精品解析：甘肃省兰州市第八十一中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024—2025学年度第二学期期末考试卷 七年级 数学 本卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案． 【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个， 则抽到的节气在夏季的概率为， 故选：D． 3. 很多人可能都知道蓝鲸是迄今发现的地球上最大的动物，却都不了解体积最小的动物，世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多倍，它是被命名为 H39的原生动物，它的最长直径也不过才米． 其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法定义．根据题意利用科学记数法表示方法即可得到本题答案． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 根据单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂的运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解∶A、，计算正确，故此选项不符合题意； B、，计算正确，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项符合题意； 故选∶D． 5. 如图，直线，点在射线上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】∵， ∴． 故选：A． 6. 点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，，，，则点P到直线l的距离（ ） A. B. 小于 C. 不大于 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了垂线段最短，正确理解垂线段最短的性质是解题的关键．根据垂线段最短，分析判断． 【详解】解：∵直线外一点到直线上所有的连接线段中，垂线段最短，，，， ∴距离一定不大于， 故选：C． 7. 某学习小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 下列说法中错误的是（ ） A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B. 在一定范围内，温度越高，声速越快 C. 当空气温度为时，内声音可以传播 D. 在一定范围内，温度每升高，声速增加 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的表示方法和有理数的混合运算．根据图表里的信息，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可． 【详解】解：A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速，正确，此选项不符合题意； B.根据数据表可知，在一定范围内，温度越高，声速越快，正确，此选项不符合题意； C、，当空气温度为时，声音可以传播，故选项不符合题意； D、∵，，，，， ∴当温度每升高，声速增加，正确，此选项不符合题意； 故选：C． 8. 若一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边长可能是（　　） A. 6 B. 3 C. 2 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，记住三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断． 【详解】解：设第三条边长为x，根据三角形三边关系得： ， 即， 结合各选项数值可知，第三边长可能是6， 故选：A． 9. 已知，，，则，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用．逆用幂的乘方法则变形，然后即可作出判断． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，解题的关键在于读懂折线统计图的含义． 根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，频率稳定在，再利用频率估计出概率，结合几何概率可知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，进而即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，该点落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 长方形的长为，宽为， 则长方形的面积为：， 不规则图案的面积大约为． 故选：B． 11. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ） A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类规律题，根据题意得到规律是解题的关键． 求出，， ，，，可得到规律，即可求解． 【详解】解：展开式的各项系数为1，展开式的系数和是1 展开式的各项系数分别为1，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，2，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，3，3，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1；展开式的系数和是； …… ∴展开式的系数和是． 故选：B 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 如图，已知AB=CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是_______________．（只需写一个，不添加辅助线） 【答案】∠ABD=∠CBD（或AD=CD） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：已知，BD=BD， 要使四边形ABCD成为一个轴对称图形， 须使， ①可通过SAS来证明， 即添加的条件是； ②可通过SSS来证明， 即添加的条件是AD=CD； 故答案为：或AD=CD． 【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 14. 一辆汽车油箱中现存油50升，若油从油箱中匀速流出，速度为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是 ______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列函数关系式，现存油量减去流出的油量即为油箱中剩余油量，据此列函数关系式即可． 【详解】解：油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是， 故答案为：． 15. 如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵P为直线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为7． 故答案为：7． 三．解答题（本题共11小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先按照运算法则计算各部分，再进行加减计算即可． 【详解】解： 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据积的乘方幂的乘方以及同底数幂的乘除法法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据整式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 观察图形，完成下面两个问题． （1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的． （2）在上画出点，使最小． 【答案】（1） 如图所示：即为所求； （2），Q点如图所示 【解析】 【分析】（1）直接利用对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用两点之间线段最短进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由轴对称的性质及两点之间线段最短可知连接，与直线交于点Q，此时最小． 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． 20. 已知：如图所示，和的平分线交于，交于点，． （1）求证：； （2）试探究与的数量关系． 【答案】（1） 证明：、平分、， ，； ， ； 同旁内角互补，两直线平行 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． （1）已知、平分、，且，可得，根据同旁内角互补，可得两直线平行． （2）先根据平行线的性质得到，再由平分，得到，则，将等角代换，即可得出与的数量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 平分， ， ． ． 21. 为促进学生健康成长，帮助家长解决按时接送学生困难的问题，认真落实全国教育大会精神，某校结合自身情况，在开展中学生课后服务工作方面做了全面规划，并且落到实处．在不加重学生课业负担的前提下，学校在托管时间内组织学生进行自主阅读、体育、艺术、及其他一些有益身心健康的活动，学生根据自己的喜好，自主选择．学校随机抽取了部分学生进行调查（抽取的学生都选择了一种自己喜爱的活动），下面是根据调查情况，得到的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题： （1）本次调查中，随机抽取的学生人数为 ； （2）补全条形统计图，并求出“其他”所对应的圆心角的度数； （3）若该校学生总人数为840人，估计选择阅读的学生有 人． 【答案】（1）120 （2）补全的条形统计图如图所示： 36° （3）126 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据喜爱体育的人数和所占的百分比，可以计算出本次被调查的学生有多少名； （2）根据（1）的结论可得喜爱艺术的人数，从而可以将条形统计图补充完整；根据“其他”所占比例即可求出计算； （3）用样本估计总体列式解答即可． 【小问1详解】 解：随机抽取的学生人数为：（人； 【小问2详解】 解：喜爱艺术：（人， 解：“其他”所对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：（人， 选择“阅读”的学生大约有126人． 22. 如图，中，，的垂直平分线交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）； （2）的周长为 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，以及三角形的外角定理，等腰三角形的性质． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）求出的周长，代入数据计算即可得解． 【小问1详解】 解的垂直平分线交于点， ， ， ； 【小问2详解】 解：的周长 ， ，， 的周长． 23. 宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象，解答下列问题： （1）西宁与西安相距__________千米，两车出发后__________小时相遇； （2）普通列车到达终点共需__________小时，它的速度是__________千米/小时； （3）求动车的速度？ 【答案】（1）1260，3 （2）14，90 （3）330千米/小时 【解析】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）直接从图象获取信息，作答即可； （2）从函数图形获取信息，根据速度等于路程除以时间求出速度即可； （3）根据两车3小时相遇，求出速度和，进而求出动车的速度即可． 【小问1详解】 解：由图象可知：西宁与西安相距1260千米，两车出发3小时相遇； 故答案为：1260，3； 【小问2详解】 由图象可知，普通列车到达终点共需14小时， 普通列车的速度为：千米/小时； 故答案为：14，90； 【小问3详解】 （千米/小时） 即动车的速度为330千米/小时． 24. 如图，在三角形中，，点B、P、Q三点在同一条直线上，且，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 证明，得出，根据等腰三角形的性质即可得出答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. （1）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求的最小值． 解：原式 ，， 当时，原式取得最小值是1， 请你仿照以上方法求出的最小值． （2）非负性的含义是指大于或等于零．在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0． 请根据非负算式的性质解答下题： 已知的三边，，满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）12 【解析】 【分析】此题考查了配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式．解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题． （1）利用配方法得出最小值即可； （2）利用非负数的性质得出、、的值，进一步求得周长即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式取得最小值是． （2）， ， ，，， ，．， 的周长． 26. 概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 理解概念： （1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”； 概念应用： （2）如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的等角分割线； 动手操作： （3）在中，若，是的等角分割线，请求出所有可能的的度数． 【答案】（1）与，与，与是“等角三角形”； （2）证明：∵在中，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴为的等角分割线； （3）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据垂线的定义和三角形内角和定理分别证明，即可得到结论； （2）先利用三角形内角和定理求出，则由角平分线的性质得到，则，，可证明，再求出，得到，由此即可证明为的等角分割线； （3）分当是等腰三角形，时，当是等腰三角形，时，当是等腰三角形，时，当是等腰三角形，时，当是等腰三角形，时，五种情况根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质和等边对等角进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴与，与，与是“等角三角形”； （2）略 （3）当是等腰三角形，时，如图， 则， ∴； 当是等腰三角形，时，如图， 则，， ∴； 当是等腰三角形，的情况不存在； 当是等腰三角形，时，如图， 则， ∴； 当是等腰三角形，时，如图， 则， 设，则， 则， 由题意得，， 解得，， ∴， ∴， 综上所述：的度数为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期末考试卷 七年级 数学 本卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 很多人可能都知道蓝鲸是迄今发现的地球上最大的动物，却都不了解体积最小的动物，世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多倍，它是被命名为 H39的原生动物，它的最长直径也不过才米． 其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，点在射线上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，，，，则点P到直线l的距离（ ） A. B. 小于 C. 不大于 D. 7. 某学习小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 下列说法中错误的是（ ） A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B. 在一定范围内，温度越高，声速越快 C. 当空气温度为时，内声音可以传播 D. 在一定范围内，温度每升高，声速增加 8. 若一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边长可能是（　　） A. 6 B. 3 C. 2 D. 11 9. 已知，，，则，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 10. 如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 11. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ） A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 12. 计算：______． 13. 如图，已知AB=CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是_______________．（只需写一个，不添加辅助线） 14. 一辆汽车油箱中现存油50升，若油从油箱中匀速流出，速度为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是 ______________． 15. 如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为__________． 三．解答题（本题共11小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 观察图形，完成下面两个问题． （1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的． （2）在上画出点，使最小． 20. 已知：如图所示，和的平分线交于，交于点，． （1）求证：； （2）试探究与的数量关系． 21. 为促进学生健康成长，帮助家长解决按时接送学生困难的问题，认真落实全国教育大会精神，某校结合自身情况，在开展中学生课后服务工作方面做了全面规划，并且落到实处．在不加重学生课业负担的前提下，学校在托管时间内组织学生进行自主阅读、体育、艺术、及其他一些有益身心健康的活动，学生根据自己的喜好，自主选择．学校随机抽取了部分学生进行调查（抽取的学生都选择了一种自己喜爱的活动），下面是根据调查情况，得到的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题： （1）本次调查中，随机抽取的学生人数为 ； （2）补全条形统计图，并求出“其他”所对应的圆心角的度数； （3）若该校学生总人数为840人，估计选择阅读的学生有 人． 22. 如图，中，，的垂直平分线交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 23. 宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象，解答下列问题： （1）西宁与西安相距__________千米，两车出发后__________小时相遇； （2）普通列车到达终点共需__________小时，它的速度是__________千米/小时； （3）求动车的速度？ 24. 如图，在三角形中，，点B、P、Q三点在同一条直线上，且，．求的度数． 25. （1）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求的最小值． 解：原式 ，， 当时，原式取得最小值是1， 请你仿照以上方法求出的最小值． （2）非负性的含义是指大于或等于零．在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0． 请根据非负算式的性质解答下题： 已知的三边，，满足，求的周长． 26. 概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 理解概念： （1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”； 概念应用： （2）如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的等角分割线； 动手操作： （3）在中，若，是的等角分割线，请求出所有可能的的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $