河南省洛阳市强基联盟2024-2025学年高二下学期7月联考数学试题

洛阳强基联盟高二7月联考·数学 参考答案、提示及评分细则 L.A由（门+x)i=1+i得1十=1-i,x=-i.故选A. 2.D因为CmB={xx≤0}，所以A∩(CmB)={x-2≤x≤0.故选D. 3A因为a+仙与2a-b共线，所以存在实数x使2a-b=xa+h),解得x=2.k=一子.放选A 4Ba=b=厄，c=2,焦点坐标为(-2.0)，(2,0)，渐近线方程为y=一x,y=x,所以焦点到渐近线的距离d=是=2.故 选B 5.C因为0.23<0.33<0.32<0.3°=1，所以a<b<1,又因为23>2”=1，所以c>1,所以c>b>a.故选C 6D函数)=n2x+Bos2x=2sn(2r+号)，所以g()=2sin(2z+）,令2x+暂=受+x,k∈Z得x= 一登+经，k∈乙，结合选项可知D正确，故选D 7.D由已知点A1在圆锥的母线SA上，在正四棱台中，连接AC,A,C1,由AB=2A,B=4,得AC=2AC=42,又AA =22,所以在四边形ACCA中，可求得正四棱台的高为/6：由AB=2AB可知SA=2SA,所以圆锥SO的高SO= 26.又圆锥底面半径OA=S=2厄，所以圆维S0的体积为(22)P×26x=16三.故选D 3 8.B根据题意，f(x)图象上的任意一点M(x,y)绕原点旋转180°后得到的点M(一x,一y)仍在f(x)的图象上，联立 1y=f(x), 消去y得f(-x)=一f(x),所以f(x)是奇函数，f(0)=0,又f(1-x)+f(3-x)=0,所以f(x)十 -y=f(-x), f(2+x)=0,f(2十x)+f(4+x)=0,因此f(4+x)=f(x),所以f(x)是周期函数，4是f(x)的一个周期，所以g(x)= f(x)fx-2)也是周期函数，4是g(x)的一个周期.又由f(x)十f(2+x)=0可得f(2)=一f(0)=0,f(3)=一f(1)= -1,于是g(1)=f(1)f(-1)=f(-1)=-f1)=-1,g(2)=f(2)f(0)=0,g(3)=f(3)f(1)=-1,g(4)=f(4)f(2) -0,所以写g0=506×[g1D+g2+g3)+g4]+g2025)=-1012+g2025)=-1012+gD=-1012-1 =-1013.故选B 8AB=-2时-2一8=0所以A正确：因为a6都是非零实数，且a克古合号>0，所以B正 确：南0<<1+十=(+亡)[x+1-x门=2+号+产≥2+2·舌=4，当且仅当 =产即=时等号成立，所以C错误：因为+y-1=o<u生心=生产，当且仅当==1时等 号成立，所以x2+y≤2，所以√+y的最大值为2，所以D错误.故选AB. 10.BCD令x=0得a=25,所以A错误；令x=1得a十a1十a2十…十a2s=1,所以B正确：令x=-1得a。一a1十a2 一a十…一a贴=32喝，显然aua,a4,…,a都是正数，a1,a,…,a2s都是负数，所以a十|a十a2十…十 |ags=a,一a,十a一a十…一a2g=3%,所以C正确：对(2-x)2晒=a十a1x十a2x2+…十dms2晒两边同时求 导，得-2025(2-x)2=a1+2au.x+3agx2+…十2025a2sx2@4,取x=1得a1+2a2+3a十…+2025ag05 -2025,所以D正确.故选BCD. 1山.ACD因为>0时x)=产=eh=(e)h,令g(x)=n,则g(x)=1+inx,所以0<x<时g'(x)<0, gx)在(0，上)上单调递减x>上时g'(x)>0,g(x)在（仁，+o∞）上单调递增，所以f(x)=(e)山在(0，上）上单 调递减，在(，十©∞)上单调递增，x=二时fx)取最小值，最小值为e,所以A,C正确，B错误.根据约翰·纳皮尔 的发现可知，0<r<。时f(x)的值域是(e是，1)，又显然x十∞时产→+o,所以x>。时f(x)的值域是 【高二7月联考·数学参考答案第1页（共4页）】 (e是，+o∞)，又因为e<2<1,所以在区间(0，)和（仁，+）上分别存在一个实数a,b,使f)=f6 2t,所以D正确.故选ACD. 12号 设椭圆C号+芳-1的半焦距为6，由题意可得V匠+不=2c,整理得2-=8，因此心=号-号，所以C 的离心*为。一号 18(45,65】因为a+26osA-2=0,所以osA=22云，在△AC中，由余弦定理可得msA-+亡，所以 2bc 24=士正，整理可得亡+a一分=c,所以sB=心左-子，因为BC0,,所以B=子由正弦定理 2b 2hc 2ac 得ACB4,所以a=4sA,=4snC,所以△ABC的周长为a十c+b=4s血A+5inC+2原=4nA b +4sm(A+号)+25=6sinA+23asA+25=43m(A+吾)+25.因为0<A<则吾<A+吾<晋，所以 号<sn(A+吾)<1，所以4B<a+b计<6,5，即△ABC周长的取值范围为(43,6B]。 14.13设这10个样本数据分别为A,n,…,0,且≤≤…≤0.因为10×65%=6.5，所以这10个数据的65%分位数 为.设1，x的平均值为m,方差为S,xn的平均值为，方差为T,由题意知，6mm士4切=10，则 10 m=02:6=6S+m-10+4T+6m-1023m-10P+2m-10],所以6≥ (022-10）+2(m-10)2 3 3 10 整理得(n一10)≤9，解得7≤≤13，进而≤n≤13，当且仅当S=T=0时等号成立，即x1=x2=x3=x==x6= 8,x=x8=x9=x10=13时，取到最大值13. 15.解：(1)因为抛物线C的方程为y2=4x,所以抛物线C的准线方程为x=一1， …3分 (2)因为M(t,2)在C的准线上，所以1=一1，即M(一1,2)，… …4分 0-2 易得F的坐标为1,0).此时g1（一1，… 6分 因为MF⊥l,所以F…=一1，解得k=1,…8分 所以l的方程为y=工-1，设A(x1y),B(x2,为)，…10分 )一一.清去y并整理得2-6x+1=0,由韦达定理得西十=6. 3y2=4x, 联立 12分 所以|AB|=x1十x十2=8.… …13分 16.(1)证明：若n为奇数，则n十1是偶数，n十2是奇数， 所以a+1=an十1，a2=(an十1)+2=a.十3，即a2-a.=3, 4分 所以{a.)的奇数项是首项为a1=1,公差为3的等差数列. 5分 (2)解：当h=2k(k∈N)时，Sn=S4=(a十a十a,+…十a-1)十(a:十a十a+…+aw) =(a1+4十a5十…+a-)+(a1+1+a+1+a+1+…+a-1+1) =2a,十a十a,十…+ag-1)+k=2[a,+2D×3]+大 2 =3k=3X(g）=g,……10 10分 4 因为a24=a4-1十1=a1+3(k-1)+1=3k-1,… 11分 所以当n=2k-1(k∈N”)时，S=S4-1=Ss-一a类=3k-3k+1 =3×(）-3x"空+1=r+. 2 14分 子m为偶数。 综上所述，Sn 15分 +n为奇数 【高二7月联考·数学参考答案第2页（共4页）】 17.解：(1)因为PA⊥平面ABCD,ADLAB,所以AP,AD,AB两两垂直，以AB,AD,AP所在直↑ 线分别为x,y,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(7,0,0),C(7,14,0), D(0,7,0),P(0.0,14),F(7,14,8),BD=(-7,7,0).B2=(-7,0,14),BF=(0,14,8). 设m=(x,y,)为平面BDP的一个法向量， m·BD=-7x+7y=0, 则 取=1，x=y=2,则m=(2,2,1),…4分 m.B=-7.x+14=0, 设直线BF与平面BDP所成角为O, 则sin0= B萨.m 0×2+14X2+8X1L==6/6 1BFm/0+14+8·√2+22+1平 65 …7分 点F到平面BDP的距离为d=萨：m=10X2士14X2+8X1=12 m …9分 2+2+1 注：点F到平面BDP的距离也可以利用1亦Xsm=2√丽×5压=12求解。 65 (2)设n=(a,b,c)为平面BDF的一个法向量， n·BD=-7a+7b=0, 则 取c=-7,a=b=4,则n=(4,4,-7), …11分 n.BF=14b+8c=0. 2×4+2×4+1×(-7)1 cos(m,)=m1n/2+y+J下，/+4+(-7产=3， 14分 所以二面角P-BD-F的正孩值为2号 15分 18.解：(1)记“小明的家长得到2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车”为事件A, 则P(A)= CICCiA 8 -1281 即小明的家长获得2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车的概率为 …3分 (2)①依题意，X的所有取值为1,2,3,4，… …4分 C C X的分布列为： 2 14 …8分 数学期塑E0X0=1X+2X号+3×号+4×分-号 10分 ②两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车，包括3种情况： (1)第一次交换后小明家是2台摩托车2台跑车， 其概率P,-[(×得)+（侣×号）][（侣×号）+（侣×号）]-×-子： ()第一次交换后小明家是1台摩托车3台跑车， 其概率P,= (得×得)（得×号）=×号××是-品： (m)第一次交换后小明家是3台摩托车1台跑车， 其概*P,=(得×号)（侣×得）号×号×是×是-品 16分 因此所求概率P=P,+P,+P=+景+品-品 17分 【高二7月联考·数学参考答案第3页（共4页）】 191证明：=1时，)=e1-g)=nx+士-1f)=e-1g)=士- 因为f1)=0,(1)=0, 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程是y一0=0×(x一1)，即y=0. …2分 因为g)=h1+}-1=0,g)=0. 所以曲线y=g(x)在点(1，g(1)处的切线方程是y一0=0×(x一1)，即y=0. 所以k=1时曲线y=f八x)在点(1，f(1)处的切线y=0与曲线y=g(x)也相切.…4分 (2)解：①0x1<1<x2,0x<1<工1<C…5s分 由/(x)=0,g()=0,得g-k=0,1-nx)-k=0, 令F(x)=兰-k,Gx)=x(1-lnx)-k,则八x)与F(x)的零点相同，g(x)与G(x)的零点相同， e 又F）=12,G(x)=-n,… e 6分 x<1时，F(x)>0,F(x)单调递增：x>1时，F(x)<0,F(x)单调递减： 0<x<1时，G(x)>0,G(x)单调递增：x>1时，G(x)<0,G(x)单调递减， 所以F(x)和G(x)在(0,1)上都是增函数，在(1，十o∞)上都是减函数， 所以0x<1时，一k=F(0)<F(x)<F(1)=1一k,x>1时，一k<F(x)<F(1)=1一k, 因为f(x)有两个零点，即F(x)有两个零点， 一k<0, 所以0<x<1<x2,且 1-k>0, 解得0<k1.…7分 当0<k<1时，G(1)=1-k>0,G(e)=-k<0, 1 又.x→0时nx' 0,根据洛必达法则可知，一0时xnx=血0，x(1-nx)-k=x一k-xnr一 x 一k,所以x0时G(x)<0, 所以0<k<1时，G(x)在区间(0,1)和(1，C)上各有一个零点，所以0<x<1<x<e, …8分 因此，若函数f(x),g(x)各有两个零点，k的取值范围是(0,1).… …9分 ②令Fm)=g-k,Gm)=x1-lnr)-k,p(x)=E0G卫，则 f(x)与F(x)的零点相同，g(x)与G(x)的零点相同，G(x)在区间(0,1)上是增函数， (x)= ex-k-z(1-In r)+k =号+n-1.9a)=-号十=巴(x>0).…10分 e 令1(x)=e-ex(x>0),则t'(x)=e-e(x>0), 0<x<1时1(x)<0,1(x)单调递减：x>1时1(x)>0,1(x)单调递增： 所以x>0时1(x)≥1(1)=0， …11分 于是x>0时9(x)≥0等号仅当x=1时成立， 所以(x)在(0，十0∞)上是增函数。…12分 所以0<x<1时g(x)<g(1)=0,F(x)-G(x)<0,即0<x<1时F(x)<G(x): x>1时(.x)>(1)=0,F(x)-G(x)>0,即x>1时F(x)>G(x）:…13分 由①知0<<1<x,0<x3<1<x<e,所以0=F()<G(1), 又F(x1)=0,G(x)=0,所以Gx)>G(x),… …14分 又G(x)在区间(0,1)上是增函数，且，x∈(0,1)， 所以0x3<x1<1.… …15分 同理可证1<x1<x2, 16分 于是十x2>x十· …17分 【高二7月联考·数学参考答案第4页（共4页）】洛阳强基联盟高二7月联考 数 学 考生注意： 1.未试春分选棒题和非跳择题两年分。满分150分，考战时间120分竹， 2器题前，专生务必用直径0.5毫米黑色器水签宇笔将售时线内项目填写清她， 3专生作答时，请将答案答在答题卡上，遮棒题年小题选出答案后，用B给笔托答班卡上对应题日的 茶金林号涂黑，非选择植请用直轻心，5美未黑色墨水荟字笔在答难卡上名题的器班区线内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.未表命题范国：离考范国， 一、选择题：本罪共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台孤目夏 求的。 1若1+i=1+i,则= A一i Bi CI-i D.1+i 2已知集合A=(x-2≤x3,B={zx>01,则A门(CnB)= A(-0,3] B.(-∞，0] C[-2,3 D.[-2,0] 3已知向量a,b不共线，若a十幼与2a一b共线，则实数无的值是 A司 B合 C-2 n 么双自线号一著一1的焦点到陀的 条渐近线的距离为 Al B2 1hC2 D.22 5若a=0.2,6=0,3,c=2',则 A.bc>a Beab C.c>b>a D.a>e 6.将函数x)=n2zx+5c0s2x的图象向左平移营个单位长度后得到函数x)的图象，则gx)图象 的一条对称轴为工一 A吾 B适 c. D-12 【高二7月联考·数学第1页（共4页）】 ?,已知正四棱台A:BGD,-ABCD的上能面的四个顶点A,B,C,D都在圆锥SO的侧面上，下底面 的四个顶点A,B,C,D都在圆锥SO的底面圆周上，且AB=2AB=4,AA,一22.别围维S0的体 积为 A.1/6x B 16n C.5/6x n &已知函数x)的定义城为R,/1)=1.f1一)十/(3一x)-0,将/)的图象烧原点旋转180后所 得图象与原图象重合，若g)一x):一2)，刚置e- 入-1 且-1013 CI D.1013 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小颗给出的选项中，有多项符合顺目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 段下列说法正确的是 A3re(-o9,0)x2-2x-80 且若a,b都是非零实数，且a6,期品动 C着0<，则上+占的最小值为5 D.若y满足x一y+y=1,则V√2+了的最大值为2 0若(2-xm=4十1x十2+…十a22m,则 Aa。=2 Ba十a,+a,十+a1g=1 C.lal+la1+la++39m D.41+2a+3a,十…+20254a=-2025 且.苏格兰数学家约翰·纳皮尔John Napier))发现并证明了当x>0且x0时→L.根据约溶·纳皮 尔的这个发现以及我们所学的数学知识，关于函数f(x)=产(x>0),下列说法正确的是 A(x)有且只有一个极值点 Bfx)的最小值为e Cx)的单调递诚区间是(0，) D,存在两个不相等的正实数a,b,使f(a)=f(b)=2 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12已知椭圆C,号+芳-1(a6>0)的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的反倍则C的离心率为 13在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为4，b,c,且满足a+2b0sA一2c=0,若b=23,则△ABC 周长的取值范围为。 14已知10个样本数据的平均值为10，方差为6，则这10个数据的65%分位数的最大值为 【高二？月联考·数学第2页（共4页）】 四、朝答题：本丽共5小题，共刀分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步票。 15,(本小题满分13分) 设抛物线C:y=4r的焦点为F,过F的直线1与C交于A,B两点， (1)求C的准线方程， (2)设M(,2)为C准线上一点，且MF⊥1，求AB: 面书中，中单国功小为外.0区衫风小么其中物 16.(本小题满分15分) 已知数列a,)的首项是1a一a,十2为偶数 a,十1，n为奇数， (1)正明：{a》的奇数项成等差数列： (2)求{a,的前n项和S 17.(本小题满分15分) 如图，PA1平面ABCD,CF∥AP,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=7,AP=BC=14,CF=8 (I)求直线BF与平面BDP所成角的正弦值以及点F到平面BDP的距离； (2)求二面角P-BD-F的正弦值 心的0m家生水到以大对4一中与 【高二7月联考·数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 大一儿蜜节，某商场为了刺微清骨提开背展：推出了清骨指凭当天在谈商场的消势单帮参加抽奖的 活动，奖品是4款不同造型的反具摩托车与款不同面程的玩具省车（每款车的数量邢充足），主办方 将大小相同的8个乒乓球上分别标在1,2.，，其中标挂数学123,4的乒兵球分别代表 款不同造型的摩托车，香，？，8的症民球分别代表款不同查型的瑰车，并将这8个乒兵球放在一 个不透明箱子内.活动规定，儿黄节当天在该商场前费满10元的前费者可从顺奖箱内模出1个正兵 球，然后再放回箱内：消费清2无可先以烟奖箱内推出1个乒兵球，放回后再从中瘦出1个乒年球， 然后再放国箱内：清费端300元可先从模奖箱内核出1个积届球，放回后再从中模出1个乒兵球，收 同后再从中模出1个是民球，然后再放同箱内，…，依此类棉，消费者限明自已换出的乒兵球标注的 数字即可获得相应的奖品。 )若小明的家长当天在该商场消费恰好病40元，求这位家长能铁得之教相同造型摩托车与2款不 同造型跑车的根率： (2)著本次活动小明家获得的奖品是2自不同造型的摩托车和2台不同造州的跑车，小英家也获得 2台不同壶零的摩托车和2合不同壶型的跑车， ①从他们两家获得的这8台车中随机轴取5台，如果物出的5台车中有X台摩托车，求X的分布 列和数学期望： ②若小明和小英将他们家本次活动茯得的奖品每次各取一件进行交换，第一次交换的奖晶也可以 参加第二次交换，求两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台胞车的概华 19.(本小题满分17分) “洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：着函数， G)的导数(x),w'(r)都存在，且(x)≠0，如果x→a(a是席数)时x(x→一oo或+awx-一 -度+铝是常则时号 已知函数x)=e1-x,g(x)=nr+-1,k∈R 1)证明：k=1时尚线y-尺x)在点1，f0)处的切线与曲线y=g)电相： (2)若函数(x)有两个零点，(<)，函数()有两个零点，（心） ①指出面，的大致范围（不必说明理由），并求出专的取值整围， ②试探究十五与十的大小关系。 【高二7月联考·数学第4页（共4页】