专题03 圆的概念与性质（压轴题专项训练）数学苏科版九年级上册

专题03 圆的概念与性质 目录 典例详解 类型一、点与圆的位置关系 类型二、弧、弦、圆心角的关系 类型三、垂径定理的应用 类型四、垂径定理的平行弦分类讨论 类型五、确定圆的条件 类型六、圆周角定理 类型七、90°的圆周角所对的弦是直径 类型八、圆的内接四边形 压轴专练 类型一、点与圆的位置关系 一、点与圆的位置关系分类 点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。 1. 点在圆内：当点到圆心的距离小于圆的半径时，该点在圆内。 2. 点在圆上：当点到圆心的距离等于圆的半径时，该点在圆上。 3. 点在圆外：当点到圆心的距离大于圆的半径时，该点在圆外。 二、判断点与圆位置关系的方法 设圆心坐标为(x0, y0)，点坐标为(x, y)，圆的半径为r。可以通过计算点到圆心的距离d，并与半径r进行比较，来判断点与圆的位置关系。 1. 计算点到圆心的距离d：d = √。 2. 比较d与r的大小： （1）若d < r，则点在圆内。 （2）若d = r，则点在圆上。 （3）若d > r，则点在圆外。 三、与点和圆位置关系相关的几何作图 1. 经过一点、两点可以作出无数个圆。 2. 经过不共线的三点只能作出一个圆。具体方法是连接其中两点作线段，然后作这条线段的垂直平分线，用同样的方法作出另外两条线段的垂直平分线，这三条垂直平分线的交点即为所求圆的圆心，以该交点为圆心，以交点到其中一点的距离为半径作圆即可。 3. 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆即为三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，称为三角形的外心。 例1．的半径为6，同一个平面内有一点P，且，则P与的位置关系是（   ） A．P在圆外 B．P在圆上 C．P在圆内 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小即可判断． 【详解】解：∵的半径为6，且， ∴点P到圆心的距离大于圆的半径， 因此，点P在圆外． 故选：A． 变式1-1．在中，，，以为圆心，长为半径画圆，则点和的位置关系，下列说法正确的是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，点与圆的位置关系，先证明，可得即可得到结论. 【详解】解：如图，∵在中，，， ∴， ∴， ∴以为圆心，长为半径画圆，则点在上， 故选：B． 变式1-2．已知的面积为，点与在同一平面内，若，则点在 （填写“内”、“上”、“外”）． 【答案】内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．根据面积求半径，比较半径与点到圆心的距离的大小，然后作答即可． 【详解】解：∵的面积为， ∴的半径为5， ∵， ∴点P在内， 故答案为：内． 变式1-3．若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为 ． 【答案】或者 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P在外和内两种情况讨论，当点P在外时，最大距离与最小距离之差等于直径；当点P在内时，最大距离与最小距离之和等于直径，即可得． 【详解】解：点P在外时， 外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于； 点P在内时， 内一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于， 故答案为：或者． 类型二、弧、弦、圆心角的关系 一、定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。反之，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也分别相等。 二、推论 根据弧、弦、圆心角的基本定理，可以进一步推导出：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都分别相等。 三、方法 在解决与弧、弦、圆心角有关的问题时，可以运用以下基本方法： 首先，明确题目中给出的已知条件，判断是圆心角、弧还是弦相等。 然后，根据弧、弦、圆心角的基本定理和推论，确定其他未知量之间的关系。 最后，通过逻辑推理和计算，求出题目要求的未知量。 例2．在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质（等弧对等弦）、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等弧对等弦和三角形内角和定理是解题的关键．本题根据同圆中弧相等则对应的弦相等，得出，从而判定为等腰三角形，再利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为来计算的度数． 【详解】解： （同圆中，等弧所对的弦相等） 是等腰三角形，（等腰三角形两底角相等） ，且（三角形内角和定理） 故选： ． 变式2-1．如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系．连接，由点是劣弧的中点得，故，再由得到即可． 【详解】解：如图，连接， 点是劣弧的中点， ， ， ， ， ∵， ∴． 故选：C． 变式2-2．如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推理，弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定理，根据，得到，则由，证明为的中位线，得到，则可求出，利用勾股定理求出，即可利用勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，点M为的中点， ∵点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵的半径是6， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 变式2-3．如图，在中，弦，于，于． (1)求证：． (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，勾股定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键； （1）由题意得，进而问题可求证； （2）连接，垂径定理得到，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解． 【详解】（1）证明：， ， ∴， 即， ； （2）解：连接， ，， ． ． 类型三、垂径定理的应用 知识点： 垂径定理是指，如果圆的一条直径垂直于另一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。垂径定理及其推论包括： 如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧。 如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦。 如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。 如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦。 如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。 方法： 1.构造垂径定理的基本图形： 当题目中出现圆的直径（半径）以及垂直于弦的直线时，可直接利用垂径定理得到弦被平分、弧被平分等结论。 若没有这样的条件，可通过作辅助线，比如过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形，进而利用其性质求解。 2.建立线段之间的数量关系： 利用垂径定理得到的弦被平分这一性质，结合圆的半径、弦心距等线段，在由半径、弦的一半、弦心距构成的直角三角形中，根据勾股定理建立这些线段之间的数量关系，从而求解未知线段的长度。例如，已知圆的半径R和弦心距d，可根据垂径定理和勾股定理求出弦长l=2√（R²-d²）；或者已知弦长l和半径R，可求出弦心距d=√（R²-（l/2）²）等。 3.解决弧、圆心角相关问题： 垂径定理中直径平分弦所对的两条弧，由此可得到等弧，再根据等弧所对的圆心角相等，可将弧、圆心角的关系与垂径定理结合起来，解决一些与圆心角、弧的度数相关的问题。例如，若已知一条直径垂直平分一条弦，那么这条弦所对的优弧和劣弧都被平分，进而可求出相应弧的度数等。 例3．已知为的直径，弦于点E，，，则的直径为（　　） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 如图所示，连接，则，由垂径定理可得，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，则， ∵弦于点，，， ∴， ∴在中，， ∴的直径为20． 故选：D． 变式3-1．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂径定理，勾股定理求出OD，即可由求解． 本题考查垂径定理，勾股定理，熟知 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：A 变式3-2．传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，嘉琪同学用边长为的正方形纸板做出如图1所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆中，如图2所示，三点在圆上，圆的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，七巧板，正方形的性质，确定圆的条件，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如图，延长交于，设圆心，连接，先求出七巧板各个图形的边长，进而可求出的长，由小鱼图案外轮廓是轴对称图形，得到垂直平分，得到圆心在上，，再在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，延长交于，设圆心，连接， ∵边长为的正方形纸板做出如图1所示的七巧板， ∴大等腰直角三角形的直角边长为，中等腰直角三角形的直角边长为，小等腰直角三角形的直角边长为，小正方形的边长为，平行四边形的边长为和， ∴是平行四边形的短边和中等腰直角三角形的斜边组成，即， ∵小鱼图案外轮廓是轴对称图形， ∴垂直平分， ∴圆心在上，， 由题意可得， 设，则， ∵中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴圆的半径是， 故答案为：． 变式3-3．我省有很多著名的桥梁，淇淇对此很感兴趣．某天淇淇查阅资料发现家乡的一座拱桥为圆弧的一部分（图1），其示意图可用图2中的来表示． (1)若所在圆的圆心为点，EF是弦的垂直平分线，尺规作图：找出圆心（保留作图痕迹，不写作图过程） (2)若所在圆的半径为米，拱桥的跨度（弦的长）为米，求桥拱拱高（的中点到弦的距离）． 【答案】(1)见解析 (2)桥拱拱高为米 【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，垂径定理，垂直平分线的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形． （1）作的垂直平分线，交于，点为所求； （2）连接，设的垂直平分线交于点，交于点，根据垂径定理得出，利用勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线，交于，点为所求． （2）如图，连接，设的垂直平分线交于点，交于点． 垂直平分，， （米），． 米， （米）． 米， （米）． 即桥拱拱高为4米． 类型四、 垂径定理的平行弦分类讨论 知识点： 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。这是解决与弦和弧相关问题的关键定理。 推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。这一推论在处理平行弦问题时非常有用。 方法： 分类讨论：当题目中涉及到平行弦时，需要根据弦的位置和性质进行分类讨论。例如，考虑弦是否在圆心的同侧或异侧，以及弦与直径的关系等。 利用垂径定理：在确定弦的位置和性质后，可以利用垂径定理来找出与弦相关的直径、弧和其他弦的性质。 结合其他几何定理：在处理复杂问题时，可能需要结合其他几何定理，如勾股定理、圆的性质等，来进一步求解。 通过画图辅助理解：对于涉及平行弦和垂径定理的问题，画图是非常重要的。通过画图，可以直观地理解弦、弧和直径的关系，从而更容易地找出解决方案。 例4．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 变式4-1．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（　　） A．1或7 B．7 C．1 D．3或4 【答案】A 【分析】分两种情况：①当AB、CD在圆心两侧时；②当AB、CD在圆心同侧时；利用垂径定理及勾股定理求出答案. 【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时； 过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示： ∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8， ∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上， ∴EF为AB、CD之间的距离 在Rt△OEC中，由勾股定理可得： OE2＝OC2﹣CE2 ∴OE3， 在Rt△OFA中，由勾股定理可得： OF2＝OA2﹣AF2 ∴OF4， ∴EF＝OE+OF＝3+4＝7， AB与CD的距离为7； ②当AB、CD在圆心同侧时； 同①可得：OE＝3，OF＝4； 则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1； 综上所述：AB与CD间的距离为1或7． 故选：A. 【点睛】此题考查圆的垂径定理、直角三角形的勾股定理，解题中注意运用分类讨论的思想避免漏解. 变式4-2．已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 故答案为：7或17． 变式4-3．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 类型五、确定圆的条件 一、通过圆心和半径确定 圆心是圆的几何中心，确定圆在平面上的位置；半径是圆心到圆周上任意一点的距离，决定圆的大小。已知圆心的坐标（a，b）和半径r，可以写出圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²。这种方式直观且唯一，因为不同的圆心或半径必然对应不同的圆。 二、通过不在同一直线上的三点确定 如果已知三个点不在同一直线上，则可以通过几何方法构造唯一的圆。具体过程为：首先求两点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心；然后计算圆心到任意已知点的距离，即为半径。这一条件的本质是平面几何中三点确定唯一外接圆的定理。由于三点不共线，其垂直平分线必相交于唯一一点（圆心），从而保证圆的唯一性。 例5．如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握经过不在同一直线上的三点可作圆是解题关键．由点、、、在同一条直线上，点在直线外，即可求解 【详解】解：根据题意可知，点、、、在同一条直线上，不能确定圆， 点在直线外，则点；点；点；点；点；点；不在同一直线上，可以画圆， 即能画圆的个数是6个 故选：D． 变式5-1．如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，，，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键． 变式5-2．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查确定圆心的方法，理解圆弧所在圆的圆心是圆弧中任意两条弦的垂直平分线的交点是解题的关键． 由网格容易得出的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，如图所示， 它们的交点D为该圆弧所在圆的圆心， 由图知，， 该圆弧所在的圆心坐标为， 故答案为：． 故答案为：． 变式5-3．已知矩形中，为边上一点，连接，，为上一点，且． (1)如图，作，满足圆心在上，且经过点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）的条件下，如图，若点在上，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（）连接，作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，的长度为半径画圆即可； （）连接，利用圆周角定理和矩形的性质可证，可得，又由平行线的性质得，即得，进而即可求证． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：连接， ∵是直径， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，圆周角定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 类型六、圆周角定理 圆周角定理是平面几何中的一个重要定理，其内容为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 圆周角定理的证明通常涉及三种情况：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部。通过连接圆心与圆周角的顶点及与圆相交的两点，形成三角形，再利用三角形内角和定理、等腰三角形的性质等几何知识，可以证明圆周角定理。 圆周角定理的推论包括： 1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。 3 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 在解决与圆周角相关的问题时，通常需要根据题目条件，结合圆周角定理及其推论，通过画图、连接辅助线等方法，逐步推导出结论。同时，要注意利用几何图形的对称性、等边三角形的性质等几何知识，简化解题过程。 例6．如图，中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理，得，得到证明，可得，解得即可．本题考查了圆周角定理，平行线的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：根据圆周角定理，得， 所以 所以， 所以， 故选：D． 变式6-1．如图，若是直径，为是的弦，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．先根据直径所对的圆周角是直角得到,进而利用三角形的内角和定理求得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：连接，    ∵是直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 变式6-2．如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接．若，则 ． 【答案】50 【分析】根据是圆的直径，可得到直角三角形（直径所对的圆周角是直角），由点是弧的中点，可利用等弧所对的圆周角相等这一性质，结合的的度数求出的度数．本题考查圆周角定理（直径所对圆周角是直角、等弧所对圆周角相等）以及三角形内角和定理．解题的关键在于利用圆的性质，通过连接辅助线，结合已知角度，逐步求出的度数 【详解】解：连接 ∵是的直径， ∴． 在中，∵，， ∴． ∵点为的中点， ∴， ∴． ． 故答案为：50． 变式6-3．【初步感知】如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为 度； 【深入探究】如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【启发应用】如图3，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，若，则的值为 ． 【答案】【初步感知】45；【深入探究】见解析；【启发应用】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 初步感知：根据圆周角定理即可得出答案； 深入探究：先构造出，得出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； 启发应用：先构造出，进而判断出，进而得出是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：初步感知：∵， ∴， 故答案为：45； 深入探究：证明：如图，延长至点E，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 启发应用：如图，延长至点G，使，连接． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型七、90°的圆周角所对的弦是直径 一、知识点 根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。因此，若圆周角为90°，则其对应的弧的度数为180°，即半圆。而半圆所对应的弦正是圆的直径。所以，我们可以得出结论：90°的圆周角所对的弦是直径。 二、方法 在证明某弦为直径时，若已知该弦所对的圆周角为90°，则可以直接利用上述推论进行证明。具体步骤如下： 1.根据题目条件，确定某圆周角为90°。 2.应用圆周角定理，得出该圆周角所对的弧为半圆。 3.由半圆对应的弦为直径的性质，得出该弦为圆的直径。 综上所述，90°的圆周角所对的弦是直径这一知识点在证明弦为直径时具有广泛的应用价值。掌握这一知识点及其方法应用，对于解决相关数学问题具有重要意义。 例7．如图，四边形内接于，，是的直径，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形，勾股定理，关键是判定是等腰直角三角形，求出，由勾股定理求出的长． 连接，由圆周角定理得到，判定是等腰直角三角形，求出，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， 故选：D． 变式7-1．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理的推论得到为的直径，则点为的中点，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，得到点、的坐标，即可得到点坐标． 【详解】解：四边形为圆的内接四边形， ， ， ， 为的直径， 点为的中点， 在中，，， ， ， ，， 点为的中点， ， 故选：B． 变式7-2．如图，在的内接四边形中，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．根据圆内接四边形的对角互补求得的度数，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵在的内接四边形中，， ∴， ∴． 故答案为：． 变式7-3．【问题原型】 如图①，，点C为上一点，且，D是边上的动点，，且，连接，求的最大值． 【问题探究】 如图②，小明过点C做，过点E作，可得，连结、，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，又因为，最终确定点E的轨迹进而解决问题． 以下是小明确认为定值的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，． 证明过程缺失 ． 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】 请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点E的轨迹，并直接写出最大值______（保留作图痕迹） 【问题拓展】 如图，，C为上一点，，D是边上的动点，，且，直接写出的最大值______． 【答案】问题探究：见解析；问题解决：；问题拓展： 【分析】本题是三角形的综合题，考查了平行线的性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，正确运用类比的方法解决问题是解本题的关键． 问题探究：如图1，根据三角形的面积公式和平行线间的距离相等即可解答； 问题解决：以为直径作圆，点E的轨迹是，当O，G，E三点共线时，有最大值，根据勾股定理即可解答； 问题拓展：同理作辅助线，即可解答． 【详解】解：问题探究：如图1，过点C作，过点E作，连接，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 长为定值； 问题解决：， ∴点E在上运动； 如图2，作的垂直平分线交于点G，以G为圆心，为直径作圆，点E的运动轨迹就是， 当过点G时的值最大， ， ， 由勾股定理得：， ， 即的最大值是； 故答案为：； 问题拓展：如图3，过点C作，过点E作，连接，，过点C作于点M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 长为定值； 如图4，， ∴点E在上运动， 过点G作于点N，过点F作于点K， ∴四边形、是矩形， ∴，， 当过点G时的值最大， ， ∴由勾股定理得：， ， 即的最大值为， 故答案为：． 类型八、圆的内接四边形 一、定义 如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 二、性质定理 1.圆内接四边形的对角互补，即∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。 2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 三、判定定理 1.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形是圆内接四边形。 2.如果一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形是圆内接四边形。 四、解题方法 1.利用性质定理：根据题目给出的条件，结合圆内接四边形的性质定理，进行求解。 2.利用判定定理：根据题目给出的条件，判断四边形是否为圆内接四边形，然后利用相关定理进行求解。 3.利用相关定理与公式：根据题目给出的条件，结合相交弦定理、托勒密定理或婆罗摩笈多公式等，进行求解。 例8．如图，四边形内接于，已知，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出∠B的度数是解题关键． 根据圆内接四边形的性质求得，利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴ ∴． 故选：A． 变式8-1．如图，四边形内接于，连接，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接四边形对角的对角互补成为解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补以及圆周角定理逐项判断即可． 【详解】解：根据图形发现：，故A、B项错误； ∵四边形内接于， ∴，故项正确； ∵，， ∴，故D项错误． 故选：C． 变式8-2．如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为 ． 【答案】/128度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可得，结合，得，再利用圆周角定理求解． 【详解】四边形为圆内接四边形， ， 又， ， 在中，由圆周角定理，可得， 故答案为：． 变式8-3．已知在中，，以为直径作交于点D． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点P为上一点，连接交求点E，若．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点P作，交于点 F，连接，若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)9 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，等腰三角形的三线合一性质，证明即可； （2）连接，利用圆周角定理，等腰三角形的三线合一性质，余角的性质，三角形外角性质，等边对等角证明即可． （3）延长到点M ，使得，连接，则是的中位线，得到，设，则，，则，构造方程解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：连接， ∵为的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：设，连接并延长交延长线于G， 则， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴； ∵， ∴； ∴； ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长到点M ，使得，连接， 则是的中位线， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 整理，得， 解得（舍去） ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，一元二次方程的因式分解法求根，三角形内角和定理的应用，对顶角相等，熟练掌握性质，勾股定理，构造辅助线是解题的关键． 1．如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 【答案】C 【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧． 【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 2．如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 3．如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】连接，，则：， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故选C． 4．已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则． 【详解】解：∵点在上， ∴点到圆心的距离为， 故答案为：． 5．如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 【答案】或或2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 6．如图，已知是的圆周角，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先由圆周角定理求出，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的圆周角，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【详解】（1）证明：的半径为， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 8．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）          问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米） 【答案】(1)； (2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米． 【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解； （2）作于点C，在中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵旋转一周用时120秒， ∴每秒旋转， 当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，， ∵， ∴； （2）解：作于点C，设与水平面交于点D，则，    在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴(米)， 答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米． 【点睛】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 9．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键． 根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可． 【详解】解：由题意，作图如下，即为所求： 10．我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． (1)请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）． (2)如图，四边形是邻等内接四边形，且，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)③ (2) 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义进行逐个分析，即可作答． （2）先根据勾股定理算出，设，，结合勾股定理整理得，代入数值得，再证明是的中位线，则，分别算出和，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，图①、图②和图④没有对角互补，不是邻等对补四边形， 图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形， 故答案为：③； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是邻等内接四边形， ∴四点共圆，且为直径， 把的中点记为点，即四点在上， 连接，，相交于点， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， 则在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴ 则 即， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， 则． ， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，垂径定理，圆内接四边形，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆的概念与性质 目录 典例详解 类型一、点与圆的位置关系 类型二、弧、弦、圆心角的关系 类型三、垂径定理的应用 类型四、垂径定理的平行弦分类讨论 类型五、确定圆的条件 类型六、圆周角定理 类型七、90°的圆周角所对的弦是直径 类型八、圆的内接四边形 压轴专练 类型一、点与圆的位置关系 一、点与圆的位置关系分类 点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。 1. 点在圆内：当点到圆心的距离小于圆的半径时，该点在圆内。 2. 点在圆上：当点到圆心的距离等于圆的半径时，该点在圆上。 3. 点在圆外：当点到圆心的距离大于圆的半径时，该点在圆外。 二、判断点与圆位置关系的方法 设圆心坐标为(x0, y0)，点坐标为(x, y)，圆的半径为r。可以通过计算点到圆心的距离d，并与半径r进行比较，来判断点与圆的位置关系。 1. 计算点到圆心的距离d：d = √。 2. 比较d与r的大小： （1） 若d < r，则点在圆内。 （2） 若d = r，则点在圆上。 （3） 若d > r，则点在圆外。 3、 与点和圆位置关系相关的几何作图 1. 经过一点、两点可以作出无数个圆。 2. 经过不共线的三点只能作出一个圆。具体方法是连接其中两点作线段，然后作这条线段的垂直平分线，用同样的方法作出另外两条线段的垂直平分线，这三条垂直平分线的交点即为所求圆的圆心，以该交点为圆心，以交点到其中一点的距离为半径作圆即可。 3. 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆即为三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，称为三角形的外心。 例1．的半径为6，同一个平面内有一点P，且，则P与的位置关系是（   ） A．P在圆外 B．P在圆上 C．P在圆内 D．无法确定 变式1-1．在中，，，以为圆心，长为半径画圆，则点和的位置关系，下列说法正确的是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 变式1-2．已知的面积为，点与在同一平面内，若，则点在 （填写“内”、“上”、“外”）． 变式1-3．若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为 ． 类型二、弧、弦、圆心角的关系 一、定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。反之，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也分别相等。 二、推论 根据弧、弦、圆心角的基本定理，可以进一步推导出：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都分别相等。 三、方法 在解决与弧、弦、圆心角有关的问题时，可以运用以下基本方法： 首先，明确题目中给出的已知条件，判断是圆心角、弧还是弦相等。 然后，根据弧、弦、圆心角的基本定理和推论，确定其他未知量之间的关系。 最后，通过逻辑推理和计算，求出题目要求的未知量。 例2．在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 变式2-1．如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式2-2．如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ． 变式2-3．如图，在中，弦，于，于． (1)求证：． (2)若的半径为5，，求的长． 类型三、垂径定理的应用 知识点： 垂径定理是指，如果圆的一条直径垂直于另一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。垂径定理及其推论包括： 如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧。 如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦。 如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。 如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦。 如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。 方法： 1.构造垂径定理的基本图形： 当题目中出现圆的直径（半径）以及垂直于弦的直线时，可直接利用垂径定理得到弦被平分、弧被平分等结论。 若没有这样的条件，可通过作辅助线，比如过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形，进而利用其性质求解。 2.建立线段之间的数量关系： 利用垂径定理得到的弦被平分这一性质，结合圆的半径、弦心距等线段，在由半径、弦的一半、弦心距构成的直角三角形中，根据勾股定理建立这些线段之间的数量关系，从而求解未知线段的长度。例如，已知圆的半径R和弦心距d，可根据垂径定理和勾股定理求出弦长l=2√（R²-d²）；或者已知弦长l和半径R，可求出弦心距d=√（R²-（l/2）²）等。 3.解决弧、圆心角相关问题： 垂径定理中直径平分弦所对的两条弧，由此可得到等弧，再根据等弧所对的圆心角相等，可将弧、圆心角的关系与垂径定理结合起来，解决一些与圆心角、弧的度数相关的问题。例如，若已知一条直径垂直平分一条弦，那么这条弦所对的优弧和劣弧都被平分，进而可求出相应弧的度数等。 例3．已知为的直径，弦于点E，，，则的直径为（　　） A．8 B．10 C．16 D．20 变式3-1．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为（ ） A． B． C． D． 变式3-2．传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，嘉琪同学用边长为的正方形纸板做出如图1所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆中，如图2所示，三点在圆上，圆的半径是 ． 变式3-3．我省有很多著名的桥梁，淇淇对此很感兴趣．某天淇淇查阅资料发现家乡的一座拱桥为圆弧的一部分（图1），其示意图可用图2中的来表示． (1)若所在圆的圆心为点，EF是弦的垂直平分线，尺规作图：找出圆心（保留作图痕迹，不写作图过程） (2)若所在圆的半径为米，拱桥的跨度（弦的长）为米，求桥拱拱高（的中点到弦的距离）． 类型四、 垂径定理的平行弦分类讨论 知识点： 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。这是解决与弦和弧相关问题的关键定理。 推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。这一推论在处理平行弦问题时非常有用。 方法： 分类讨论：当题目中涉及到平行弦时，需要根据弦的位置和性质进行分类讨论。例如，考虑弦是否在圆心的同侧或异侧，以及弦与直径的关系等。 利用垂径定理：在确定弦的位置和性质后，可以利用垂径定理来找出与弦相关的直径、弧和其他弦的性质。 结合其他几何定理：在处理复杂问题时，可能需要结合其他几何定理，如勾股定理、圆的性质等，来进一步求解。 通过画图辅助理解：对于涉及平行弦和垂径定理的问题，画图是非常重要的。通过画图，可以直观地理解弦、弧和直径的关系，从而更容易地找出解决方案。 例4．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 变式4-1．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（　　） A．1或7 B．7 C．1 D．3或4 变式4-2．已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 变式4-3．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 类型五、确定圆的条件 一、通过圆心和半径确定 圆心是圆的几何中心，确定圆在平面上的位置；半径是圆心到圆周上任意一点的距离，决定圆的大小。已知圆心的坐标（a，b）和半径r，可以写出圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²。这种方式直观且唯一，因为不同的圆心或半径必然对应不同的圆。 二、通过不在同一直线上的三点确定 如果已知三个点不在同一直线上，则可以通过几何方法构造唯一的圆。具体过程为：首先求两点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心；然后计算圆心到任意已知点的距离，即为半径。这一条件的本质是平面几何中三点确定唯一外接圆的定理。由于三点不共线，其垂直平分线必相交于唯一一点（圆心），从而保证圆的唯一性。 例5．如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式5-1．如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 变式5-2．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为 ． 变式5-3．已知矩形中，为边上一点，连接，，为上一点，且． (1)如图，作，满足圆心在上，且经过点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）的条件下，如图，若点在上，求证：． 类型六、圆周角定理 圆周角定理是平面几何中的一个重要定理，其内容为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 圆周角定理的证明通常涉及三种情况：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部。通过连接圆心与圆周角的顶点及与圆相交的两点，形成三角形，再利用三角形内角和定理、等腰三角形的性质等几何知识，可以证明圆周角定理。 圆周角定理的推论包括： 1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。 3 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 在解决与圆周角相关的问题时，通常需要根据题目条件，结合圆周角定理及其推论，通过画图、连接辅助线等方法，逐步推导出结论。同时，要注意利用几何图形的对称性、等边三角形的性质等几何知识，简化解题过程。 例6．如图，中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 变式6-1．如图，若是直径，为是的弦，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 变式6-2．如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接．若，则 ． 变式6-3．【初步感知】如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为 度； 【深入探究】如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【启发应用】如图3，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，若，则的值为 ． 类型七、90°的圆周角所对的弦是直径 一、知识点 根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。因此，若圆周角为90°，则其对应的弧的度数为180°，即半圆。而半圆所对应的弦正是圆的直径。所以，我们可以得出结论：90°的圆周角所对的弦是直径。 二、方法 在证明某弦为直径时，若已知该弦所对的圆周角为90°，则可以直接利用上述推论进行证明。具体步骤如下： 1.根据题目条件，确定某圆周角为90°。 2.应用圆周角定理，得出该圆周角所对的弧为半圆。 3.由半圆对应的弦为直径的性质，得出该弦为圆的直径。 综上所述，90°的圆周角所对的弦是直径这一知识点在证明弦为直径时具有广泛的应用价值。掌握这一知识点及其方法应用，对于解决相关数学问题具有重要意义。 例7．如图，四边形内接于，，是的直径，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（    ） A． B． C． D． 变式7-2．如图，在的内接四边形中，，则 ． 变式7-3．【问题原型】 如图①，，点C为上一点，且，D是边上的动点，，且，连接，求的最大值． 【问题探究】 如图②，小明过点C做，过点E作，可得，连结、，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，又因为，最终确定点E的轨迹进而解决问题． 以下是小明确认为定值的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，． 证明过程缺失 ． 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】 请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点E的轨迹，并直接写出最大值______（保留作图痕迹） 【问题拓展】 如图，，C为上一点，，D是边上的动点，，且，直接写出的最大值______． 类型八、圆的内接四边形 一、定义 如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 二、性质定理 1.圆内接四边形的对角互补，即∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。 2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 三、判定定理 1.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形是圆内接四边形。 2.如果一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形是圆内接四边形。 四、解题方法 1.利用性质定理：根据题目给出的条件，结合圆内接四边形的性质定理，进行求解。 2.利用判定定理：根据题目给出的条件，判断四边形是否为圆内接四边形，然后利用相关定理进行求解。 3.利用相关定理与公式：根据题目给出的条件，结合相交弦定理、托勒密定理或婆罗摩笈多公式等，进行求解。 例8．如图，四边形内接于，已知，则的大小是（   ） A． B． C． D． 变式8-1．如图，四边形内接于，连接，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 变式8-2．如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为 ． 变式8-3．已知在中，，以为直径作交于点D． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点P为上一点，连接交求点E，若．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点P作，交于点 F，连接，若，求的半径． 1．如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 2．如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 3．如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ． 5．如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 6．如图，已知是的圆周角，，则 ． 7．如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 8．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）          问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米） 9．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法） 10．我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． (1)请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）． (2)如图，四边形是邻等内接四边形，且，，，，求四边形的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$