1.1.2空间向量基本定理课件-2025-2026学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.1.2空间向量基本定理 第一章 空间向量与立体几何 人教B版(2019) 1 素养目标 重点 1.理解空间向量基本定理及其意义; 2.能应用空间向量基本定理解决有关问题. 难点 2 知识回顾 1.共线向量基本定理的内容是什么? 如果a≠0且b//a,则存在唯一的实数 ,使得b= a 2.平面向量基本定理的内容是什么? 如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得 c=xa+yb 3 新知导入 上述结论在空间中仍成立吗?如何判断空间中的三个向量是否共面? 共线向量基本定理和平面向量基本定理在空间中仍然成立. 4 探究新知 5 探究新知 共面向量定理 如果两个向量,不共线,则向量,,共面的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使得=x+y. 这个定理的必要性是由平面向量基本定理保证的,而充分性只要注意到当 xa 与 xb 不共线时,xa,xb,xa+xb 分别是平行四边形的两条邻边和一条对角线即可. 6 探究新知 7 探究新知 8 探究新知 若A,B,C三点不共线,则点P在平面ABC内需要满足什么条件? 空间中四点共面的充要条件 9 探究新知 共线向量基本定理表明,给定直线上的一个非零向量a,那么直线上任意一个向量b都可以唯一地写成数乘向量a 的形式;平面向量基本定理表明,在给定的平面内,当向量a与b不共线时,任意一个向量c都可以写成a与b的线性运算,而且表达式唯一.空间向量有没有类似的结论? 10 探究新知 在空间中,如果用任意三个不共面的向量a,b,c表示空间任意向量p,你能得出什么结论? a b c p 11 探究新知 空间向量基本定理 如果空间中的三个向量 a,b,c 不共面,那么对任意一个空间向量 p,存在唯一的有序实数组 (x,y,z),使得 p=xa+yb+zc. 12 探究新知 因为a,b,c不共面,所以它们两两都不平行, 过点O作=a,=b,=c,则平面 OAB,OAC,OBC 是两两相交的三个平面,如图所示. 空间向量某本定理可以通过作图的方式来理解 b c a C O A B 如果 p与a,b,c的某两个向量共面,则根据共面向量定理可知结论成立. 13 探究新知 否则, = p,过点P作直线PP1平行于OC,交平面OAB于点P1, 过P1作直线P1A1∥OB,P1B1∥OA, 分别交直线OA,OB于点A1,B1; 在OC上取一点C1,使得=. 空间向量某本定理可以通过作图的方式来理解 b c a C P1 A1 B1 C1 O A B p 14 探究新知 空间向量某本定理可以通过作图的方式来理解 yb b zc xa c a C P1 A1 B1 C1 O N M A B p 作 则OA1P1B1-C1MPN是一个平行六面体, 存在三个实数x,y,z,使得 即p = xa + yb + zc 15 探究新知 如何证明空间向量基本定理的唯一性? 设 p = xa+yb+zc 且 p = x′a+y′b+z′c, 则( x-x′ ) a+( y-y′ )b+( z-z′ ) c = 0. 由此可知a,b,c共面,这与已知矛盾,因此x = x′.同理y = y′,z = z′. 如果 x ≠ x′,则 空间向量基本定理中,p用a,b,c表示的表达式 p = xa + yb + zc 唯一. 16 归纳总结 17 探究新知 探究新知 基底与基向量 探究新知 探究新知 探究新知 探究新知 归纳总结 例 3 说明,如果空间向量中,有三个不共面的向量的长度和相互之间的角度都已知,那么以这三个向量为一组基底,可以研究其他向量之间的数量积等问题. B C C D B 1 小结 1.共面向量定理 2.空间向量基本定理 谢谢同学们的聆听 练习1 已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点.若由 确定的点M与A,B,C共面,则 的值为( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:由点M与A,B,C共面,且 , 可得 ,解得 ,故选B. 练习2 已知O为空间任意一点,A,B,C,P满足任意三点不共线但四点共面,且 ,则实数m的值为( ) A.-1 B.2 C.-2 D.-3 解析:因为O为空间任意一点, , 所以 ,所以 , 因为A,B,C,P满足任意三点不共线,但四点共面, 所以 ,解得 .故选C. 练习3 在长方体 中,可以作为空间的一个基底的是( ) A. , , B. , , C. , , D. , , 解析:长方体 如图所示. 对于A,因为 ,所以 , , 共面, 故 , , 不能作为基底,故A错误; 对于B,因为 ,所以 , , 共面, 故 , , 不能作为基底,故B错误; 对于C,因为 , , 不共面, 所以 , , 可以作为基底,故C正确; 对于D,因为 , , 共面,且 , 所以 , , 共面,故 , , 不能作为基底, 故D错误.故选C. 练习4 若 是空间的一组基底,且向量 , , 不能构成空间的一组基底,则 ( ) A. B. C. D. 解析:因为向量 , , 不能构成空间的一组基底,所以 , , 共面,故存在实数x,y使得 ,即 . 因为 是空间的一组基底,所以 解得 故选D. 练习5 已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C.若 ,则“ , , ”是“P,A,B,C四点共面”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当 , , 时, , 则 ,即 , 根据共面向量定理知,P,A,B,C四点共面. 反之,当P,A,B,C四点共面时,根据共面向量定理, 设 ,即 , 即 ,即 , , , 这组数显然不止2, ,2.故“ , , ”是 “P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件,故选B. 练习6 已知非零空间向量 , 不共线,使 与 共线的k的值是_. 解析:若 与 共线, 则存在实数 ,使得 , 解得 . $$