精品解析：广东省汕头市潮阳区河溪中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

河溪中学2024-2025学年度第二学期期末考试 高一级数学科试卷 一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上.） 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 3. 甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，密码被成功破译的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为． A. B. C. D. 6. 计算：（ ） A. B. C. D. 7. 如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，底面，，、分别是，的中点，，以下说法错误的是（ ） A. 平面 B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 胡晓统计了他爸爸9月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次.胡晓按每次通话的时间长短进行分组（每组为左闭右开），画出了频率分布直方图. 以下说法正确的是（ ） A. 手机通话时长在区间的次数为9 B. 手机通话时长的众数为2.5 C. 手机通话时长的平均数为11.6 D. 手机通话时长在10分钟以上的频率为0.5 10. 已知角都锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题中的真命题有（ ） A. 当时，的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 函数的定义域为_____________ 13. 已知三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 14. 甲船在岛B的正南A处，，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是___________ h，最近距离是__________ km． 四、解答题(本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，向量，，且. （1）求； （2）若，的面积为，且，求线段的长. 16. 在一个文艺比赛中，5名专业人士和5名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.下面是两组评委对同一名选手的打分： 组 42 47 48 46 52 组 52 36 70 38 39 （1）分别计算两组评委打分极差和平均数； （2）分别计算两组评委打分的方差，并判断哪组更像是由专业人士组成的评委小组； （3）甲、乙是该场比赛的专业人士评委，要从五位专业人士的评委小组中任意选取2人对该选手点评，求恰好甲、乙同时被选中的概率. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是中点． （1）求证： （2）求侧面与底面所成二面角的正弦值. 18 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间； （3）将求函数图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，求在的值域. 19. 已知结论：设函数的定义域为，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然．特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数．设定义在上的函数，满足，． （1）求函数解析式； （2）计算的值，并根据结论写出函数的图象的对称中心； （3）若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河溪中学2024-2025学年度第二学期期末考试 高一级数学科试卷 一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上.） 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集、交集的定义求解即可. 【详解】由，，则， 所以. 故选：C. 2. 复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】求出复数，再根据复数模的概念求. 【详解】方法一：因为， 所以. 故选：C 方法二： 故选：C 3. 甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，密码被成功破译的概率是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质可得答案． 【详解】甲乙都没有成功破译密码的概率为， 则密码被成功破译的概率是. 故选：B. 4. 如图，在中，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件，将 作为基底表示即可求解作答 . 【详解】由题意， ， ； 故选：A. 5. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵是定义在上的奇函数，当时，，∴当时，，当时，，当时，，∴不等式的解集为，故选. 6. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数幂和对数的运算性质求解即可. 【详解】. 故选：B. 7. 如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过观察图像可得A和周期，根据周期公式可求出，再代入最高点坐标可得. 【详解】由图像得，， 则，，， 得，又， . 故选：A. 8. 如图，在三棱锥中，底面，，、分别是，的中点，，以下说法错误的是（ ） A. 平面 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，通过证明即可得到平面；由底面可得，再结合可得平面，进而得到；对于C，根据三棱锥的体积公式求解判断即可；对于D，分别求出三棱锥各个面的面积即可判断. 【详解】对于A，因为、分别是，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，因为底面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面，所以，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由，，，，， 所以， 则， 故D正确. 故选：C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 胡晓统计了他爸爸9月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次.胡晓按每次通话的时间长短进行分组（每组为左闭右开），画出了频率分布直方图. 以下说法正确的是（ ） A. 手机通话时长在区间的次数为9 B. 手机通话时长的众数为2.5 C. 手机通话时长的平均数为11.6 D. 手机通话时长在10分钟以上的频率为0.5 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质求解判断各选项即可. 【详解】对于A，手机通话时长在区间的次数为，故A正确； 对于B，手机通话时长的众数为，故B正确； 对于C，手机通话时长的平均数为 ，故C正确； 对于D，手机通话时长在10分钟以上的频率为，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知角都是锐角，，，则（ ） A. B. C D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，，，，再结合降幂公式、诱导公式、两角差的正切公式求解判断各选项即可. 【详解】由角都是锐角，所以， 由题意得，，解得，，故B正确； 则，所以，故D正确； 而，则，故A错误； 而， 所以，故C错误. 故选：BD. 11. 下列命题中的真命题有（ ） A. 当时，的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：将目标式进行配凑，再利用基本不等式即可求解； 对B：令，构造对勾函数，利用对勾函数的单调性即可求得结果； 对C：直接利用基本不等式即可求得结果； 对D：取特殊值，即可判断正误. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是,故C正确； 对D：因为，且，显然满足题意， 此时有，故D错误. 故选：AC 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 函数的定义域为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】由，解得，且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，把三棱锥补成一个棱长为1的正方体，结合正方体的性质，求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】因为三棱锥的三条棱，，两两垂直，且， 可得把三棱锥补成一个棱长为1的正方体， 则三棱锥的外接球和所补成的正方体的外接球为同一个球， 设三棱锥的外接球的半径为，则，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 14. 甲船在岛B的正南A处，，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是___________ h，最近距离是__________ km． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】假设t小时后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，得到，然后在中，利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，假设t小时后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，此时两船相距最近， 则， 在中，由余弦定理得， 所以当，即航行时间为小时时，最小，即甲、乙两船相距最近， 最近距离是． 故答案为：；. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，向量，，且. （1）求； （2）若，的面积为，且，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出； （2）先根据面积求出，利用向量运算求解的长. 【小问1详解】 因为，所以. 由正弦定理，得，即， 由余弦定理，得. 因为，所以. 【小问2详解】 ，解得. 因为，所以为的三等分点，，则， 所以，. 16. 在一个文艺比赛中，5名专业人士和5名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.下面是两组评委对同一名选手的打分： 组 42 47 48 46 52 组 52 36 70 38 39 （1）分别计算两组评委打分的极差和平均数； （2）分别计算两组评委打分的方差，并判断哪组更像是由专业人士组成的评委小组； （3）甲、乙是该场比赛的专业人士评委，要从五位专业人士的评委小组中任意选取2人对该选手点评，求恰好甲、乙同时被选中的概率. 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据极差和平均数的定义计算即可； （2）根据方差的定义计算即可，进而判断哪组更像是由专业人士组成的评委小组； （3）列举出所有的基本情况，根据古典概型的概率公式求解即可. 【小问1详解】 由表格数据知：组评委打分的极差为， 平均数为， 组评委打分的极差为， 平均数为， 【小问2详解】 组评委打分的方差为， 组评委打分的方差为， 则，又，小组打分波动较小， 故小组更像是由专业人士组成的评委小组. 【小问3详解】 记五位专业人士分别为，甲，乙， 从五位专业人士的评委小组中任意选取2人， 基本情况为，，（，甲），（，乙），，（，甲），（，乙）， （，甲），（，乙），（甲，乙），共10种情况， 其中甲、乙同时被选中的情况有1种情况， 所以恰好甲、乙同时被选中的概率为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是中点． （1）求证： （2）求侧面与底面所成二面角正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据由面面垂直的性质定理可得平面，进而得到，结合可得平面，进而求证即可； （2）取，的中点分别为，，连接，，，可得是侧面与底面所成二面角的平面角，然后在直角三角形中求解即可. 【小问1详解】 在正方形中，， 因为侧面底面，侧面底面，底面， 所以平面， 因为平面，所以，    又因为是正三角形，是的中点，所以， 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 取，的中点分别为，，连接，，，    则，， 因为，所以， 又在正中，， 因为，，平面， 所以平面， 正方形中，，平面， 又，平面，                            所以，，                                               所以是侧面与底面所成二面角的平面角，                 因为平面，， 所以平面， 因为平面，所以，                                    . 设正方形的边长，则，， 所以，所以，                即侧面与底面所成二面角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间； （3）将求函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，求在的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先结合三角恒等变换得，再求函数的最小正周期； （2）结合正弦函数性质求解即可； （3）根据图象平移写出的解析式，结合正弦型函数性质求区间值域即可. 【小问1详解】 ，则. 【小问2详解】 令， 解得， 所以函数单调递减区间为. 【小问3详解】 因为函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 所以， 因为，所以， 则， 所以在的值域为. 19. 已知结论：设函数的定义域为，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然．特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数．设定义在上的函数，满足，． （1）求函数的解析式； （2）计算的值，并根据结论写出函数的图象的对称中心； （3）若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2），对称中心为 （3） 【解析】 【分析】（1）由，可列出关于、的方程组，解出即可得、，即可得的解析式； （2）借助指数运算法则计算即可得的值，进而得到的对称中心； （3）结合函数对称性与单调性可得在上恒成立，借助换元法令，可得在上恒成立，结合二次函数性质即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故. 【小问2详解】 ， 故关于中心对称. 【小问3详解】 由，则， 则， 因在上单调递增且恒为正，则在上单调递减， 故在上恒成立， 令，由，则， 则有在上恒成立， 即在上恒成立， 因函数在上单调递增，在上单调递减， 故，则， 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$