专题06 圆的最值（压轴题专项训练）数学苏科版九年级上册

专题06 圆的最值 目录 典例详解 类型一、点的运动路径 类型二、将军饮马 类型三、两动一定 类型四、折叠圆 类型五、直角圆 类型六、切线与勾股定理 类型七、中位线与瓜豆原理 类型八 、定角定弦 压轴专练 类型一、点的运动路径 一、知识点 点的运动路径是研究点在不同条件下移动轨迹的内容，它涉及几何、代数以及函数等多方面知识。主要知识点包括： 1.点的直线运动：涉及匀速直线运动等相关问题，如点以恒定速度沿直线运动时的路程计算。 2.点在平面直角坐标系中的运动：点的坐标随运动而发生变化，需掌握坐标变化规律。 3.圆周运动：点绕圆心做圆周运动时，其路径是圆。如时钟指针端点的运动路径。 4.点在多边形边上的运动：涉及周长计算，如点在正方形边上运动一圈的路程。 5.点在抛物线上的运动：借助二次函数知识，根据抛物线解析式求点的位置变化。 6.点在旋转图形中的运动：路径是一段弧，需知道圆心角和半径等要素以确定弧长。 二、方法 1.利用几何知识：如线段长度计算、勾股定理、相似三角形等，辅助求解点的运动路径问题。 2.运用代数方法：建立点的运动方程，通过消去时间参数得到轨迹方程。 3.结合函数知识：如一次函数、二次函数等，分析点在函数图象上的运动路径。 4.分类讨论：根据点运动的不同阶段或条件，分类求解其运动路径。 5.运用图形性质：如平行四边形、三角形中位线等性质，解决点在其边上运动的问题。 6.利用三角函数：已知角度和边长时，可用三角函数求点运动相关的量。 例1．如图，在中，边上有一动点，作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．如图，在中，，将沿翻折得到，点O为的中点，点E在上，且，连接并延长，将线段绕点D顺时针旋转一定的角度得到线段，点F恰好在的延长线上时，点C运动到点F的路径长为（  ） A． B． C． D． 变式1-2．如图，是的直径，、是（异于、）上两点，是上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是 ． 变式1-3．如图，为的直径，且，点C在半圆上，，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作于点E，设的内心为M，连接、．当点P在半圆上从点B运动到点C时，则内心M所经过的路径长为 ． 类型二、将军饮马 知识点： 将军饮马问题涉及的是几何中的最值问题，即在给定条件下，找到使得某线段和或周长最小的点。这类问题通常可以通过对称点的构造来解决，将原本复杂的折线段问题转化为简单的直线段问题。 方法： 一、基本思路 将军饮马问题的核心是对称点的构造。具体步骤为： 1.确定定点和动点：在问题中，通常有一个或多个定点（如将军的起始位置、村庄的位置等）和一个动点（如河边饮马的点）。 2.构造对称点：作定点关于动点运动轨迹所在直线的对称点。 3.连接对称点和另一个定点：连接构造出的对称点和另一个定点，此时得到的线段与动点运动轨迹的交点即为所求的点，使得线段和最小。 二、解题步骤 1.审题：明确问题中的定点和动点，以及需要最小化的线段和或周长。 2.构造对称点：根据基本思路，作定点关于动点运动轨迹所在直线的对称点。 3.连接并求解：连接对称点和另一个定点，找到与动点运动轨迹的交点，即为所求的点。计算此时线段和或周长的最小值。 三、注意事项 1.在构造对称点时，要注意选择正确的定点和直线。 2.在连接对称点和另一个定点时，要确保线段与动点运动轨迹有交点。 3.在求解过程中，可以利用已知条件和几何性质简化计算。 例2．如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，为直径上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式2-1．如图，是的直径，，点M在上，，N是弧的中点，P是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 变式2-2．如图，在中，是的直径，是上一动点，的最小值是 ． 变式2-3．如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为 ． 类型三、两动一定 一、知识点 两动一定问题是指在几何图形中存在两个动点和一个定点，需要找到这两个动点的位置，使得与定点相关的某条线段或线段和达到最值（最大值或最小值）。这类问题通常与对称性质、三角形三边关系、垂线段最短等几何知识点紧密结合。 二、方法 1、作对称点： 对于两动一定问题，一个常用的策略是作动点关于某条直线的对称点。通过作对称点，可以将原问题中的折线段转化为直线段，从而利用“两点之间线段最短”的原理来求解。 2、利用三角形三边关系： 在求解过程中，需要充分利用三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这有助于确定动点的可能位置范围，并进一步缩小搜索范围。 3、垂线段最短： 当问题涉及到点到直线的距离时，需要牢记“垂线段最短”的原理。通过作垂线并找到垂足，可以确定动点的具体位置，从而得到线段或线段和的最值。 4、结合图形性质： 在求解两动一定问题时，还需要紧密结合图形的性质。例如，在圆形中可以利用圆的对称性、弦心距等性质；在三角形中可以利用三角形的边长、角度等关系。这些性质有助于简化问题并找到最优解。 例3．如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 变式3-1．如图，矩形中，，，点分别是边上的两动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 变式3-2．在菱形中，点在上，，，，点是平面内一点，，点在直线上，则的最小值为 ． 变式3-3．如图，正方形中，，点是正方形内部的一个动点，且满足，点是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 类型四、折叠圆 一、知识点 折叠圆问题通常涉及几何图形的折叠操作，特别是圆形和与其相关的三角形或四边形。在折叠过程中，某些边的长度保持不变，而某些角度或位置关系会发生变化。这类问题的关键在于理解折叠前后的几何关系，并利用这些关系求解最值。 二、方法 1、理解折叠性质： 折叠时，对应边的长度始终相等，且到折痕的某个端点的距离也相等。这可以帮助我们构造折叠前后的两个对应点共圆的几何关系。 2、构造辅助圆： 根据折叠性质，我们可以确定动点所在的圆。例如，在直角梯形纸片ABCD中，若将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P，则点P一定在以E为圆心、EA长为半径的圆上。 3、利用几何关系求解： 在构造出辅助圆后，我们可以利用几何关系（如勾股定理、相似三角形等）来求解最值问题。例如，在求解直角梯形ABCD中PD的最小值时，我们可以先求出BD的长度，然后利用勾股定理和折叠性质求出DP’的长度，即为PD的最小值。 4、动中有静，抓住不变量： 在折叠圆问题中，动点的位置会发生变化，但某些几何量（如某些边的长度、某些角的大小）可能保持不变。我们可以抓住这些不变量，通过几何构建和等式转化来求解最值问题。 例4．如图，是矩形的边上一动点，是的中点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点是点，连接．已知，当线段的最小值为1时，边的长为（   ） A． B． C． D． 变式4-1．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（    ）    A． B．6 C．4 D． 变式4-2．如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是 ． 变式4-3．如图，在矩形中，点F是边上的一点，把矩形沿折叠，点C落在边上的点E处，，点M是线段上的动点，连接，过点E作的垂线交于点N，垂足为H．连接，则的最小值为 ． 类型五、直角圆 在直角圆问题中，通常会涉及到动点在圆上或圆内运动，同时满足某些特定条件（如与直线相切、与某定点距离恒定等），需要求出某个量（如线段长度、角度大小等）的最大值或最小值。 解题方法主要包括： 一、根据三角形三边关系求解 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质，结合题目中的条件，可以列出不等式或等式，进而求解最值。 二、动中有静，抓住不变量求解 在动点问题中，往往存在一些不变量（如圆的半径、直径，某些特定角度的大小等）。通过抓住这些不变量，结合动点的运动规律，可以构建出求解最值的数学模型。 三、利用旋转和相切性质 旋转是产生圆的基本运动方式之一，在很多情况下，旋转到相切位置时会产生最值。因此，可以利用旋转和相切的性质，结合题目中的条件，构建出求解最值的几何图形。 例5．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D． 变式5-1．在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．如图，E为正方形内一点，，垂足为E，连接，F，G分别是的中点，若，则的最小值是 ． 变式5-3．如图，在等腰三角形中，，，D为平面内一点，连接，，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 类型六、切线与勾股定理 一、知识点 1 勾股定理 勾股定理是直角三角形三边关系的重要定理，它表明直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。即，如果直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有a²+b²=c²。这一定理在解决与直角三角形相关的问题时具有广泛的应用。 2 切线性质 切线是与圆只有一个公共点的直线。在解决与圆相关的最值问题时，切线的性质往往能提供关键的线索。例如，过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。这一性质在求解与切线长相关的最值问题时非常有用。 二、方法 1 利用勾股定理求解最值问题 在解决与直角三角形相关的最值问题时，可以充分利用勾股定理。通过设定变量，建立勾股定理的等式，然后结合题目的其他条件进行求解。例如，在求解直角三角形中的最短边或最长边时，可以设定直角三角形的两条直角边为未知数，然后利用勾股定理建立等式进行求解。 2 利用切线性质求解最值问题 在解决与圆相关的最值问题时，可以充分利用切线的性质。首先，需要明确题目的求解目标，然后结合切线的性质进行求解。例如，在求解过圆外一点引圆的两条切线的最短距离时，可以设定切点为未知数，然后利用切线长相等和两点间距离公式进行求解。 例6．如图，在中，．的半径为2，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点Q为切点），则线段长的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 变式6-1．如图，在直角坐标系中，以点为圆心，画半径的圆，点为直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ）    A．3 B．4 C． D． 变式6-2．如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是 ． 变式6-3．如图，在中，．的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线(点为切点)，则线段长的最小值为 ． 类型七、中位线与瓜豆原理 一、中位线知识点 中位线是指在三角形中，连接两个中点（即任意两边中点的连线）所得的线段。中位线的性质包括： 1.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边边长的一半。 这一性质在解决与三角形边长、周长及面积相关的问题时非常有用。 二、瓜豆原理知识点 瓜豆原理，也称作主从联动轨迹问题或瓜豆模型，是中考几何中的热门考点。其本质是位似图形，而位似本质是相似。瓜豆原理指的是：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。主动点在直线上运动，从动点的运动轨迹也是直线；主动点在圆周上运动，从动点的运动轨迹也是圆。 瓜豆原理的题型特点包括： 1.有两个动点，一个定点（两动一定）。 2.两动点和定点之间连线段夹角的度数是定值（定角）。 3.两动点和定点之间连线段长度的比值是定值（定比值）。 解题步骤一般为： 1.找出主动点的起点和终点。 2.找出题中所有的定点。 3.验证两个必要条件，即主、从动点与定点连线的夹角为定值，主、从动点到定点的距离之比是定值。 4.若上述两个必要条件成立，则确定为“瓜豆”模型，进而确定从动点的起点和终点。 5.利用相似三角形或全等三角形的性质求解。 三、解题方法 在解决最值问题时，可以结合中位线和瓜豆原理进行求解。具体方法包括： 1.利用中位线的性质，求出与三角形边长、周长及面积相关的最值问题。 2.利用瓜豆原理，确定主动点和从动点的运动轨迹，进而求出与动点相关的最值问题。在求解过程中，需要注意抓住动点之间的关系，这是解题的核心线索。同时，要注意分析题目条件，把关系找全、找准。最后，根据动点的运动轨迹和特殊位置，求出最值。 例7．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，定点、、为3个格点，以点为圆心作圆，使点落在内，过点任意作弦，取的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 变式7-2．如图，中，，，在以为圆心，半径为的圆上运动，为的中点，则的最小值是 ． 变式7-3．如图，是的直径，C为圆上一点，连接是的中点，，若F为弧上的三等分点，且靠近B点，连接，则的最小值为 ． 类型八、定角定弦 一、知识点 定角定弦模型是解决几何动态最值问题的有效工具，其核心在于构造“隐形圆”，将看似复杂的动点轨迹转化为圆的性质分析。该模型主要由两个条件构成：一是存在长度固定的线段（定弦），二是动点对定弦所张的角（定角）大小固定。 二、方法 1、确定隐圆 根据圆周角定理，所有满足同一角度条件的动点的轨迹是一个圆（即隐圆），且该圆的半径与圆心位置可通过定角和定弦的几何关系确定。隐圆的确定是解题的关键，具体操作分为两步： （1）确定圆心位置：根据定角的圆周角推算圆心角，通过几何作图找到圆心。 （2）计算隐圆半径：若定角为锐角，可利用公式 R=AB/（2sinθ） 计算半径（R为隐圆半径，AB为定弦长度，θ为定角）；若定角为直角，半径为定弦的一半。 2、求解最值 当动点在隐圆上运动时，到定点的距离最值可通过公式计算： （1）最大值：PMmax=MO+R（MO为圆心到定点的距离，R为隐圆半径）。 （2）最小值：PMmin=|MO-R|。 3、解题步骤 （1）提取题目中的定弦和定角。 （2）构造隐圆并计算圆心与半径。 （3）确定定点位置后代入最值公式求解。 例8．如图，的半径为2，四边形内接于，，若点是线段上一动点，连接，过点作于点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．1 D． 变式8-1．在中，，，，，点P在射线上上运动，连接，交的外接圆于点D，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 变式8-2．如图，已知中，，，，，点在射线上运动，连接，过点，，三点的圆交于点，则的最小值 ． 变式8-3．如图，等边的边长为，D、E分别是和上的点，且，、交于点P，连接，则长度的最小值是 ． 1．如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 2．如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 5．如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．    6．如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．    7．在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①． 试判断：的形状为________．    (2)深入探究 小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，． 探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积． 探究二：连接，取的中点，连接，如图③． 求线段长度的最大值和最小值．    8．在中，，，D为的中点，E，F分别为，上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，． (1)如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，若点P为的中点，连接，求的长； (2)如图2，的延长线交于点M，点N在上，且，求证：； (3)如图3，F为线段上一动点，E为的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值． 9．如图①，在中，，，D是BC的中点． 小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转，点B的对应点是点E，连接BE，得到．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题： （1）当点E在直线AD上时，如图②所示． ① ；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是 ． （2）请在图③中画出，使点E在直线AD的右侧，连接CE，试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由． （3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值． 10．在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． (1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”． ①在图中画出点； ②连接交线段于点求证： (2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆的最值 目录 典例详解 类型一、点的运动路径 类型二、将军饮马 类型三、两动一定 类型四、折叠圆 类型五、直角圆 类型六、切线与勾股定理 类型七、中位线与瓜豆原理 类型八 、定角定弦 压轴专练 类型一、点的运动路径 一、知识点 点的运动路径是研究点在不同条件下移动轨迹的内容，它涉及几何、代数以及函数等多方面知识。主要知识点包括： 1.点的直线运动：涉及匀速直线运动等相关问题，如点以恒定速度沿直线运动时的路程计算。 2.点在平面直角坐标系中的运动：点的坐标随运动而发生变化，需掌握坐标变化规律。 3.圆周运动：点绕圆心做圆周运动时，其路径是圆。如时钟指针端点的运动路径。 4.点在多边形边上的运动：涉及周长计算，如点在正方形边上运动一圈的路程。 5.点在抛物线上的运动：借助二次函数知识，根据抛物线解析式求点的位置变化。 6.点在旋转图形中的运动：路径是一段弧，需知道圆心角和半径等要素以确定弧长。 二、方法 1.利用几何知识：如线段长度计算、勾股定理、相似三角形等，辅助求解点的运动路径问题。 2.运用代数方法：建立点的运动方程，通过消去时间参数得到轨迹方程。 3.结合函数知识：如一次函数、二次函数等，分析点在函数图象上的运动路径。 4.分类讨论：根据点运动的不同阶段或条件，分类求解其运动路径。 5.运用图形性质：如平行四边形、三角形中位线等性质，解决点在其边上运动的问题。 6.利用三角函数：已知角度和边长时，可用三角函数求点运动相关的量。 例1．如图，在中，边上有一动点，作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含30度的直角三角形的基本性质，弧长的运算，垂直平分线的基本性质，能够找到点的运动路径是解题关键； 如图，延长到点，使，连接，先求得，再通过垂直平分线的基本性质可知，进而知道点的运动路径为以点为圆心，半径为4的圆弧，即，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为4的圆上运动， ∵当点与点重合时，点与点重合， ∴点的运动路径为以点为圆心，半径为4的圆弧，即， ∴点的运动路径长为：， 故选：C． 变式1-1．如图，在中，，将沿翻折得到，点O为的中点，点E在上，且，连接并延长，将线段绕点D顺时针旋转一定的角度得到线段，点F恰好在的延长线上时，点C运动到点F的路径长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明 ，再利用弧长公式求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C运动到点F的路径长． 故选：D． 【点睛】本题考查轨迹，含30度角的直角三角形，翻折变换，旋转的性质，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 变式1-2．如图，是的直径，、是（异于、）上两点，是上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，如图，连接，连接交于G，连接交于F，设．求出，证明平分，求出；再证明，则，得到点E在以D为圆心，为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，连接交于G，连接交于F 设． ∵是直径， ∴， ∵的角平分线交于点，的平分线交于点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴，则 ∴点E在以D为圆心，为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是， ∵， ∴设，则， 的长：的长， 故答案为：． 变式1-3．如图，为的直径，且，点C在半圆上，，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作于点E，设的内心为M，连接、．当点P在半圆上从点B运动到点C时，则内心M所经过的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内心、圆内接四边形的性质、圆周角定理、弧长公式等知识，正确找出点的运动路径是解题关键．先根据三角形的内心求出，再连接，证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得当点在半圆上从点运动到点时，点在以为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上，然后设劣弧所在的圆为，连接，在优弧上取一点，连接，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理可得，最后利用弧长公式求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的内心为点， ∴，， ∴， 如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴如图，当点在半圆上从点运动到点时，点在以为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上， 设劣弧所在的圆为，连接，在优弧上取一点，连接， ∴， 由圆周角定理得：， ∵为的直径，且， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴劣弧的长度为， 即内心所经过的路径长为， 故答案为：． 类型二、将军饮马 知识点： 将军饮马问题涉及的是几何中的最值问题，即在给定条件下，找到使得某线段和或周长最小的点。这类问题通常可以通过对称点的构造来解决，将原本复杂的折线段问题转化为简单的直线段问题。 方法： 一、基本思路 将军饮马问题的核心是对称点的构造。具体步骤为： 1.确定定点和动点：在问题中，通常有一个或多个定点（如将军的起始位置、村庄的位置等）和一个动点（如河边饮马的点）。 2.构造对称点：作定点关于动点运动轨迹所在直线的对称点。 3.连接对称点和另一个定点：连接构造出的对称点和另一个定点，此时得到的线段与动点运动轨迹的交点即为所求的点，使得线段和最小。 二、解题步骤 1.审题：明确问题中的定点和动点，以及需要最小化的线段和或周长。 2.构造对称点：根据基本思路，作定点关于动点运动轨迹所在直线的对称点。 3.连接并求解：连接对称点和另一个定点，找到与动点运动轨迹的交点，即为所求的点。计算此时线段和或周长的最小值。 三、注意事项 1.在构造对称点时，要注意选择正确的定点和直线。 2.在连接对称点和另一个定点时，要确保线段与动点运动轨迹有交点。 3.在求解过程中，可以利用已知条件和几何性质简化计算。 例2．如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，为直径上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的短路径问题，熟练掌握轴对称的性质，勾股定理，圆周角定理是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，交于点，则此时最小，最小值为，连接，得到，根据勾股定理求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点， 此时最小，最小值为， 连接， ， ， 为弧的中点， ， ， ， ， 是的直径，， ， 的最小值为， 故选：B ． 变式2-1．如图，是的直径，，点M在上，，N是弧的中点，P是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】如图所示，作点关于的对称点，连接交于，周长为，由对称性知周长为，根据两点之间线段最短可知周长的最小为，利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：作点关于的对称点，则点在上，连接交于， 由对称性知， 周长为， 根据两点之间线段最短可知周长的最小为， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∵， ∴周长的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题将军饮马模型，涉及圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称性质，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键． 变式2-2．如图，在中，是的直径，是上一动点，的最小值是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，垂径定理，圆心角与弧之间的关系，作点A关于的对称点C，连接，则，可证明点C在上，再证明，得到三点共线，根据可得当C、P、B三点共线时，最小，即此时最小，则的最小值为． 【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点C，连接， 由轴对称的性质可得垂直平分， ∴， ∵是的直径， ∴点C在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴当C、P、B三点共线时，最小，即此时最小， ∴的最小值为， 故答案为：10； 变式2-3．如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解题的关键．：作关于的对称点，连接，，，交于点．则的最小值就是的长度，在中根据边角关系即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接，，，交于点． 则， 当共线时，时，的最小值， 又点在上，，为弧的中点，即， ． ． ． 则是等腰直角三角形． ， ． 故答案为：． 类型三、两动一定 一、知识点 两动一定问题是指在几何图形中存在两个动点和一个定点，需要找到这两个动点的位置，使得与定点相关的某条线段或线段和达到最值（最大值或最小值）。这类问题通常与对称性质、三角形三边关系、垂线段最短等几何知识点紧密结合。 二、方法 1、作对称点： 对于两动一定问题，一个常用的策略是作动点关于某条直线的对称点。通过作对称点，可以将原问题中的折线段转化为直线段，从而利用“两点之间线段最短”的原理来求解。 2、利用三角形三边关系： 在求解过程中，需要充分利用三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这有助于确定动点的可能位置范围，并进一步缩小搜索范围。 3、垂线段最短： 当问题涉及到点到直线的距离时，需要牢记“垂线段最短”的原理。通过作垂线并找到垂足，可以确定动点的具体位置，从而得到线段或线段和的最值。 4、结合图形性质： 在求解两动一定问题时，还需要紧密结合图形的性质。例如，在圆形中可以利用圆的对称性、弦心距等性质；在三角形中可以利用三角形的边长、角度等关系。这些性质有助于简化问题并找到最优解。 例3．如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离. 根据题意得到点在以为圆心，以为半径的圆在与矩形重合的弧上运动，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得到答案. 【详解】解：在矩形中，，，， 点分别是边上的两动点，且，点为的中点， 如图，连接 点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ， 此时的值最小， ，， ， 的最小值为， 故选：B. 变式3-1．如图，矩形中，，，点分别是边上的两动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离． 根据题意得到点在以为圆心，以为半径的上运动（在矩形内部），作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时有最小值，最小值为，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，，，， 如图，连接， 点分别是边上的两动点，且，点为的中点， ， 点在以为圆心，以为半径的上运动（在矩形内部）， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ， ， ∴此时有最小值，最小值为， ，， ， 的最小值为9， 故选：B． 变式3-2．在菱形中，点在上，，，，点是平面内一点，，点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查性质的性质，点到圆上一点的最小距离，含角的直角三角形的性质，轴对称，勾股定理，熟练掌握相关性质并确定点的轨迹是解题的关键．先确定点的轨迹在以点E为圆心，为半径的圆上作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，由对称性得，，，则，由两点之间线段最短，并结合点到圆上一点的最短距离可知当、、依次共线时最小，此时点为，最小值为，再进行计算即可． 【详解】解：∵点是菱形内部一点，， ∴点的轨迹在以点E为圆心，为半径的圆上，如图， 作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 由对称性得，，， ∴， 由两点之间线段最短，并结合点到圆上一点的最短距离可知当、、依次共线时最小，此时点为，最小值为， ∵菱形中，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即最小为， 故答案为：． 变式3-3．如图，正方形中，，点是正方形内部的一个动点，且满足，点是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】先推出点在以中点为圆心，为直径的圆周上，延长到，使，连接，连接交于点，过点作于点，根据轴对称性质和点与圆周上的点的最短距离确定出的最小值是，再利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】 解：点是正方形内部的一个动点，且满足，，， ， 点在以中点为圆心，为直径的圆周上， 延长到，使，连接，连接交于点，过点作于点， 则，，四边形和四边形都是矩形， ，，， 的最小值是， 在中， ，， 由勾股定理，得，的最小值是， 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题正方形的性质，勾股定理，矩形的判定及性质，点与圆的位置关系，能够发现点的运动轨迹，掌握点与圆的最短距离是解题的关键． 类型四、折叠圆 一、知识点 折叠圆问题通常涉及几何图形的折叠操作，特别是圆形和与其相关的三角形或四边形。在折叠过程中，某些边的长度保持不变，而某些角度或位置关系会发生变化。这类问题的关键在于理解折叠前后的几何关系，并利用这些关系求解最值。 二、方法 1、理解折叠性质： 折叠时，对应边的长度始终相等，且到折痕的某个端点的距离也相等。这可以帮助我们构造折叠前后的两个对应点共圆的几何关系。 2、构造辅助圆： 根据折叠性质，我们可以确定动点所在的圆。例如，在直角梯形纸片ABCD中，若将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P，则点P一定在以E为圆心、EA长为半径的圆上。 3、利用几何关系求解： 在构造出辅助圆后，我们可以利用几何关系（如勾股定理、相似三角形等）来求解最值问题。例如，在求解直角梯形ABCD中PD的最小值时，我们可以先求出BD的长度，然后利用勾股定理和折叠性质求出DP’的长度，即为PD的最小值。 4、动中有静，抓住不变量： 在折叠圆问题中，动点的位置会发生变化，但某些几何量（如某些边的长度、某些角的大小）可能保持不变。我们可以抓住这些不变量，通过几何构建和等式转化来求解最值问题。 例4．如图，是矩形的边上一动点，是的中点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点是点，连接．已知，当线段的最小值为1时，边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，，，通过折叠性质可知：，，则有点在以点为圆心，为半径的圆上运动，连接，由 ，从而可知当点三点共线时，有最小值，然后设，则，，最后通过勾股定理，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠性质可知：，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动，连接，如图， ∵， ∴当点三点共线时，有最小值，即此时，如图， ∵是的中点， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：（舍去），， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解一元二次方程，圆的性质的综合运用，掌握知识点的应用是解题的关键． 变式4-1．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（    ）    A． B．6 C．4 D． 【答案】D 【分析】如图，的运动轨迹是以E为圆心，以的长为半径的圆．所以，当点落在DE上时，取得最小值．过点D作交延长线于G，解,得，，进一步求得，从而解得． 【详解】解：如图，的运动轨迹是以E为圆心，以的长为半径的圆．所以，当点落在DE上时，取得最小值．    过点D作交延长线于G， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵E是的中点，， ∴， ∴ ∴ 由折叠的性质可知 ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行四边形的性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点在何位置时，的值最小，是解决问题的关键． 变式4-2．如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，一点到圆上一点的距离的最值问题、折叠问题、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，确定点F在以E为圆心，为半径的半圆上是解题的关键． 根据中点的定义以及折叠的性质可求得，如图：当D、E、F在同一直线上时，最短，过点E作于点H，依据，，即可得到的长度，进而得出的最小值． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴， ∵以为折痕将折叠得到， ∴， ∴点F在以E为圆心，为半径的半圆上， ∵， ∴当F在上时，有最小值，最小值为； 如图，过点E作交于延长线点H，连接， ∵在边长为4的菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴的最小值． 故答案为：． 变式4-3．如图，在矩形中，点F是边上的一点，把矩形沿折叠，点C落在边上的点E处，，点M是线段上的动点，连接，过点E作的垂线交于点N，垂足为H．连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出，再求出，根据题意确定H点在上运动，利用即可求解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵，， ∴， 以为直径作， ∴圆的半径为5， 过圆心O作，垂足为P，交于Q， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵与平行，点O为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 连接， ∴， ∵， ∴点H在上， ∴； 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的判定与性质，勾股定理和圆等相关知识，解题关键是确定H点的运动轨迹． 类型五、直角圆 在直角圆问题中，通常会涉及到动点在圆上或圆内运动，同时满足某些特定条件（如与直线相切、与某定点距离恒定等），需要求出某个量（如线段长度、角度大小等）的最大值或最小值。 解题方法主要包括： 一、根据三角形三边关系求解 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质，结合题目中的条件，可以列出不等式或等式，进而求解最值。 二、动中有静，抓住不变量求解 在动点问题中，往往存在一些不变量（如圆的半径、直径，某些特定角度的大小等）。通过抓住这些不变量，结合动点的运动规律，可以构建出求解最值的数学模型。 三、利用旋转和相切性质 旋转是产生圆的基本运动方式之一，在很多情况下，旋转到相切位置时会产生最值。因此，可以利用旋转和相切的性质，结合题目中的条件，构建出求解最值的几何图形。 例5．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系，矩形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题．根据题意得出点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动，则点到的最短距离为1，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：，点是矩形内一动点， 点在为直径，在矩形内的半圆上运动， 矩形中，，， ， 如图所示，取的中点，则 点到的最短距离为， 面积的最小值为， 故选：B． 变式5-1．在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理以及圆外一点与圆的最短距离问题，连接，由是直径得，即得，得到点在以为直径的圆上运动，设的中点为，连接，当点在与的交点处时，最短，利用勾股定理求出即可求解，找到点P的运动轨迹是圆是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 设的中点为，连接，当点在与的交点处时，最短，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 变式5-2．如图，E为正方形内一点，，垂足为E，连接，F，G分别是的中点，若，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据三角形中位线定理得到，又有、、三点共圆，圆心为的中点，当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，利用正方形性质和勾股定理得到，进而推出，即可求． 【详解】解：∵，分别是，的中点， 连接， ， ， 、、三点共圆，圆心为的中点， 当、、三点共线时，的值最小，即的值最小， 连接，交于点， ∵四边形为正方形，， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质，勾股定理，圆周角定理，三角形中位线定理，解题的关键在于找到最小值情况． 变式5-3．如图，在等腰三角形中，，，D为平面内一点，连接，，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 1 7 【分析】根据题意，得，，得点D的运动轨迹是以为直径的，且的半径为2，连接，并延长交于点E，F，利用的等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴点D的运动轨迹是以为直径的，且的半径为3， 如图所示，连接，并延长交于点E，F， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴当点D与点E重合时，有最小值1，当点D与点F重合时，有最大值7， 故答案为：1，7． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 类型六、切线与勾股定理 一、知识点 1 勾股定理 勾股定理是直角三角形三边关系的重要定理，它表明直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。即，如果直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有a²+b²=c²。这一定理在解决与直角三角形相关的问题时具有广泛的应用。 2 切线性质 切线是与圆只有一个公共点的直线。在解决与圆相关的最值问题时，切线的性质往往能提供关键的线索。例如，过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。这一性质在求解与切线长相关的最值问题时非常有用。 二、方法 1 利用勾股定理求解最值问题 在解决与直角三角形相关的最值问题时，可以充分利用勾股定理。通过设定变量，建立勾股定理的等式，然后结合题目的其他条件进行求解。例如，在求解直角三角形中的最短边或最长边时，可以设定直角三角形的两条直角边为未知数，然后利用勾股定理建立等式进行求解。 2 利用切线性质求解最值问题 在解决与圆相关的最值问题时，可以充分利用切线的性质。首先，需要明确题目的求解目标，然后结合切线的性质进行求解。例如，在求解过圆外一点引圆的两条切线的最短距离时，可以设定切点为未知数，然后利用切线长相等和两点间距离公式进行求解。 例6．如图，在中，．的半径为2，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点Q为切点），则线段长的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接、，利用勾股定理得到，由切线的性质得到，得到，分析可知当线段长最小时，线段长也最小，根据垂线段最短性质可知当时，线段长有最小值，再利用三线合一和直角三角形的性质得到，即可求出线段长的最小值． 【详解】解：如图，连接、， ，， ， 是的一条切线， ， ， 在中，， 当线段长最小时，线段长也最小， 当时，线段长有最小值， 由三线合一性质可得，此时点在的中点， ， ， 线段长的最小值为． 故选：D． 变式6-1．如图，在直角坐标系中，以点为圆心，画半径的圆，点为直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ）    A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定、一次函数的应用，正确找出当时，的值最小，则取得最小值是解题关键．设直线分别与轴，轴交于点，连接，先求出，再根据圆的切线的性质可得，根据勾股定理可得，从而可得当时，的值最小，则取得最小值，然后根据等腰三角形的判定和勾股定理可求出，由此即可得． 【详解】解：如图，设直线分别与轴，轴交于点，连接，    当时，，解得，即， 当时，，即， ∴， ∵轴轴， ∴， ∵的圆心为，半径为， ∴，， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∴当的值最小时，取得最小值， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴此时， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 变式6-2．如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形，关键是由勾股定理得到当时，最小．连接OQ，由切线的性质定理推出，由勾股定理得到，因此当时，最短，再结合30°角的直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵切圆于Q， ∴半径， ∴， ∵圆的半径为1， ∴， ∴当最小时，最小， 当时，最小， ， ， ， ∴的最小值是． 变式6-3．如图，在中，．的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线(点为切点)，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．连接，根据勾股定理知，可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：连接． ∵是⊙的切线， ∴； ∴， ∴当时，线段OP最短， ∴PQ的长最短， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 类型七、中位线与瓜豆原理 一、中位线知识点 中位线是指在三角形中，连接两个中点（即任意两边中点的连线）所得的线段。中位线的性质包括： 1.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边边长的一半。 这一性质在解决与三角形边长、周长及面积相关的问题时非常有用。 二、瓜豆原理知识点 瓜豆原理，也称作主从联动轨迹问题或瓜豆模型，是中考几何中的热门考点。其本质是位似图形，而位似本质是相似。瓜豆原理指的是：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。主动点在直线上运动，从动点的运动轨迹也是直线；主动点在圆周上运动，从动点的运动轨迹也是圆。 瓜豆原理的题型特点包括： 1.有两个动点，一个定点（两动一定）。 2.两动点和定点之间连线段夹角的度数是定值（定角）。 3.两动点和定点之间连线段长度的比值是定值（定比值）。 解题步骤一般为： 1.找出主动点的起点和终点。 2.找出题中所有的定点。 3.验证两个必要条件，即主、从动点与定点连线的夹角为定值，主、从动点到定点的距离之比是定值。 4.若上述两个必要条件成立，则确定为“瓜豆”模型，进而确定从动点的起点和终点。 5.利用相似三角形或全等三角形的性质求解。 三、解题方法 在解决最值问题时，可以结合中位线和瓜豆原理进行求解。具体方法包括： 1.利用中位线的性质，求出与三角形边长、周长及面积相关的最值问题。 2.利用瓜豆原理，确定主动点和从动点的运动轨迹，进而求出与动点相关的最值问题。在求解过程中，需要注意抓住动点之间的关系，这是解题的核心线索。同时，要注意分析题目条件，把关系找全、找准。最后，根据动点的运动轨迹和特殊位置，求出最值。 例7．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，定点、、为3个格点，以点为圆心作圆，使点落在内，过点任意作弦，取的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理与网格问题；连接，，根据垂径定理得出，得到在以为直径的上运动，连接交于点，当重合时，取得最小值，根据勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示连接，， ∵的的中点 ∴， ∴， ∴在以为直径的上运动， 当重合时，取得最小值， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 变式7-1．如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】作的外接圆，连接，取的中点Q，连接，证明是等边三角形，求出，得到点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出，当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：作的外接圆，连接，取的中点Q，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出， 当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值， ∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴． ∴的最小值是， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形，点到圆上的距离，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线构造三角形外接圆是解题的关键． 变式7-2．如图，中，，，在以为圆心，半径为的圆上运动，为的中点，则的最小值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，作的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，即可求解． 【详解】解：如图，设的中点为，连接，， ∵M是的中点，E是的中点， ∴为的中位线， ∴． ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵中，E是的中点，，， ∴， ∴， 当点在下方时， ∴此时最小，为． 故答案为：． 变式7-3．如图，是的直径，C为圆上一点，连接是的中点，，若F为弧上的三等分点，且靠近B点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据垂径定理得，则点E在以为直径的上，可得当P，E，F共线时，有最小值，根据圆的性质得到，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】连接，如图， ∵E是的中点，过圆心， ∴， ∴的中点E在以为直径的上，连接交于点E，此时最小，连接， ∵点F是的三等分点，且靠近点B， ∴， 又∵， ∴是正三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 类型八、定角定弦 一、知识点 定角定弦模型是解决几何动态最值问题的有效工具，其核心在于构造“隐形圆”，将看似复杂的动点轨迹转化为圆的性质分析。该模型主要由两个条件构成：一是存在长度固定的线段（定弦），二是动点对定弦所张的角（定角）大小固定。 二、方法 1、确定隐圆 根据圆周角定理，所有满足同一角度条件的动点的轨迹是一个圆（即隐圆），且该圆的半径与圆心位置可通过定角和定弦的几何关系确定。隐圆的确定是解题的关键，具体操作分为两步： （1）确定圆心位置：根据定角的圆周角推算圆心角，通过几何作图找到圆心。 （2）计算隐圆半径：若定角为锐角，可利用公式 R=AB/（2sinθ） 计算半径（R为隐圆半径，AB为定弦长度，θ为定角）；若定角为直角，半径为定弦的一半。 2、求解最值 当动点在隐圆上运动时，到定点的距离最值可通过公式计算： （1）最大值：PMmax=MO+R（MO为圆心到定点的距离，R为隐圆半径）。 （2）最小值：PMmin=|MO-R|。 3、解题步骤 （1）提取题目中的定弦和定角。 （2）构造隐圆并计算圆心与半径。 （3）确定定点位置后代入最值公式求解。 例8．如图，的半径为2，四边形内接于，，若点是线段上一动点，连接，过点作于点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】连接，取中点H，连接；易得是等边三角形，则；又，由，当点F在上时，最小，即可求得最小值． 【详解】解：如图，连接，取中点H，连接； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 由勾股定理得； ∵，中点为H， ∴， ∵， ∴当点F在上时，最小，最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识点，构造辅助线是解题的关键． 变式8-1．在中，，，，，点P在射线上上运动，连接，交的外接圆于点D，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆、勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 连接，得出是等腰直角三角形，求出，连接交劣弧于点，此时的长即为长的最小值．中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 点在以点为圆心，长为半径的劣弧上运动， ， 劣弧所对的圆周角为， 是等腰直角三角形， ， ， 连接交劣弧于点，此时的长即为长的最小值． ， ， ， ， 长的最小值为2． 故选：A． 变式8-2．如图，已知中，，，，，点在射线上运动，连接，过点，，三点的圆交于点，则的最小值 ． 【答案】2 【分析】本题考查了圆的综合题，点和圆的位置关系，点到圆的最短距离，圆周角定理以及勾股定理的应用．解题的关键是确定点F的运动轨迹．要想求的最小值，则需要知道点F的轨迹，由题意可知，因为点F是因点E而变化的，这意味着点F在以为弦的圆上运动，且为定值，设F在以为弦的圆O上运动，，在中可求得半径，在中求出，点在外，要想最短，点应在线段上，问题进而得解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， 设点F在以为弦的圆O上运动， 当三点共线时，即F运动到位置时，最小， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， ， 即的最小值为2， 故答案为：2 变式8-3．如图，等边的边长为，D、E分别是和上的点，且，、交于点P，连接，则长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】首先证明，推出点P的运动轨迹是O为圆心，为半径的弧上运动（易求，），连接交于N，当点P与N重合时，的值最小，只需求得的长即可． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，圆心为O，则点p在以O为圆心，为半径的劣弧上运动， 连接，交于N，当点p与N重合时，的值最小，最小值为． ∵， ∴， ∵， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质、等腰三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 1．如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点，连接，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键． 2．如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于是定值，只需求解的最小值即可，作点D关于对称点，连接、、，则最小值为的长度，即阴影部分周长的最小最小值为．利用角平分线的定义可求得，进而利用勾股定理和弧长公式求得和即可． 【详解】解：如图，作点D关于对称点，连接、、，    则，，， ∴，当A、C、共线时取等号，此时，最小，即阴影部分周长的最小，最小值为． ∵平分，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又， ∴阴影部分周长的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查弧长公式、勾股定理、角平分线的定义、轴对称性质，能利用轴对称性质求解最短路径问题是解答的关键． 3．如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，作点关于的对称点，连接，交于于点，此时的值最小，即，连接，根据点在上，，为弧的中点，可得，根据圆周角定理可得，可得是等腰直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，交于于点，此时的值最小，即， 连接， ∵点在上，，为弧的中点， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的半径，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，对称图形求对短路径，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键． 4．如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 【答案】 【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果． 【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接， 当，，当，即， 解得：， 即； 而， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时即最小， ∴当时，取得最小值， 即点P与点K重合，此时最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键． 5．如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可． 【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H，    ∵I是的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键． 6．如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值， ∵， ∴，， ∴， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键． 7．在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①． 试判断：的形状为________．    (2)深入探究 小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，． 探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积． 探究二：连接，取的中点，连接，如图③． 求线段长度的最大值和最小值．    【答案】(1)等腰直角三角形 (2)探究一：；探究二：线段长度的最大值为，最小值为 【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推导出，即可判断出是等腰直角三角形， （2）探究一：证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，勾股定理列出方程，解得，即可求的面积； 探究二：连接，取的中点，连接，取、的中点为、，连接，，，分别得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，则，可知点在以为直径的圆上，设的中点为，，即可得出的最大值与最小值． 【详解】（1）解：两个完全相同的矩形纸片和， ， 是等腰三角形， ，．， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）探究一：，，， ， ， ，， ， ，， ， 在中，， ， 解得， ， 的面积； 探究二：连接，取的中点，连接，，取、的中点为、，连接，，，     是的中点， ，且， ， ，， ，且， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 点在以为直径的圆上， 设的中点为， ， 的最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定H点的运动轨迹是解题的关键． 8．在中，，，D为的中点，E，F分别为，上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，． (1)如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，若点P为的中点，连接，求的长； (2)如图2，的延长线交于点M，点N在上，且，求证：； (3)如图3，F为线段上一动点，E为的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件可得为的中点，证明，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解； （2）过点作交的延长线于点，证明，，可得，进而根据，即可得出结论， （3）根据（2）可知，当点在线段上运动时，点在平行于的线段上运动，根据题意作出图形，根据点到圆上的距离求最值即可求解． 【详解】（1）如图，连接 将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段， 是等腰直角三角形， P为FG的中点， ， ， ， ，D为的中点，， ，， ， 在中，； （2）如图，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在与中，   ， ， ， ， 又，，   ， ， ， ， ，   又， ， , ， ， ， ， ； （3）由（2）可知， 则当点在线段上运动时，点在平行于的线段上运动， 将沿翻折至所在平面内，得到， E为的中点， ， ， 则点在以为圆心为半径的圆上运动，当三点共线时，最小， 如图，当运动到与点重合时，取得最小值，． 如图，当点运动到与点重合时，取得最小值， 此时，则． 综上所述，的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，全等三角形的性质与判定，轴对称线的性质，点到圆上一点距离最值问题，正确的添加辅助线是解题的关键． 9．如图①，在中，，，D是BC的中点． 小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转，点B的对应点是点E，连接BE，得到．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题： （1）当点E在直线AD上时，如图②所示． ① ；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是 ． （2）请在图③中画出，使点E在直线AD的右侧，连接CE，试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由． （3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值． 【答案】（1）①50；②；（2）；（3）AE的最小值． 【分析】（1）①利用等腰三角形的性质即可解决问题．②证明，，推出即可． （2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．利用圆周角定理证明即可解决问题． （3）因为点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，所以当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值． 【详解】（1）①如图②中， ∵，， ∴， ②结论：． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵AE垂直平分线段BC， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为50，． （2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P． ∵AD垂直平分线段BC， ∴， ∴， ∵， ∴ ． （3）如图④中，作于H， ∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动， ∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题． 10．在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． (1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”． ①在图中画出点； ②连接交线段于点求证： (2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）①先根据定义和求出点的坐标，再根据点关于点的对称点为求出点Q的坐标；②延长ON至点，连接AQ，利用AAS证明，得到，再计算出OA，OM，ON即可求出； （2）连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，结合对称的性质得出NM为的中位线，推出，得出，则． 【详解】（1）解：①点Q如下图所示． ∵点， ∴点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点， ∴， ∵点关于点的对称点为，， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点，在坐标系内找出该点即可； ②证明：如图延长ON至点，连接AQ， ∵ ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵ ，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使， ∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点， ∴， ∵点关于点的对称点为， ∴， 又∵， ∴， ∴NM为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴，   在中，， 结合题意，，， ∴， 即长的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q和点的轨迹是解题的关键． 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $$