第06讲 不等式的基本性质（知识清单+易错+4必考题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019必修一）

第06讲 不等式的基本性质 题型梳理 易错分析 易错点一 扩大取值范围致错 题型方法 题型一 比较代数式的大小 题型二 利用不等式的性质求取值范围 题型三 不等式在实际中的应用 题型四 要用待定系数法求取值范围 知识清单 知识点01 两实数大小关系的基本事实 1. a>b⇔a-b>0；a=b⇔a-b=0；a<b⇔a-b<0. 知识点02 不等式的基本性质 　性质1：若a>b，则b<a. 　性质2：若a>b，b>c，则a>c. 　性质3：若a>b，则a+c>b+c. 　性质4：若a>b，c>0，则ac>bc；若a>b，c<0，则ac<bc. 　性质5：若a>b，c>d，则a+c>b+d. 　性质6：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd. 特别地，若a>b>0，则an>bn(n∈N*). 知识点03比较实数(代数式)的大小 作差比较法 作商比较法 依据 a-b>0⇔a>b； a-b<0⇔a<b； a-b=0⇔a=b a>0，b>0且>1⇒a>b； a>0，b>0且<1⇒a<b 应用范围 作差后可化为积或商的形式 同号两数(式)比较大小 步骤 ①作差； ②变形； ③判断符号； ④下结论 ①作商； ②变形； ③判断商与1的大小关系； ④下结论 变形 技巧 ①分解因式； ②平方后作差； ③配方法； ④分子(分母)有理化 按照同类的项进行分组 知识点04利用不等式的性质求代数式的取值范围 　　利用几个代数式的取值范围来确定某个代数式的取值范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意“同向不等式的两边可以相加”，但这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次进行这种转化后，就有可能扩大真实的取值范围. 解决此类问题，可先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过一次不等关系的运算求得待求式的取值范围. 知识点05利用不等式的性质证明不等式 　　利用不等式的性质证明不等式的实质就是利用性质对不等式进行变形，变形时，一要考虑已知不等式与未知不等式在运算结构上的联系，二要考虑变形要等价，三要注意性质使用的前提条件. 易错分析 【易错点一】扩大取值范围致错 【例1】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知则的取值范围为 ． 【变式2】（2021高一·江苏·专题练习）已知α，β满足－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，求α＋3β的取值范围． 【变式3】已知实数满足： (1)，求的取值范围； (2)求的取值范围. 题型方法 【题型一】比较代数式的大小 【例1】（24-25高一上·江苏常州·期末）若，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 解题技巧 作差法比较两个实数a，b大小的基本步骤 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏无锡·期末）设，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·江苏·期中）比较大小： 4.（请从“”“”“”中选择合适的符号填空） 【变式3】（23-24高一·江苏）已知，试比较和的大小. 【题型二】利用不等式的性质求取值范围 【例2】（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解题技巧 (1)利用不等式性质判断命题真假的注意点 ①运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质． ②也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． (2)利用不等式的性质求取值范围的策略 ①建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． ②同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若实数满足：，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知，则的取值范围为 ． 【变式3】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知，求的取值范围. （2） 比较与的大小（其中），并给出证明. 【题型三】不等式在实际中的应用 【例3】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知2枝玫瑰与1枝康乃馨的价格之和大于8元，而1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格之和小于5元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（   ） A．2枝玫瑰的价格高 B．3枝康乃馨的价格高 C．价格相同 D．不确定 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好，则（    ） A．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少应该为 B．若窗户面积和地板面积在原来基础上都增加了，公寓采光效果会变好 C．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好 D．若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的8倍，公寓采光效果一定会变差 【变式2】（21-22高一上·江苏徐州·阶段练习）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数不少于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 ②该小组人数的最小值为 ． 【变式3】（24-25高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【题型四】要用待定系数法求取值范围 【例4】（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是 ，的取值范围是 . 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设实数满足：，则的最大值是 【变式2】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）解决下列问题 (1).已知，，求的取值范围； (2).已知，，求的取值范围； (3).已知，比较与的大小. 【变式3】（20-21高一上·江苏无锡·阶段练习）（1）若，，求，的取值范围； （2）已知，满足，，求的取值范围． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南通·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）下面不等式成立的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 4．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 6．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知是实数，下列命题为真命题的是（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 二、多选题 7．（24-25高一上·江苏淮安·期末）下列说法正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（24-25高一上·江苏·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则的取值范围是 9．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）若且，试比较大小： （填“”或“”）． 11．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围是 ． 12．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，则的取值范围是 ． 13．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若，则的最小值是 . 14．（2023高一·江苏·专题练习）下列命题中真命题的序号是 ． ①；②； ③；④； ⑤． 15．（20-21高二上·江苏扬州·期中）一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为，当时，符合条件的a共有 个. 四、解答题 16．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知，. (1)分别求a，c的取值范围； (2)求的取值范围. 17．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，分别求 (1) (2) (3)的取值范围. 18．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）（1）已知，，求，取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 19．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）（1）分解因式___________ （2）如果，比较与的大小并证明． 20．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）（1）已知，求的取值范围； （2），其中，均为正实数，比较，的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 不等式的基本性质 题型梳理 易错分析 易错点一 扩大取值范围致错 题型方法 题型一 比较代数式的大小 题型二 利用不等式的性质求取值范围 题型三 不等式在实际中的应用 题型四 要用待定系数法求取值范围 知识清单 知识点01 两实数大小关系的基本事实 1. a>b⇔a-b>0；a=b⇔a-b=0；a<b⇔a-b<0. 知识点02 不等式的基本性质 　性质1：若a>b，则b<a. 　性质2：若a>b，b>c，则a>c. 　性质3：若a>b，则a+c>b+c. 　性质4：若a>b，c>0，则ac>bc；若a>b，c<0，则ac<bc. 　性质5：若a>b，c>d，则a+c>b+d. 　性质6：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd. 特别地，若a>b>0，则an>bn(n∈N*). 知识点03比较实数(代数式)的大小 作差比较法 作商比较法 依据 a-b>0⇔a>b； a-b<0⇔a<b； a-b=0⇔a=b a>0，b>0且>1⇒a>b； a>0，b>0且<1⇒a<b 应用范围 作差后可化为积或商的形式 同号两数(式)比较大小 步骤 ①作差； ②变形； ③判断符号； ④下结论 ①作商； ②变形； ③判断商与1的大小关系； ④下结论 变形 技巧 ①分解因式； ②平方后作差； ③配方法； ④分子(分母)有理化 按照同类的项进行分组 知识点04利用不等式的性质求代数式的取值范围 　　利用几个代数式的取值范围来确定某个代数式的取值范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意“同向不等式的两边可以相加”，但这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次进行这种转化后，就有可能扩大真实的取值范围. 解决此类问题，可先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过一次不等关系的运算求得待求式的取值范围. 知识点05利用不等式的性质证明不等式 　　利用不等式的性质证明不等式的实质就是利用性质对不等式进行变形，变形时，一要考虑已知不等式与未知不等式在运算结构上的联系，二要考虑变形要等价，三要注意性质使用的前提条件. 易错分析 【易错点一】扩大取值范围致错 【例1】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求得，再根据不等式的性质求解即可. 【详解】设， 则， 所以， ， 因为， 所以， 所以，即， 故选：C. 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】把看成一个整体变量来表示，再利用同向不等式的可加性求解. 【详解】假设，则，解得， 因为，所以； 又因为，所以； 由上两同向不等式相加得：， 整理得： 故答案为： 【变式2】（2021高一·江苏·专题练习）已知α，β满足－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，求α＋3β的取值范围． 【答案】[1，7]． 【分析】设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β)，解得λ＝－1，μ＝2，再由不等式的性质即可求解. 【详解】解：设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β)， 可解得λ＝－1，μ＝2， 所以α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)． 又－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3， 所以1≤α＋3β≤7. 故α＋3β的取值范围是[1，7]． 【变式3】已知实数满足： (1)，求的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1)的取值范围为，的取值范围为； (2)的取值范围为. 【分析】（1）根据同向不等式的可加性和可乘性即可求解范围； （2）利用，求得，结合同向不等式的可加性即可求解. 【详解】（1）因为，所以，又因为，所以； 因为，所以，又因为，所以； 所以的取值范围为，的取值范围为； （2）令，， 所以，解得， 因为， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 题型方法 【题型一】比较代数式的大小 【例1】（24-25高一上·江苏常州·期末）若，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取推翻ABD，作差判断C即可. 【详解】对于ABD，取，则、、无意义，故ABD错误； 对于C，若，则， 由于不同时为0，所以，故C正确. 故选：C. 解题技巧 作差法比较两个实数a，b大小的基本步骤 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏无锡·期末）设，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过举反例可判断A，B，根据不等式的性质或作差法可判断C，D. 【详解】当，时，显然不成立，故A错误； 当时，显然不成立，故B错误； 因为，所以成立，故C正确； 因为，由已知可知，但不能确定的符号，故D错误. 故选：C. 【变式2】（23-24高一上·江苏·期中）比较大小： 4.（请从“”“”“”中选择合适的符号填空） 【答案】 【分析】将两数都平方，然后作差法比较大小即可. 【详解】由，则， 所以. 故答案为： 【变式3】（23-24高一·江苏）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【题型二】利用不等式的性质求取值范围 【例2】（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】∵，∴， 又，∴， 即的取值范围是. 故选：C. 解题技巧 (1)利用不等式性质判断命题真假的注意点 ①运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质． ②也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． (2)利用不等式的性质求取值范围的策略 ①建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． ②同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若实数满足：，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不等式性质求解即得. 【详解】由，得，由，得，而， 因此，所以的取值范围为. 故选：B 【变式2】（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据已知的范围，结合不等式的性质计算得出范围. 【详解】已知， 所以 又因为，所以 则的取值范围是. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知，求的取值范围. （2）比较与的大小（其中），并给出证明. 【答案】（1）；（2）证明详见解析 【分析】（1）根据不等式的性质求得正确答案. （2）通过差比较法证得两者的大小关系. 【详解】（1）依题意，则， 所以，所以的取值范围是. （2），， ，， 即. 【题型三】不等式在实际中的应用 【例3】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知2枝玫瑰与1枝康乃馨的价格之和大于8元，而1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格之和小于5元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（   ） A．2枝玫瑰的价格高 B．3枝康乃馨的价格高 C．价格相同 D．不确定 【答案】A 【分析】根据已知条件列不等式，根据不等式的性质以及差比较法求得正确答案. 【详解】设枝玫瑰元，枝康乃馨元， 则， 设， 所以，解得， 所以， 所以，所以枝玫瑰的价格高. 故选：A 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好，则（    ） A．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少应该为 B．若窗户面积和地板面积在原来基础上都增加了，公寓采光效果会变好 C．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好 D．若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的8倍，公寓采光效果一定会变差 【答案】C 【分析】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，同时根据BCD设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断BCD. 【详解】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意，， 解得，因此这所公寓的窗户面积至少为，A错误； 对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，窗户增加的面积为，地板增加的面积为， 而，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，公寓采光效果不变，B错误； 对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c，， 增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 则，而， 于是，即，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了，C正确； 对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，窗户增加的面积为c，地板增加的面积为， 而，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 则， 若，则；若，则；若，则， 因此无法判断公寓的采光效果是否变差了，D错误. 故选：C 【变式2】（21-22高一上·江苏徐州·阶段练习）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数不少于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 ②该小组人数的最小值为 ． 【答案】 6 7 【分析】分别设男学生人数、女学生人数、教师人数为x，y，z，根据条件列出不等式，根据分类讨论求解即可. 【详解】分别设男学生人数、女学生人数、教师人数为x，y，z，，由题意. 当时，，故x值最大为7，y的值最大为6； 当z=1时，，对不成立； 当z=2时，，得x=3，y=2，从而该小组人数的最小值为7. 综上可知，教师人数为4，则女学生人数的最大值为6，该小组人数的最小值为7. 故答案为：6；7 【变式3】（24-25高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【答案】(1)答案见详解 (2)安排型货厢30节，型货厢20节时运费最少 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少. 【详解】（1）设安排两种货厢分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货厢28节，型货厢22节； 方案二，安排型货厢29节，型货厢21节； 方案三，安排型货厢30节，型货厢20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货厢分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货厢分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货厢30节，型货厢20节时，运费最少，为31万元. 【题型四】要用待定系数法求取值范围 【例4】（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是 ，的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用不等式的性质可求的范围，利用待定系数法可求的范围. 【详解】因为，，故即， 设， 故，所以，故， 又，， 所以， 故答案为：. 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设实数满足：，则的最大值是 【答案】22 【分析】首先通过待定系数将表示为，然后根据已知条件求出的范围，根据不等式的性质同向不等式相加即可得解. 【详解】由题意不妨设， 则，解得， 所以， 注意到， 所以，， 所以当且仅当即时，取得最大值22， 综上所述：的最大值是22. 故答案为：22. 【变式2】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）解决下列问题 (1).已知，，求的取值范围； (2).已知，，求的取值范围； (3).已知，比较与的大小. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由不等式性质可解决问题； （2）由待定系数法结合不等式性质可得答案； （3）由作差法结合条件可比较大小. 【详解】（1）因，，则， 则； （2）设. 则.， 则； （3） 因，则， 则 【变式3】（20-21高一上·江苏无锡·阶段练习）（1）若，，求，的取值范围； （2）已知，满足，，求的取值范围． 【答案】（1）， ；（1）. 【解析】（1）根据，得到，同理由，得到，再利用不等式的基本性质加法和乘法求解. （2）设，利用待定系数法求得m，n再根据，求解. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以，； 所以的取值范围是；的取值范围是； （2）设， 则， 解得， 所以， 又因为，， 所以， 所以的取值范围是 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南通·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A：若，，满足，但是，故A错误； 对于B：若，，满足，但是，故B错误； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：因为，则，所以， 所以，即，故D正确. 故选：D 2．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质逐项分析得解. 【详解】由不等式性质，，故A错误， 由，故B错误； 由，故C正确； 由，故D错误. 故选：C 3．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）下面不等式成立的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】AC选项，举出反例；B选项，由不等式性质得到；D选项，先得到，结合得到，. 【详解】对于A，取，，，，满足，，而，A错误； 对于B，由，，故，即，B正确； 对于C，取，，满足，而，C错误； 对于D，由，得，则，而， 于是，，错误． 故选：B 4．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】由，可得，即， 所以或， 则或, 所以. 故选：. 5．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】通过举反例排除A,B两项；由不等式的性质可判断C项;利用作差法判断D项. 【详解】对于A，若，当，则，故A错误； 对于B，若，满足，但，故B错误； 对于C，由，则， 由不等式的性质得，故C正确； 对于D，因为 则， 所以，故D错误. 故选：C. 6．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知是实数，下列命题为真命题的是（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件概念结合具体的不等式性质和特殊值即可判断每个选项的正确性. 【详解】对于A选项，当，时，此时，但是，，. 即当时，不能推出，所以“”不是“”的充分条件，则A选项错误.   对于B选项，当，时，，，此时，但是. 即时，不能推出，所以“”不是“”的必要条件，B选项错误.   对于C选项，当，，时，此时，但， 故“”不是“”的充分条件，C选项错误.   对于D选项， 若，显然，两边除以，得到.则“”是“”的必要条件，D选项正确. 故选：D. 二、多选题 7．（24-25高一上·江苏淮安·期末）下列说法正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】由不等式的性质逐一判断所给命题的真假． 【详解】A中，因为，可得，所以，所以A正确； B中，若，也可以，所以不正确，所以B不正确； C中，， 因为，，而，所以，即，所以C正确； D中，若，当时，则，则错误，所以D不正确． 故选：AC． 8．（24-25高一上·江苏·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】特殊值判断A；利用不等式性质判断BC；利用不等式性质求的范围判断D. 【详解】对于A，由，但，即，错误； 对于B，因为，，所以，又因为，，所以， 所以，正确； 对于C，由得，所以，又，所以，正确； 对于D，因为，所以， 两个不等式相加，得到，即的取值范围是，正确. 故选：BCD. 9．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由不等式的性质通过作差法，及幂函数的单调性逐个判断即可. 【详解】因为，则，A错误； 选项B： 因为，所以，，则，所以，故B正确. 因为，所以，故C正确. 因为，所以幂函数在单调递减， 所以，D错误， 故选：BC 三、填空题 10．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）若且，试比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合作差法，即可求解． 【详解】由题意， 且， ， 则． 故答案为：． 11．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据同向不等式的可乘性即可求解范围. 【详解】因为，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 12．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质可求出. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则，所以的取值范围是. 故答案为：. 13．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若，则的最小值是 . 【答案】 【分析】用反证法证明的最小值不小于，再确定能等于，即可得． 【详解】由题意， 若存在使得，则， 因此，但， 因此假设错误，不存在使得， 所以的最小值不小于， 又时，， 所以的最小值为， 故答案为：． 14．（2023高一·江苏·专题练习）下列命题中真命题的序号是 ． ①；②； ③；④； ⑤． 【答案】②③⑤ 【分析】根据题意，由不等式的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】①当时，结论不成立．②．③．④取，得，∴结论不成立．⑤由可得，故正确； 故答案为：②③⑤ 15．（20-21高二上·江苏扬州·期中）一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为，当时，符合条件的a共有 个. 【答案】135 【解析】由题设，，，得，对讨论求解即可． 【详解】由题设，，，则 当，不存在； 当，不存在 当，，满足题意 当，不存在； 当，不存在； 故，解， 则，1，，共135个 故答案为：135 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对分类讨论得到当，，满足题意. 四、解答题 16．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知，. (1)分别求a，c的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）设，，即得，，根据不等式的性质即可求出，的取值范围； （2）由（1）可知，，即可根据不等式的性质求出取值范围． 【详解】（1）设，，则，，，， 由，则，， 则的取值范围是，的取值范围是； （2），由，，则，，则. 17．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，分别求 (1) (2) (3)的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】利用不等式的性质进行求解（1）（2）（3）即可. 【详解】（1），而， 所以有 （2）； （3），而， 所以有. 18．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）（1）已知，，求，取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据不等式的性质，求出和的范围，即可根据性质求得； （2）令，求出的值，根据不等式的性质即可得到结果. 【详解】（1）因为，由不等式的性质可得，则， 又，故. 又，，故. 综上， （2）令，即， 则，解得. 则，，所以，即. 综上 19．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）（1）分解因式___________ （2）如果，比较与的大小并证明． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】（1）利用分组分解法求得正确答案. （2）利用差比较法证得两者的大小关系. 【详解】（1） . （2），理由如下： ， 当时等号成立，所以. 20．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）（1）已知，求的取值范围； （2），其中，均为正实数，比较，的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由不等式的性质直接求范围即可； （2）利用作差法判断即可； 【详解】（1）， ， ． 又， ； （2）因为， 作差得 ， 因为，所以， 所以，即； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$