专题05 圆的计算（压轴题专项训练）数学苏科版九年级上册

专题05 圆的计算 目录 典例详解 类型一、正多边形的边与角 类型二、求弧长或圆心角 类型三、求扇形半径或面积 类型四、求圆锥侧面积 类型五、求圆锥底面半径与高 类型六、求不规则图形的面积 类型七、圆锥侧面积的最短路程 压轴专练 类型一、正多边形的边与角 一、正多边形的定义 正多边形是指二维平面内各边相等，各角也相等的多边形。 二、正多边形的边 正多边形的所有边长都相等。如果已知正多边形的边长为s，边数为n，那么它的周长P可以通过公式P=n×s来计算。 三、正多边形的角 1.内角：正多边形的每个内角都相等。内角的度数可以通过公式180°×(n-2)/n来计算，其中n是正多边形的边数。也可以理解为，把圆分为n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的内接正n边形，正n边形的一个内角就等于它所对的圆心角的一半。 2.外角：正多边形的每个外角也相等。外角的度数等于360°除以边数n，即外角=360°/n。正n边形的外角和总是等于360°。 3.中心角：正多边形的中心角是从多边形中心点引出的两条连线之间的夹角。中心角的度数也可以通过公式360°/n来计算，其中n是正多边形的边数。 四、正多边形的对称轴 正多边形具有对称性。对于奇数边的正多边形，连接一个顶点和顶点所对的边的中点的线段所在的直线，即为对称轴；对于偶数边的正多边形，连接相对的两个边的中点，或者连接相对称的两个顶点的线段所在的直线，都是对称轴。 五、正多边形的面积 正多边形的面积可以通过公式面积=(n×s²)/(4×tan来计算，其中s是边长，n是边数。这个公式基于正多边形可以被划分为n个等边三角形，并使用等边三角形的面积公式进行推导。 六、求解正多边形边数的方法 1.已知内角和，边数n=内角和÷180°+2。 2.已知一个内角，边数n=360°/(180°-内角)。 3.已知一个外角，边数n=360°/外角。 例1．已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为（   ） A．1 B． C．2 D．4 变式1-1．如图，与正六边形的边分别交于点F、G，则对的圆周角的大小为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．如图，在正多边形中，若，则该多边形的边数为 ． 变式1-3．如图，在的圆内接正五边形中，过点D作交于点F，则的度数为 ． 类型二、求弧长或圆心角 一、弧长的计算 1.弧长公式：弧长L等于圆心角θ（以弧度为单位）与半径r的乘积，即L=θ×r。当圆心角以度为单位时，弧长公式为L=nπr÷180，其中n为圆心角的度数。 2.计算方法： 半径法：适用于已知圆心角和半径的情况，直接使用弧长公式进行计算。 弧度法：将角度转换为弧度后，再使用弧长公式进行计算。 扇形面积法：通过计算扇形面积来间接得到弧长。扇形面积公式为A=(1/2)×r²×θ，由于扇形面积与弧长之间的关系是A=L/2，因此可以通过扇形面积来计算弧长。 二、圆心角的计算 1.通过弧长和半径计算圆心角：利用弧长公式L=θ×r，可以推导出圆心角θ=L/r。当弧长L和半径r已知时，可以计算出圆心角θ（以弧度为单位）。若需要将圆心角转换为度数，可以使用公式θ(度数)=θ(弧度)×。 2.利用弦长、半径和圆心角的关系计算：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。因此，如果已知弦长和半径，可以通过构造直角三角形并利用勾股定理等方法来求解圆心角。但这种方法通常比较复杂，且需要一定的几何知识。 三、注意事项 1.在计算过程中，要确保所使用的角度单位是统一的（弧度或度），以避免计算错误。 2.在实际问题中，要根据已知条件和所求问题选择合适的公式和方法进行计算。 3.在求解圆心角时，要注意同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使弧长或弦长相等，所对的圆心角也不一定相等。 例2．如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B、C、D均为顶点，则的长为（   ） A． B． C． D． 变式2-1．一个扇形的半径为4，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 变式2-2．已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长是 ． 变式2-3．“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 类型三、求扇形半径或面积 一、已知扇形面积S和弧长L时 扇形半径r可以通过公式r=2S/L来计算。这个公式基于扇形面积等于弧长与半径乘积的一半这一关系推导得出。 二、已知扇形面积S和圆心角α（以弧度为单位）时 扇形半径r可以通过公式r=√来计算。这个公式基于扇形面积的计算公式推导得出，此时我们利用的是圆心角与扇形面积的关系。 求扇形面积的方法： 一、公式法 扇形面积S的计算公式为S=(1/2)r²θ，其中r为扇形所在圆的半径，θ为圆心角的大小（以弧度为单位）。也可以将圆心角的大小转换为度数，使用公式S=nπr²/360来计算，其中n为圆心角的度数。 二、直接计算法 直接计算法是最简单的求解扇形面积的方法，只需将圆心角的大小除以360°，然后将结果乘以π和圆的半径的平方即可得到扇形面积。这种方法适用于求解简单类型的扇形面积。 三、弧长与弦长的关系法 对于复杂类型的扇形面积，可以通过求解弧长和弦长来求解。根据圆心角的大小和半径，可以求出弧长；根据弧长和弦长的关系，可以求出弦长；再根据弦长和半径的关系，可以求出扇形面积。 例3．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．如图，是的直径，弦于点，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 变式3-2．如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为 厘米． 变式3-3．荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是 ． 类型四、求圆锥侧面积 知识点： 圆锥侧面积的计算公式为 S侧 = πrl，其中 r 为圆锥底面半径，l 为圆锥母线长。 方法： 一、理解公式 明确圆锥侧面积公式 S侧 = πrl 的含义，即圆锥侧面积等于底面半径与母线长的乘积的π倍。 二、确定参数 确定圆锥的底面半径 r 和母线长 l。底面半径通常可以直接从题目中获取，而母线长可能需要通过勾股定理或其他几何关系计算得出。 三、代入公式计算 将确定的底面半径 r 和母线长 l 代入公式 S侧 = πrl 中进行计算，得出圆锥的侧面积。 四、验证结果 如有条件，可以通过其他方法或公式验证计算结果的正确性，如利用圆锥的侧面展开图是一个扇形这一性质，通过计算扇形的面积来验证圆锥侧面积的计算结果。 例4．已知一个圆锥的高为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若每个小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 变式4-2．已知圆锥的高是，底面圆的半径为，则这个圆锥的侧面展开图的面积为 变式4-3．如图，圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的侧面积是 ． 类型五、求圆锥底面半径与高 一、知识点 圆锥是由一个圆的直径（底边）和一个顶点连接而成的几何体。底面圆的半径通常被表示为r，顶点到底边的距离被表示为h。圆锥的底面半径是圆锥的重要参数之一，与圆锥的底面积、体积等属性密切相关。 二、方法 1. 已知圆锥的底面积求底面半径： 公式：A = πr²（A为底面积） 方法：将公式变形为r² = A/π，再对两边求平方根，得到r = √。 2. 已知圆锥的母线和高求底面半径： 方法：利用勾股定理，r = √，其中l为母线长，h为圆锥高。 例5．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．如图，将一个扇形围成圆锥的侧面，已知扇形面积为，扇形半径，则圆锥的底面圆半径 ． 变式5-3．一个圆锥体的侧面展开图是一个圆心角为，半径为6的扇形，则这个圆锥体的高为 ． 类型六、求不规则图形的面积 知识点： 不规则圆通常指的是形状不完全标准的圆形，可能包含一些凸起或凹陷的部分，或者与其他图形（如正方形、三角形等）有重叠。 面积计算需要基于图形的具体形状和尺寸。 方法： 分解法：将不规则圆分解成若干个规则图形（如扇形、三角形、矩形等），分别计算这些图形的面积，然后将它们相加得到总面积。这种方法适用于形状较复杂、难以直接计算的不规则圆。 近似法：如果不规则圆的形状接近于某个规则图形（如椭圆、圆形等），可以使用该规则图形的面积公式进行近似计算。近似法的准确性取决于不规则圆与规则图形之间的相似程度。 相减法：如果不规则圆是由一个规则图形减去另一个规则图形得到的（例如，一个圆减去一个正方形），可以直接使用相减法计算面积。即先计算较大图形的面积，再减去较小图形的面积。 辅助线法：在某些情况下，可以通过添加辅助线将不规则圆转化为更易于计算的规则图形。例如，可以通过添加对角线、切线等辅助线将不规则圆划分为若干个三角形或扇形。 例6．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 变式6-1．如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转，点O，B的对应点分别为，连接，则图中阴影部分的面积是 （   ） A． B． C． D． 变式6-2．如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．再以点为圆心，长为半径画弧，交于点，若，且平分，，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 变式6-3．如图，为的外接圆，为的直径，交于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求图中阴影部分的面积． 类型七、圆锥侧面积的最短路程 知识点： 圆锥的侧面积公式为 S = π R L，其中 R 是圆锥底面半径，L 是圆锥母线长。此公式用于计算圆锥的侧面积。 方法： 一、求解圆锥侧面上两点间的最短路程 当需要在圆锥侧面上求解两点间的最短路程时，通常需要将圆锥侧面展开为一个扇形。在这个扇形中，两点间的最短路程就是连接这两点的线段，也就是扇形的弦。为了找到这个最短路程，我们可以使用勾股定理。 1. 将圆锥侧面展开为扇形。 2. 在扇形上确定两点的位置。 3. 连接这两点形成弦. 4. 如果需要，可以使用勾股定理来计算弦的长度，即最短路程。 二、通过建模求解圆锥侧面上的最短路径问题 对于更复杂的情况，如蚂蚁沿圆锥侧面爬行的问题，我们需要通过数学建模来求解。 1.理解问题背景，明确求解目标。 2.将圆锥侧面展开为平面图形（扇形）。 3.在平面图形上确定蚂蚁的起始点和终点。 4.利用“两点之间线段最短”的原理，在平面图形上找到蚂蚁爬行的最短路径。 5.如果需要，将平面图形上的最短路径转换回圆锥侧面上的路径。 例7．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 变式7-1．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4． （1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数． （2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离． 变式7-2．如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，P是母线的中点．求在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长． 变式7-3．已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离． 1．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　） A． B． C．3 D． 2．如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 3．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 4．如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 ．    5．如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ． 6．如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，则 度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ． 7．综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 8．如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 9．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 10．在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图 小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．” 你认同小亮的说法吗？请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 圆的计算 目录 典例详解 类型一、正多边形的边与角 类型二、求弧长或圆心角 类型三、求扇形半径或面积 类型四、求圆锥侧面积 类型五、求圆锥底面半径与高 类型六、求不规则图形的面积 类型七、圆锥侧面积的最短路程 压轴专练 类型一、正多边形的边与角 一、正多边形的定义 正多边形是指二维平面内各边相等，各角也相等的多边形。 二、正多边形的边 正多边形的所有边长都相等。如果已知正多边形的边长为s，边数为n，那么它的周长P可以通过公式P=n×s来计算。 三、正多边形的角 1.内角：正多边形的每个内角都相等。内角的度数可以通过公式180°×(n-2)/n来计算，其中n是正多边形的边数。也可以理解为，把圆分为n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的内接正n边形，正n边形的一个内角就等于它所对的圆心角的一半。 2.外角：正多边形的每个外角也相等。外角的度数等于360°除以边数n，即外角=360°/n。正n边形的外角和总是等于360°。 3.中心角：正多边形的中心角是从多边形中心点引出的两条连线之间的夹角。中心角的度数也可以通过公式360°/n来计算，其中n是正多边形的边数。 四、正多边形的对称轴 正多边形具有对称性。对于奇数边的正多边形，连接一个顶点和顶点所对的边的中点的线段所在的直线，即为对称轴；对于偶数边的正多边形，连接相对的两个边的中点，或者连接相对称的两个顶点的线段所在的直线，都是对称轴。 五、正多边形的面积 正多边形的面积可以通过公式面积=(n×s²)/(4×tan来计算，其中s是边长，n是边数。这个公式基于正多边形可以被划分为n个等边三角形，并使用等边三角形的面积公式进行推导。 六、求解正多边形边数的方法 1.已知内角和，边数n=内角和÷180°+2。 2.已知一个内角，边数n=360°/(180°-内角)。 3.已知一个外角，边数n=360°/外角。 例1．已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接、，过点作，垂足为，证明为等边三角形，得出，设，则，求出，，再由正六边形的面积为，得出，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，过点作，垂足为， ， ∵正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∵正六边形的面积为， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴正六边形的边长为， 故选：C． 变式1-1．如图，与正六边形的边分别交于点F、G，则对的圆周角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形内角与外角．首先求得正六边形的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，即， ∴． 故选：C． 变式1-2．如图，在正多边形中，若，则该多边形的边数为 ． 【答案】10 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法以及圆周角定理是正确解答的关键．根据正多边形的性质，中心角的计算方法以及圆周角定理列方程求解即可 【详解】解：如图，设这个正边形的外接圆为，连接，， 则， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 这个正多边形是正十边形， 故答案为：10． 变式1-3．如图，在的圆内接正五边形中，过点D作交于点F，则的度数为 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查圆内接正多边形，三角形内角和，连接，，根据圆内接正五边形，得到，，则，得到，根据等腰三角形得到，再由得到，最后根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：连接，， ∵在的圆内接正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 类型二、求弧长或圆心角 一、弧长的计算 1.弧长公式：弧长L等于圆心角θ（以弧度为单位）与半径r的乘积，即L=θ×r。当圆心角以度为单位时，弧长公式为L=nπr÷180，其中n为圆心角的度数。 2.计算方法： 半径法：适用于已知圆心角和半径的情况，直接使用弧长公式进行计算。 弧度法：将角度转换为弧度后，再使用弧长公式进行计算。 扇形面积法：通过计算扇形面积来间接得到弧长。扇形面积公式为A=(1/2)×r²×θ，由于扇形面积与弧长之间的关系是A=L/2，因此可以通过扇形面积来计算弧长。 二、圆心角的计算 1.通过弧长和半径计算圆心角：利用弧长公式L=θ×r，可以推导出圆心角θ=L/r。当弧长L和半径r已知时，可以计算出圆心角θ（以弧度为单位）。若需要将圆心角转换为度数，可以使用公式θ(度数)=θ(弧度)×。 2.利用弦长、半径和圆心角的关系计算：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。因此，如果已知弦长和半径，可以通过构造直角三角形并利用勾股定理等方法来求解圆心角。但这种方法通常比较复杂，且需要一定的几何知识。 三、注意事项 1.在计算过程中，要确保所使用的角度单位是统一的（弧度或度），以避免计算错误。 2.在实际问题中，要根据已知条件和所求问题选择合适的公式和方法进行计算。 3.在求解圆心角时，要注意同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使弧长或弦长相等，所对的圆心角也不一定相等。 例2．如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B、C、D均为顶点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，由题意可得：为所在圆的圆心，为格点，取格点，连接，过作于，，可得为等边三角形，，求解；再利用弧长公式计算即可. 【详解】解：如图，由题意可得：为所在圆的圆心，为格点，取格点，连接，过作于， ∵由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由等边三角形的性质可得：，，而， ∴，， ∴， ∴； ∴的长； 故选：A 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，三角形的外接圆的圆心的确定，作出图形是解本题的关键. 变式2-1．一个扇形的半径为4，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，根据扇形的弧长公式，代入已知的半径和弧长，解方程即可求出圆心角的度数即可． 【详解】解：设圆心角的度数为， 根据题意，得， 解得 即扇形的圆心角度数为， 故选：B． 变式2-2．已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长是 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：， ∴扇形的弧长是． 故答案为：． 变式2-3．“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角度数．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：． 类型三、求扇形半径或面积 一、已知扇形面积S和弧长L时 扇形半径r可以通过公式r=2S/L来计算。这个公式基于扇形面积等于弧长与半径乘积的一半这一关系推导得出。 二、已知扇形面积S和圆心角α（以弧度为单位）时 扇形半径r可以通过公式r=√来计算。这个公式基于扇形面积的计算公式推导得出，此时我们利用的是圆心角与扇形面积的关系。 求扇形面积的方法： 一、公式法 扇形面积S的计算公式为S=(1/2)r²θ，其中r为扇形所在圆的半径，θ为圆心角的大小（以弧度为单位）。也可以将圆心角的大小转换为度数，使用公式S=nπr²/360来计算，其中n为圆心角的度数。 二、直接计算法 直接计算法是最简单的求解扇形面积的方法，只需将圆心角的大小除以360°，然后将结果乘以π和圆的半径的平方即可得到扇形面积。这种方法适用于求解简单类型的扇形面积。 三、弧长与弦长的关系法 对于复杂类型的扇形面积，可以通过求解弧长和弦长来求解。根据圆心角的大小和半径，可以求出弧长；根据弧长和弦长的关系，可以求出弦长；再根据弦长和半径的关系，可以求出扇形面积。 例3．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可． 【详解】解：根据弧长公式：，其中， 代入得： 解得： 故选：A． 变式3-1．如图，是的直径，弦于点，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，掌握垂径定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，求得半径，再由垂径定理，可得，可知与等底等高，进而把阴影部分面积转化为扇形的面积，即可得出答案． 【详解】解：和都对着，， ， ， ， ， ， 是的直径，弦于点， ，， 与等底等高，即，， ， ， 故选：D． 变式3-2．如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的公式，熟练掌握弧长公式：是解题的关键，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：设圆弧所在圆的半径为，由弧长公式得： ， 解得：， 故答案为：． 变式3-3．荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了扇形面积，利用较大扇形面积减去较小扇形面积即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，该环形荷花装饰挂画的面积是： ， 故答案为： 类型四、求圆锥侧面积 知识点： 圆锥侧面积的计算公式为 S侧 = πrl，其中 r 为圆锥底面半径，l 为圆锥母线长。 方法： 一、理解公式 明确圆锥侧面积公式 S侧 = πrl 的含义，即圆锥侧面积等于底面半径与母线长的乘积的π倍。 二、确定参数 确定圆锥的底面半径 r 和母线长 l。底面半径通常可以直接从题目中获取，而母线长可能需要通过勾股定理或其他几何关系计算得出。 三、代入公式计算 将确定的底面半径 r 和母线长 l 代入公式 S侧 = πrl 中进行计算，得出圆锥的侧面积。 四、验证结果 如有条件，可以通过其他方法或公式验证计算结果的正确性，如利用圆锥的侧面展开图是一个扇形这一性质，通过计算扇形的面积来验证圆锥侧面积的计算结果。 例4．已知一个圆锥的高为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积求解，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 先根据勾股定理求出底面半径，再由圆锥的侧面积公式（为底面圆半径，为母线）求解即可． 【详解】解：∵高与底面垂直， ∴高，母线，半径组成的三角形的是直角三角形， ∴底面半径为：， ∴圆锥的侧面积为， 故选：D． 变式4-1．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若每个小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据勾股定理得，根据勾股定理逆定理得出，再求出扇形面积即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴，， ∴， ∴， ∴这个圆锥的侧面积是． 故选：D． 变式4-2．已知圆锥的高是，底面圆的半径为，则这个圆锥的侧面展开图的面积为 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，涉及勾股定理，熟练掌握圆锥母线与高、底面半径的关系及侧面积公式是解题的关键．先根据圆锥的高和底面半径，利用勾股定理求出母线长，再结合圆锥侧面积公式（侧面积 = π×底面半径×母线长 ）计算侧面积． 【详解】解：∵ 圆锥的高，底面圆半径，圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形，母线为斜边， 根据勾股定理， ∴ ． ∴ 侧面积 ． 故答案为： ． 变式4-3．如图，圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，解得，然后根据圆锥侧面积公式，即可求解． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 根据题意得，解得 所以该圆锥体的侧面积． 故答案为：． 类型五、求圆锥底面半径与高 一、知识点 圆锥是由一个圆的直径（底边）和一个顶点连接而成的几何体。底面圆的半径通常被表示为r，顶点到底边的距离被表示为h。圆锥的底面半径是圆锥的重要参数之一，与圆锥的底面积、体积等属性密切相关。 二、方法 1. 已知圆锥的底面积求底面半径： 公式：A = πr²（A为底面积） 方法：将公式变形为r² = A/π，再对两边求平方根，得到r = √。 2. 已知圆锥的母线和高求底面半径： 方法：利用勾股定理，r = √，其中l为母线长，h为圆锥高。 例5．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理．设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可． 【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ， ， 圆锥的高为， 故选：D． 变式5-1．若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长． 设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径． 【详解】解：设圆锥底面圆半径为， 由题意得：， 解得， 因此，该圆锥的底面圆半径为， 故选：B． 变式5-2．如图，将一个扇形围成圆锥的侧面，已知扇形面积为，扇形半径，则圆锥的底面圆半径 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，圆锥的侧面积等于母线长乘以圆周率乘以底面圆半径，据此建立方程求解即可． 【详解】解；由题意得，， 解得， 故答案为：2． 变式5-3．一个圆锥体的侧面展开图是一个圆心角为，半径为6的扇形，则这个圆锥体的高为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥的高，求圆锥底面圆半径，勾股定理，，设这个圆锥体的底面圆半径为r，根据圆锥底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长建立方程求出r，再利用勾股定理即可求出圆锥的高． 【详解】解：设这个圆锥体的底面圆半径为r， 由题意得，， ∴， ∴这个圆锥体的高为， 故答案为：． 类型六、求不规则图形的面积 知识点： 不规则圆通常指的是形状不完全标准的圆形，可能包含一些凸起或凹陷的部分，或者与其他图形（如正方形、三角形等）有重叠。 面积计算需要基于图形的具体形状和尺寸。 方法： 分解法：将不规则圆分解成若干个规则图形（如扇形、三角形、矩形等），分别计算这些图形的面积，然后将它们相加得到总面积。这种方法适用于形状较复杂、难以直接计算的不规则圆。 近似法：如果不规则圆的形状接近于某个规则图形（如椭圆、圆形等），可以使用该规则图形的面积公式进行近似计算。近似法的准确性取决于不规则圆与规则图形之间的相似程度。 相减法：如果不规则圆是由一个规则图形减去另一个规则图形得到的（例如，一个圆减去一个正方形），可以直接使用相减法计算面积。即先计算较大图形的面积，再减去较小图形的面积。 辅助线法：在某些情况下，可以通过添加辅助线将不规则圆转化为更易于计算的规则图形。例如，可以通过添加对角线、切线等辅助线将不规则圆划分为若干个三角形或扇形。 例6．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答． 【详解】解：如图：连接，作于点B，， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 变式6-1．如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转，点O，B的对应点分别为，连接，则图中阴影部分的面积是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．连接，，证明是含角的直角三角形，根据即可求解 【详解】解：如图，连接， 将半径为4，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转， ，，， 是等边三角形 ，， 三点共线， ，， 是等边三角形， ， ， 又， ， ， ． 故选：D． 变式6-2．如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．再以点为圆心，长为半径画弧，交于点，若，且平分，，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，平行四边形的性质，直角三角形的性质． 连接，由平行四边形的性质推出是等边三角形，是等腰三角形，由直角三角形的性质求出的长，得到的长，求出扇形的面积，扇形的面积，的面积，的面积，即可求出阴影的面积． 【详解】解：连接，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， ∴阴影的面积． 故答案为：． 变式6-3．如图，为的外接圆，为的直径，交于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理可得，进而可得，结合，所以，即可证明是的切线． （2）连接，结合，，可得，，根据，即可证明，，，进而根据等边三角形的性质和判定可得为等边三角形，，，即可由进行求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如解图，连接， 由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等边三角形，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弦弧圆心角的关系，切线判定，扇形的面积公式，等边三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 类型七、圆锥侧面积的最短路程 知识点： 圆锥的侧面积公式为 S = π R L，其中 R 是圆锥底面半径，L 是圆锥母线长。此公式用于计算圆锥的侧面积。 方法： 一、求解圆锥侧面上两点间的最短路程 当需要在圆锥侧面上求解两点间的最短路程时，通常需要将圆锥侧面展开为一个扇形。在这个扇形中，两点间的最短路程就是连接这两点的线段，也就是扇形的弦。为了找到这个最短路程，我们可以使用勾股定理。 1. 将圆锥侧面展开为扇形。 2. 在扇形上确定两点的位置。 3. 连接这两点形成弦. 4. 如果需要，可以使用勾股定理来计算弦的长度，即最短路程。 二、通过建模求解圆锥侧面上的最短路径问题 对于更复杂的情况，如蚂蚁沿圆锥侧面爬行的问题，我们需要通过数学建模来求解。 1.理解问题背景，明确求解目标。 2.将圆锥侧面展开为平面图形（扇形）。 3.在平面图形上确定蚂蚁的起始点和终点。 4.利用“两点之间线段最短”的原理，在平面图形上找到蚂蚁爬行的最短路径。 5.如果需要，将平面图形上的最短路径转换回圆锥侧面上的路径。 例7．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 变式7-1．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4． （1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数． （2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离． 【答案】（1）90°；（2）4 【分析】（1）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得蚂蚁爬行的最短距离为AC的距离，进而即可求解． 【详解】解：（1）设∠ABC的度数为n，底面圆的周长等于2π×1＝，解得n＝90°； （2）连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝45°． ∴是等腰直角三角形， ∵AB＝4， ∴AD＝BD＝4÷=2， ∴AC＝2AD＝4， 即这只蚂蚁爬过的最短距离4． 【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图弧长的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的关键． 变式7-2．如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，P是母线的中点．求在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长． 【答案】cm 【分析】求出圆锥底面圆的周长，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC＝90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可． 【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是6π，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π， 设展开后的圆心角是n°，则， 解得：n＝180°， 则∠BAC＝×180°＝90°， AP＝AC＝3，AB＝6， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长， 如图， 由勾股定理得：BP＝， 答：在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长是3cm． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开﹣最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和空间想象能力，题目是一道具有代表性的题目，有一定的难度． 变式7-3．已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】 【分析】蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中AA′的长度．根据勾股定理求得母线长后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：设扇形的圆心角为n，圆锥的 在Rt△AOS中，∵r=20cm，h=cm， ∴由勾股定理可得母线l==80cm， 而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π=. ∴n=90° 即△SAA′是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：AA'==80cm． ∴蚂蚁爬行的最短距离为80cm． 【点睛】本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式，等腰直角三角形的性质求解． 1．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解． 【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点， ∵， ∴， 则， 故正十二边形的面积为， 圆的面积为， 用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键． 2．如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【答案】C 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解；由题意得，， ∴劣弧的长为千米， 故选：C． 3．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了与圆锥相关的计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与圆锥的底面半径的关系是解题的关键； 先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可 【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长， ∴该圆锥的底面圆的半径为； 故选：A 4．如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 ．    【答案】 【分析】根据正八边形的性质得出四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，，即可． 【详解】解：如图，过点作于，由题意可知，四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，   在中，，， ， 同理， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 5．如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接，证明四边形为菱形，易得为等边三角形，，得到，根据阴影部分的面积等于弓形的面积加上的面积，即为扇形的面积，进行求解即可． 【详解】解：连接，交于点，则：， ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 6．如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，则 度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】 40 2 【分析】本题考查了平行四边形的性质、弧长公式、圆锥等知识，熟练掌握弧长公式是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的外角性质可得的度数；先利用弧长公式求出扇形的弧长，再根据圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 由圆的性质可知，， ∴， ∴， ∴扇形的弧长为， ∴圆锥的底面圆半径为， 故答案为：40；2． 7．综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是： （1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断； （2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可． 【详解】（1）解：能， 理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为， 根据题意，得， 解得， ∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁； （2）解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴圆锥的体积为． 8．如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可； （2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在四边形中，∵ ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． 9．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)240 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键． （1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为； （2）连接，，通过已知条件可证，得到，，进一步证明证出； （3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为， 故答案为：240； （2）解：． 理由如下：连接，． 六边形是等边半正六边形． ，． ． ． 在与中， ， ． ； （3）解：如图，六边形即为所求（答案不唯一）． 作法一： 作法二：． 10．在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图 小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．” 你认同小亮的说法吗？请说明理由． 【答案】不认同，理由见详解 【分析】根据圆锥的侧面面积公式进行比较即可得到答案． 【详解】解：甲圆锥的底面半径为BC，母线为AB，， 乙圆锥的底面半径为AC，母线为AB，， ∵， ∴， 故不认同小亮的说法． 【点睛】本题考查圆锥的侧面面积，解题的关键是熟知圆锥侧面面积的计算公式． 3 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$