精品解析：安徽省宿州市第二中学雪枫校区2024-2025学年高二下学期期末数学试卷2

安徽省宿州市第二中学雪枫校区2024-2025学年高二下学期期末数学试卷2 绝密启用前 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知今天是星期三，则天后是（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期五 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题、共18分.在每小题给出的选项中、有多项符合题目要求. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若随机变量，则方差 B. 在的展开式中的系数是80 C. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D. 若随机变量的分布列为，则 10. 以下结论正确的是（ ） A. 函数最小值为4 B. 函数值域为 C. 函数值域为 D. 函数值域为 11. 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若为奇函数，且，,则下列说法中一定正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是____________． 13. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是____________． 14. 已知函数，则_______________，的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，36，9．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （2）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望． 16. 已知，，. （1）若，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 已知函数 （1）若，在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若成立，求实数的取值范围. 18. 某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下： 决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军； 如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3∶0，则不需再答第4轮了； 设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望； （2）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省宿州市第二中学雪枫校区2024-2025学年高二下学期期末数学试卷2 绝密启用前 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集概念求解. 【详解】根据题意，. 故选：C 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题. 【详解】命题“”为全称量词命题， 其否定为：. 故选：A 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求得两个不等式解集，由集合间关系即可判断. 【详解】由可得：， 由可得：， 即， 即，可得， 又 所以“”是“”必要不充分条件， 故选：B 4. 已知今天是星期三，则天后是（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期五 【答案】A 【解析】 【分析】结合二项式展开式，求出它除以7的余数，可得结论. 【详解】 ． 即除以7的余数为5，所以天后是星期一. 故选：A. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再集合函数值的正负，以及取向，即可判断选项. 【详解】函数的定义域为，且， 所以函数是奇函数，故排除A， 且当时，，故排除C， ，当时，，故排除D，满足条件的只有B. 故选：B 6. 函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的单调性列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】因为函数恒为递增函数， 所以若要在上单调递增， 则， 解得， 故选：. 7. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 8. 已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，可知该函数为偶函数且在区间上为增函数，可得出，由此可得出大小关系. 【详解】根据题意，设， 若为奇函数，则，则函数为偶函数. . 又当时，，则函数在上为减函数， 故在上为增函数. 则，且，则有； 故选D. 二、多选题：本题共3小题、共18分.在每小题给出的选项中、有多项符合题目要求. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若随机变量，则方差 B. 在的展开式中的系数是80 C. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D. 若随机变量的分布列为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据二项分布的方差公式和和方差的性质即可判断；对B ，根据二项展开式的通式即可计算；对C，利用残差定义即可判断；对D，首先根据分布列特点求出，再代入计算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，在的展开式中，， 当时，，此时的系数，故B正确； 对于C，样本点与的残差相等，则有得，故C错误； 对于D，，得，故D正确， 故选：BD． 10. 以下结论正确的是（ ） A. 函数最小值为4 B. 函数值域为 C. 函数值域为 D. 函数值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】取例说明判断A；变形函数借助单调性求出值域判断B；变形配方，结合二次函数求出值域判断C；利用指数函数值域，结合不等式性质判断D. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B， ，则在上单调递增，，B正确； 对于C，， 而，当时，，则原函数值域为，C正确； 对于D，，则，因此函数值域为，D正确. 故选：BCD 11. 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若为奇函数，且，,则下列说法中一定正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用为奇函数，赋值代入计算即得；对于B，通过对已知等式两边求导代换，可推得函数的图象关于点对称即可判断；对于C，利用和条件可得，从而判断函数是以4为周期的函数，利用周期性即可求和判断；对于D，利用条件推出与都是以4为周期的函数，利用周期性计算即可判断. 【详解】对于A，因为奇函数，则，取，则得，即，故A正确； 对于B，由两边求导得，则， 又，则，即， 故函数的图象关于点对称，故B错误； 对于C，因，则，可得①，为常数， 因，则 ②，由②①，可得， 取，可得，故有，又，则得， 即，则，即函数是以4为周期的函数. 在中，取，则得，即，取，则得， 即，则，故C正确； 对于D，因，，则， 故，两式相减可得，，即， 故函数是以4为周期的函数，故，即函数为以4为周期的函数. 由可得，， ， 故， 则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数、对数函数以及幂函数的定义域即可求解. 【详解】要使函数有意义，当且仅当，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 13. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是____________． 【答案】25 【解析】 【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 因为，直线的斜率为， 所以，，， 所以， 因为， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是25. 故答案为：25. 14. 已知函数，则_______________，的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由出导函数，令求得，由极限定义可得极限，再根据导数求得最小值． 【详解】由已知得，所以，解得， ， ，， 时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以的极小值也是最小值为， 故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，36，9．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （2）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望． 【答案】（1）分别抽取人，人和人 （2）分布列： 0 1 2 4 期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用分层抽样的方法，即可求解； （2）根据题意，得到变量的可能取值为，分别求得相应的概率，列出分布列，结合期望的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：某单位甲乙丙三个部门的员工人数分别为， 现采用分层抽样的方法，从中抽取7人，进行睡眠时间的调查， 则从甲部门的员工中抽取人， 从乙部门的员工中抽取人， 从丙部门的员工中抽取人. 【小问2详解】 解：若抽取的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足， 现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查，用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，则的可能取值为， 则， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 4 则数学期望为 16. 已知，，. （1）若，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分析命题为真时x的取值范围，由复合命题的真假可得一真一假，由此分情况讨论，求出x的取值范围，即可得答案； （2）根据p是q的充分条件，得到关于m的不等式组，解可得答案. 【小问1详解】 对于，解可得， 若，则， 若，有且只有一个为真命题，则真假或假真， 若真假，即，无解， 若假真，即，解可得或， 综合可得：或， 即的取值范围为； 【小问2详解】 若是的充分不必要条件，则有，解可得， 即的取值范围为. 17. 已知函数 （1）若，在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用判别式小于或等于零可得实数的取值范围. （2）利用参变分离法可得成立，求出在上的最大值后可得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得在上恒成立， ∴，解得，∴实数的取值范围为. （2）由题意得成立， ∴成立. 令， 则在区间上单调递增， ∴， ∴， 解得， ∴实数的取值范围为. 【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立（有解）问题，注意区分是上恒成立还是给定范围（其他范围）上的恒成立（有解），前者可利用判别式来求参数的取值范围，后者可转化为函数的最值来求参数的取值范围，后者还可以利用参变分离来求参数的取值范围. 18. 某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下： 决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军； 如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3∶0，则不需再答第4轮了； 设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望； （2）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值； （2）将“在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出”记为事件，“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，则、互斥，且，分别计算出、的值，利用互斥事件的概率公式可求得的值. 【小问1详解】 由题可得，的可能取值为、、、， 所以，， ，， 所以，的分布列为： 所以. 【小问2详解】 将“在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出”记为事件， “在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件， “在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，则、互斥，且， 则， ， 所以. 因此，在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出的概率为. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调减区间为，单调增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数运算及导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的正负求解的单调区间； （3）分离参数，然后根据导数求解函数最大值，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 由得，，，， 所以在点处的切线方程为； 【小问2详解】 ，， ，令，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； 【小问3详解】 由题可知，， 所以，， 设，， 则，令，解得， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 又，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $