第二章 等式与不等式（高效培优单元测试·提升卷）数学人教B版2019必修第一册

第二章 等式与不等式（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一元二次方程的解集是（    ） A． B． C． D． 2．已知p：，那么p的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 4．若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．在R上定义运算⊗：，时，不等式有解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 7．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 8．设，已知或，则的最小值为（以表示数集中最大的数）（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则（   ） A． B． C． D． 10．某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次，则下列正确的是（    ） A．按照统计专家的化验方法能减少化验次数 B．按照统计专家的化验方法不能减少化验次数 C．如果携带病毒的人只占，按照个人一组，取7时化验次数最少 D．如果携带病毒的人只占，按照个人一组，取8时化验次数最少 11．已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，且，则的取值范围是 ． 13．若对于任意的实数，恒成立，则实数的取值范围为 . 14．定义：区间、、、的长度均为．若不等式的解集中所有区间长度总和为，则用的代数式表示 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式（）. 16．（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 17．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 18．对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：，之间的大小关系，并说明理由； (3)已知正整数满足条件：对集合内的每个元素，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求的最小值. 19．我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立. (1)若，求的最小值； (2)求的最大值； (3)若，，不等式恒成立，求m的取值范围. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 等式与不等式（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一元二次方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将一元二次方程因式分解后，求得方程的解集. 【详解】，即，所以或， 解得，. 故选:C. 【点睛】本小题主要考查提公因式法求一元二次方程的解集，属于基础题. 2．已知p：，那么p的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式，然后根据充分条件和必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】由，得，解得， 对于选项A，是命题p的充要条件，故A错误； 对于选项B，，反之不能推出， 所以是命题p的一个必要不充分条件，故B正确； 对于选项C，，反之不能推出， 所以是命题p的一个充分不必要条件，故C错误； 对于选项D，推不出，反之也不能推出， 所以是命题p的一个既不充分也不必要条件，故D错误； .故选：B. 3．已知，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】C 【分析】根据题意利用基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最大值. 故选：C. 4．若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，及根与系数的关系，求出，从而求出不等式的解集. 【详解】不等式的解集为， 和是的解， ， 解得， ， 整理的， ， 故不等式的解集为：， 故答案为：B. 5．在R上定义运算⊗：，时，不等式有解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化条件得在上有解，利用基本不等式求得在的最大值即可得解. 【详解】依题意，在上有解， 则，即在上有解， 又，当且仅当时取等号， 所以实数的取值范围是. 故选：B 6．已知，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】D 【分析】根据的取值范围，可得到以及的取值范围，然后相加相乘即可得解. 【详解】对于A，因为， 所以，即， 所以的取值范围为，故A正确，不符合题意； 对于B，因为，所以， 因为，所以，即， 所以的取值范围为，故B正确，不符合题意； 对于C，因为，则， 所以，则， 所以的取值范围为，故C正确，不符合题意； 对于D，因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以取值范围为，故D错误，符合题意； 故选：D. 7．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】将原不等式化为，按照与2的大小分类讨论解不等式，再结合解集中的整数个数建立不等式求解可得, 【详解】． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意． 当时，不等式的解集为， 要使关于的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足解得． 当时，不等式的解集为， 要使关于的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足解得． 综上，实数的取值范围为. 故选：B 8．设，已知或，则的最小值为（以表示数集中最大的数）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法表示出，再根据不等式性质，分情况讨论求解. 【详解】令，，，其中， 所以， 令，因此， 若，则，即， 所以，则， 若，则，即， 所以，则， 综上所述，，当且仅当，且时等号成立， 因此的最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据不等式的性质及特值法求解. 【详解】若，则，即， 显然，所以，两边同乘，得，故A正确； 若，则，则，即，可得，故B正确； 取，满足，但，故C错误； 取，满足，但，故D错误， 故选：AB. 10．某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次，则下列正确的是（    ） A．按照统计专家的化验方法能减少化验次数 B．按照统计专家的化验方法不能减少化验次数 C．如果携带病毒的人只占，按照个人一组，取7时化验次数最少 D．如果携带病毒的人只占，按照个人一组，取8时化验次数最少 【答案】AC 【分析】对于AB，第一轮化验次数为，第二轮最多500组需要化验，可判断最多化验次数为，可判断AB，对于CD，由化验次数为结合基本不等式求解即可判断. 【详解】按照统计专家的化验方法，需要化验两轮，第一轮化验次数为， 携带病毒的人占，因此携带病毒的人有(人)， 第二轮最多有500组需要化验，最多化验次数为， 因此这种方法最多化验次数为，化验次数减少． 按人一组，第一轮需要化验次， 如果携带病毒的人只占，则携带病毒的人有(人)，最多有200组需要化验第2轮， 第二轮最多化验次数为，因此最多化验次数为，当且仅当时等号成立，由于，易得，所以时，化验次数最少． 故选：AC 11．已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 【答案】ABD 【分析】根据集合子集的个数列方程，求得的关系式，对A，利用二次函数性质可判断；对B，利用基本不等式可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断. 【详解】由于集合有且仅有两个子集，所以， 由于，所以. A，，当时等号成立，故A正确. B，，当且仅当时等号成立，故B正确. C，不等式的解集为，，故C错误. D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则， 则，，故D正确， 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将用和线性表示，再运用不等式的性质求其范围即得. 【详解】设， 则,解得， 即. 又，， 故，， 则， 即的取值范围是． 故答案为：. 13．若对于任意的实数，恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】， 当且仅当时等号成立， 所以，解得 故答案为： 14．定义：区间、、、的长度均为．若不等式的解集中所有区间长度总和为，则用的代数式表示 ． 【答案】 【分析】变形给定不等式，转化成一元二次不等式组，进而求出解集即可得答案. 【详解】当时，， 令，则， 令的两根为，且，， 则，因此或， 而当时，， 当时，，于是， 解得，解得， 则不等式的解集为， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式（）. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案. （2）对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. 【详解】（1）若，则由， 解得或，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16．（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 【答案】证明见解析；证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【详解】（1）证明：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； （2）证明：∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． . 17．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低 (2) 【详解】解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为，底面积为，所以屋子的前面墙的长度为． 设甲工程队报价为y元，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低，为14400元． （2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以． 故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 18．对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：，之间的大小关系，并说明理由； (3)已知正整数满足条件：对集合内的每个元素，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求的最小值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)4045 【分析】（1）根据新定义，代入计算判断即可； （2）根据新定义得到，再利用不等式的性质利用作差法判断即可； （3）由题意得到，，进而得到，从而求出最小值. 【详解】（1）由于，不满足"下位序列"的概念，所以不是“下位序列”. （2）均为正数，由是的“下位序列”，得，即， 则，即， ，即， 所以. （3）由是的“下位序列”，得， 即，则， 由是的“下位序列”，得， 即，则， 所以， 则，又对集合内的每个均成立， 则， 所以正整数的最小值为4045. 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义“下位序列”，解题时要充分利用这个定义构造不等关系，结合不等式的性质求解. 19．我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立. (1)若，求的最小值； (2)求的最大值； (3)若，，不等式恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)3 (2)9 (3) 【分析】（1）构造应用柯西不等式计算即可； （2）构造应用柯西不等式计算即可； （3）先化简得出，再构造应用柯西不等式结合基本不等式计算即可求解； 【详解】（1）因为柯西不等式可得， 又因为， 所以，即得. 当且仅当取最小值3； （2）因为柯西不等式可得， 又因为， 所以， 即得，化简得， 当且仅当取最大值9； （3）因为， 所以，所以， 所以， 因为柯西不等式可得， 又因为，，所以，令， 所以， 即得，当且仅当取最小值24； 所以m的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：化简构造柯西不等式结合基本不等式是解题的关键点. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$