精品解析：2025届山东省临沂第二中学高考适应性测试数学试题

2025年临沂二中高考数学适应性测试 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（为虚数单位）的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列，所有被4除余1的自然数从小到大组成数列，设这两个数列的公共项构成集合，则集合中元素的个数为（ ） A. 167 B. 168 C. 169 D. 170 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆的左焦点，分别是的右、上顶点，是上一点，且和是全等的三角形（为坐标原点），则的离心率的平方为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 由一组样本数据，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，记，，则下面说法正确的是（ ） A. 直线至少经过点中的一个点 B. 直线必经过点 C. 样本相关系数与回归系数同号 D. 对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强 10. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为A，直线l与以O为圆心，为半径的圆相切，切点为P．则（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. 当直线与双曲线C的一条渐近线重合时，直线l过双曲线C的一个焦点 C. 当直线l与双曲线C的一条渐近线平行时，若直线l与双曲线C的交点为Q，则 D. 若直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于D，E两点，与双曲线C分别交于M，N两点，则 11. 如图所示，已知正方体的棱长为分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点与两点不重合时，平面截正方体所得的截面是六边形 B. 平面截正方体所得的截面可能是三角形 C. 一定是锐角三角形 D. 面积的最大值是 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式______． ①的定义域为；②；③在区间，上单调递减． 13. 已知正三棱台，，，，则该正三棱台的体积为______． 14. 已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若P，Q分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记数列的前项和为，已知． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 16. 某芯片公司生产甲、乙、丙三种型号的芯片，每种芯片均需要两次光刻才能成型，甲、乙、丙芯片第一次光刻的良品率分别为，，．只有第一次光刻为良品，才能进行第二次光刻，否则为废品被淘汰，甲、乙、丙第二次光刻的良品率分别为，，．第二次光刻的良品才是合格品． （1）若从第一次光刻的芯片中任取3枚甲芯片、2枚乙芯片、1枚丙芯片，再从这6枚芯片中任取一枚，求该芯片是良品的概率； （2）甲、乙、丙三种芯片的每件合格品可为公司赚取利润100元，每件不合格品使公司亏损25元，现生产甲、乙、丙芯片各一枚，设这3枚芯片为公司赚取的利润为，求的分布列与数学期望． 17. 如图，已知两个正三棱锥与均内接于半径为3的球. （1）若. （i）证明：平面； （ii）求点到平面的距离； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数，其中不全为0，并约定，设，称为的“伴生函数”． （1）若，求； （2）若恒成立，且曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2，证明：当时，； （3）若，证明：对于任意的，均存在，使得． 19. 已知抛物线的焦点在直线上，是上的三个点. （1）求的方程； （2）已知，且直线经过点，，求直线的方程； （3）已知在轴的两侧，过点分别作抛物线的切线，且与交于点，直线与和分别交于点，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年临沂二中高考数学适应性测试 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，根据并集和补集的概念求出答案. 【详解】，又，故， 又，所以. 故选：B 2. 复数（为虚数单位）的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出即可得其虚部. 【详解】依题意，，所以所求虚部为. 故选：A 3. 设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列，所有被4除余1的自然数从小到大组成数列，设这两个数列的公共项构成集合，则集合中元素的个数为（ ） A. 167 B. 168 C. 169 D. 170 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意写出，的前几项可以得到的首项和公差，根据通项公式即可求解. 【详解】由题意可知，数列：2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、...， 数列：1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、...， 将集合中的元素由小到大进行排序，构成数列：5、17、29、...， 易知数列是首项为5，公差为12的等差数列，则， 由，可得， 因此，集合中元素的个数为169. 故选：C 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以，化简得， 即，解得． 故选：D 5. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理即可得到结果． 【详解】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种排法， 再排其余4节，有种排法， 根据乘法原理，共有种排法， 故选：B． 6. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合余弦函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由，可得， 要使得函数在区间上单调递减， 则满足且，解得，即的取值范围是. 故选：D. 7. 已知是椭圆的左焦点，分别是的右、上顶点，是上一点，且和是全等的三角形（为坐标原点），则的离心率的平方为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设结合椭圆结构性质求出，进而求出点P，再代入椭圆方程结合离心率定义即可计算求解. 【详解】由题意可得， 因为和是全等的三角形，所以，即， 又由椭圆结构性质可知，所以， 所以，， 则，所以由， 令，则或（舍去）. 所以的离心率的平方为. 故选：A 8. 已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇偶性求得的解析式，化简不等式，并用分离参数法变形为，设，换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而可得的范围． 【详解】因为，分别为上的偶函数和奇函数，①， 所以，即②， 联立①②可解得，， 所以不等式可化为， 因为，则，故， 设，则，故， 因为，，所以， 故在上是增函数，则， 又因为在时是增函数，所以，则， 因为在恒成立，所以． 所以正实数a的取值范围是. 故选：D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 由一组样本数据，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，记，，则下面说法正确的是（ ） A. 直线至少经过点中的一个点 B. 直线必经过点 C. 样本相关系数与回归系数同号 D. 对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据回归直线性质、相关系数、回归系数的概念逐项分析可得答案. 【详解】回归直线是由点拟合而成的，可能不过任何一个样本点，但必过数据的中心点，A错误，B正确. 样本相关系数为正时，两个变量为正相关，回归系数为正；样本相关系数为负时， 两个变量为负相关，回归系数为负.故样本相关系数与回归系数同号，C正确. 样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强，D正确. 故选：BCD. 10. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为A，直线l与以O为圆心，为半径的圆相切，切点为P．则（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. 当直线与双曲线C的一条渐近线重合时，直线l过双曲线C的一个焦点 C. 当直线l与双曲线C的一条渐近线平行时，若直线l与双曲线C的交点为Q，则 D. 若直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于D，E两点，与双曲线C分别交于M，N两点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线离心率的求法判断A；设直线l与渐近线重合，点P位于第四象限，直线l与x轴的交点为T，通过计算得判断B；设直线l的方程为，根据相切求出直线方程为直线l的方程为，联立直线方程与双曲线方程求出点坐标，进而求出，判断C选项；P的坐标为，可得直线l的方程为，分别联立直线与渐近线方程和双曲线方程，分别求得线段DE的中点的横坐标和线段MN的中点的横坐标，证明相同，判断D. 【详解】对于A选项．由，，，可得双曲线C的离心率为，故A选项正确； 对于B选项，双曲线C的渐近线方程为． 由对称性，不妨设直线OP与渐近线重合，点P位于第四象限， 记直线l与x轴的交点为T，由直线的倾斜角为，有， 又由，可得．又由，故直线l过双曲线C的一个焦点，故B选项正确； 对于C选项，当直线l与双曲线C的一条渐近线平行时，由对称性， 不妨设直线l的方程为（其中），有，可得， 直线l的方程为，联立方程解方程组可得点Q的坐标为． 可得，故C选项错误； 对于D选项，设点P的坐标为，可得直线l的方程为．其中． 联立方程解得，联立方程 解得， 可得线段DE的中点的横坐标为，联立方程， 消去y后整理为， 可得线段MN的中点的横坐标为， 可得线段和的中点相同，故有，故D选项正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题第四个选项，证明，如果直接证明长度等于长度计算量较大，本题采用了线段DE的中点的横坐标和线段MN的中点的横坐标相等来证明，更最直观简便. 11. 如图所示，已知正方体的棱长为分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点与两点不重合时，平面截正方体所得的截面是六边形 B. 平面截正方体所得的截面可能是三角形 C. 一定是锐角三角形 D. 面积的最大值是 【答案】D 【解析】 【分析】依据平面的性质画出平面截正方体所得的截面判断选项AB；举反例否定选项C；求得面积的最大值判断选项D 【详解】如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段MP向两端延长， 分别交CD，CB的延长线于点O，Q，连接NO，NQ分别交，于R，S两点， 连接RM，SP，MP此时截面为五边形MPSNR，所以A错误； 当点P与点A或点B重合时，截面为四边形. 综上，平面截正方体所得的截面为四边形或五边形.不可能是三角形，所以B不正确； 考虑，当点P与点A重合时，，，， 此时因为，故为钝角，所以C错误； 如图，为中点，连接，则，且面， 延长分别交延长线于，则， 若分别为中点，易知：面，且，， 易证：面面，即在面上的投影为， 令，面面，则面，面， 所以，若，，则面，面， 所以，即为P到直线MN的距离， 如下图，随从A到B移动过程中，逐渐变大，而不变，故也在变大， 所以当P与点B重合时，点P到直线MN的距离取到最大值， 的面积取到最大值，此时，， 则MN边上的高为， △的面积为，即最大值为，D判断正确． 故选：D． 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式______． ①的定义域为；②；③在区间，上单调递减． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意找到满足三个条件的函数即可. 【详解】取，满足条件①．， 满足条件②．在区间上单调递减，满足条件③． 故满足题意． 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知正三棱台，，，，则该正三棱台的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】将正三棱台补成正三棱锥，计算出三棱锥、的体积，作差后可得正三棱台的体积. 【详解】将正三棱台补成正三棱锥， 设点在平面的射影点为点，则为正的中心，如下图所示： 由棱台的性质可知，所以，故， 所以为的中点，所以， 由正弦定理可得，故， 所以， 又因为，所以， 同理可知，点到平面的距离为， 故， 因此正三棱台的体积为. 故答案为：. 14. 已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若P，Q分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】整体代换求解直线的解析式，利用导数的几何意义求解函数的图象上到直线距离最短的点，即为点，即可求解两点间的最短距离. 【详解】解：令，则，，． 因为与关于直线对称， 所以函数与函数关于直线对称， 所以P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍， 函数在点处的切线斜率为， 令得，，， 所以点P到直线距离的最小值为， 所以这两点之间距离的最小值为． 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记数列的前项和为，已知． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 【答案】（1）证明：因为， 所以当时，； 当时，， 所以， 即， 又， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用和等比数列的定义即可求证； （2）由（1）通过等比数列求通项公式即可求解； （3）利用错位相减法和分组求和即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得 所以． 【小问3详解】 由（2）得， 记，① 则，② 由①－②得 所以， 所以． 16. 某芯片公司生产甲、乙、丙三种型号的芯片，每种芯片均需要两次光刻才能成型，甲、乙、丙芯片第一次光刻的良品率分别为，，．只有第一次光刻为良品，才能进行第二次光刻，否则为废品被淘汰，甲、乙、丙第二次光刻的良品率分别为，，．第二次光刻的良品才是合格品． （1）若从第一次光刻的芯片中任取3枚甲芯片、2枚乙芯片、1枚丙芯片，再从这6枚芯片中任取一枚，求该芯片是良品的概率； （2）甲、乙、丙三种芯片的每件合格品可为公司赚取利润100元，每件不合格品使公司亏损25元，现生产甲、乙、丙芯片各一枚，设这3枚芯片为公司赚取的利润为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列为 50 175 300 ，【解析】 【分析】（1）考虑从甲、乙、丙三种芯片中选且是良品的不同情况，分别计算概率再相加. （2）因为芯片合格需两次光刻都合格，所以用每次光刻为良品的概率相乘，分类讨论计算概率.得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 记事件为该芯片是良品， 则． 【小问2详解】 设，，分别为甲、乙、丙三种芯片第次光刻为良品， 则，，，，，． 甲芯片是合格品的概率为， 乙芯片是合格品的概率为， 丙芯片是合格品的概率为． 的可能取值为-75，50，175，300， ， ， ， ， 其分布列为 50 175 300 数学期望． 17. 如图，已知两个正三棱锥与均内接于半径为3的球. （1）若. （i）证明：平面； （ii）求点到平面的距离； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）（i）如图所示，设的外接圆圆心为， 显然平面平面，则三点共线， 连接并延长交于点，连接可得四点共面. 由知，在直角中，，， ,可得， 则平面，平面，则平面. （ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）先证，得出，进而利用线面平行的判定定理证明即可. （ii）根据平行关系将所求问题转化为求点到平面的距离，利用线面垂直判定定理得平面，则即为所求. （2）根据二面角的平面角的定义可知为二面角的平面角，结合两角和和正切公式求出，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用向量法求解线面角的正弦值. 【小问1详解】 （i）（ii）由（i）可得，与到平面的距离相等，， 故，，平面，则平面， 故点到平面的距离为，即点到平面的距离为. 【小问2详解】 由于，则为二面角的平面角， 设，设， 则， 则在中，，则，由， 故，显然，因为，则 如图，分别以为轴，轴，在平面中作， ， 则，， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，设与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数，其中不全为0，并约定，设，称为的“伴生函数”． （1）若，求； （2）若恒成立，且曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2，证明：当时，； （3）若，证明：对于任意的，均存在，使得． 【答案】（1） （2）证明：由已知得， 所以 ． 因为曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2， 故在上恒成立． 又，所以， 所以当时，． （3）证明：因为，所以． 设，则． 注意到，则在上一定存在极值点． 令为其中一个极值点，则， 即，所以， 因为，所以，故． 【解析】 【分析】（1）由题可知，计算可求伴生函数为． （2），由已知可得在上恒成立，进而可得结论； （3）令，求导结合在上一定存在极值点，令为其中一个极值点，则，计算可得结论. 【小问1详解】 由题可知． 所以， 故的伴生函数为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：根据伴生函数的定义可求解（1）（2），构造函数，利用导数及单调性的综合应用，考查推理论证能力、运算求解能力和创新意识. 19. 已知抛物线的焦点在直线上，是上的三个点. （1）求的方程； （2）已知，且直线经过点，，求直线的方程； （3）已知在轴的两侧，过点分别作抛物线的切线，且与交于点，直线与和分别交于点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦点在直线上求解即可； （2）求出点的坐标，设，直线的方程为，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理结合求解即可； （3）设出直线的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和判别式得到，利用导数分别求出点和点处的切线方程，求出点，，的坐标，得到面积的表达式，令，则，利用导数判断函数的单调性，进而求出最小值. 【小问1详解】 由题可知，所以，解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 设，由题可知， 依题意知直线的斜率必存在，设直线的方程为. 由整理得， 则，， ，， 因为，所以， 所以，， 解得，所以直线的方程为； 【小问3详解】 设， 因为在轴的两侧，所以直线的斜率一定存在， 不妨设，直线的方程为， 由整理得， 则，， 由得. 设切线的斜率分别为， 又，所以，则，， 所以的方程为，即， 同理可得的方程为. 由解得即. 令，可得，， . 点到直线的距离为， 故的面积为，（当时，等号成立） 令，记，则， 令，则，所以在上单调递增； 令，则，在上单调递减， 所以， 故面积的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键点之一在于利用导数求出抛物线在点，处的切线，进而得到面积的表达式，关键点之二在于利用得到，再利用换元法转化为求函数的最小值，利用导数求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $