第05讲 三角函数的图象与性质 ( 精练+相遇真题）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第05讲 三角函数的图象与性质 A夯实基础 B相遇高考 C素养提升 A夯实基础 1．（湖北省恩施州2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷）已知函数，若函数在处取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 4．（山东省潍坊市2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试题）已知函数，则（   ） A．在定义域内是增函数 B．是奇函数 C．的最小正周期为 D．图象的一个对称中心是 5．（辽宁省锦州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（   ） A． B．函数在上为减函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．点是函数图象的一个对称中心 6．（河北省保定市高中2024-2025学年高二下学期7月期末调研考试数学试题）若函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）函数在上的最大值和最小值之和为（   ） A．2 B．4 C．8 D．4050 8．（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知函数是的一个零点，则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高一下·广东揭阳·期末）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在区间上单调递减 10．（多选）（24-25高二下·云南·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于轴对称 C．的值域为[0,2] D．将函数的图象向上平移2个单位长度可以得到的图象 11．（24-25高一下·北京平谷·期末）将函数图像向左平移个单位长度，得到的图像关于点中心对称，则的一个取值为 12．（24-25高一下·湖北武汉·期末）若点是函数图像的一个对称中心，则的最小值为 . 13．（24-25高一下·四川成都·期末）设函数，. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值. 14．（24-25高一下·云南楚雄·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)求在上的值域． 15．（25-26高三上·全国·阶段练习）已知函数． (1)画出该函数图象的简图． (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． (3)判断函数的奇偶性． B相遇高考 1．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 C素养提升 1．（24-25高一下·北京西城·期末）已知函数的定义域为．若存在周期均为的两个不同的偶函数，，使得，则称具有性质P． (1)判断，是否具有性质P，并说明理由； (2)已知具有性质P，且不恒为0．设．证明：若M为有限集，则M中的元素个数为偶数． 2．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知函数，若存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． (1)若，求函数的“平衡”数对； (2)若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 3．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知函数，函数，设. (1)求证：是函数的一个周期； (2)当时，求：在区间上的最大值； (3)若函数在区间内恰好有奇数个零点，请直接写出所有满足条件的实数k的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 三角函数的图象与性质 A夯实基础 B相遇高考 C素养提升 A夯实基础 1．（湖北省恩施州2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷）已知函数，若函数在处取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，结合解方程即可. 【详解】因为函数在处取得最小值 ， 又，所以. 故选：D． 2．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解. 【详解】函数的最小正周期， 故选：C． 3．（23-24高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B 【分析】根据正切函数的单调性求解. 【详解】因为单调递增，所以. 故选：B. 4．（山东省潍坊市2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试题）已知函数，则（   ） A．在定义域内是增函数 B．是奇函数 C．的最小正周期为 D．图象的一个对称中心是 【答案】D 【分析】代入计算特殊值即可排除AB，根据周期的计算公式即可求解C，代入验证即可求解D. 【详解】对于A， 由于故A错误， 对于B， 由于在处有定义，但，故B错误， 对于C， 的最小正周期为，故C错误， 对于D， ，故是的一个对称中心，故D正确， 故选：D 5．（辽宁省锦州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（   ） A． B．函数在上为减函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．点是函数图象的一个对称中心 【答案】D 【分析】根据二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数解析式，结合正弦型函数的周期公式、单调性、对称性逐一判断即可. 【详解】. A：因为，所以由，因此本选项说法不正确； B：由上可知：， 当时，， 因此函数在上为增函数，所以本选项说法不正确； C：因为， 所以直线不是函数图象的一条对称轴，因此本选项说法不正确； D：因为， 所以点是函数图象的一个对称中心，因此本选项说法正确， 故选：D 6．（河北省保定市高中2024-2025学年高二下学期7月期末调研考试数学试题）若函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】等价转化为在上恒成立，计算即可. 【详解】由题可知：函数在上单调递减，则在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立，所以. 故选：A 7．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）函数在上的最大值和最小值之和为（   ） A．2 B．4 C．8 D．4050 【答案】C 【分析】由题意得即可得解. 【详解】因为，所以在关于原点对称的区间上恒有意义， 且 ， 所以在上的图象关于原点对称， 所以函数在上的最大值和最小值之和为8. 故选：C. 8．（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知函数是的一个零点，则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中零点求出的值，再化简，最后根据的范围求出其值域. 【详解】是的一个零点. ，解得：. . . . . ，， 所以，，即的值域为. 故选：. 9．（多选）（24-25高一下·广东揭阳·期末）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在区间上单调递减 【答案】AC 【分析】化简的解析，根据三角函数的周期性、对称性、零点、单调性等知识求得正确答案. 【详解】因为函数，所以它的一个周期为，故A正确； 令，求得，故B错误； ，令， 求得，故的一个零点为，故C正确； 当时，，而函数在上单调递减， 在上单调递增，所以在上没有单调性，故D错误． 故选：AC． 10．（多选）（24-25高二下·云南·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于轴对称 C．的值域为[0,2] D．将函数的图象向上平移2个单位长度可以得到的图象 【答案】AD 【分析】根据即可根据周期公式判断A，根据偶函数性质即可求解B，根据三角函数性质即可求解C，根据平移的性质即可求解D. 【详解】因为，所以的最小正周期为，A正确； ，故不是偶函数，图象不关于轴对称，错误； 因为，所以的值域为，C错误； 将函数的图象向上平移2个单位长度可以得到的图象，D正确． 故选：AD 11．（24-25高一下·北京平谷·期末）将函数图像向左平移个单位长度，得到的图像关于点中心对称，则的一个取值为 【答案】（答案不唯一，只要满足即可） 【分析】先利用平移变换法则求得解析式，然后根据正弦函数对称中心列式求得，即可得解. 【详解】将函数图像向左平移个单位长度，得到， 由题意，所以， 当时，. 故答案为：（答案不唯一，只要满足即可） 12．（24-25高一下·湖北武汉·期末）若点是函数图像的一个对称中心，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据余弦函数的对称中心可列出等式，进而求解. 【详解】是图象的一个对称中心， ， ， ， ， 当时，， 故答案为： 13．（24-25高一下·四川成都·期末）设函数，. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值. 【答案】(1)最小正周期；单调递增区间为. (2)最大值为，此时；最小值为，此时. 【分析】（1）由题意可得，然后可其最小正周期，利用整体代换法求其递增区间； （2）由时，利用整体代换法求得，从而可得，从而可求解. 【详解】（1）， 则的最小正周期为， 当，时单调递增，解得，， 故函数的单调递增区间为. （2）当时，，所以， 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值. 故最大值为，此时；最小值为，此时. 14．（24-25高一下·云南楚雄·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)求在上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平移变换可求得的解析式； （2）结合正弦函数的单调性，利用整体法可求函数的单调递增区间； （3）由已知得，结合正弦函数的图象可求得函数的值域. 【详解】（1）由题意得． （2）由， 得， 所以的单调递减区间为． （3）由，得， 由正弦函数的图象可知，． 故在上的值域为． 15．（25-26高三上·全国·阶段练习）已知函数． (1)画出该函数图象的简图． (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． (3)判断函数的奇偶性． 【答案】(1)答案见解析； (2)是周期函数，最小正周期是； (3)非奇非偶函数． 【详解】解：（1） ，函数图象如图所示． （2）由图象知该函数是周期函数，其图象每隔重复一次，故函数的最小正周期是． （3）因为函数图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，所以函数是非奇非偶函数． B相遇高考 1．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 2．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC C素养提升 1．（24-25高一下·北京西城·期末）已知函数的定义域为．若存在周期均为的两个不同的偶函数，，使得，则称具有性质P． (1)判断，是否具有性质P，并说明理由； (2)已知具有性质P，且不恒为0．设．证明：若M为有限集，则M中的元素个数为偶数． 【答案】(1)答案见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）对，由性质得定义举例说明；对，结合的周期为，利用反证法证明； （2）若，结合的周期为，可得也是的周期，且，利用反证法证明，由此得证. 【详解】（1）具有性质，理由如下： 令，，显然和是两个周期均为的不同的偶函数， 且，所以具有性质. 不具有性质，理由如下： 假设具有性质，由性质的定义可得的周期为， 但，， 所以，矛盾. 所以不具有性质. （2）若，则， 所以，又的周期为，即， ， 所以也是的周期，且， 所以， 假设，则对任意，， 则 ， 所以，即， 故对任意，成立，矛盾. 所以， 故若为有限集，则中的元素个数为偶数. 2．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知函数，若存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． (1)若，求函数的“平衡”数对； (2)若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)是“可平衡”函数，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据“平衡”数对的定义建立方程，根据恒成立求解即可； （2）时，假设是 “可平衡”函数，列出等式，利用三角函数化简，即可求解； （3）根据“平衡”数对的定义将用关于的三角函数表达，然后求解即可. 【详解】（1）因为为“可平衡”函数， 所以对于任意实数，均有成立， 即对于定义域内的任意实数恒成立， 故只有，符合题意，所以函数的“平衡”数对为. （2）时，，， 若是“可平衡”函数，则， 所以，解得， 所以存在，所以是“可平衡”函数. （3），， 因为，所以，， ， 令，则，在上单调递增， 所以. 3．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知函数，函数，设. (1)求证：是函数的一个周期； (2)当时，求：在区间上的最大值； (3)若函数在区间内恰好有奇数个零点，请直接写出所有满足条件的实数k的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)或或. 【分析】（1）求证即可得证； （2）利用换元法结合二次函数性质进行求解即可； （3）根据绝对值性质，利用分类讨论思想、换元法，结合正弦函数性质进行求解即可. 【详解】（1）证明：函数， 则， 所以是函数的一个周期； （2）当，时，， 令，因为， 所以，所以， 又，故， 所以， 所以当，单调递增， 所以有. （3）当时， 由可得：， 令，因为，所以， 因此，即，因为， 所以， 因此，该二次函数的对称轴为：， 因此当时，该二次函数单调递减， 所以当时，即时，有一解， 当时，即时，有一解， 当时，即时，有二解， 当时， 由可得：， 令，因为，所以， 因此，即，因为， 所以， 因此，该二次函数的对称轴为：， 因此当时，该二次函数单调递增， 所以当时，即时，有一解， 当时，即时，有一解， 当时，即时，有二解， 综上所述：当函数F（x）在区间内恰好有奇数个零点，或或. 学科网（北京）股份有限公司 $$