第08讲 第四章 三角函数 章节验收测评卷-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第四章 三角函数 章节验收测评卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数的周期和振幅分别是（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【答案】D 【分析】根据最小正周期公式结合振幅的定义分析判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期， 则周期为，振幅为4，结合选项可知D正确. 故选：D. 2．已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由任意角的三角函数的定义，可得正弦值与余弦值，可得答案. 【详解】由题意可得，， 则. 故选：D. 3．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象的变换，可得答案. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象； 再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，可得的图象. 故选：B. 4．若，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可求解. 【详解】由可得， 由二倍角公式可得，得， 由于，则，故 ， 故选：C 5．已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦函数图象和性质结合零点个数可得，解不等式即可得出答案. 【详解】， 令，因为，所以， 令可得，， 因为在上有且仅有2个零点，所以， 解得． 故选：C． 6．函数的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】分、讨论去掉绝对值，然后利用两角和的正弦、余弦公式化简，再根据的范围求出值域可得答案. 【详解】当即时， ， 因为，所以， 所以，； 当即时， ， 因为，所以， 所以，； 综上所述，. 故选：B. 7．已知函数，若关于x的方程在区间上有两个不同的解，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，由此即可得解. 【详解】由题得， 当时，，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减， 由在区间上的图象可知，若关于x的方程有两个不同的解，， 则，解得． 故选：C． 8．若函数在定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”.已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围. 【详解】 ， 若是上的“完整函数”， 则在上存在，使得成立， 即， 又因为，所以， 即在上至少存在两个最大值点， 所以，解得； 当，即时，一定满足题意； 若，因为，，所以， 又易知；所以只需保证即可， 解得. 综上可知. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二倍角的正弦、余弦公式，结合同角公式逐项分析判断. 【详解】对于A，，A成立； 对于B、D，，B不成立，D成立； 对于C，由，得，C成立. 故选：ACD. 10．对于函数和，下列说法中正确的有（   ） A．与的图象有相同的对称轴 B．与的图象有相同的对称中心 C．将的图像向右平移个单位长度可以得到的图象 D．当时，与的图象有2个交点 【答案】ABD 【分析】利用辅助角公式和诱导公式分别化简函数解析式，根据正弦型函数的图象和性质对选项分别计算，再进行判断即可. 【详解】由题意， ， . 对于A，令，解得， 所以与的图象的对称轴都是，故A正确； 对于B，令，解得， 所以与的图象的对称中心都是，故B正确； 对于C，将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象， 故C错误； 对于D，设，时，， 则由，解得或， 所以函数在有两个零点，即与的图象有2个交点，故D正确. 故选：ABD. 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．若，的增区间为() C．若，则的图象关于点中心对称 D．的最小正周期为，则 【答案】AB 【分析】根据正弦函数的性质结合绝对值的定义判断各选项即可. 【详解】对A，因为，所以，故A正确； 对B，当时，， 由，可得， 所以的单调递增区间为()，故B正确； 对C，因为且不恒为，所以的图象不可能关于点对称，故C错误； 对D，若的最小正周期为，则可得，解得，故D错误. 故选：AB． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系结合弦化切计算求解. 【详解】. 故答案为：. 13．如图，单位圆被点分为12等份，其中，角的始边与轴的非负半轴重合，若则角的终边与单位圆交于点 ．(从中选择，写出所有满足要求的点) 【答案】 【分析】由题可知相邻点的夹角为，根据，再利用正弦函数在单位圆中的定义，可直接找出满足要求的点. 【详解】由题可知相邻点的夹角为， ，与相差，即间隔一个点， 又正弦值要相等，即关于轴对称， 故符合的对称点有， 所以角的终边与单位圆交于点为. 故答案为. 14．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先对不等式进行化简，然后根据的范围和正弦函数的性质计算的取值范围即可. 【详解】因为，， 所以. 所以. 因为，所以. 所以，所以，. 所以为了满足不等式恒成立，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知角的终边经过点． (1)求、、的值； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由三角函数的定义可求得、、的值； （2）利用诱导公式化简可得结果. 【详解】（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义可得， ，. （2） . 16．已知函数 (1)将函数化简为的形式（其中），并求函数的最小正周期； (2)若，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由恒等变换公式代入计算，即可得到， 由正弦型函数的周期性，即可得到结果； （2）由，结合余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得： ， 所以函数的最小正周期为π. （2）因为，所以. 因为，所以， 所以， 所以 . 17．已知函数. (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)；() (2) 【分析】(1)利用诱导公式及两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的性质计算可得； (2)换元，令，由的范围求出的范围，进一步可得到,从而得解. 【详解】（1）由 可得周期为：； 由，, 可得到， 因此，单调递减区间为 （). （2）令 ，由,得， 函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 又，，所以， ，，所以 ， 因此， 在 上的最小值为 ， 不等式 恒成立的条件是 ， 即 的取值范围为 . 18．已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且． (1)求的解析式； (2)将函数图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若且，求的最大值； (3)记在区间上的最大值为，最小值为，设，求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用辅助角公式化简即得. （2）利用图象变换求出，再求出的取值，进而求出最大值. （3）分段求出的解析式及对应的值域，进而求出在指定区间上的值域. 【详解】（1）函数， 由图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，得，解得， 则，由，得，解得， 所以. （2）由（1）得， 由，即时，， 由，即时，， 由，得，， ，由，得， 同理，因此当时，， 所以的最大值为. （3）由，得， 当时，， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则，又，则， 因此，，，； 当时，函数在上单调递减，， ， 因此，，， 所以在区间上的值域为. 19．双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数和双曲余弦函数． (1)证明：； (2)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)求证：函数存在唯一零点且． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且 (3)证明见解析 【分析】（1）根据双曲函数的运算性质和指数幂的运算性质化简计算即可得证； （2）假设存在正实数t满足题意，可得在上单调递增，令，进而得到即关于u的一元二次方程有两个不等正根，，可得， 进而求解即可； （3）通过逐段分析得函数的单调性，并结合零点存在定理确定有且只有一个零点，且，从而得，再由函数的单调性即可得证. 【详解】（1）证明：右边 ， 左边， 所以. （2）假设存在正实数t满足题意，易知在上单调递增， 所以， 所以，为关于的方程的两个不等实数根， 令，即关于u的一元二次方程有两个不等正根，， 所以，解得且 所以存在正实数满足题意，t的取值范围且. （3），定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在定理，使得， 故在上有且只有一个零点． ②当时，因为单调递增，单调递减， ，，所以， 所以在上不存在零点； ③当时， 因为单调递增，，因为 所以，所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且． 因为，所以， 所以， 在上单调递减， ， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角函数 章节验收测评卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数的周期和振幅分别是（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 2．已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B．1 C． D． 3．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则（   ） A． B． C． D． 4．若，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．函数的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 7．已知函数，若关于x的方程在区间上有两个不同的解，，则（   ） A． B． C． D． 8．若函数在定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”.已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式成立的有（   ） A． B． C． D． 10．对于函数和，下列说法中正确的有（   ） A．与的图象有相同的对称轴 B．与的图象有相同的对称中心 C．将的图像向右平移个单位长度可以得到的图象 D．当时，与的图象有2个交点 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．若，的增区间为() C．若，则的图象关于点中心对称 D．的最小正周期为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则 ． 13．如图，单位圆被点分为12等份，其中，角的始边与轴的非负半轴重合，若则角的终边与单位圆交于点 ．(从中选择，写出所有满足要求的点) 14．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知角的终边经过点． (1)求、、的值； (2)求的值． 16．已知函数 (1)将函数化简为的形式（其中），并求函数的最小正周期； (2)若，求的值 17．已知函数. (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 18．已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且． (1)求的解析式； (2)将函数图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若且，求的最大值； (3)记在区间上的最大值为，最小值为，设，求在区间上的值域． 19．双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数和双曲余弦函数． (1)证明：； (2)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)求证：函数存在唯一零点且． 学科网（北京）股份有限公司 $$