北京市第五十七中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题（附加题）

初二附加题 27．一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象有下列五个结论：，③方程的解是，④不等式的解集是，⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 28．如图，已知F、E分别是边长2为的正方形的边的动点，且，与交于点G，连接、，则下列结论：①，②的最小值为，③若点E，F分别为、边上的中点，则，④若点E，F分别为、边上的中点．其中正确结论的有 ． 29．对于一些二次根式，我们可以用数形结合的方法进行研究． 例如，可以看作平面直角坐标系中，动点与定点或之间的距离（如图）．      请参考上面的方法解决下列问题： (1)若将看作平面直角坐标系中，动点与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是　　　 　　； (2)若，试求d的最大值． 30．如图，在△ABC中，，点，分别在边，上，连接，． (1)求证：； (2)连接，点为的中点，连接，． ①依题意补全图形； ②若，求的大小． 试卷第1页，共3页 八年级（数学）附加 第7页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．C 2．①②③④ 【分析】证明，可得，，进一步可得①符合题意；如图，取的中点，连接，，求解，结合，当三点共线时，最小，进一步可得②符合题意；如图，点E，F分别为、边上的中点，过作交于，交于，证明四边形为矩形，进一步利用勾股定理计算可得③④符合题意． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故①符合题意； 如图，取的中点，连接，， ∴， ∴， ∵， 当三点共线时，最小， ∴的最小值为，故②符合题意； 如图，点E，F分别为、边上的中点， ∴， 过作交于，交于， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③符合题意， ∵，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②③④ 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．(1)， (2) 【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型． （1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据已知条件得到，由（1）可知：表示点与点的距离和点与点的距离之差，根据三角形任意两边之差小于第三边，得出当P、E、F三点共线时，取最大值，且最大值为的长，求出最大值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴动点与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是或． （2）解：∵， ∴由（1）可知：表示点与点的距离和点与点的距离之差， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴当P、E、F三点共线时，取最大值，且最大值为的长．    ∴d的最大值为：． 4．(1)见解析 (2)①见解析  ② 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，进而得到再根据等校对等边即可得到结论； （2）①根据题意补图即可； ②延长至点，使，连接，则四边形是平行四边形，然后推导，得到，然后得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴ ∴； （2）①如图所示, ②延长至点，使，连接， ∵点为的中点， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，                ∴垂直平分，             ∴，                     由（1）得:，              又∵，                  ∴，                        ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． $$