第06讲 函数y=Asin(wx +ψ)的图象及其应用 ( 精练+相遇真题）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第06讲 函数的图象及其应用 A夯实基础 B相遇高考 C素养提升 A夯实基础 1．（山东省济宁市2024-2025学年高一下学期7月期末质量检测数学试题）为了得到的图象，可将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据函数平移前后解析式的变化规律可解. 【详解】将向左平移个单位长度得到， 故选：A. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）为了得到的图象，只需要将上所有点（   ） A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 B．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 D．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 【答案】C 【分析】根据三角函数平移伸缩转换即可判断. 【详解】将向左平移个单位得到，然后纵坐标伸长为原来的2倍得到. 故选：C 3．（24-25高一下·四川凉山·期末）若将函数的图象向左或右平移个单位，所得的图象与的图象关于y轴对称，则的最小正值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求关于轴对称的函数的解析式，再根据函数图象平移的规律求. 【详解】函数关于轴对称的函数的解析式为： ， 又， 所以将向右平移个单位可得的图象. 则的最小正值是 故选：B 4．（24-25高一下·广东清远·期末）已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式，结合对称轴可求解析式，再利用平移可得，利用正弦值等于在区间内内恰有3个解,可得到动区间端点的取值范围，即可求解. 【详解】由的图象关于直线对称， 则，又因为，所以， 即 由的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 则， 由可得：， 因为，所以， 根据在区间内恰有3个解， 则，解得：， 故选：D. 5．（24-25高一下·江西萍乡·期末）为了得到函数的图象，可以把函数的图象上所有点（   ） A．左移个单位 B．右移个单位 C．左移个单位 D．右移个单位 【答案】C 【分析】根据平移变换求出相应解析式一一与比对得解· 【详解】因为向左平移个单位可得， 向左平移个单位可得， 向右平移个单位可得， 向右平移个单位可得， 故C正确，ABD错误. 故选：C 6．（河南省驻马店市2024-2025学年高一下学期7月期末质量监测数学试题）将函数的图象沿x轴向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，根据函数图象变换可得新函数的解析式，由整体思想可得参数值，根据正切值建立方程，可得答案. 【详解】由题意可知，设，则， 设将函数的图象向右平移个单位可得函数的图象， 则， 易知，则，即， 可得，解得. 故选：B. 7．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数，若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对进行化简，再根据三角函数的平移规律得到的表达式，结合函数图象分析在上有两个不相等实根时的取值范围. 【详解】 则 将向左平移个单位，得： 再向上平移个单位，得 当时， 令，则 方程即 作出函数在的图象： 要使有两个解，结合图象可知，解得， 因此，当时，有两个不等实根. 故选：C.    8．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据函数向左平移个单位长度后，可得，结合与图像重合，则与终边相同，得到即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到 又与函数的图象重合， 所以，即，， 即，，取，得到，， 故选：D. 9．（多选）（湖北省恩施州2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．点是函数的图象的一个对称中心 C．函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象 D．函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 【答案】ACD 【分析】对于A：由图观察出周期，即可得到，用五点法代入点，可求出，再用诱导公式转换即可判断；对于B：代入检验此点是不是零点，即可判断；对于C：利用伸缩变换即可判断；对于D：判断平移后的函数是否为偶函数，即可判断. 【详解】解：对于A：由图可知：，， 用五点法代入点，可得， 不妨取，， 故A正确； 对于B：故B错； 对于C：由于伸缩变换后的函数就是，故C正确； 对于D：向右平移后的函数， ，为偶函数，故D正确． 故选：ACD 10．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数（，）部分图象如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位得到的图象，则下列关于的说法错误的是（   ） A．图像关于轴对称 B．图像关于中心对称 C．在最小值为 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】根据图像得出，由过，两点，代入函数式，即可确定，进而得出，即可根据正弦函数图象和性质判断选项. 【详解】由图知,可得，又， 解得：或，又 若无解；若，则，所以，向右平移得到， 对于A：因为，所以是奇函数，关于原点对称，故A错误； 对于B：令，故对称中心,故B错误； 对于C:因为，则，所以在区间的最小值为：，故C正确； 对于D：因为，所以，所以在此区间不单调，故D错误； 故选：ABD 11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则下列说法正确的是 . ①的最大值是②向左平移个单位后为奇函数 ③的图象关于对称④在上是递增的 【答案】②③ 【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式，即可判断①，再利用图像平移以及奇函数的判断，即可判断②，根据三角函数最值性质，即可判断③，利用函数单调性，即可判断④. 【详解】由辅助角公式可知：， ①，故错误； ②向左平移个单位得到， 又， 定义域为关于原点对称，所以是奇函数，故正确； ③因为为最大值， 所以的图象关于对称，故正确； ④因为，所以， 因为在上不是单调函数， 所以在上不是单调函数，故错误； 故答案为：②③ 12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则函数 ． 【答案】 【分析】根据函数的图象求得，再根据函数平移求解. 【详解】由图可得，函数的最小正周期， 则， 将点代入得，即， 由，可得，所以， 则． 故答案为：. 13．（24-25高一下·四川达州·期末）简谐运动可以用函数，表示，其中，．已知某简谐运动图象如图所示． (1)指出该简谐运动的振幅、周期、初相： (2)把图象上所有点的纵坐标缩短到原米的（横坐标不变），得到的图象；然后把曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象． （ⅰ）讨论函数在上的单调性； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1)振幅为2，周期为，初相为 (2)（i）递增区间为，递减区间为；（ii） 【分析】（1）由图像结合正弦函数的性质可得； （2）（i）结合图象伸缩性质利用正弦函数的单调性可得；（ii）由图象平移性质结合二倍角的正弦以及同角的三角函数关系可得. 【详解】（1）由图象可得，， 当时代入可得， 又时，，所以取，则. 综上，振幅为2，周期为，初相为. （2）（i）由题意可得， 令， 即时函数单调递增；时函数单调递减， 取，可得递增区间为，递减区间为. （ii）， 因为， 所以. 14．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）给出以下三个条件：①直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的． 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 已知函数，_____． (1)求的表达式； (2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先进行三角恒等变换求出，再分别选三个条件，结合正弦函数的性质，分别求解，即可得出函数解析式. （2）首先根据三角函数的变化规律得到的解析式，再由正弦函数的性质求出在区间上的单调性，求出区间端点函数值，依题意函数的图像与在区间上有且只有一个交点，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）． （1）若选条件①，直线是函数图象的任意两条对称轴， 且的最小值为，则，解得，则． 若选条件②，则，则． 因此．又，所以，则． 若选条件③，对任意的， 则有，解得， 又，所以，则． （2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象， 再将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍， 纵坐标不变，得到图象． 由，得． 即函数的单调递增区间为， 又，所以函数在上单调递增，在上单调递减； 因为， 因为关于的方程在区间上有且只有一个实数解， 所以函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点， 则或． B相遇高考 1．（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值. 【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则， 解得，又，故当时，的最小值为. 故选：C. 2．（2022·天津·高考真题）关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假． 【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确； 令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确； 由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确． 故选：A． C素养提升 1．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若方程在上的根从小到大依次为，，，，，则= . 【答案】 【分析】由三角函数图象变换得出解析式，求出的范围，作出的图象及直线，可得它们交点的性质，由此可求得． 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 所以，由，可得， 因为，可得， 设，则，即， 结合正弦函数，的图象，如图， 可得方程在区间有6个解， 可得， 即， ， 所以，， 所以 . 故答案为： 2．（24-25高一下·上海·期末）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为 【答案】8 【分析】根据所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，得到方程，整理得到所以，，又，故，经检验后得到或6，所有可能取值之和为8. 【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍， 所以，，， 所以，，， 两式相加得，， 所以，其中，故， 两式相减得， 当时，，此时，不合要求， 当时，，解得，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 当时，，此时，不合要求， 当时，，解得，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 综上，或6，所有可能取值之和为8. 故答案为：8 3．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先根据图象确定的值，进而确定函数的解析式，然后根据正弦函数的性质求得单调递减区间. （2）先根据图象的变换求出函数的解析式，然后根据的范围确定的最大值和最小值，要使得不等式恒成立，则最大值小于等于，从而求出的取值范围. 【详解】（1）设的最小正周期为，所以，解得， 所以，解得. 由题意知，所以， 又，所以，， 即，，又， 所以，所以. 令，，解得，， 即的单调递减区间为，. （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为. 当，， 所以，， 若对任意的，，都有，则， 解得，即的取值范围是. 4．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知函数， (1)若，，求函数的解析式及对称轴； (2)已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，是一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数a的取值范围以及的值. 【答案】(1)答案见解析 (2)， 【分析】(1)根据函数周期性可得，分类讨论，结合正弦函数性质利用整体法求解即可； (2)根据图象变换可得，再根据函数零点可得，进而结合正弦函数的图像与性质分析运算. 【详解】（1）函数，， 则的最小正周期，因为，，所以函数的最小正周期， 所以，解得， ①当时，，令，解得， 所以函数的图象的对称轴为； ②当时，，令，解得， 所以函数的图象的对称轴为； （2）由题意可知， 因为是的一个零点，即，所以， 所以或， 故或，又，（舍）， 故，则， 当时，，设，则，则原式可化为， 即的图象在区间内与水平直线的图象有3个不同的交点， 作出在上的图象如下图所示， 所以当时，即，与恰有3个不同的交点，故实数a的取值范围为， 设与的3个不同的交点分别为、、，则、， ∴，即，整理得. 5．（23-24高一下·山东日照·阶段练习）已知函数，满足，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得的函数为偶函数. (1)求的解析式： (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数的图象在区间且上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析可知，函数的最小正周期为，可求出的值，利用三角函数的图象变换可求出函数的解析式，利用函数的奇偶性结合的取值范围可求出的值，即可得出函数的解析式； （2）参变分离进行处理，将问题转化为，只需求出不等式右边的最小值，结合对勾函数的单调性进行辅助求解； （3）先求出零点的一般形式，结合零点的个数求出区间长度的最小范围. 【详解】（1）因为，则， 所以，函数的最小正周期为，则，则， 将函数的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 所得的函数为偶函数， 则为偶函数， 所以，，可得， 因为，可得，所以，. （2）因为，所以，， 故，， 而恒成立， 即，整理可得. 令，， 设，，设、，且， 则， 由于，，则，所以， 即区间上单调递增，故，故， 即实数的取值范围是. （3）由题意知， 由得， 故或，， 解得或，， 故的零点为或，， 所以相邻两个零点之间的距离为或， 若最小，则和都是零点，此时在区间、、、分别恰有、、、个零点， 所以在区间上恰有个零点， 从而在区间上至少有一个零点，所以， 另一方面，在区间上恰有个零点， 所以的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 函数的图象及其应用 A夯实基础 B相遇高考 C素养提升 A夯实基础 1．（山东省济宁市2024-2025学年高一下学期7月期末质量检测数学试题）为了得到的图象，可将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．（24-25高一下·四川成都·期末）为了得到的图象，只需要将上所有点（   ） A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 B．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 D．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 3．（24-25高一下·四川凉山·期末）若将函数的图象向左或右平移个单位，所得的图象与的图象关于y轴对称，则的最小正值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东清远·期末）已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江西萍乡·期末）为了得到函数的图象，可以把函数的图象上所有点（   ） A．左移个单位 B．右移个单位 C．左移个单位 D．右移个单位 6．（河南省驻马店市2024-2025学年高一下学期7月期末质量监测数学试题）将函数的图象沿x轴向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数，若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 9．（多选）（湖北省恩施州2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．点是函数的图象的一个对称中心 C．函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象 D．函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 10．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数（，）部分图象如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位得到的图象，则下列关于的说法错误的是（   ） A．图像关于轴对称 B．图像关于中心对称 C．在最小值为 D．在上单调递增 11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则下列说法正确的是 . ①的最大值是②向左平移个单位后为奇函数 ③的图象关于对称④在上是递增的 12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则函数 ． 13．（24-25高一下·四川达州·期末）简谐运动可以用函数，表示，其中，．已知某简谐运动图象如图所示． (1)指出该简谐运动的振幅、周期、初相： (2)把图象上所有点的纵坐标缩短到原米的（横坐标不变），得到的图象；然后把曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象． （ⅰ）讨论函数在上的单调性； （ⅱ）若，求的值． 14．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）给出以下三个条件：①直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的． 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 已知函数，_____． (1)求的表达式； (2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围． B相遇高考 1．（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·天津·高考真题）关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． C素养提升 1．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若方程在上的根从小到大依次为，，，，，则= . 2．（24-25高一下·上海·期末）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为 3．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 4．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知函数， (1)若，，求函数的解析式及对称轴； (2)已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，是一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数a的取值范围以及的值. 5．（23-24高一下·山东日照·阶段练习）已知函数，满足，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得的函数为偶函数. (1)求的解析式： (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数的图象在区间且上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$