专题04 不等式及其性质六大题型（高效培优专项训练）数学人教B版2019必修第一册

专题04 不等式及其性质 题型一：由已知条件判断不等式是否正确 题型二：由不等式的性质比较大小 题型三：作差法比较大小 题型四：作商法比较大小 题型五：不等式性质的应用 题型六：利用不等式求值或取值范围 题型一：由已知条件判断不等式是否正确 1．（多选）已知，则下面判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质，逐项计算判断即可. 【详解】，；，， 根据不等式的同向可加性得：，，， 根据同向正值不等式可乘性得：， 综上，. 故选：ACD. 2．（多选）已知，则下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式性质逐一进行判断即可. 【详解】当时，，故A不成立； 当时，若，则，故B不成立； 若，，则，即，故C成立； 若，，则，即，故D不成立. 故选：ABD. 3．（多选）对于实数、、，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用作差法可判断AD选项；利用不等式的基本性质可判断BC选项. 【详解】对于A选项，因为，则，故，A错； 对于B选项，若，则，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，若，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，若，则， 所以，D对. 故选：BCD. 4．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于AB，根据不等式的基本性质分析判断，对于CD，举例判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，即，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以，所以，所以B正确， 对于C，若，则满足，此时，所以C错误， 对于D，若，则满足，此时，所以D错误. 故选：AB 5．（多选）若实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据不等式性质证明B正确，利用作差法证明D正确，其余举反例即可. 【详解】，所以B正确； 当时，满足， 但，所以A，C； ,故D正确. 故选：BD 题型二：由不等式的性质比较大小 6．如果，那么下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为，所以，则，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：C 7．设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用不等式的性质及作差法判断A，B，C，再应用特殊值法判断D. 【详解】因为，则，则，A选项正确； 因为，则，则，B选项正确； 因为，则，则，C选项正确； 取，所以，D选项错误； 故选：D. 8．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质和同向不等式可加性，可判断ABD，利用作差法可判断C，即可. 【详解】对于A： ，又，由加法性质知，A正确, 对于B：, ,，B正确, 对于C：, ,,但是的正负号不确定, 与大小关系不确定，C错误, 对于D：,, ，又,，D正确, 故选：ABD. 9．（多选）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质即可判断ABC；利用作差法即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，由A选项知，，， 所以，故C错误； 对于D，， 因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选）已知为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据不等式性质确定BCD正确，举反例得到A错误，得到答案. 【详解】对于A，取，，满足，但，故A错误； 对于B，由，则，即，故B正确； 对于C，由，则，即，故C正确； 对于D，若，则，所以，即，故D正确. 故选：BCD. 题型三：作差法比较大小 11．已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为， 所以． 故选：C 12．（多选）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，可以用作差法判断，对于BC，举反例判断即可，对于D，分三种情况讨论即可判断. 【详解】对于A，，因为， 所以，即，所以，故A正确； 对于B，取，此时，故B错误； 对于C，取，则，故C错误， 对于D，若，则显然成立， 若，则成立， 若，则成立， 综上所述，只要，就一定有，故D正确. 故选：AD. 13．已知，，设，，则与的大小关系为 ． 【答案】 【详解】．因为，，所以，，，所以，所以． 14．已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）解法1  因为且，所以，且，两边取倒数得，又，则，从而得证． 解法2  因为且，所以，且，所以，即． （2）因为且，所以，，则，，由，可得，即，所以，即．综上，． 15．若，试比较与的大小． 【答案】 【分析】分组因式分解，得到，结合条件即得. 【详解】 ， 因为，所以， 故. 题型四：作商法比较大小 16．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 17．已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 18．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若，试判断哪辆车先到达B地． 【答案】甲先到达B地． 【分析】设两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为，则，． 然后利用作差法或作商法比较大小，作商法中要注意结合基本不等式的使用得到结论. 【详解】设两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为，则，． 方法一  因为，即，所以甲先到达B地． 方法二  ，因为，所以，从而，即，所以甲先到达B地． 【点睛】本题考查利用做差法或作商法比较大小在实际问题中的应用，涉及基本不等式，属基础题. 题型五：不等式性质的应用 19．（多选）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据不等式的性质判断AB；举反例判断CD. 【详解】根据，则，A正确； 由，又，则，B正确； 当时，，C错误； 当时，，D错误. 故选：AB 20．（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以． （2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以． 21．已知，，求证． 【答案】证明见解析． 【分析】利用不等式的性质证明． 【详解】根据不等式的性质利用综合法即可证明． 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以． 22．已知，求证：＞. 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的性质，利用综合法即可证明. 【详解】因为，所以， 所以，可得， 即，得证. 题型六：利用不等式求值或取值范围 23．若，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由不等式式性质计算即可. 【详解】因为，， 所以，， 根据同向不等式可加性得． 故答案为：． 24．已知实数a，b满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据不等式性质直接求解即可. 【详解】， . 故答案为：. 25．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式性质得到，进而得到取值范围. 【详解】，故， 故，故. 故答案为：. 26．已知，，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合不等式性质，可得答案. 【详解】令，则，即， 由，即，可得，则. 故答案为：. 27．设，，则的范围是 . 【答案】 【分析】利用不等式的性质计算即可得. 【详解】由，则， 由，则， 故，即. 故答案为：. 28．已知，则的范围是 【答案】 【分析】应用不等式性质求范围即可. 【详解】由题设，则. 故答案为： 29．已知，，求的取值范围. 【答案】 【分析】计算出，从而得到，得到答案. 【详解】设， ∴， ∴，解得， 故， ∵，， ∴，， ∴， 即， 故的取值范围为. 30．已知， (1)求x的取值范围 (2)求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两不等式相加可求x的取值范围； （2）利用待定系数法可得，再根据不等式的性质可求的取值范围. 【详解】（1）， 两个不等式相加可得 解得. （2）设， 则，. 即， 又， ， ， 即 的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 不等式及其性质 题型一：由已知条件判断不等式是否正确 题型二：由不等式的性质比较大小 题型三：作差法比较大小 题型四：作商法比较大小 题型五：不等式性质的应用 题型六：利用不等式求值或取值范围 题型一：由已知条件判断不等式是否正确 1．（多选）已知，则下面判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知，则下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，，则 D．若，，则 3．（多选）对于实数、、，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（多选）若实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：由不等式的性质比较大小 6．如果，那么下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 7．设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型三：作差法比较大小 11．已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 12．（多选）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 13．已知，，设，，则与的大小关系为 ． 14．已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 15．若，试比较与的大小． 题型四：作商法比较大小 16．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 17．已知，试比较与的大小. 18．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若，试判断哪辆车先到达B地． 题型五：不等式性质的应用 19．（多选）若，，则（   ） A． B． C． D． 20．（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 21．已知，，求证． 22．已知，求证：＞. 题型六：利用不等式求值或取值范围 23．若，，则的取值范围为 ． 24．已知实数a，b满足，则的取值范围为 . 25．若，则的取值范围是 ． 26．已知，，，则的取值范围是 . 27．设，，则的范围是 . 28．已知，则的范围是 29．已知，，求的取值范围. 30．已知， (1)求x的取值范围 (2)求的取值范围 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$