第二章 等式与不等式（高效培优单元测试·强化卷）数学人教B版2019必修第一册

第二章 等式与不等式（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列等式中，属于恒等式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于方程的说法中，正确的是（    ） A．两根之和为2 B．解集为 C．两根之和为1 D．有两不等实根 3．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作、两种类型的灯笼，其中型灯笼每个需要0.5米彩带，型灯笼每个需要1米彩带．活动规定：两种灯笼数量的乘积越大，评分越高．已知某同学用60米长的彩带制作型灯笼个，型灯笼个．若要使该同学的得分最高，则实数，的值分别为（   ） A．，B．， C．， D．， 5．若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 6．设集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 7．对于下列结论： ①方程的两根之和为，两根之积为； ②方程的两根之和为，两根之积为； ③方程的两根之和为，两根之积为； ④方程的两根之和为，两根之积为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 8．若关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D． 10．（多选）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下面结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则有最小值 C．若，则 D．若，则有最大值1 11．如图，二次函数的图象与轴交于两点，其中．下列四个结论正确的是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若不等式有解，则实数的取值集合是 . 13．若正数满足，则的最小值是 . 14．如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为 时，总运费最低． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．解下列不等式. (1)； (2). 16．（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集 17．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． (1)求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 18．荆州中学坐落于历史文化名城荆州，发轫于东汉马融绛帐讲学，历经明清龙山书院､贡院，弦歌不辍，薪火相传，文脉不绝.其近代教育始于1903年清政府创办的荆州府中学堂，临近121周年校庆，学校计划对校史馆进行修缮.现要在校史馆阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：）为. (1)已知阁楼屋顶为高，底边长的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）. （i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围； （ii）规定：公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ (2)一般认为，在公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积的规定下，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由. 19．问题：正数a，b满足，求的最小值. 有一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)正数a，b满足，求的最小值； (2)若正数a，b，x，y满足，求证： (3)利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得M最小的m的值. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 等式与不等式（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列等式中，属于恒等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取特殊值可判断ABD，根据等式的性质可判断C. 【详解】对于A，时，，故A错误； 对于B，取，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，取,可得,与无意义，故D错误. 故选:C. 2．下列关于方程的说法中，正确的是（    ） A．两根之和为2 B．解集为 C．两根之和为1 D．有两不等实根 【答案】B 【分析】由根的判别式作出判断. 【详解】中，，故解集为. 故选：B 3．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质求解易得. 【详解】由可得，故得. 故选：C. 4．某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作、两种类型的灯笼，其中型灯笼每个需要0.5米彩带，型灯笼每个需要1米彩带．活动规定：两种灯笼数量的乘积越大，评分越高．已知某同学用60米长的彩带制作型灯笼个，型灯笼个．若要使该同学的得分最高，则实数，的值分别为（   ） A．，B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得 【详解】依题意，且，即， 又，所以，当且仅当时取等号，由，解得， 故当，时该同学的得分最高. 故选：A 5．若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 6．设集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】由 ，得，即．因为，所以或，解得或，即实数a的取值范围是或． 7．对于下列结论： ①方程的两根之和为，两根之积为； ②方程的两根之和为，两根之积为； ③方程的两根之和为，两根之积为； ④方程的两根之和为，两根之积为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系、逐项判断即可. 【详解】对于①，方程的判别式， 由一元二次方程根与系数的关系可知，这个方程的两根之和为， 两根之积为，①对； 对于②，方程的判别式为，这个方程无实解，②错； 对于③，方程的判别式为， 这方程的两根之和为，两根之积为，③对； 对于④，方程的判别式为， 这个方程的两根之和为，两根之积为，④错. 故选：B. 8．若关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先利用已知一元二次不等式的解集求得参数，，再代入所求不等式，利用分式大于零，则分子分母同号，列不等式计算即得结果. 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以的两根是和，所以，， 所以可转化为， 等价于或，解得或． 所以原不等式的解集为或. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D． 【答案】AB 【分析】举反例即可判断AB；作差法即可判断CD． 【详解】对于A，当，，故A为假命题； 对于B，若，则，故B为假命题； 对于C，若且，则， 所以，故C为真命题； 对于D，， 所以，故D为真命题； 故选：AB． 10．（多选）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下面结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则有最小值 C．若，则 D．若，则有最大值1 【答案】ABD 【分析】由不等式的基本性质与基本不等式逐项求解判断即可. 【详解】对于A，，则，即，故A正确； 对于B，，则 ， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，，由，取，满足条件， 则，故C不正确； 对于D，，则， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ABD. 11．如图，二次函数的图象与轴交于两点，其中．下列四个结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据抛物线的图象可知，，，从而可判断A；根据二次函数的图象与x轴交于两点，，其中，可得，，从而可判断B,C；利用基本不等式并验证取等条件即可判断D. 【详解】由图可知，抛物线开口向上，且交于轴正半轴，则，， 因为对称轴在轴右侧，则，所以， 所以，故A错误； 当时，，故B正确； 当时，，则， 又，则， 所以，故C正确； 因为，则，当且仅当时等号成立， 但二次函数的图象与x轴交于两点，，其中， 则对称轴为，则，则等号无法取到，故，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 13．若正数满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由条件可得，故展开，结合基本不等式求其最小值. 【详解】由，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 14．如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为 时，总运费最低． 【答案】 【分析】根据已知列出总运费，再应用判别式法计算求解即可. 【详解】设当地到地的距离为时，铁路每公里运费为，公路每公里运费为． 由题意得，则总运费， 要使总费用最低，只需最小即可． 设，则， 得，则，得． 当时，总费用最低，则，得， 所以当地到地的距离为时，总运费最低． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．解下列不等式. (1)； (2). 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案, （2）分，和三种情况求解. 【详解】（1）不等式可化为， ∴ 不等式的解集是. （2）原不等式可化为， 若时，解为, 若时，解为， 若时，解为. 16．（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）移项、作差转化为一元二次不等式即可； （2）对于绝对值不等式，平方后可去掉绝对值，然后解不等式即可. 【详解】（1）移项有，即，即，且， 解得或， 则其解集为. （2）由不等式，可得， 即，即， 解得，即原不等式的解集为. 17．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． (1)求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由判别式大于0可得； （2）由韦达定理求解． 【详解】（1）由题意，解得或， 的范围是． （2）由题意，， 所以，解得， 又，所以，即． 18．荆州中学坐落于历史文化名城荆州，发轫于东汉马融绛帐讲学，历经明清龙山书院､贡院，弦歌不辍，薪火相传，文脉不绝.其近代教育始于1903年清政府创办的荆州府中学堂，临近121周年校庆，学校计划对校史馆进行修缮.现要在校史馆阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：）为. (1)已知阁楼屋顶为高，底边长的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）. （i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围； （ii）规定：公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ (2)一般认为，在公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积的规定下，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由. 【答案】(1)（i）；（ii）当为米或米时，窗户面积最小为平方米 (2)采光条件变好了，理由见解析 【分析】（1）（i）利用三角形相似可得，得出面积表达式解不等式可得结果； （ii）依题意得出不等式组即可解得结果； （2）利用作差法即可判断出采光效果是变好了. 【详解】（1）（i）设矩形的另一边长为， 由三角形相似得且，所以， 又矩形窗户面积， 解得， 故的取值范围为. （ii）设地板面积为，解不等式组， 所以，即，解得， 故窗户面积最小为， 令，可得，解得或. 故当为米或米时，窗户面积最小，为平方米. （2）设分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得，则. 因为，所以，即， 所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了. 19．问题：正数a，b满足，求的最小值. 有一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)正数a，b满足，求的最小值； (2)若正数a，b，x，y满足，求证： (3)利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【答案】(1)9 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）根据题干中的方法，将与相乘，即可求最值； （2）根据题干中的方法，将与相乘，化简后利用基本不等式即可得证； （3）记，，根据可求的值，再利用可求最值. 【详解】（1）∵a＞0，b＞0，a＋b＝1 ∴ 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为9. （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且时，等号成立. （3）记， 构造， 由，解得， 因为，所以，，， 所以 取等号时，，解得，即， 所以时，M取得最小值. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$