第02讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 ( 精练+相遇真题）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第02讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 A夯实基础 B相遇高考 C素养提升 A夯实基础 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A．1 B． C．9 D． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．若，则（ ） A． B． C． D． 7．对于角θ，当分式有意义时，该分式一定等于下列选项中的哪一个式子（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知，则下列选项中正确的有（   ） A． B． C． D． 9．已知角终边上一点，则 ． 10．设为第二象限角，且，则 . 11．平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 (1)求和的值 (2)若，化简并求值 12．已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. B相遇高考 1．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． C素养提升 1．（24-25高一下·湖北恩施·期中）公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起相关理论．黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东汕尾·阶段练习）把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体（图1），若中间层旋转角（为锐角，如图2所示），记表面积增加量为，则 ，S的最大值是 ． 4．（22-23高一下·江苏连云港·阶段练习）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（）的池底水平铺设污水净化管道（Rt，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上．已知米，米，记． (1)试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域； (2)若，求此时管道的长度； (3)当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 A夯实基础 B相遇高考 C素养提升 A夯实基础 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，平方即可得出的值. 【详解】由题意，， ∴， 解得：． 故选：C. 2．若，则（    ） A．1 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】切弦转化，将分子分母同时除以，从而将原式化为仅含有的表达式，再代入已知值计算. 【详解】． 故选：D. 3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由诱导公式和二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】. 故选：C. 4．已知角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的定义可得出的值，再利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】由题意，点为角终边上一点，由三角函数定义可得， 所以． 故选：B． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式可得出的值，再利用弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】由得，则． 故选：B． 6．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的除法公式化简齐次式，结合诱导公式可得解. 【详解】因为，所以，解得， 于是， 故选：A． 7．对于角θ，当分式有意义时，该分式一定等于下列选项中的哪一个式子（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直接切化弦化简可得，选项中的分式利用同角间的关系切化弦化简，即可判断. 【详解】由题意知， ∵，∴A不符合题意； ∵，∴B不符合题意； ∵，∴C不符合题意； ∵，∴D符合题意． 故选：D． 8．（多选）已知，则下列选项中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据同角三角函数的平方式，结合题意可得角的取值范围，建立方程组可得正弦值与余弦值，由同角三角函数的商式关系，逐项检验，可得答案. 【详解】将两边同时平方，整理得， 所以．故D正确． 又，所以， 所以由解得故C正确， 所以，故A，B错误． 故选：CD. 9．已知角终边上一点，则 ． 【答案】 【分析】由三角函数的定义得，再应用诱导公式、齐次式法求值即可. 【详解】由题设，，则， . 故答案为： 10．设为第二象限角，且，则 . 【答案】 【详解】由，即，解得或.又为第二象限角，故且，所以. 11．平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 (1)求和的值 (2)若，化简并求值 【答案】(1)，； (2)，4. 【分析】（1）根据三角函数的定义及已知终边上的点求对应三角函数值； （2）应用诱导公式化简函数式，由弦化切及（1）中结果求值即可. 【详解】（1）由题设，， 所以； （2）由题设. 12．已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可求出； （2）分子分母同时除以即可构造出关于的式子，即可求解； （3）变形得出，再利用齐次式构造得出，即可求出. 【详解】（1）由题意得，， 即， 若，则，不符合， 故，则. （2）. （3）. B相遇高考 1．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. C素养提升 1．（24-25高一下·湖北恩施·期中）公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起相关理论．黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式、诱导公式将所求式化简，结合条件代入计算可得结果. 【详解】由题意得，， ∵，∴， ∴. 故选：C． 2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式与诱导公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：D. 3．（24-25高三上·广东汕尾·阶段练习）把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体（图1），若中间层旋转角（为锐角，如图2所示），记表面积增加量为，则 ，S的最大值是 ． 【答案】 【分析】设三角形的斜边长为，则，表示出，代入求出，；由基本不等式得到，结合，求出，，即． 【详解】显然这些个三角形全等，且增加的三角形个数为16个， 设三角形的斜边长为，则①， 所以， 当时，由①式得，， 所以； ， 因为，当且仅当时，等号成立， 又由①可得，， 所以， 因为为锐角，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 即． 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：设三角形的斜边长为，则，，在此基础上，进行求解，特别是求解面积的最大值，需用到基本不等式. 4．（22-23高一下·江苏连云港·阶段练习）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（）的池底水平铺设污水净化管道（Rt，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上．已知米，米，记． (1)试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域； (2)若，求此时管道的长度； (3)当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度． 【答案】(1)，． (2)（米）． (3)或，污水净化效果最好，此时管道的长度为米． 【分析】（1）首先用将线段表示出来，进而可得到长度的表达式，然后根据线段的长度求出的范围. （2）根据已知条件先求出的值，进而可求出管道的长度. （3）首先设，化简的表达式，然后求出的范围，根据函数的单调性即可求出的最大值. 【详解】（1） 根据题意，，， ． 由于，， 所以， 所以． 所以，． （2） 当时，等式两边平方得. 所以. 所以（米）． （3） 因为，设， 等式两边平方得， 则，所以． 由于，所以，． 由于在上单调递减， 所以当即或时，取得最大值米． 答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米． 学科网（北京）股份有限公司 $$