第01讲 任意角和弧度制及三角函数的概念 ( 精练）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第01讲 任意角和弧度制及三角函数的概念 A夯实基础 B素养提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知角终边上一点，则（    ） A． B． C． D．3 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·甘肃白银·期末）某公园拟用栅栏围成一个扇形花池，已知围扇形花池一周的栅栏总长，则此扇形花池的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·全国·阶段练习）利用单位圆写出符合条件的角的集合是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·上海宝山·阶段练习）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D． 6．（2025高二上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，角以为顶点.以为始边，终边经过点，则角可以是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·辽宁朝阳·阶段练习）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（    ） A．2 B．4 C． D． 8．（24-25高三下·安徽·阶段练习）（   ） A．大于 B．大于 C．小于 D．小于 二、多选题 9．（24-25高一下·陕西汉中·阶段练习）若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高二下·上海·期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则 ． 12．（2025高三·全国·专题练习）如图，图1是杭州2022年第19届亚运会的会徽，名为“潮涌”，整个会徽象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设弧AD的长度是，弧BC的长度是，几何图形ABCD的面积为，扇形BOC的面积为，若，则 . 四、解答题 13．（24-25高三下·全国·周测）（1）写出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来； （2）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （3）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合． 14．（24-25高三下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为． (1)求和的值； (2)求的值； B素养提升 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）下列命题不正确的有（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，单位圆上的动点、同时从点出发，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度.若两点相遇时的坐标是，则此时它们可能是第（   ）次相遇. A．10 B．11 C．12 D．13 3．（24-25高一上·吉林长春·期末）把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）已知是第三象限的角，比较、、的大小关系是 .（用“”号连接） 5．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图所示，角的终边与单位圆交于点，过作轴的垂线，交轴于，过作轴的垂线交射线OP于. (1)由正弦函数、正切函数定义可知，的值分别等于线段MP，AQ的长. （i）求的值； （ii）判断的大小关系； (2)设点的横坐标为，点的纵坐标为，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 任意角和弧度制及三角函数的概念 A夯实基础 B素养提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知角终边上一点，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】由终边过点，可得，再利用二倍角公式化解，再根据齐次式可解. 【详解】根据三角函数定义，可得， 则． 故选：D. 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角函数定义求出，进而由正切二倍角公式计算即可 【详解】由题意得，故 故选：C 3．（24-25高二下·甘肃白银·期末）某公园拟用栅栏围成一个扇形花池，已知围扇形花池一周的栅栏总长，则此扇形花池的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形面积公式和基本不等式，求出面积的最大值即可. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，则， 所以，当且仅当时，有最大值400. 故选：C. 4．（25-26高三上·全国·阶段练习）利用单位圆写出符合条件的角的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，作直线交单位圆于A，B两点，连接，则与围成的区域（图中阴影部分）即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为． 5．（24-25高三下·上海宝山·阶段练习）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦函数定义列式求解. 【详解】依题意，，解得. 故选：A 6．（2025高二上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，角以为顶点.以为始边，终边经过点，则角可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角终边上的点确定三角函数值即可得解. 【详解】由角终边经过点， 可知，且为第四象限角， 故选：B 7．（24-25高三下·辽宁朝阳·阶段练习）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，得到，结合扇形的面积公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 所以，当时，扇形的面积最大. 故选：A. 8．（24-25高三下·安徽·阶段练习）（   ） A．大于 B．大于 C．小于 D．小于 【答案】A 【分析】根据正弦函数单调性得到，得到答案. 【详解】因为， 故选：A． 二、多选题 9．（24-25高一下·陕西汉中·阶段练习）若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意得，，两式相减即可得解. 【详解】因为角与角的终边相同，所以， 同理得，所以， 故选：AD． 10．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据三角函数的定义，求得，结合诱导公式和倍角公式，逐项计算，即可求解. 【详解】由角的终边经过点，可得， 对于A中，由，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D错误. 故选：BC. 三、填空题 11．（24-25高二下·上海·期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则 ． 【答案】/ 【分析】根据三角函数的定义求出的值，再利用诱导公式即可求解. 【详解】∵角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，点到原点的距离， ∴根据三角函数的定义可知， ∴. 故答案为：. 12．（2025高三·全国·专题练习）如图，图1是杭州2022年第19届亚运会的会徽，名为“潮涌”，整个会徽象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设弧AD的长度是，弧BC的长度是，几何图形ABCD的面积为，扇形BOC的面积为，若，则 . 【答案】3 【分析】设，由弧长公式及已知得，再由扇形的面积公式求结果. 【详解】设，由，得，即， 所以． 故答案为：3 四、解答题 13．（24-25高三下·全国·周测）（1）写出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来； （2）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （3）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合． 【答案】（1）答案见解析； （2）①；②；③； （3） 【分析】根据终边相同的角的定义和集合表示即可得出． 【详解】（1）与终边相同的角的集合为． 取；取；取，． （2）①； ②； ③ 即 . （3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为. 14．（24-25高三下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为． (1)求和的值； (2)求的值； 【答案】(1)； (2)10 【分析】（1）由三角函数的定义求出，，由同角三角函数的基本关系求出，，再由两角差的正切公式及二倍角公式计算可得； （2）根据诱导公式化简得齐次式，再根据同角三角函数的商数关系及即可求解； 【详解】（1）由锐角，，得点，都在第一象限，而点的纵坐标为，点的横坐标为， 所以，， 则点的横坐标为， 点的纵坐标为， 所以，， 所以，． （2）由（1）知， 所以． B素养提升 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）下列命题不正确的有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用三角函数线证明当时，即可判断AC，再由和诱导公式判断BD. 【详解】当时，， 在单位圆中，点，设，则， 过点A作直线AT垂直于x轴，交OP所在直线于点T， 由，得， 设扇形的面积为， 由图知，即， 即， 对于AC，由，得，AC正确； 对于B，，得，则，B错误； 对于D，由，则， 则，D正确. 故选：B 2．（24-25高一上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，单位圆上的动点、同时从点出发，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度.若两点相遇时的坐标是，则此时它们可能是第（   ）次相遇. A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据题设，经过秒相遇，有，且，得，再由且，即，结合各选项判断是否满足即可. 【详解】由题设，两点相遇时的坐标是，则分别最少旋转了、， 经过秒相遇，有，且， 则，所以， 要使相遇，则且，即， 若，则，此时，A错； 若，则，此时，B对； 若，则，此时，C错； 若，则，此时，D错； 故选：B 3．（24-25高一上·吉林长春·期末）把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，由已知可得，根据弧长公式计算即可. 【详解】过点作于， 由折叠性质可得，， 所以，所以，所以， 所以劣弧的长是. 故选：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据折叠性质得到线段的关系，进而得到，根据弧长公式即可求解. 4．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）已知是第三象限的角，比较、、的大小关系是 .（用“”号连接） 【答案】 【分析】先根据三角函数线得到当时，，结合函数的奇偶性得到当时，，由是第三象限的角得到，从而求出，，得到结论. 【详解】因为为第三象限角，所以， 由三角函数线可知：“当时，”， 又因为，，为奇函数， 则当时，， 因为，所以， 因为，所以， 所以． 故答案为：. 5．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图所示，角的终边与单位圆交于点，过作轴的垂线，交轴于，过作轴的垂线交射线OP于. (1)由正弦函数、正切函数定义可知，的值分别等于线段MP，AQ的长. （i）求的值； （ii）判断的大小关系； (2)设点的横坐标为，点的纵坐标为，求的最大值. 【答案】(1)（i），；（ii） (2) 【分析】（1）（i）直接利用三角形面积公式和扇形面积公式求解； （ii）利用面积大小关系先得，再由三角函数的性质和单调性判断大小； （2）由三角函数定义可得，利用三角函数恒等变换再求最值. 【详解】（1）（i） ， （ii）由图可知的大小关系为， 所以结合（1）的值可以得到在时有， 即， 因为， 又因为，则， 再由在上的单调性可知， 综上. （2）由三角函数定义可以设点的横坐标为，点的纵坐标为， 所以， 原式， 因为，所以， 所以时，有最大值. 【点睛】关键点点睛：利用面积大小关系先得，又，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$