天津市弘毅中学2024-2025学年高三上学期期中测试数学试题

高三数学试卷 第 1 页（共 4 页） 天津市弘毅中学 2024—2025学年度第一学期期中测试 高三数学 本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 第 I卷（选择题 共 45分） 一、选择题：本大题共 9小题，每小题 5分，共 45分，在每小题的 4个选项中，只有一项是 符合题目要求的，将答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．。 1．已知  1 , { 5, }A x x B x x x     N∣ ∣ ，则 A B  （ ） A． 0,1 B． 1 C．  0,1 D．  0,1 2．“ π 2    ”是“函数  sin 2y x   在 π ,0 2 x      上单调递减的（ ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 3．函数  f x 的图象如图所示，则  f x 的解析式可能是（ ） A．   sinf x x x B．   2sinf x x x C．   2cosf x x x D．   cosf x x x 4．已知球的表面积为 2144πcm ，则该球的体积是（ ）cm³ A．64π B．144π C．216π D．288π 5．化简 2 2 log 33 58 2 lg 2lg 2 2     的值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．已知 0.2 2 3log 0.3, log 3, log 4a b c   ，则 , ,a b c的大小关系是（ ） A． c b a  B．b c a  C．a c b  D．a b c  高三数学试卷 第 2 页（共 4 页） 7．在数列 na 中， 1 160, 3n na a a    ，则 1 2 25a a a   等于（ ） A．630 B．648 C．660 D．675 8．已知向量 a  在向量b  方向上的投影向量的模 2，向量b  在向量a  方向上的投影向量的模为1， 且    2 3     a b a b ，则向量 a与向量b的夹角为（ ） A． π 6 B． π 4 C． 3π 4 D． 5π 6 9.已知定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f(x + 4) = f(x)，且当 0 ≤ x ≤ 2 时，f x = min − x2 + 2x, 2 − x ，若方程 f(x) − (2t + 1)x = 0 恰有两个根，则 t的取值范围是( ) A. [ − 32 , − 2 3 ] ∪ [ − 1 3 , 1 2 ] B. ( − 3 2 , − 2 3 ) ∪ ( − 1 3 , 1 2 ) C. ( − 32 , − 2 3 ] ∪ [ − 1 3 , 1 2 ) D. [ − 3 2 , − 2 3 ) ∪ ( − 1 3 , 1 2 ] 第Ⅱ卷（非选择题 共 105分） 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分，将答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．。 10．若 , Ra b ，且 1( i) i 2 2 a b        ，则 ia b 的共轭复数为 . 11．若两个正实数 x，y满足 2 1 2  x y ，并且 2 3 2x y m   恒成立，则实数 m的取值范围 是 ．当 x等于 时， 2 3 2x y m   中等号成立． 12．与圆柱底面成 45 角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的 最大值为 3，最小值为 1，则该几何体的体积为 . 13．在边长为 1的正方形 ABCD中，点 E为线段CD的三等分点， 1 , 2 CE DE BE BA BC   uur uur uuur   ， 则    ；F 为线段 BE上的动点，G为 AF 中点，则 AF DG   的取值范围为 . 高三数学试卷 第 3 页（共 4 页） 14．已知函数� � = �sin �� + � （ 0A  ， 0  ， π 2   ）的部分图象如图所示，下列说法 正确的是 .（写出下列选项的序号即可） ①．函数  f x 的图象关于直线 5π 12 x   对称 ②．函数  f x 的图象关于对称 π ,03      ③．该图象向右平移 π 6 个单位长度可得 2sin 2y x 的图象 ④．函数  f x 在 2π π,3 6      上单调递增 15．已知数列 �� 满足 1 2 , 2, n n n a n a a n     为奇数 为偶数 ， 1 0a  ，则 8a  ；设数列 �� 的前 n项和 为 nS ，则 2024S  ．（第二个空结果用指数幂表示） 三、解答题：本大题共 5小题，第 16题 14分，第 17题 15分，第 18 题 15 分，第 19 题 15 分，第 20 题 16 分，共 75 分。 16．已知函数    4 4π 33 cos 2 sin cos cos sin3 2f x x x x x x          . (1)求  f x 的最小正周期及单调递增减区间； (2)若方程  f x m 在 π ,0 2     上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围. 17．已知 ABCV 的内角A， B，C所对应的边分别为 a，b， c，且 π2 cos 4 cB a       . (1)求A； (2)若 2 4a b  ，求 ABCV 的面积. (3)若 2 3a  ， ABCV 的面积为S，求S的最大值. 高三数学试卷 第 4 页（共 4 页） 18．如图，在四棱锥 P ABCD 中， PD 平面 ABCD， AD DC ， AB∥DC， 1 2 2 AB AD CD   ， 2PD  ，M 为棱 PC的中点. (1)证明： / /BM 平面 PAD； (2)求平面 PDM 和平面DMB夹角的余弦值； (3)求 A点到平面DMB的距离. 19．已知数列{ }na 为等差数列，{ }nb 是公比不为 0的等比数列， 1 1a  ， 1 2b  ， 2 2 7a b  ， 3 3 13a b  ． (1)求 na ， nb ； (2)设 1 1n n nc a b   ，求数列{cn}的前 n项的和 nS ； (3)设 1 ( 1) (6 1)n n n n n n be a a     ，求数列 ne 的前 n项的和 nT 20．已知函数   lnf x x x  (1)求函数  f x 单调区间； (2)设函数    g x f x a  ，若  1 2, 0,ex x  是函数  g x 的两个零点， ①求 a的取值范围； ②求证： 1 2 1x x  ．