束. （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）证明. 【答案】（1） 1 2 3 4 P （2）（ⅰ） 1 2 3 … P … （ⅱ）. 法1：， 故， 求得， 故， ∴，① ，② ②①，. 故. 法2：令， 则， 因此： . 又， 故. 【解析】 【分析】（1）由题知，两道题都答对的概率为，至少有一道不能答对的概率为，故有，，即可求出概率分布列； （2）（i）根据题意先考虑时，第k人必答对第二题，故有故，再考虑当时，故，于是得到其概率分布列； （ii）由（i）求得期望，在考虑的单调性，即可证明成立，再用错位相减法和不等式放缩得即可证明. 【详解】（1），， 因此的分布列为 1 2 3 4 P （2）（ⅰ）时，第k人必答对第二题， 若前面人都没有一人答对第一题，其概率为， 若前面人有一人答对第一题，其概率为， 故. 当时， 若前面人都没有一人答对第一题，其概率为， 若前面人有一人答对第一题，其概率为， 故. 的分布列为： 1 2 3 … P … （ⅱ）略 【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布列，考查数学运算能力与分析解决问题能力，是难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $