第05讲 三角函数的图象与性质（知识+真题+11类高频考点)( 精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第05讲 三角函数的图象与性质 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 3 第三部分：高频考点一遍过 4 高频考点一：三角函数的定义域 4 高频考点二：三角函数的值域 4 高频考点三：三角函数的周期性 5 高频考点四：三角函数的奇偶性 5 高频考点五：三角函数的对称性 6 高频考点六：三角函数的单调性（求三角函数的单调区间） 7 高频考点七：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性比较大小） 8 高频考点八：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性求参数） 9 高频考点九：三角函数中的求解（的取值范围与单调性相结合） 10 高频考点十：三角函数中的求解（的取值范围与对称性相结合） 11 高频考点十一：三角函数中的求解（的取值范围与三角函数的最值相结合） 11 第一部分：基础知识 1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中) 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 2、三角函数的周期性 函数 周期 函数 周期 函数 () () () 周期 其它特殊函数，可通过画图直观判断周期 (1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期． (2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为． (3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为． 3、三角函数的奇偶性 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． 4、三角函数的对称性 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 第二部分：高考真题回顾 1．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 2．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：三角函数的定义域 典型例题 例题1．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）函数的定义域为 ． 例题2．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）函数的定义域为 ． 精练高频考点 1．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为 2．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为 3．（24-25高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为 . 高频考点二：三角函数的值域 典型例题 例题1．（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数的值域为 ． 例题2．（23-24高一下·上海长宁·期中）函数，的值域为 ． 精练高频考点 1．（24-25高三下·浙江·阶段练习）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁沈阳·三模）函数的最小值为 ． 3．（24-25高三·全国·阶段练习）已知函数，，则其值域为 . 高频考点三：三角函数的周期性 典型例题 例题1．（25-26高三上·全国·阶段练习）下列函数中，最小正周期不等于的是（   ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（24-25高三上·河南驻马店·阶段练习）下列函数中，以为周期的函数有（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（25-26高三上·全国·阶段练习）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·广东茂名·期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最小正周期． 高频考点四：三角函数的奇偶性 典型例题 例题1．（多选）（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数，若函数为偶函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若函数为奇函数，则 ． 精练高频考点 1．（2025·江西·模拟预测）已知函数为奇函数，则m＝（   ） A．5 B．4 C． D．1 2．（25-26高三上·全国·阶段练习）函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 3．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则 . 高频考点五：三角函数的对称性 典型例题 例题1．（24-25高二下·河南·期末）函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三上·广东中山·阶段练习）写出函数的一个对称中心 ． 精练高频考点 1．（24-25高二下·安徽滁州·期末）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南·期末）函数图象的对称中心坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西南昌·期末）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 高频考点六：三角函数的单调性（求三角函数的单调区间） 典型例题 例题1．（2025·湖南邵阳·三模）下列区间中，函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·江西九江·期末）已知函数的最小正周期为是曲线的一条对称轴. (1)求； (2)求的单调递增区间. 精练高频考点 1．（24-25高二下·上海浦东新·期末）函数的单调递增区间是 ． 2．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）函数的单调增区间为 . 3．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知函数（，）的周期为，且过点. (1)求，的值； (2)求函数在上的单调递减区间. 高频考点七：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性比较大小） 典型例题 例题1．（24-25高三上·河南驻马店·阶段练习）设，则有（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·北京西城·期中）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（24-25高三上·陕西汉中·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京海淀·期中）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京海淀·期中）已知，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 高频考点八：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性求参数） 典型例题 例题1．（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 精练高频考点 1．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·二模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 ． 高频考点九：三角函数中的求解（的取值范围与单调性相结合） 典型例题 例题1．（24-25高二下·浙江舟山·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·江苏苏州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（   ） A．20 B．16 C．13 D．7 2．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）函数在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 高频考点十：三角函数中的求解（的取值范围与对称性相结合） 典型例题 例题1．（24-25高一下·江西九江·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．11 B．13 C．14 D．15 例题2．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知函数在上是增函数，则符合条件的整数的值为 . 精练高频考点 1．（24-25高二下·云南·期末）已知函数的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广西梧州·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，则的取值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3． （24-25高一下·重庆·期中）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 高频考点十一：三角函数中的求解（的取值范围与三角函数的最值相结合） 典型例题 例题1．（24-25高一下·四川成都·期末）函数在上有且仅有3个零点和2个最小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025·全国·模拟预测）若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则 . 精练高频考点 1．（24-25高一下·四川达州·期末）已知函数在区间上的最小值为，则所有满足条件的正整数之和为（   ） A．9 B．7 C．5 D．4 2．（24-25高三·全国·阶段练习）已知在区间上的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北荆门·期末）若函数在上的值域为，则的取值范围为 . 4．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间内既有最大值也有最小值，则的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 三角函数的图象与性质 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 3 第三部分：高频考点一遍过 5 高频考点一：三角函数的定义域 5 高频考点二：三角函数的值域 7 高频考点三：三角函数的周期性 8 高频考点四：三角函数的奇偶性 11 高频考点五：三角函数的对称性 13 高频考点六：三角函数的单调性（求三角函数的单调区间） 15 高频考点七：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性比较大小） 17 高频考点八：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性求参数） 20 高频考点九：三角函数中的求解（的取值范围与单调性相结合） 22 高频考点十：三角函数中的求解（的取值范围与对称性相结合） 25 高频考点十一：三角函数中的求解（的取值范围与三角函数的最值相结合） 27 第一部分：基础知识 1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中) 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 2、三角函数的周期性 函数 周期 函数 周期 函数 () () () 周期 其它特殊函数，可通过画图直观判断周期 (1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期． (2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为． (3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为． 3、三角函数的奇偶性 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． 4、三角函数的对称性 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 第二部分：高考真题回顾 1．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】设的最小正周期为，根据题意有，， 由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 2．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：三角函数的定义域 典型例题 例题1．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的定义域，结合三角函数的诱导公式以及单调性，可得答案. 【详解】由，则， 化简可得，解得. 故答案为：. 例题2．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由函数解析式列出不等式组，再根据正切函数的图像及二次函数的图像解出不等式组，即可得出答案． 【详解】由，得，， 在数轴上表示如图所示， 所以， 故答案为：． 精练高频考点 1．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为 【答案】 【分析】求出的解后可得函数的定义域. 【详解】由题设有即，故， 故函数的定义域为. 故答案为： 2．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法结合正切函数性质进行求解即可. 【详解】由，得，    则，即． 所以函数的定义域为． 故答案为：. 3．（24-25高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由题意，，解不等式得出结论. 【详解】由题意，，所以，， 所以，， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 高频考点二：三角函数的值域 典型例题 例题1．（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由诱导公式得，设，结合二次函数图象即可求解． 【详解】，设， 则， 故答案为：． 例题2．（23-24高一下·上海长宁·期中）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】由的范围求出的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：因为，所以， ， 则当时，， 当时，， 所以函数的值域为. 故答案为：. 精练高频考点 1．（24-25高三下·浙江·阶段练习）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦二倍角公式整理函数，利用换元法，根据二次函数的性质，可得答案. 【详解】由，令，则， 由，则函数的值域为. 故选：C. 2．（2025·辽宁沈阳·三模）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】化简函数解析式为，令，，利用二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】， 令，，且该二次函数的对称轴为直线， 故函数在上单调递增， 故，即函数的最小值为. 故答案为：. 3．（24-25高三·全国·阶段练习）已知函数，，则其值域为 . 【答案】 【分析】令，将原函数转化为关于t的二次函数，求出二次函数值域即得. 【详解】令，，显然在上单调递增，因此，， 则原函数化为：，而在上单调递增， 于是当，即时，，当，即时，， 所以原函数的值域为. 故答案为： 高频考点三：三角函数的周期性 典型例题 例题1．（25-26高三上·全国·阶段练习）下列函数中，最小正周期不等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，函数的最小正周期，故A错误；对于B，如图1，根据函数象可知它的最小正周期为，故B错误； 对于C，如图2，根据函数的图象可知它的最小正周期为，故C错误；对于D，如图3，根据函数的图象可知它的最小正周期为，故D正确． 例题2．（多选）（24-25高三上·河南驻马店·阶段练习）下列函数中，以为周期的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用周期函数的定义，结合选项中的函数组成化简，即可逐一判断. 【详解】对于A，因，而，而，故A错误； 对于B，因，则函数的最小正周期为，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为偶函数，则，其最小正周期为，故D错误． 故选：BC． 精练高频考点 1．（25-26高三上·全国·阶段练习）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用周期公式可得． 2．（多选）（24-25高一下·广东茂名·期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用周期计算公式判断ABC中函数的周期，根据的图像判断其周期. 【详解】的最小正周期为，的最小正周期为，的最小正周期为，的最小正周期为. 故选：BD 3．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最小正周期． 【答案】 【分析】法一：画出的图象，数形结合可得答案； 法二：利用最小正周期的定义得到答案. 【详解】法一：函数的图象如下： 由图可知：函数的最小正周期为； 法二：， 且其他比小的正值均不满足， 故函数的最小正周期为； 高频考点四：三角函数的奇偶性 典型例题 例题1．（多选）（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数，若函数为偶函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式、两角和的正弦公式，即可化简原式，又函数为偶函数，列出等式即可求得结果. 【详解】由题意知 ， 所以，又函数为偶函数， 所以，，即，， 所以当时，；当时，. 故选:BD. 例题2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若函数为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质列式求解. 【详解】依题意，，其中锐角由确定， 由为奇函数，得，即， 所以. 故答案为： 精练高频考点 1．（2025·江西·模拟预测）已知函数为奇函数，则m＝（   ） A．5 B．4 C． D．1 【答案】C 【分析】利用奇函数定义，结合余弦函数奇偶性列式求出值. 【详解】函数的定义域为，且是奇函数， 则，而不恒为0， 因此，所以． 故选：C 2．（25-26高三上·全国·阶段练习）函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【详解】函数的定义域为，关于原点对称．又，所以函数是奇函数． 3．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】利用偶函数的定义，结合和差角的余弦公式及二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 高频考点五：三角函数的对称性 典型例题 例题1．（24-25高二下·河南·期末）函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的图象和性质可得对称轴方程为，求解即可． 【详解】令，得， 显然当时，，所以C正确； 其余选项均不存在整数满足的条件． 故选：C． 例题2．（24-25高三上·广东中山·阶段练习）写出函数的一个对称中心 ． 【答案】（答案不唯一，） 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的图象性质求出对称中心. 【详解】函数中，令，解得， 取，则该函数的一个对称中心为. 故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高二下·安徽滁州·期末）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意写出平移后解析式且关于轴对称，则，，从而可求解. 【详解】由题意得将向右平移个单位后 得，且关于轴对称， 所以，，得，， 又因为，所以当时，有最小值. 故选：A. 2．（24-25高一下·湖南·期末）函数图象的对称中心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为整体，结合正切函数的对称中心运算求解. 【详解】令，解得， 所以函数图象的对称中心坐标为. 故选：C. 3．（24-25高一下·江西南昌·期末）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的图象和性质求解即可. 【详解】因为， 则由，，可得函数的图象的对称中心的横坐标为，， 又，所以当时，取的最小值， 故选：C 高频考点六：三角函数的单调性（求三角函数的单调区间） 典型例题 例题1．（2025·湖南邵阳·三模）下列区间中，函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整体代入由正切函数的单调性可得. 【详解】令，解得， 令，可得. 故选：A. 例题2．（24-25高一下·江西九江·期末）已知函数的最小正周期为是曲线的一条对称轴. (1)求； (2)求的单调递增区间. 【答案】(1)2， (2) 【分析】（1）根据周期可先求，再利用对称轴可求； （2）由（1）得的解析式，再利用整体代换法求单调增区间即可. 【详解】（1）依题意得，， 由，得， ，. （2）由（1）得，， ， 令，得， 的单调递增区间为. 精练高频考点 1．（24-25高二下·上海浦东新·期末）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】应用辅助角公式化简，再应用正弦函数的增区间计算求解. 【详解】函数， 所以，所以， 所以函数的单调递增区间是， 故答案为：. 2．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】根据给定函数，结合余弦函数的性质、诱导公式求出单调增区间. 【详解】函数，即， 则，解得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为： 3．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知函数（，）的周期为，且过点. (1)求，的值； (2)求函数在上的单调递减区间. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数的周期的定义，得到，即可求解，将代入中，结合，即可求出； （2）由（1）知，利用正弦型函数的图象与性质，列出不等式，即可求解单调递减区间，又，在上的单调递减区间.. 【详解】（1）依题意，，解得； 将代入中，得，故， 解得；因为，故； （2）由（1）可知， 令， 则，即， 故的单调递减区间为. 又，令，解得， 综上所述，在上的单调递减区间为. 高频考点七：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性比较大小） 典型例题 例题1．（24-25高三上·河南驻马店·阶段练习）设，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式及诱导公式化简，将切化弦，再由二倍角公式化简，利用二倍角公式化简，结合正弦函数的性质判断即可. 【详解】因为， ， ， 因为在上单调递增，所以，所以. 故选：D 例题2．（24-25高一下·北京西城·期中）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式化简，根据正弦函数的单调性比较处，再结合同角三角函数的商数关系即可比较得，进而求解． 【详解】，， 由正弦函数的单调性得，，即， 又，，所以，即， 所以， 故选：B． 精练高频考点 1．（24-25高三上·陕西汉中·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦函数单调性、正切函数单调性即可比较大小. 【详解】因为，，所以， 又，，所以． 故选：C. 2．（24-25高一下·北京海淀·期中）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式结合三角函数的单调性逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由正弦函数性质得在上单调递减， 则，故A错误， 对于B，由余弦函数性质得， ，则，故B错误， 对于C，由诱导公式得， 且在上单调递减， 得到，即，故C正确； 对于D，由正切函数性质结合诱导公式得， ，得到，故D错误. 故选：C 3．（24-25高一下·北京海淀·期中）已知，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦、余弦函数的形状，结合诱导公式和特殊角的三角函数值，分别求得的范围，即可求解. 【详解】由正弦函数的性质，可得，所以 又由，所以， 因为，所以. 故选：A. 高频考点八：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性求参数） 典型例题 例题1．（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正切函数单调性、复合函数单调性可列不等式即可求解. 【详解】当时，，由在区间上单调递增， 得，解得. 故选：C. 例题2．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解. 【详解】， 又函数在单调递增， 所以，解得. 故答案为：. 精练高频考点 1．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，结合解出即可得. 【详解】由题意可得，， 解得且，， 又，则，，则， 故且，故. 故选：A. 2．（2025·辽宁·二模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题设和函数的周期公式可得，再根据余弦函数的性质可得，进而求解即可. 【详解】由题可知的最小正周期为，因为在区间上单调， 所以，则，解得， 当时，， 且，， 所以，解得，结合，得的取值范围为． 故选：D． 3．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，求得，再由，结合余弦型函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数在上单调递增， 可得，可得，即，可得， 又由，可得， 则满足，解得， 当时，可得，当时，可得， 当时，不合题意； 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 高频考点九：三角函数中的求解（的取值范围与单调性相结合） 典型例题 例题1．（24-25高二下·浙江舟山·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角恒等变换化简得出，由求出的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式组，结合可求得的取值范围. 【详解】， 因为，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以， 即，解得， 由可得，又因为，，故，则. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 例题2．（24-25高一下·江苏苏州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正体代入利用正弦函数的单调性结合题意计算可得. 【详解】由，可得， 由题意可得，解得， 因为，所以，所以实数的取值范围是. 故选：A. 精练高频考点 1．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（   ） A．20 B．16 C．13 D．7 【答案】C 【分析】根据函数的对称中心，列式求的集合，再利用代入法求的范围，结合函数的图象，列式求解. 【详解】由条件可知，，得， 当时，， 由条件可知，，得，，且， 综上可知，的最小值为13. 故选：C 2．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）函数在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】求出函数的单调减区间，利用为前者的子集可求的取值范围. 【详解】令，故， 所以函数的减区间为， 因为在上为减函数， 故存在，使得，因为， 所以，所以，故， .则的最大值为. 故选：B. 3．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题在上单调，结合正切函数的单调性即可求解. 【详解】由的定义域为， 时，， 结合正切函数的单调性可知， 解得， 由可知， 由可知，即， 即，而，故只能为0或1， 时，结合可知；时，， 于是. 故选：D 高频考点十：三角函数中的求解（的取值范围与对称性相结合） 典型例题 例题1．（24-25高一下·江西九江·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．11 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求解即可. 【详解】依题意得，为偶函数， 则，即. 故选：B. 例题2．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知函数在上是增函数，则符合条件的整数的值为 . 【答案】1 【分析】先确定，，从而得到，结合为整数，求出答案. 【详解】在上是增函数，需， 时，， 故，解得， 又为整数，所以. 故答案为：1 精练高频考点 1．（24-25高二下·云南·期末）已知函数的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点对称代入计算求解. 【详解】由题意可得， 则，解得. 因为，所以时，取得最小值. 故选：D. 2．（24-25高三上·广西梧州·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，则的取值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】依题意可知取最值，由此列出不等式求解即可. 【详解】，由题意可得， 解得，当时，. 故选：C 3．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 【答案】1 【分析】由已知结合正切函数的单调性即可求解. 【详解】由函数在区间内单调递增， 可得，且，解得， 所以的最大值为1. 故答案为：1. 高频考点十一：三角函数中的求解（的取值范围与三角函数的最值相结合） 典型例题 例题1．（24-25高一下·四川成都·期末）函数在上有且仅有3个零点和2个最小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出在指定区间内相位的范围，再利用正弦函数的性质列出不等式求解. 【详解】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故选：B 例题2．（2025·全国·模拟预测）若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则 . 【答案】/-0.25 【分析】先根据函数在上单调递减及周期，确定，再根据函数的最大值求解. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，，则， 又因为函数在上的最大值为， 所以，即， 所以. 故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高一下·四川达州·期末）已知函数在区间上的最小值为，则所有满足条件的正整数之和为（   ） A．9 B．7 C．5 D．4 【答案】D 【分析】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可. 【详解】当时，又是正整数， 则此时的最小值为， 若，此时能取到最小值，即， 代入可得，满足要求； 若取不到最小值，则需满足，即， 当时，，时， 由正弦函数的单调性，当时， 函数在区间上取得最小值： ，不符合题意； 当时，，时， 由正弦函数的单调性，当时， 函数在区间上取得最小值： ，不符合题意； 所以. 故选：D. 2．（24-25高三·全国·阶段练习）已知在区间上的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据解方程即可. 【详解】因为，即， 又，所以，所以， 所以，． 故选：A． 3．（24-25高一下·湖北荆门·期末）若函数在上的值域为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】借助余弦函数性质计算即可得. 【详解】由，则， 的值域为，则，解得. 故答案为：. 4．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间内既有最大值也有最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据的范围求出的范围，结合余弦函数的性质列不等式可求结论. 【详解】当时，， 因为在区间内既有最大值，又有最小值， 所以或，解得或. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$