精品解析：江苏省南京市协同体十校2024-2025学年高一下学期期中联合考试数学试卷

2024—2025学年下学期南京市协同体十校期中联合考试数学试卷 一、单选题 1. 的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式及两角差的正弦公式即可求解． 【详解】 故选：B． 2. 在中，，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】因，，所以， 由正弦定理，即，解得. 故选：D. 3. 已知均为单位向量，若，则与夹角的大小等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的线性运算与模长计算即可得，再根据向量夹角余弦公式即可得夹角大小. 【详解】已知，由得， 两边平方可得，所以， 则，可得， 则，由于，所以, 故与夹角的大小等于. 故选：C． 4. 在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（    ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式. 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. 5. 已知，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用辅助公式及二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】依题意，，解得， 所以． 故选：C 6. 若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续的，且同时满足，，则（ ） A. f(x)在上有零点 B. f(x)在上有零点 C. f(x)在上无零点 D. f(x)在上无零点 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即得. 【详解】∵f（x）在[a，b]上的图象是连续的，且，， ∴，∴f(x)在上有零点. 故选：B. 7. 已知、是关于的方程的两根，且，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用韦达定理及和角的正切公式列式求解. 【详解】由是方程的两根，得，， 则，所以. 故选：A 8. 在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，根据三角形等面积可得；再根据基本不等式可得出，进而可求出面积的最小值. 详解】 因为，， 所以 又因为， 所以，. 根据等面积法可得：，即， 整理得. 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 则，解得：，此时，时等号成立. 故. 故选：D 二、多选题 9. 已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（    ） A. B. C. D. 与的夹角为 【答案】AC 【解析】 【分析】将已知等式两边平方可判断A；根据垂直向量的数量积为0可判断B；利用性质计算可判断C；由向量夹角公式直接计算可判断D. 详解】， 将，的代入，可得，故A正确； ，故B错误； ，故，C正确. 设与的夹角为，则， 故，又，故，D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，最小正周期为，则下列结论正确的是（    ） A. B. 是的一个对称轴 C. 的图象的最小值是 D. 点是的一个对称中心 【答案】AB 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简，然后根据三角函数值的最小正周期、对称性、最值等知识逐一判断. 【详解】 ， 对于 A，由，得，故A正确； 对于B，，， 所以是对称轴，故B正确； 对于C，因为，所以图象最小值为，故C错误； 对于D，当时，， 所以是的一个对称中心，故D错误. 故选：AB. 11. 如图，若的外接圆为⊙O，D为AB的中点，则下列说法一定成立的是（ ） A. 若⊙O的半径为定值，则·为定值 B. 若的长度为定值，则·为定值 C. ·＝· D. ·＝2－2 【答案】BCD 【解析】 【分析】由于D为AB的中点，为外接圆的圆心，则垂直平分，所以，对于A，利用平面向量数量积的定义求解判断，对于B，连接，则，而，代入结合数量积的定义和余弦定理化简，对于CD，利用数量积的定义求解即可. 【详解】因为D为AB的中点，为外接圆的圆心， 所以垂直平分，所以， 设⊙O的半径为， 对于A，设，则， 所以 所以， 因为不一定为定值，所以·不一定为定值，所以A错误， 对于B，连接，则是的中线，所以， 所以 , 因为的长度为定值，所以为定值，所以B正确， 对于C，，所以C正确， 对于D， ，所以D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量数量的定义及运算律，考查余弦定理的运算，解题的关键是由题意可知垂直平分，则，然后运算数量积的定义和余弦定理分析判断，考查数学计算能力，属于中档题. 三、填空题 12. 方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据根的分布情况，得到不等式，求出答案. 【详解】设，开口向上， 由题意得，解不等式得 实数m的取值范围是. 故答案为： 13. 若，且 ，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】将两个式子平方得出以及的表达式，即可求出答案. 【详解】由题意， ∵，， ∴， ， 即 ，， ∴ ， 故答案为：. 14. 在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则______ 【答案】 【解析】 【分析】在三角形中过作于，求出，再利用余弦定理解出，进而可求解. 【详解】 如图，过作于，的最小值为， ，得到， 又为锐角，， ，不妨设， 则， ，. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知平面向量． （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为，求的值. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由向量垂直列方程即可得实数k的值； （2）利用求出，再由同角基本关系式得到，最后三角恒等得到答案. 【小问1详解】 ； ，，；解得. 【小问2详解】 ， , ，; ; ，; . 16. 已知，均为锐角，且，． （1）求和值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据，均为锐角，得到，从而利用同角基本关系式即可求出值；根据二倍角的正弦公式及同角基本关系式即可求出值； （2）结合（1）及两角和的正切公式得到，再根据的取值范围即可求得答案． 【小问1详解】 依题意可得，，则， 又，则，所以， 又，所以． 【小问2详解】 结合（1）可得， 又，，则，所以． 17. 在中，内角所对的边分别为，已知，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示，结合正弦定理及和角的正弦求解. （2）利用三角形面积公式及余弦定理求出三角形周长. 【小问1详解】 由，，且，得， 在中，由正弦定理得， 整理得，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由面积为，得，即， 由余弦定理得，解得， 所以的周长. 18. 如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，. （1）求线段的长度， （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将、当作一组基底表示，平方之后求模即可； （2）设，将、当作一组基底表示、，再利用垂直关系即可求解. 【小问1详解】 因为， ， ， ，，， 所以，所以. 【小问2详解】 设，因为， 所以，， ， 所以，所以. 19. 如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段，和以为直径的半圆弧组成，其中为4百米，,为．若在半圆弧，线段，线段上各建一个观赏亭，，，再修两条栈道，使. 记． （1）试用表示的长； （2）试确定点的位置，使两条栈道长度之和最大. 【答案】（1） （2）与重合. 【解析】 【分析】（1）连接，在解出，根据为直角三角形解得关于的函数；（2）在应用正弦定理，再使用二倍角公式与诱导公式化简，根据的取值范围解得栈道长度之和的最大值. 【小问1详解】 由题意，连接．在中， 为4百米，，， ∴，，， ∵为直径， ∴， ∴. 【小问2详解】 由题意及（1）得， 在中， ， ∴， ∴且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当，即时，有最大值10百米，此时与重合， ∴与重合时，栈道长度之和最大，最大值是10百米. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年下学期南京市协同体十校期中联合考试数学试卷 一、单选题 1. 的值为（    ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则（    ） A B. C. D. 3. 已知均为单位向量，若，则与夹角的大小等于（ ） A. B. C. D. 4. 在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（    ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 5. 已知，则的值是（    ） A. B. C. D. 6. 若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续的，且同时满足，，则（ ） A. f(x)在上有零点 B. f(x)在上有零点 C. f(x)在上无零点 D. f(x)在上无零点 7. 已知、是关于的方程的两根，且，则的值为（    ） A. B. C. D. 8. 在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（    ） A B. C. D. 二、多选题 9. 已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（    ） A. B. C. D. 与的夹角为 10. 已知函数，最小正周期为，则下列结论正确的是（    ） A B. 是的一个对称轴 C. 的图象的最小值是 D. 点是的一个对称中心 11. 如图，若的外接圆为⊙O，D为AB的中点，则下列说法一定成立的是（ ） A. 若⊙O的半径为定值，则·为定值 B. 若的长度为定值，则·为定值 C. ·＝· D. ·＝2－2 三、填空题 12. 方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是_____． 13. 若，且 ，则_____. 14. 在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则______ 四、解答题 15. 已知平面向量． （1）若，求实数的值； （2）若与夹角为，求的值. 16. 已知，均为锐角，且，． （1）求和值； （2）求的值． 17. 在中，内角所对的边分别为，已知，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长 18. 如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，. （1）求线段的长度， （2）求的值. 19. 如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段，和以为直径的半圆弧组成，其中为4百米，,为．若在半圆弧，线段，线段上各建一个观赏亭，，，再修两条栈道，使. 记． （1）试用表示长； （2）试确定点的位置，使两条栈道长度之和最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$