突破解三角形必须的方法讲义-2025届高三数学二轮复习

突破解三角形必须的方法 1． 基本方法 1. 作辅助线与建系 2.托勒密不等式 若四边形对角互补，或者，则四点共圆. 3.米勒最大视角 米勒问题：已知点是的边上的两个定点，点是边上的动点，则 当在何处时，使得最大？ 对米勒问题有如下重要结论称之为米勒定理. 米勒定理：已知点是的边上的两个定点，点是边上的动点， 则当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大. 4.秦九韶公式 二次边结构的出现自然联系到了在课本文化部分的秦九韶公式，秦九韶公式出现在人教版必修二教材的55页，作为中国古代数学中的优秀成果之一介绍出来，它给出了三角形的面积和边长之间的定量关系，没有角度形式出现，这样的话，在我们的条件只有边关系时，就可考虑从这个角度入手解题. 近年来，以这方面为背景的解三角形压轴题目多次出现，应该引起各位读者的注意. 秦九韶公式：. 将秦九韶公式进一步整理可得海伦公式：. 再将边结构推广又可给出二次边结构和面积之间的不等关系，即嵌入不等式. （嵌入不等式）若三角形的三边为，面积为，为给定的正实数，则有：，当且仅当 取等.上述两个背景给我们提供了足够解决二次边结构的范围问题的工具 二．典例分析 例1.2025武汉二调第17题（15 分） 如图，与存在对顶角，且 。 （1）证明：为中点； （2）若，求的长． 例2.（湖南省长沙市25届高三适应性考试）在中,角所对的边分别为,且外接圆半径为,则的最大值为 . 例3. （2022四川预赛）若三角形的三边满足，则面积的最大值为________. 例4. （24届成都二诊T15）平面四边形中，则最大值为______. 例5. 在平面四边形ABCD中，，AD=3，BD=则CD的最小值为（　　） A． B． C． D． 三．练习 1.（2025广州二模第14题） 在平面四边形中， ，若的面积是的面积的倍，则的长度为_________． 2.（2025成都三诊第8题） 在中，的平分线交于点，若，则 3.（2025杭州二模第14题） 已知面积为，边上的中线为，且，则边的最小值为 ______． 4.已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 5.（2022南昌一模）已知点.点为圆上一个动点，则的最大值为__________. 6.（23届深圳二模）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 突破解三角形必须的方法 1． 基本方法 1. 作辅助线与建系 2.托勒密不等式 若四边形对角互补，或者，则四点共圆. 3.米勒最大视角 米勒问题：已知点是的边上的两个定点，点是边上的动点，则 当在何处时，使得最大？ 对米勒问题有如下重要结论称之为米勒定理. 米勒定理：已知点是的边上的两个定点，点是边上的动点， 则当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大. 4.秦九韶公式 二次边结构的出现自然联系到了在课本文化部分的秦九韶公式，秦九韶公式出现在人教版必修二教材的55页，作为中国古代数学中的优秀成果之一介绍出来，它给出了三角形的面积和边长之间的定量关系，没有角度形式出现，这样的话，在我们的条件只有边关系时，就可考虑从这个角度入手解题. 近年来，以这方面为背景的解三角形压轴题目多次出现，应该引起各位读者的注意. 秦九韶公式：. 将秦九韶公式进一步整理可得海伦公式：. 再将边结构推广又可给出二次边结构和面积之间的不等关系，即嵌入不等式. （嵌入不等式）若三角形的三边为，面积为，为给定的正实数，则有：，当且仅当 取等.上述两个背景给我们提供了足够解决二次边结构的范围问题的工具 二．典例分析 例1.2025武汉二调第17题（15 分） 如图，与存在对顶角，且 。 （1）证明：为中点； （2）若，求的长． （1）解法一：代数法 设，则．在和 中，，由余弦定理可得： 整理得： ．所以，即为中点． （1）解法二：辅助线（一） 如图，作平行且等于，连接交于点，连接， 因为， 所以是等腰直角三角形，所以， 从而，又因为， 所以为的中点，因为，所以为的中点。 （1）解法三：辅助线（二） 如图，过作延长的垂线，垂足为，过作，为等腰直角三角形，则记， 则， 所以，所以， 又因为，所以，所以，所以， 为中点。 （1）解法四：建系 如图，以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则， ， ， 又， 所以， ， 化简得：， 代入得：，所以，为中点。 例2.（湖南省长沙市25届高三适应性考试）在中,角所对的边分别为,且外接圆半径为,则的最大值为 . 解析：首先，由三角形面积公式可得：，于是可得： ，另一方面，由嵌入不等式可得： ，于是可知： 当且仅当 时取等号. 例3.（2022四川预赛）若三角形的三边满足，则面积的最大值为________. 解析：方法1.（秦九韶公式）.由秦九韶公式可得: ，再代入已知条件得： ，由均值不等式取等号条件与二次函数取最值条件可知：当且 时取最值，即时，. 当然，此题还有一种更快的做法：嵌入不等式！ 方法2.（嵌入不等式）若三角形的三边为，面积为，为给定的正实数，则有：，当且仅当 取等.于是. 例4.（24届成都二诊T15）平面四边形中，则最大值为______. 解析：由题可知，由托勒密不等式可得： ，代入具体数字可得：，取等条件当且仅当 四点共圆. 例5. 在平面四边形ABCD中，，AD=3，BD=则CD的最小值为（　　） A． B． C． D． 解析：如图，可设，则，则由托勒密不等式可得： ，代值可得：，等号成立当且仅当四点共圆. 三．练习 1.2025广州二模第14题 在平面四边形中， ，若的面积是的面积的倍，则的长度为_________． 【解法一】 设则， 所以 ， 因为 所以， 所以， 所以解得， 所以 所以. 【解法二】 设 ，分别过作 于点 于点，则， 因为，所以 所以 因为，所以， 所以 在中由余弦定理可得，设， 所以所以。 2.2025成都三诊第8题 在中，的平分线交于点，若，则 【解析】方法一：建系 不妨设，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系 易知，可设 ． 联立 ，得， 联立 ，得． 依题意得， 平方并整理即得，解得，故选． 评注：注意到对赋值，不会改变的形状（问题目标），所以不妨给赋值。 在不影响研究对象的前提下可以人为添加一些条件。 方法二：设边解方程组 设， 由角平分线的性质，得， 由余弦定理， 得， 联立两式，消去，得， 两边同除以 ，得，解得， 再由正弦定理可得，故选． 方法三：设角解方程组 如图，设 ，则，，， 不妨设，则， 所以 有， ， 所以，故选. 3.（2025杭州二模第14题） 已知面积为，边上的中线为，且，则边的最小值为 ______． 方法一：设角设边 设交于 ，则为的重心， 根据重心性质，有． 记， 由 可得， 所以． 方法二：建系 不妨设， 则． 的中点为的中点为， 由得： 整理可得， 上述关于的二次方程有解，所以， 将代入，可得 ，故． 方法三：向量 设，则，， 已知， 记， 则，， 所以，， 代入得：， 上述关于的二次方程有解，所以， 所以，也即的最小值为。 4.已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 解法1：余弦配均值. ∵，∴， ∴由正弦定理得：， 即，，则， （当且仅当，即时取等号），的最小值为. ∵，∴，∴的最大值为. 解法2.秦九韶公式 解析：由于，∴，由正弦定理得：. 进一步可得：，，于是我们可以计算，其中为的面积，因为.根据秦九韶公式可知： ，代入已知条件可得 ，即. 5.（2022南昌一模）已知点.点为圆上一个动点，则的最大值为__________. 解析：如图，设D是圆上不同于点P的任意一点，连结DA与圆交于点E，连接 EC，由三角形外角的性质，可知，由圆周角定理：， 因此，当且仅当的外接圆与圆相切于点时，最大. 此时，可设的外接圆圆心，由于此时三点共线且 ，而，则，解得：， 于是，由正弦定理，则的最大值为. 6.（23届深圳二模）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置. 解析：方法1.米勒圆 选择线路，以为弦的圆与相切于，连最大.所以甲带球至时，到达最佳射门位置.由切割线定理，得，即 ，，所以甲带球码时，到达最佳射门位置. 选择线路，以为弦的圆与相切于，连最大. 所以甲带球至时，到达最佳射门位置，由切割线定理，得，即，所以甲带球码时，到达最佳射门位置. 方法2.代数方法 若选择线路，设，其中，，，则，，所以， ，当且仅当时，即当时，等号成立，此时，所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置； 若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，，直线的方程为，设点，其中，，， 所以， ，令，则， 所以， ，当且仅当时，即当，即当时，等号成立，当且仅当时，等号成立，此时，， 所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置.故答案为：；. 学科网（北京）股份有限公司 $$