河南省洛阳市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试卷

洛阳市2024———2025学年高一质量检测 数学试卷参考答案 一、选择题 1-4. CDBD　 　 5-8. ABCD 二、选择题 9. ABC　 　 10. AC　 　 11. BCD 三、填空题 12. 1　 　 13. 1 2 　 　 14. 41 2 π 四、解答题 15. (12 分) (1) 由已知得,z = m2 - 3m + 2 + (m2 - 4m + 3)i, ……1′ ∵ 　 z 为纯虚数, ∴ 　 m2 - 3m + 2 = 0, ……2′ m2 - 4m + 3 ≠ 0, ……3′{ ∴ 　 m = 2 . ……4′ (2) 设 A(0,t)( t < 0),则OA→ = (0,t), ……5′ 又OZ→ = (m2 - 3m + 2,m2 - 4m + 3), ……6′ 由OA→,OZ→夹角为锐角得: OA→·OZ→ > 0,且OA→与OZ→不共线, ……8′ ∴ 　 t(m2 - 4m + 3) > 0, ……9′ m2 - 3m + 2 ≠ 0 . ……10′{ 解得 1 < m < 3 且 m ≠ 2, 故 m 的取值范围为(1,2) ∪ (2,3) . ……12′ 16. (13 分) (1) 由于 cos4x - 2 3 sinxcosx - sin4x = (cos2x + sin2x)(cos2x - sin2x) - 2 3 sinxcosx = cos2x - 3 sin2x = 2cos(2x + π 3 ), 高一数学答案　 第1 页　 (共 5 页)　 (2025. 7) ∴ 　 f(x) = 2cos(2x + π 3 ), ……4′ 由(2k - 1)π ≤ 2x + π 3 ≤ 2kπ 得: - 2π 3 + kπ ≤ x ≤- π 6 + kπ, ……6′ 故 f(x) 的单调递增区间为[ - 2π 3 + kπ, - π 6 + kπ](k ∈ Z), ……7′ (2)x ∈ [0, π 2 ] 时,2x + π 3 ∈ [ π 3 ,4π 3 ], ……8′ 当 2x + π 3 ∈ [ π 3 ,π],即 x ∈ [0, π 3 ] 时, f(x) 单调递减, ……10′ 当 2x + π 3 ∈ [π,4π 3 ],即 x ∈ [ π 3 , π 2 ] 时, f(x) 单调递增, ……12′ 故当 x = π 3 时, f(x) 有最小值,且 f(x) min = f( π 3 ) = - 2, ……13′ 17. (13 分) (1) 用 x1,x2 分别表示第 1,2 次取到的球,则可用(x1,x2) 表示 2 次取球的可能结果, 则样本空间 Ω = {(R1,R2),(R1,G),(R2,G),(R2,R1),(G,R1),(G,R2)} . ……4′ (2)① 样本点总数为(3 + n)(2 + n),两个球都是红球的样本点个数为 3 × 2 = 6, 故 6 (3 + n)(2 + n) = 1 7 ,解得 n = 4. ……8′ ② 设 A = “第一次取到红球”,B = “第二次取到红球”, 则“取到的 2 个球颜色不同” = AB - ∪ A - B,且 AB - 与 A - B 互斥, 所以 P(AB - ∪ A - B) = P(AB - ) + P( A - B) = 12 42 + 12 42 = 4 7 . ……13′ 18. (13 分) ∵ 　 2bcosBcosC + ccos2B + C = a,由正弦定理得: 2sinBcosBcosC + sinCcos2B + sinC = sinA, ……2′ ∴ 　 2sinBcosBcosC + 2cos2BsinC = sinA, ……3′ ∴ 　 2cosB(sinBcosC + cosBsinC) = sinA, ∴ 　 2cosBsin(B + C) = sinA, ……5′ 高一数学答案　 第2 页　 (共 5 页)　 (2025. 7) 即 2cosBsinA = sinA,又 sinA > 0, ∴ 　 cosB = 1 2 , ∵ 　 B ∈ (0,π), ∴ 　 B = π 3 . ……7′ (2) 设 BD = m,则由 S△ABD + S△CBD = S△ABC 知 1 2 cmsin π 6 + 1 2 amsin π 6 = 1 2 acsin π 3 , ……10′ ∴ 　 m = 3 ac a + c ≤ 3 × (a + c 2 ) 2 a + c = 3 4 (a + c) = 3 4 × 4 = 3 , ……12′ 当且仅当 a = c = 2 时,取“ =”, 故 BD 长度的最大值为 3 , ……13′ 19. (13 分) 方程 f(x) = 1 x ,即 ex = 1 x , 当 x < 0 时,方程 ex = 1 x 无实数解. ……1′ 当 x > 0 时,令 φ(x) = ex - 1 x ,则 φ(x) 在(0, + ∞ ) 上单调递增, ……2′ 又 φ( 1 2 ) = e - 2 < 0,φ(1) = e - 1 > 0 . 故 φ(x) 在( 1 2 ,1) 内有唯一零点 x0, 即 x0 ∈ ( 1 2 ,1) . ……4′ ∴ 　 ex0 + 2x0 - 3 = 1 x0 + 2x0 - 3 = (x0 - 1)(2x0 - 1) x0 < 0 ∴ 　 ex0 + 2x0 < 3 . ……5′ (2)g(x) = lnx, ……6′ ∴ 　 h(x) = ln(ex + e -x), ……7′ 高一数学答案　 第3 页　 (共 5 页)　 (2025. 7) ∵ 　 h(x) = g(mex + 1 2 e -x + 2m) . 即 ln(ex + e -x) = ln(mex + 1 2 e -x + 2m), ∴ 　 ex + e -x = mex + 1 2 e -x + 2m, ……8′ ∴ 　 (m - 1)e2x + 2mex - 1 2 = 0 . 令 ex = t( t > 0), 即(m - 1) t2 + 2mt - 1 2 = 0 在(0, + ∞ ) 有两个不等实根, ……9′ ∴ 　 m - 1 ≠ 0 , (2m) 2 - 4(m - 1) × ( - 1 2 ) > 0 , t1 + t2 = 2m 1 - m > 0 , t1·t2 = - 1 2(m - 1) > 0 . ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ∴ 　 1 2 < m < 1,即 m 的取值范围为( 1 2 ,1) . ……13′ 20. (13 分) (1)∵ 　 CD ∥ AB,CD ⊄ 平面 PAB, ∴ 　 CD ∥ 平面 PAB, ……1′ 又平面 CDE ∩ 平面 PAB = EF, ∴ 　 CD ∥ EF. 从而 EF ∥ AB . ……2′ 而 E 为 PB 的中点, ∴ 　 F 为 PA 的中点, ∴ 　 在PF→ = λPA→中,λ = 1 2 . ……3′ (2)∵ 　 AB ∥ CD, AB ⊥ AD, ∴ 　 CD ⊥ AD, ……4′ 高一数学答案　 第4 页　 (共 5 页)　 (2025. 7) ∵ 　 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD, 平面 PAD ∩ 平面 ABCD = AD, ∴ 　 CD ⊥ 平面 PAD, ∴ 　 CD ⊥ DF . ……5′ 在直角梯形 CDFE 中,CD = 6,EF = 3 2 ,DF = 3 6 2 , 故 S = 1 2 × ( 3 2 + 6) × 3 6 2 = 45 6 8 . ……7′ (3) 在 CD 上取靠近点 C 的四等分点 G,连 FG, 由 EF􀱀CG 知四边形 CEFG 为平行四边形, ∴ 　 FG ∥ CE, ∴ 　 FG与平面 PAD所成的角等于 CE与平面 PAD所成的角,FG与平面 ABCD所成的 角等于 CE 与平面 ABCD 所成的角. ……9′ ∵ 　 GD ⊥ 平面 PAD, ∴ 　 ∠GFD 即为 FG 与平面 PAD 所成的角, 在 Rt△GDF 中,GD = 9 2 ,DF = 3 6 2 , ∴ 　 FG = 3 15 2 , ∴ 　 sinα = sin∠GFD = 9 2 3 15 2 = 15 5 , ……11′ 作 FM ⊥ AD 于 M,则 FM ⊥ 平面 ABCD, 连接 GM,则 ∠FGM 即为 FG 与平面 ABCD 所成的角 . 在 Rt△FGM 中,FM = 3 15 4 , ∴ 　 sinβ = sin∠FGM = FM FG = 1 2 . ……12′ ∴ 　 sin2α + sin2β = ( 15 5 ) 2 + ( 1 2 ) 2 = 17 20 . ……13′ 高一数学答案　 第5 页　 (共 5 页)　 (2025. 7) 洛阳市2024—2025学年高一质量检测 数学试卷 本试卷共4页，共150分。考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、考号填写在答题卡上。 2.考试结束，将答题卡交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知向量a=(1,2),b=(-2,x),且a∥b,则x= A.-1 B.1 C.-4 D.4 2.一组数据8,12,15,6,11,18的第75百分位数是 A.8.5 B.11 C.14.5 D.15 3.已知集合M={xIy=log2x},N={yly=2,x>1}则(CRM)UN= A.（-0,0] B.(-m,》 C.(0) D.(0,+o) 4.已知a=0.55,b=loga51.5,c=1.5a5则a,b,c的大小关系为 A.a<b c B.a <c <b C.b c a D.b a<c 5.已知平面a及两条不重合的直线m,n,m⊥a,则“n∥a”是“m⊥n”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3 6.已知sim(a+B)=亏，ana=2tang,则sin(a-)= 1 2 2 A.5 B.- D.- 2已知正四棱台ABCD-AB,C,D,的体积为2，AB=3A,B,且其侧面与底面所成二面角 的正切值为25，则该正四棱台的高为 8哈 2 C.3 D.6 8.已知函数f代x)=e+1+e-1+1x+1l-a有唯一零点，则实数a= A.-2 B.-1 C.1 D.2 高一数学第1页 (共4页) (2025.7) 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次，并记下自己投掷时出现的点数，从而得到四组数据，这 四组数据的相关情况如下： 甲：中位数为3，众数为2； 乙：中位数为3，极差为4： 丙：平均数为3，中位数为2： 丁：平均数为2，方差为3.2. 则在投掷过程中可能出现点数6的是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 10.已知函数f(x)=sin2x-25sin2x,则以下说法中正确的是 A.函数f(x)的最小正周期为π B.(写，0)是x)图象的-个对称中心 C若代)=，)=1-5，则|名-x的最小值为写 D.若9>0，且(x+p)是偶函数，则p的最小值是 11.在三棱柱ABC-A,B1C,中，AB=1,AB=BC=V3,AA1=AC=2,∠A1AC=60°，M为 线段A,B的中点，N为线段B,C上的动点，则下列说法中正确的是 A.四边形BCC,B,是矩形 B.若N是B,C的中点，则MW∥平面ABC D.A,N+NC,的最小值为 /16+4√1T C.点A到平面A,BC的距离为1 5 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数z=(cos22°+isin22)(sin67°+icos67°)，则lz|= 13.已知向量a,b,c满足1a|=1,1b|=√3,1c1=√13，且2a+b-c=0,则1a-b1 (t∈R)的最小值为： 14,在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,PA=PB=3,AB=2,AC=4,BC=2W5, 则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 高一数学第2页（共4页）(2025.7) 四、解答题：本大题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(12分) 在复平面内，复数z对应的点为Z(m2-3m+2,m2-4m+3)(m∈R). (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)设0为坐标原点，A为虚轴负半轴上任意一点，若向量0A与02的夹角为锐角，求 m的取值范围. 16.(13分) 已知函数f(x)=cosx-2万sinxcosx-sinx (1)求f(x)的单调递增区间； (2)当xe[0,2]时，求f代x)的最小值及相应的x值 17.(13分) 一个袋子中有大小和质地完全相同的(m+n)个球，其中红球m个，绿球n 个(m∈N,n∈N,).现采用不放回方式从中依次取出2个球， (1)当m=2,n=1时，记红球为R(i=1,2),绿球为G,写出试验的样本空间； (2)若m=3,且取出的2个球都是红球的概率为7 ①求n的值； ②求取到的2个球颜色不同的概率 高一数学第3页（共4页） （2025.7) 18.(13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 bcosBcosC+ccos2B+c=a (1)求B; (2)B的平分线交AC于点D,若a+c=4,求BD长度的最大值. 19.(13分) 已知函数f(x)=e(é为自然对数的底数)，函数g(x)与f八x)的图象关于直线y=x对称， h(x)=g(f(x)+f(-x)) (1)若方程f(x)=二的实数解为o,证明eo+2x。<3; (2)若关于：的方程a(x)=8(me+子e”+2m)有两个不等的实数解，求m的取值 范围。 20.(13分) 在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,PA=PD=CD= 6,AB=AD=3,平面PAD⊥平面ABCD,E为PB的中点，过C, D,E三点的平面交棱PA于点F (I)设P=P,求A; (2)求四边形CDFE的面积； (3)若直线CE与平面PAD及平面ABCD所成的角分别为 a,B,求sin2x+sin2B的值 高一数学第4页（共4页）(2025.7)