第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（知识+真题+6类高频考点+1类典型易错)( 精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 2 第三部分：高频考点一遍过 2 高频考点一：公式的基本应用 2 高频考点二：公式的逆用及变形 3 高频考点三：辅助角公式的运用 4 高频考点四：二倍角 5 高频考点五：拼凑角 5 高频考点六：降幂公式 6 第四部分：典型易错题型 7 第一部分：基础知识 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ①两角和与差的正弦公式 ②两角和与差的余弦公式 ③两角和与差的正切公式 2、二倍角公式 ① ②；； ③ 3、降幂公式 4、辅助角公式： (其中) 5、常用结论 ①两角和与差的正切公式的变形： ② ③ ④ 第二部分：高考真题回顾 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：公式的基本应用 典型例题 例题1．（24-25高一下·四川绵阳·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025·四川巴中·二模）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（24-25高一下·北京海淀·期中）在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知，且，则 ． 3．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 高频考点二：公式的逆用及变形 典型例题 例题1．（24-25高一下·四川·期中）计算（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·福建泉州·期中）的值为 . 精练高频考点 1．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）的值为（      ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川凉山·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·福建泉州·期中）计算的值为（   ） A． B． C． D． 高频考点三：辅助角公式的运用 典型例题 例题1．（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知对于恒成立，则（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若函数为奇函数，则 ． 例题3．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最小正周期． 精练高频考点 1．（24-25高二下·湖南长沙·期末）设函数，，若是奇函数，则 ． 2．（2025·上海·模拟预测）， 恒成立，则 ． 3．（24-25高一下·浙江杭州·期末）已知函数，． (1)求的值； (2)求的最小正周期； (3)求使取得最小值的的集合． 高频考点四：二倍角 典型例题 例题1．（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·陕西汉中·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（24-25高一下·福建宁德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知是第四象限角，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 高频考点五：拼凑角 典型例题 例题1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 例题3．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知，为锐角，，且． (1)求的值； (2)求角的值． 精练高频考点 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北·期中）已知，都是锐角，，，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知，其中，求的值（    ） A． B． C． D． 高频考点六：降幂公式 典型例题 例题1．（23-24高三上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）若，则 . 精练高频考点 1．（23-24高一下·云南保山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则=（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知函数的周期为，则 . 第四部分：典型易错题型 易错点一：忽略了辅助角(其中)公式中的先化为正数再化简 1．（23-24高一·上海·课堂例题）把下列各式化为的形式： (1)； (2)． 2．（2024高三·全国·专题练习）化简： 3．（23-24高一上·黑龙江鸡西·期末）化简 (1) (2) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 2 第三部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：公式的基本应用 3 高频考点二：公式的逆用及变形 6 高频考点三：辅助角公式的运用 7 高频考点四：二倍角 9 高频考点五：拼凑角 12 高频考点六：降幂公式 15 第四部分：典型易错题型 17 第一部分：基础知识 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ①两角和与差的正弦公式 ②两角和与差的余弦公式 ③两角和与差的正切公式 2、二倍角公式 ① ②；； ③ 3、降幂公式 4、辅助角公式： (其中) 5、常用结论 ①两角和与差的正切公式的变形： ② ③ ④ 第二部分：高考真题回顾 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：公式的基本应用 典型例题 例题1．（24-25高一下·四川绵阳·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用差角的正切求解即得. 【详解】由，， 所以. 故选：D 例题2．（2025·四川巴中·二模）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合同角关系可求，再由两角差余弦公式求结论. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 所以， 故选：B. 精练高频考点 1．（24-25高一下·北京海淀·期中）在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求解可得结果. 【详解】在中，，，， 所以，， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系得出，再应用两角和正切公式计算求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 所以． 故答案为：. 3．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数关系得到，，利用余弦和角公式得到答案； （2）先求出，利用正切和角公式得到方程，求出. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 所以. （2）由（1）可知， 因为，所以， 即，解得. 高频考点二：公式的逆用及变形 典型例题 例题1．（24-25高一下·四川·期中）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用诱导公式以及正弦差角公式运算求解. 【详解】由题意可得： . 故选：A. 例题2．（24-25高一下·福建泉州·期中）的值为 . 【答案】 【分析】根据两角差的正切公式化简，然后利用特殊角的正切值得解. 【详解】由题意得. 故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式及两角和的正弦公式即可求解． 【详解】， 故选：D． 2．（24-25高一下·四川凉山·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角和的正弦公式即可求解. 【详解】, 故选：C 3．（24-25高一下·福建泉州·期中）计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式和差角公式化简计算即可． 【详解】 . 故选：B. 高频考点三：辅助角公式的运用 典型例题 例题1．（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知对于恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式及二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】，其中，， . 故选：B. 例题2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若函数为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质列式求解. 【详解】依题意，，其中锐角由确定， 由为奇函数，得，即， 所以. 故答案为： 例题3．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最小正周期． 【答案】 【分析】化简得到，得到其最小正周期，进而得到答案. 【详解】化简函数， 由公式得：的最小正周期， 的图象为的图象位于轴下方部分向上进行翻折，故周期减半， ∴的最小正周期为． 精练高频考点 1．（24-25高二下·湖南长沙·期末）设函数，，若是奇函数，则 ． 【答案】/ 【分析】利用辅助式化简函数解析式，再由正弦函数性质求解. 【详解】函数， 由是奇函数，得，则， 所以. 故答案为：. 2．（2025·上海·模拟预测）， 恒成立，则 ． 【答案】 【分析】首先利用辅助角公式，化简函数，再根据函数的性质求，最后代入求的值. 【详解】，令，得，， 由 恒成立，可知，，， 则. 故答案为： 3．（24-25高一下·浙江杭州·期末）已知函数，． (1)求的值； (2)求的最小正周期； (3)求使取得最小值的的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代值计算可得的值； （2）利用辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期； （3）令，求出的表达式，即可得出使取得最小值的的集合. 【详解】（1）因为，故. （2）因为， 故函数的最小正周期为. （3）当时，即当时，函数取最小值， 故使取得最小值的的集合为. 高频考点四：二倍角 典型例题 例题1．（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的商数关系可得的值，结合二倍角公式与弦化切即可求解. 【详解】由题意得，所以. 故选：A. 例题2．（24-25高二下·陕西汉中·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方关系结合题设可得，再根据二倍角公式求解即可. 【详解】由，结合，解得， 则. 故选：B. 例题3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用同角三角函数关系结合已知条件计算得出，再结合两角和余弦公式计算求解. 【详解】因为，且， 所以，， 则. 故选：A. 精练高频考点 1．（24-25高一下·福建宁德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】又条件根据同角关系求，再结合二倍角公式求结论. 【详解】因为，， 所以，即， 所以，又， 所以， 所以， 故选：A. 2．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知是第四象限角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用差角的正切公式求得，结合角的象限求出角的正余弦，利用二倍角公式代入计算即得. 【详解】由可得，解得， 因为是第四象限角，所以，， 由解得 所以. 故选：D. 3．（24-25高一下·河南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二倍角的余弦公式及弦切互化可得结果. 【详解】. 故选：D． 高频考点五：拼凑角 典型例题 例题1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ， 所以， 故选：A． 例题2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同角三角函数的基本关系结合角的范围求出，再由角的变换及两角和的正余弦公式求解即可. 【详解】已知为锐角，， 根据，可算出， 因为为锐角，且， 又， ， ， 所以． 故选：C． 例题3．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知，为锐角，，且． (1)求的值； (2)求角的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由同角的三角函数关系得到，再利用差角的正切展开式结合同角的三角函数关系解方程组可得； （2）方法一：由差角的正切公式结合特殊角的正切值可得；方法二：由同角的三角函数关系结合两角和的余弦展开式可得. 【详解】（1）由，为锐角，则， 又，则， 所以， 即， 所以……①   又……② 由为锐角，由①②解得：． （2）由（1）知，又， 即． 由，且，则，所以， 又，则，所以． 法二：因为，为锐角，，，解得：，， 由，又， 所以， 则 ， 由，且，则，所以， 又，则，所以． 精练高频考点 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用两角差的正切公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为，， 可得. 故选：B． 2．（24-25高一下·湖北·期中）已知，都是锐角，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数间的关系求得，利用二倍角的正切公式求得，进而利用两角和的正切公式可求的值. 【详解】因为，是锐角，所以， 所以，从而， 所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知，其中，求的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意及同角三角函数的关系可得，利用两角和的正弦公式，展开可得结果. 【详解】由，可得，所以， . 故选：A. 高频考点六：降幂公式 典型例题 例题1．（23-24高三上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正切公式及二倍角的余弦公式，利用诱导公式及特殊值的三角函数，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】， ， ， 又在上单调递增，所以，即， 所以. 故选：A. 例题2．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）若，则 . 【答案】 【分析】根据题意利用降幂公式结合诱导公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 精练高频考点 1．（23-24高一下·云南保山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用降幂公式和诱导公式即可. 【详解】 ， 故选：A． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用半角公式和诱导公式进行求解. 【详解】∵，∴． 故选：B． 3．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知函数的周期为，则 . 【答案】 【分析】利用降幂扩角公式以及诱导公式化简函数，根据周期求得参数. 【详解】因为. 因为其周期为，故可得，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，以及由函数周期求参数，属综合基础题. 第四部分：典型易错题型 易错点一：忽略了辅助角(其中)公式中的先化为正数再化简 1．（23-24高一·上海·课堂例题）把下列各式化为的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据三角函数的恒等变换即可求解． 【详解】（1） ； （2） 2．（2024高三·全国·专题练习）化简： 【答案】或 【分析】利用辅助角公式，将其化为或的形式即可. 【详解】解法一： 解法二： 3．（23-24高一上·黑龙江鸡西·期末）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】三角换元之后，逆用和差角公式即可化简 【详解】（1） （2） 学科网（北京）股份有限公司 $$