天津市弘毅中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试题

高二数学试卷 第 1 页（共 4 页） 天津市弘毅中学 2024—2025 学年度第一学期期中测试 高二数学 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分共 120 分，考试用时 100 分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题的 4 个选项中，只有一项是 符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．． 1．已知 ( )3, 2,5a = − , ( )1, 4, 2b = − ,则 2a b− 等于（ ） A． )9,6,5( −− B． )1,10,1(− C． )2,0,7(− D． )9,6,5( − 2．已知空间中三点 (0,1,0)A ， (2,2,0)B ， ( 1,3,1)C − ，则（ ） A． AB 与 AC 是共线向量 B． AB 的单位向量是 2 5 5 , ,0 5 5   −     C．平面 ABC 的一个法向量是 (1, 2,5)− D． AB 与 BC 夹角的余弦值是 55 11 3．直线 0ax y a+ + = 与直线 0x ay a+ + = 在同一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 4．过点 ( )1,0 且与直线 022 =−− yx 平行的直线方程是（ ） A． 012 =−− yx B． 022 =−+ yx C． 012 =+− yx D． 012 =−+ yx 5．已知圆O的方程是 0102822 =+−−+ yxyx ,则圆O 过点 ( )5,2 的最短弦所在的直线方程是 （ ） A． 03 =−− yx B． 07 =−+ yx C． 092 =−+ yx D． 082 =−− yx 高二数学试卷 第 2 页（共 4 页） 6．圆 02: 221 =−+ xyxO 和圆 04: 22 2 =−+ yyxO 的位置关系是（ ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 7．已知曲线C ： 2 2 9( 0)x y y+ =  ，从C 上任意一点 P 向 x轴作垂线段PP，P为垂足，点 M 满足 2PM MP= ，则点M 的轨迹方程为（ ） A． 2 2 1( 0) 9 y x y+ =  B． 2 2 1( 0) 9 x y y+ =  C． 2 2 1( 0) 36 9 x y y+ =  D． 2 2 1( 0) 9 36 x y y+ =  8．已知 P点是椭圆 2 2 1 4 2 x y + = 上的动点，A点坐标为 1 ,0 2       ，则 | |PA 的最小值为（ ） A． 7 4 B． 7 2 C． 3 2 D． 5 2 9．在棱长为1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中，则平面 1AB C 与平面 1 1A C D 之间的距离（ ） A． 3 6 B． 2 3 3 C． 3 3 D． 3 2 10. 吹奏乐器“埙”（如图 1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆， 下部是半圆，已知半椭圆 2 2 2 2 1 y x a b + = （ 0, 0y a b   且为常数）和半圆 ( )2 2 2 0x y b y+ =  组成 的曲线 C如图 2 所示，曲线 C交 x轴的负半轴于点 A，交 y轴的正半轴于点 G，点 M是半圆 上任意一点，当点M的坐标为 2 1 , 2 2   −     时， AGM 的面积最大，则半椭圆的方程是（ ） A． ( ) 2 24 1 0 3 2 x y y+ =  B． ( ) 2 216 1 0 9 3 x y y+ =  C． ( ) 2 22 4 1 0 3 3 x y y+ =  D． ( ) 2 24 2 1 0 3 3 x y y+ =  高二数学试卷 第 3 页（共 4 页） 第 II 卷（非选择题 共 80 分） 二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.将答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．． 11．已知直线 l 的方向向量u )2,3,1( −= ,平面 的法向量 v )1,,( 21 = ,若 ⊥l ,则 21  + 的值等于 ▲ ． 12．已知圆 2 2: 5O x y+ = O：和点 (1,2)A ，则过 A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的 三角形的面积等于 ▲ ． 13．若圆 C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线 y＝1 相切，则圆 C的方程是 ▲ ． 14．椭圆 2 2 1 9 2 x y + = 的左右焦点分别为 1 2,F F ，点 P 在该椭圆上，若 1 4PF = ，则 1 2F PF 的大小 为 ▲ ． 15．关于椭圆有如下结论：“过椭圆 ( ) 2 2 2 2 1 0+ =   x y a b a b 上一点 ( )0 0,P x y 作该椭圆的切线，切 线方程为 0 02 2 1 x x y y a b + = .”设椭圆 ( ) 2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b + =   的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 且垂 直于 x轴的直线与C 的一个交点为M ，过M 作椭圆的切线 l ，若切线 l 的斜率 1k 与直线 AM 的 斜率 2k 满足 1 22 0k k+ = ，则椭圆 C的离心率为 ▲ ． 三．解答题：本大题共 4 小题，共 60 分，将解题过程及答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．．．．．．． 16．（本小题满分 14 分） 已知圆C 的方程为 2 2 6 4 9 0x y x y+ − − + = （Ⅰ）若直线 l 经过圆C 的圆心，且倾斜角为 3π 4 ，求直线 l 的方程； （Ⅱ）若直线 1y x 与圆C 交于 A， B 两点，求弦 AB 的长． 高二数学试卷 第 4 页（共 4 页） D P E A C B F 17．（本小题满分 15 分） 已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0)C b b y a a x +  = 的左右焦点分别为 1F ， 2F ，上顶点为 P ，长轴长为 4 ，若 1 2PF F△ 为正三角形. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）过点 1F ，斜率为 3 的直线与椭圆相交M ， N 两点，求MN 的长； 18．（本小题满分 15 分） 如图，四棱锥P ABCD− 的底面 ABCD是正方形，侧棱PD ⊥底面 ABCD，E 是PC 的中点， =2PD DC= ， F 为棱PB上的点且 PBPF 3 1 = . （Ⅰ）证明： / /PA 平面BDE ； （Ⅱ）求 PE 与平面DEF 所成角的余弦值； （Ⅲ）求平面 BDE 与平面DEF 夹角的余弦值. 19．（本小题满分 16 分） 已知椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = ( )0a b  的离心率 3 2 e = ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 为 4． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 ,A B ，已知点 A的坐标为 ( ),0a− ，点 ( )00,Q y 在 线段 AB 的垂直平分线上，且 4QA QB = ．求 0y 的值．