第04讲 简单的三角恒等变换（知识+真题+6类高频考点+1类典型易错)( 精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第04讲 简单的三角恒等变换 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 2 第三部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：三角函数式的化简 3 高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型） 6 高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型） 8 高频考点四：三角函数求值问题（给值求角型） 11 高频考点五：半角公式 15 高频考点六：万能公式 18 第四部分：典型易错题型 21 第一部分：基础知识 1、半角公式 （1）. （2）. （3）. 2、万能公式（拓展视野） （1） （2） （3）其中 3、和差化积公式（拓展视野） 4、积化和差公式（拓展视野） 第二部分：高考真题回顾 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：三角函数式的化简 典型例题 例题1．（24-25高一下·江苏盐城·期中）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式，二倍角的正弦，余弦公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】， ， ， 由于在上单调递增，所以， 即， 故选：D 例题2．（23-24高一下·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，试求的值； 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先用和差化积公式分别将进行变形，求出，再用万能公式求得的值； （2）先用和差化积公式分别将进行变形，求出，再用万能公式求得的值； 【详解】（1）. 又. 由①②，得，即. ； （2）因为，所以.① 又因为，所以.  ② 因为， 所以由①②，得，即. 所以 . 例题3．（23-24高一·全国·课后作业）已知，求，，的值． 【答案】；； 【分析】用半角公式计算． 【详解】解  ， ， ． 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求、、的值. 【答案】，，. 【分析】由的范围可得，进而利用半角公式即可求解. 【详解】∵，， ∴，， ∴， ， . 2．（2024高一上·全国·专题练习）化简，其中． 【答案】 【分析】利用二倍角的余弦公式，结合所在的象限化简，利用辅助角公式计算即可. 【详解】由，可得， 所以， 由，可知， 得原式． 3．（24-25高一上·陕西西安·期末）（1）化简：；     （2）求值：． 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）化切为弦，结合正弦和余弦的倍角公式和半角公式得到答案； （2）化切为弦，结合辅助角公式和诱导公式进行求解. 【详解】（1）； （2） . 高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型） 典型例题 例题1．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角公式及齐次式法求值化简即得. 【详解】 . 故选：A 例题2．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可． 【分析】. 故选：D. 精练高频考点 1．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用切化弦、辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得所求代数式的值. 【详解】 . 故选：C. 2．（23-24高一·全国·课后作业） ． 【答案】 【分析】先根据切化弦以及二倍角的余弦公式化简原式，然后利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式进行化简，由此可求结果. 【详解】原式， 故答案为：. 3．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）计算求值： (1)计算的值； (2)已知、均为锐角，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式、二倍角的正弦公式化简可得结果； （2）利用同角三角函数的基本关系可求得、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】（1）解： ． （2）解：、都为锐角，则， ，， ． 高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型） 典型例题 例题1．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用半角公式，结合角的范围进行求解，得到答案. 【详解】，故，故， 所以. 故选：D 例题2．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知，则 . 【答案】 【分析】以为整体，利用诱导公式可得，再根据倍角公式结合齐次式问题运算求解. 【详解】因为 由 . 故答案为：. 例题3．（24-25高一下·江西南昌·期中）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角范围分析依次求得、即可由结合两角和余弦公式求解； （2）由（1）和结合两角差的正切公式求解. 【详解】（1）因为，，所以， 又因，， 故， 因为， ，则， 则． 又因为， 所以 （2）由1知：， ， 因为，所以 精练高频考点 1．（24-25高三上·山东淄博·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意切化弦可得，再结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得， 所以. 故选：C. 2．（24-25高三上·山东烟台·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将用表示为，再利用诱导公式和二倍角公式求解即得. 【详解】因， 则. 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式可得出，在该等式两边平方，结合二倍角的正弦公式可求得的值； （2）利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式化简可得所求代数式的值. 【详解】（1）因为， 所以，， 故. （2）. 高频考点四：三角函数求值问题（给值求角型） 典型例题 例题1．（24-25高一下·四川内江·期中）已知，，且、是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦达定理，结合两角和的正切公式，即可求解，结合角的范围，即可求解. 【详解】由条件可知，，，且， 所以不妨设，则，，则 ，所以. 故选：C 例题2．（24-25高一下·四川成都·期中）已知锐角，满足， (1)求的值． (2)求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角关系可得，再结合倍角公式运算求解； （2）先根据同角三角关系求，再利用两家和差公式可求，即可得结果. 【详解】（1）因为，，则，， 所以. （2）因为，，则， 则， 且，所以. 例题3．（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知，. (1)求和的值； (2)若，为锐角，求的值； (3)若，为锐角，求角. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先利用同角基本关系式和的范围求，接着利用二倍角公式求； （2）先求，再利用得解； （3）利用二倍角正切公式得，再求，结合角的范围得解. 【详解】（1）因为，且所以， 又，所以， 因此，； （2）因为，，所以， 又，则， 则 ， 则， 所以； （3）因为，，则，且， 则， 又，所以. 精练高频考点 1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理求出，再利用两角和的正切公式求出，即可得解. 【详解】因为是方程的两根， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 则， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）已知，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出的范围，即可求出，； （2）首先求出，再根据利用两角和的余弦公式求出，即可得解. 【详解】（1），，， 又，， 则． （2），，， 所以 ． 又，，，． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求解. （2）利用同角公式及差角的正弦公式求出即可. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由，得，由， 得，则 ， 所以. 高频考点五：半角公式 典型例题 例题1．（24-25高三上·陕西·阶段练习）如果，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先去绝对值，根据二倍角公式求和，即可求解的值. 【详解】由条件可知，，则， 因为，所以，则，， 则，则，， 所以. 故选：B 例题2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）若，且，则 . 【答案】 【分析】由，结合余弦二倍角公式求得，再结合半角公式即可求解. 【详解】由，得，解得或， 又，所以， 所以， 所以， 故答案为： 例题3．（24-25高三上·吉林长春·期末）若，且，是的两个根，则 . 【答案】/ 【分析】先根据韦达定理得到，再由，然后结合同角的平方关系求得，求出，再利用半角的余弦公式即可求解. 【详解】因为、为关于x的方程的两个根， 所以， 又因为， 所以， 又，所以， ， 故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高一下·辽宁·期中）已知是第四象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是第四象限角结合同角三角函数关系及半角公式计算求解. 【详解】因为是第四象限角，又因为，则， 所以. 故选：D. 2．（23-24高一下·河北保定·开学考试）已知，. (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可得出的值，利用二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式可求得的值； （2）方法一：求出的取值范围，利用二倍角的降幂公式求出的正弦值和余弦值，即可得出的正切值； 方法二：由代值计算即可得解； 方法三：计算出的值，利用二倍角的正切公式可得出的方程，求出的取值范围，即可得出的值. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， ， ， 所以． （2）解：方法一：因为，所以，则，， 所以，， 则． 方法二：． 方法三：，解得或， 因为，所以，则，故． 高频考点六：万能公式 典型例题 例题1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用诱导公式和二倍角正余弦公式得，再由二倍角正切公式可得，再应用齐次式法求. 【详解】由， 得， 则，而． 故选：B 例题2．（24-25高一·全国·课后作业）已知且，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先由同角的平方关系得到的值，从而得到，结合万能公式，分别代入（1）（2）中计算即可. 【详解】（1）因为，所以，于是． 设． ． （2） ． 精练高频考点 1．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由万能公式可得，根据已知得方程求即可. 【详解】由， 所以，则， 由，则. 故选：A 2．（2024·河北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】将用替换后，解方程解出即可. 【详解】因为， 可得， 可得， 解得，因为，所以， 所以， 所以. 故选：C. 3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称，若，则 . 【答案】/ 【分析】首先根据对称轴求出的关系，然后利用二倍角公式化简并计算即可. 【详解】因为角的终边关于直线对称， 由已知得，即， 所以， 所以． 故答案为：. 第四部分：典型易错题型 易错点一：求角时忽略了角的范围而造成错误 1．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及平方关系得、，且，再应用差角余弦公式求，即可得. 【详解】因为，所以，又， 所以，则， 因为，，所以， 又，所以， 所以， 因为，，所以， 所以 ， 所以. 故选：C 2．（24-25高三上·广东梅州·阶段练习）已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用和差角公式化简已知等式，再结合已知求出，进而求出，确定的范围即可得解. 【详解】由，得， 则，而，解得， 因此，由，， 得或，则， 所以. 故选：C 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】首先分别求出，，再利用两角和差的正弦和余弦公式即可得到答案. 【详解】由得， 因，则，则， 因为，，则，则， 则，则， 则 ， ， 则. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 简单的三角恒等变换 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 2 第三部分：高频考点一遍过 2 高频考点一：三角函数式的化简 2 高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型） 4 高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型） 5 高频考点四：三角函数求值问题（给值求角型） 6 高频考点五：半角公式 8 高频考点六：万能公式 8 第四部分：典型易错题型 9 第一部分：基础知识 1、半角公式 （1）. （2）. （3）. 2、万能公式（拓展视野） （1） （2） （3）其中 3、和差化积公式（拓展视野） 4、积化和差公式（拓展视野） 第二部分：高考真题回顾 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：三角函数式的化简 典型例题 例题1．（24-25高一下·江苏盐城·期中）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，试求的值； 例题3．（23-24高一·全国·课后作业）已知，求，，的值． 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求、、的值. 2．（2024高一上·全国·专题练习）化简，其中． 3．（24-25高一上·陕西西安·期末）（1）化简：；     （2）求值：． 高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型） 典型例题 例题1．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业） ． 3．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）计算求值： (1)计算的值； (2)已知、均为锐角，，，求的值． 高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型） 典型例题 例题1．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知，则 . 例题3．（24-25高一下·江西南昌·期中）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 精练高频考点 1．（24-25高三上·山东淄博·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东烟台·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知 (1)求的值； (2)求的值. 高频考点四：三角函数求值问题（给值求角型） 典型例题 例题1．（24-25高一下·四川内江·期中）已知，，且、是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·四川成都·期中）已知锐角，满足， (1)求的值． (2)求的大小． 例题3．（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知，. (1)求和的值； (2)若，为锐角，求的值； (3)若，为锐角，求角. 精练高频考点 1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 2．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）已知，，，． (1)求； (2)求． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 高频考点五：半角公式 典型例题 例题1．（24-25高三上·陕西·阶段练习）如果，，那么（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）若，且，则 . 例题3．（24-25高三上·吉林长春·期末）若，且，是的两个根，则 . 精练高频考点 1．（24-25高一下·辽宁·期中）已知是第四象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河北保定·开学考试）已知，. (1)求的值； (2)求的值． 高频考点六：万能公式 典型例题 例题1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一·全国·课后作业）已知且，求： (1)； (2)． 精练高频考点 1．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 2．（2024·河北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称，若，则 . 第四部分：典型易错题型 易错点一：求角时忽略了角的范围而造成错误 1．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东梅州·阶段练习）已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，，，，则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$