福建省百校2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷

福建百校高二期末考试 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答；字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.“a为锐角”是“a<变”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知函数f(x)在x=1处可导，且imf0+4-f)=2,则f1) △→0 4△x A君 B升 C.4 D.8 3.设随机变量X~N(3,a2),且P(X≤5)=0.8，则P(1≤X≤3)= A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 4.在等比数列{an}中，若a号=8a2且a1=1,则a5= A.64 B.32 C.16 D.8 5.已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问.在第一问解答不 出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概 率为0.7，则解答出第二问的概率为 A.0.46 B.0.22 C.0.18 D.0.04 6.若函数f(x)=2x十lnx十二在其定义域内的区间(2m-1,2m)内有极值点，则实数m的取值 范围为 A[号》 B(3,) c[2) D.(合，) 【高二数学第1页（共4页）】 A 7.从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A:“第一次抽到的卡片编号数 字为5的倍数”，事件B:“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则P(BA)= A号 B.is c D. 8.在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不 同的着色方法共有 A.1450种 B.1480种 C.1520种 D.1560种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.曲线f(x)=x3一x十3在点P处的切线平行于直线y=2x一1，则点P的坐标可能为 A.(1,3) B.(0,3) C.(2,9) D.(-1,3) 10.关于（层一2）的展开式，下列说法中正确的是 A.各项系数之和为1 B.第二项与第四项的二项式系数相等 C.常数项为60 D.有理项共有4项 11.函数f(x)=Asin(ox十p)(A>0,aw>0,p<)的部分图象如图所示，则 Af(x)的图象关于直线x=一暂对称 Bf(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)=3cos2x C.(臣-一)的单测递增区间为[+x,竖+k标]∈☑ D.若方程f(x)=在(0，m)上有且只有6个根，则m∈(3x,19] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知cos2a=-,则sima= 13.已知圆台的上、下底面半径分别为r,2r,高为6一2r,则圆台体积的最大值为 an十1，n为奇数 14.已知数列{an}的前n项和为S。,且a1=1,a+1= ,则S20= am十2，n为偶数 【高二数学第2页（共4页）】 A 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin B-√3 bcos A=0. (1)求A; (2)若a=√13，△ABC的面积为W3,求△ABC的周长. 16.(本小题满分15分) 在等差数列{am}中，a6=一6，a,=-3. (1)求数列{a.}通项公式及其前n项和S.的最小值； (2)若数列{bn}为等比数列，且b1=ag,b2=a11,求{bn}的前n项和Tm, 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x3一ax2十b在x=2取得极值为一2. (1)求实数a,b的值； (2)若t>0,求函数f(x)在区间[0，t]上的值域： 【高二数学第3页（共4页）】 A 18.(本小题满分17分) 甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有 2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概 率)均为(0<p<1),每道岗位实践题的难度系数均为q(0<q<1),考生至少答对3道题才 能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题 或答错3道题，面试结束.已知甲笔试得满分的概率为6，笔试和面试各题是否答对相互 独立. 1当p=号时，求q: (2)求甲能够进入面试的概率f(p)的最小值及相应的p值； (3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是(2)中求得的p值，设甲面试结束时 面试的答题数为X,求X的分布列与数学期望. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=e2一ax. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)≥0，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)有且仅有两个零点x1,x2,且x2>x1,证明：5x1十6x2>11. 【高二数学第4页（共4页）】 A福建百校高二期末考试·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 2 3 4 6 答案 A D B C B C 题号 7 8 9 10 11 答案 B D AD ACD ACD 1,A【解析】若a为锐角，则0<a<受，而a<受，则a可以为锐角，也可以为零角，还可以为负角，所以“a为锐 角”是“。<受”的充分而不必要条件.故选：A 2.D【得折】由m+2-2.有，+42四-8，可得f)=8,放选D 4△.x △x*0 △x 3.B【解析】根据X~N(3,a2)可知正态曲线关于：=3对称，易知P(X≤5)=P(X≥1)=0.8，因此可得 P(1≤X≤3)=P(X≥1)-0.5=0.3.故选：B. 4.C【解析】由等比数列的性质可得a=8a:=a:a1,易知a2≠0，故a:=8,q=2,可得a=2×8=16.故选：C 5.B【解折】设解出第一问”为事件A,“解出第二问“为事件B,由题意可得：P(A)=碧=0,6，P(B不)= 0.1,P(B1A)=0.7,则P(A)=0.4,P(BA)=0.3,所以P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=0.6×0.3 +0.4×0.1=0.22.故选：B. 6.C【解折】由f()=2+上-之=2工+-☐1=②x=+D,可得函数x的减区间为(0，名），增区 2 间为（号十）小有0<2m-1<号<2m,可得号<m<故选：C 7.B【解析】由题意，在1一10这10个数字中，5的倍数有5,10，共2个，所以事件A发生的概率P(A)=品- 合，记事件AB表示“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数且第二次抽到的卡片编号数字小于第一次，若 第一次抽到5，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于5的卡片，有4种抽法：若第一次抽到10，那么第二次从 剩下9张卡片中抽小于10的卡片，有9种抽法：所以P(AB)=-根据条件概*公式，P(BA)门 13 0-平是故选：B P(A) 5 8.D【解析】先涂3区域，共有6种涂法，然后涂1区域，共有5种涂法，然后涂5区域，若1和5区域同色，一 共的涂法种数为A!A×(4+A)=480:若1和5区不同色，一共的涂法种数为AAA}×(3+A)=1080, 故一共的涂色总数为480+1080=1560.故选：D, 9.AD【解析】设切点P(x,x-x。十3).因为曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f(xo)=3.x6一1=2，所以 x=士1，所以点P的坐标为(1,3)或（一1,3）.故选：AD 10.ACD【解析】对于A,令1=1时，则（左-2）展开式中各项系数之和为1，故A正确：对于B,第二项二 项式系数C=6,第四项的二项式系数C=X5X20,第二项与第四项的二项式系数不相等，故B错误： 3×2X1 【高二数学参考答案第1页（共5页）】 A 对于C(-2✉）展开式的通项为C()"(-2xr=(-2C，=01,2,345,6，令 +r=0r=2.展开式中的常数项为(-2C=4×15=60,放C正确：对于D(-2✉）展开式的 2 通项为c(》 '(-2)=(-2yCx.(=012.3,45,6).当=0.24,6时，-3+∈.所以展 开式的有理项共有4项，故D正确.故选：ACD, 1.ACD【解析】由图可知，A=3,且经过(0，号），（登0），放可得 ng=号0 ,由①，结合< sn(w+)=0 受，则得g=吾，代入②，化简得登。十吾=：k长乙，即。=一号十号k,k∈乙，由图知，原函数的最小正周期 T满足号=名>登·解得0<a<号，故。=2，即f(x)=3sn(2x+晋）：对于A,当x=-号时，因 (-暂）-3sim(-+吾）-3sim(-受）=-3，故直线x=-誓是f八x)的一条对称轴，故A正确：对于 B将函数x)的图象向左平移专个单位长度后得到函数y=(+晋）=3m[2(:+音）+晋] 3os(2r+）,放B错误：对于C因/（音-）-3sim[2(危-)+晋]-3im(2r-晋)，由登+2 <2:一吾<受+2∈五.可得[登+a晋+]∈五.即（危-）的单调递增区间为[登 m晋+标]k∈Z.故C正确：对于D.由)=号可得sin(2r+晋）-号设1=2x+看因x∈0m, 则∈（音，2m十），依题意函数y=nt与y=在（吾，2m十）上必有6个交点，作出函数的图象如 下： =2 由图知，需使<2m十吾<4告，解得3x<m<g,故D正确，故选：ACD, 6 6 3 12.是【解标】c0s2a=1-2sim=-号sim。=是 13.55【解标】圆台的体积为V=号x(r+2r+4r)(6-2r)= 3 3元(6r-2r),有V=(12r-6m)= 3 14x(2-r,又由0<r<3,可得函数的减区间为(2,3)，增区间为(0,2)，可得V=56x 3 14.300【解析】若n为奇数，则1十1是偶数，n十2是奇数，则a。+1=a。十1①，a+g=a+1十2②.由①十②得 am+2=a,十3，所以数列{a.)的奇数项是首项为a=1,公差为3的等差数列，故S=(a1十a:十a十…十ag) +(a:十a,十au十…十a)=(a1十as十as十…十aw)十(a1+1十a4十1十a十1十…十a十1)=2(a1+a十 a+…+@m)+10-2(10X1+10X2×3）+10=30. 15.解：(1)，asin B-√3 bcos A=0, ∴.sin Asin B-√5 sin Bcos A=0,… (3分) 【高二数学参考答案第2页（共5页）】 A 又B∈(0，π)，∴sinB≠0， .'sin A-3cos A=0,tan A=3. …(5分) 又A∈(0，r),.A=T 3 (7分) (2):A=子，△ABC的面积为3 ∴2 tesin A=-5,即c=4,… (9分) 由余弦定理可得a2=b+c2一2 bccos A, 即13=b+c2-bx=(b+c)2-3bc, 又加=4，.b十c=5,… (12分) .△ABC的周长为5+13.… (13分) 16.解：(1)设等差数列{am)的公差为d. 因为a6=一6，a,=-3,所以 1a+5d=-6 a:=-21 解得 (3分) a1+6d=-3 d=3 所以4.=a1十(n-1)d=3n一24，… (4分) 所以S.=（a十a,)m-(3n-45)n 3)-05 4 (6分) 2 2 2 因为n∈N”,所以当n=7或n=8时S.取得最小值， (7分) 且最小值为S=S,=3X8,5)X8=一84.… 2 (8分) (2)由(1)可得：b1=ag=3,b=@11=9,……………………(10分) 所以等比数列么的公比为一会一号 3 3,… …(12分) 所以人=6·g=3”,所以等比数列么的前项和T.么二2-31二”-号（g-1》 1-4 1-3 ………(15分) 17.解：(1）由(x)=3.x2-2a.x,…(1分) 1f(2)=8-4a+b=-2 有 f(2)=12-4a=0 ,解得a=3,6=2, 故a=3,b=2.…(6分) (2)由(1)有fx)=x-3x+2,(.x)=3.x2-6.x=3x(x-2),…(7分) 令(x)>0有x<0或x>2,可得函数f(x)的减区间为(0,2)，增区间为（一∞，0），(2，十∞)， 又由f（0)=2,f(2)=-2,…(8分) 令x2-3x2+2=2可得x=0或3， ①当0<t≤2时，f(x)x=f(0)=2,f(x)mm=f(t)=t一3t+2,函数f(x)在区间[0，t]上的值城为[2一 31+2,2].… (10分) ②当2<t≤3时，f(x)x=f(0)=2,f(x)mm=f(2)=一2，函数f(x)在区间[0，t]上的值域为[一2,2].… …………(13分) ③当t>3时，f(x)m=f(2)=一2，f(x)mx=f(t)=t一3+2，函数f(x)在区间[0，]上的值域为[-2， —3十2].……………(15分) 18.解：(1)由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为g=。,则9=子， ……(2分) 【高二数学参考答案第3页（共5页）】 又p=子，所以g=×-是 2 8 ……(4分) (2)由题意，甲至少答对3道题才能够进人面试， 所以甲能够进入面试的概率f(p)=C3p(1一p)十Cg(1一q)p十pg,…(6分) 由1)知pg=子则g=D 1 (7分) 则p)=2p1-2+2x1-)p+p 整理得p)=十台一。， (8分) 因为0<p<1,0<g<1. 当且仅当。专，即=号时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率p)的最小值为号，相应的p值为号… (10分) (3)由(2)知，面试时每道题的难度系数为子则甲答对每道面试题的概率为弓， 由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束， 所以甲面试结束时的答题数X的可能取值为3,4,5，………(11分) 当X=3时.PX=3)=(号)广+(1-）广= …………(12分) 当X=4时，PX=4)=C(号）广×2×+2×(2)广×号- 当X=5时，P(X=5)=1一 P(X=3) P(X=4)= (15分) 所以X的分布列为： 3 4 5 ……(16分) 数学期望为：BX0-3×+4×号+5×号-器 (17分) 19.(1)解：由(.x)=-a,……(1分) ①当a≤0时，有∫(x)>0,函数f(x)单调递增；………(2分) ②当a>0时，令f(x)>0,有r>lna,可得函数f(x)的减区间为（一∞，lna),增区间为(lna,十o∞）.… (4分) (2)解：①当a=0时，由f(.x)=e>0,符合题意.………(5分) ②当u<0时，由f(日）=e-aX日=e2-1<1-1=0,不合题意.… (7分) ③当a>0,若f(x)≥0，有f(lna)=a-alna>≥0，可得0<a≤e, 由上知，若f(x)≥0，则实数Q的取值范围为[0，].…………(9分) (3)证明：由(1)知，当a≤0时，函数f(x)单调递增，最多只有一个零点，可得a>0, 又由e=ax1,e=a.,有a=一c …(10分) 要证：5x1十6x1>11,只需要证5a.x1十6ax2>11a,… (11分) 【高二数学参考答案第4页（共5页）】 A 只需要证50，十60>1，只需婴证：+>” xg一x1 一r1 只西要证号>” ,………………………(们3分) 令=西-西(>0)，上述不等式可化为5+6C>1, e-l t' 只需证：(61-11)e+51十11>0，………(15分) 令g(x)=(6.x-11)e+5r+11(x≥0)，有g'(x)=(6.x-5)c+5, 令h(x)=(6.x-5)e2+5(x≥0)，有h(x)=(6x+1)e>0,可得函数h(x)单调递增，有h(x)≥h(0)=0.可 得函数0单调递增，有)>0)=0（当且仅当=0时取等号）.可得不等式气>>0)成立， 由上知51十6.x2>11…………(17分) 【高二数学参考答案第5页（共5页）】 A