专题2.7 均值不等式及其应用（高效培优讲义）数学人教B版2019必修第一册

专题2.7 均值不等式及其应用 教学目标 1. 理解两个实数的平方和不小于它们积的2倍这一重要不等式的证明，并能从几何意义的角度去解释，形成数形结合的完美统一． 2. 理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明，及其几何意义，会用这两个重要不等式解决简单的实际应用题． 3. 通过定理的证明培养学生的逻辑推理能力，通过定理的应用揭示数学的应用价值． 教学重难点 教学重点：1．均值不等式定理的证明和应用． 2．会用均值不等式解决简单的最大（小）问题． 教学难点：注意运用定理求最大（小）值的条件 知识点01 均值不等式 均值不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 均值不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 【即学即练】下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】B 【分析】利用基本不等式的条件、取等号的条件逐项判断. 【详解】对于A，当时，显然不成立，A错误； 对于B，当时，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，而，不能取到等号，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：B 知识点02 利用均值不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 【即学即练】已知，求的最大值； 【答案】 【分析】利用基本不等式,结合构造和为定值来求积的最大值，并注意说明取等号条件. 【详解】∵，∴， ∴， ∴当且仅当， 即时，． 题型01对均值不等式的理解 【典例1】设a，b∈R，下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C．a2+b2＞2ab D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式的性质即可判断，注意“一正二定三相等”的法则. 【详解】A选项当时不成立； B选项当时不成立； C选项当时不成立； D选项 = +，令， 在区间上单调递增，所以成立，故D正确. 故选：D 【点睛】本题考查了基本不等式的性质、“一正二定三相等”的法则，属于基础题. 【变式1】若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】AB通过分析a，b符号，可判断选项正误； C由基本不等式可判断选项正误； D由作差法结合AB分析可判断选项正误. 【详解】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时， 显然，，故AB错误； 对于C，由基本不等式，因，则，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，则当a，b都为负数时， ，故D错误. 故选：C 【变式2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据均值不等式，可知当时，成立，可验证充分性；根据举特值法可判断必要性. 【详解】当时，，当且仅当即时取等号，所以充分性成立； 当时，成立，不满足，所以必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 【变式3】不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立， 故选：. 【变式4】下列结论正确的是（　　） A．当x<2时，x＋≥4 B．当x≥2时，x＋的最小值是2 C．当x>0时，＋≥4 D．当x>0时，x＋的最小值为1 【答案】C 【详解】 当x＝0时，x＋＝－，故A错误；当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝时等号成立，故B错误；当x>0时，＋≥4，当且仅当＝，即x＝4时等号成立，故C正确；当x>－1时，x＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时等号成立，故D错误．故选C. 题型02 由均值不等式比较大小 【典例1】已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】，当且仅当时，等号成立，故. 【变式1】设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 【变式2】（多选）已知a，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】应用基本不等式判断的符号、求的范围，即可得答案. 【详解】对于A，B：由题知，， 所以，当且仅当时取等号， 因为，则，即，故， A错误， B正确； 对于C，D：因为，所以， 当且仅当即时取等号，所以，C正确，D错误． 故选：BC 【变式3】比较大小： 2(填“”“”“”或“”)． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故答案为：. 题型03 由均值不等式证明不等关系 【典例1】（1）已知，，，求证：； （2）已知、、都是正实数，且，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据题意结合不等式的性质分析证明； （2）根据题意利用乘“1”法，结合基本不等式分析证明. 【详解】（1）因为，则， 又因为，则，可得， 又，所以； （2）因为、、都是正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 【变式1】（1）比较与的大小； （2）证明不等式： 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差法，判断差的正负比较大小即得. （2）利用基本不等式证明不等式即可. 【详解】（1），所以. （2），当且仅当时取等号，所以. 【变式2】已知正实数，满足. (1)求的最小值； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用“”的代换方法，结合基本不等式求得的最小值； （2）利用基本不等式求得，然后利用综合法证得不等式成立. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为. （2）由，可得， 当且仅当时，等号成立， 则， 当且仅当时，等号成立， 则，从而. 【变式3】证明： (1)若，求证：； (2)若，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法，即可证明； （2）利用基本不等式，即可证明. 【详解】（1）证明：由得， 故， 所以； （2）证明：由题意，故， 故，即. 【变式4】（1）已知，求的最大值； （2）已知，都是正数，且，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】利用基本不等式求积的最大值及证明不等式. 【详解】（1）已知，由基本不等式， 得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. （2）证明：已知，都是正数，且，由基本不等式， 得，当且仅当时等号成立， 因为，所以． 题型04 利用均值不等式求积的最大值 【典例1】（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式可求得结果；（2）利用基本不等式可求得结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立. 因此，当时，取到最大值. （2）由，解得， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为10. 【变式1】利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式即可求解. （2）利用基本不等式即可求解. （3）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，当且仅当时取等号， 故最小值为4，此时. （2）因为， 所以，当且仅当时取等， 故最大值为. （3）因为， 所以，当且仅当时取等号， 故所求最大值为. 【变式2】设，，且，则的最大值． 【答案】 【分析】运用基本不等式进行求解即可. 【详解】由，可得，． 由基本不等式可得：， 因为，所以， 即．当且仅当即，时，等号成立． 故xy的最大值为． 【变式3】求下列各式的最值 (1)当时，求的最小值； (2)已知，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）由，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 【变式4】（1）已知，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为. 题型05 利用均值不等式求和的最小值 【典例1】已知，求的最大值； 【答案】1 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解最大值即可. 【详解】∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，上式等号成立， 故当时，． 【变式1】（1）已知，求函数的最小值及取最小值时的值； （2）已知，求函数的最大值及取最大值时的值． 【答案】（1）最小值为12，，（2）最大值为， 【分析】（1）由基本不等求解即可； （2）使用配凑法，由基本不等式求解即可； 【详解】（1）因为，， 当且仅当，即时，取得最小值； 所以函数的最小值为12，此时； （2）因为，， 当且仅当，即时，取得最大值， 所以函数的最大值为，此时； 【变式2】（1）已知，求的最小值； （2）已知是正实数，且，求的最小值. 【答案】（1）7；（2）. 【分析】（1）由题可知，，利用基本不等式即可求解； （2）利用基本不等式“1的妙用”即可求解. 【详解】（1），即， ， 当且仅当，即时取等号， 的最小值为7. （2）. 当且仅当，即时取等号. 的最小值为. 【变式3】（1）已知，求的最大值； （2）已知两正数，满足，分别求和的最小值. 【答案】（1）；（2）的最小值为16，的最小值为9. 【分析】（1）构造得，再利用基本不等式即可； （2）直接利用利用基本不等式构造出一元二次不等式即可求出的最值，再利用乘“1”即可求出的最值. 【详解】（1）因为，则， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故其最大值为. （2）因为，则，解得或（舍去）， 当且仅当时等号成立； ，则， 则， 当且仅当时等号成立. 【变式4】已知. (1)求的最小值； (2)求的最小值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用基本不等式的变形，然后解不等式即可； （2）利用，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1），，， 即， 解得或（舍， 当且仅当且， 即时等号成立， 的最小值为． （2）， 令，则，故， 故当时，取最小值，此时， 故的最小值为. 题型06 利用均值不等式求二次与二次（一次）商式的最值 【典例1】当时，函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】先将函数变形为，再利用基本不等式即可求出． 【详解】， ，当且仅当，即时取等号． 函数的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题． 【变式1】若，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】化简函数解析式为，结合基本不等式可求得函数的值域. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的值域为. 故答案为：. 【变式2】函数 的最小值为 ． 【答案】7 【分析】换元转化成基本不等式的形式，利用积为定值即可求和的最小值. 【详解】令，；则 (当且仅当，即时，等号成立)， 故函数 ，的最小值为 故答案为：7 【变式3】当时，函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为，则，则， 当且仅当时，等号成立， 所以，当时，函数的最小值为. 故答案为：. 【变式4】若存在，使成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意存在，使成立，即存在，使得，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为，所以，即； 故答案为： 题型07 利用均值不等式求条件等式求最值 【典例1】若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】直接利用基本不等式得到关于的不等式，解出即可. 【详解】由基本不等式可知，， 所以，即，解得，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 【变式1】已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】将拼凑成，再结合基本不等式即可求解. 【详解】原式变形可得，由得， 所以 ， 当且仅当即时取等号； 所以. 故选：C 【变式2】已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解． 【详解】由题意可知，当时等号成立， 即， 令，则 解得或舍 即， 当且仅当时，等号成立． 故选：C. 【变式3】已知实数满足，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，可得， 又因为，即，整理可得， 且，，则，可得， 当且仅当，即，时，所以取得最大值． 故选：C. 【变式4】（多选）已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于AB：根据题意利用基本不等式分析判断；对于CD：整理可得，结合符号性分析判断. 【详解】因为，，，即， 对于选项AB：因为，即， 整理可得，解得或（舍去）， 当且仅当时，等号成立，故A正确，B错误； 对于选项CD：由可得，可得，故C正确；D错误； 故选：AC. 题型08 均值不等式中的恒成立问题 【典例1】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先分离参数，再利用基本不等式求最值即可求解. 【详解】不等式恒成立， 即恒成立， 又， 当且仅当时取等号， 所以，解得． 故答案为： 【变式1】已知，若不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】由题意可知，利用基本不等式中“1”的用法求出即可. 【详解】由不等式恒成立可知，只需小于等于的最小值． 由， 可得， 当且仅当，即时取等号， 的最大值为. 故选：C． 【变式2】若对任意，不等式恒成立．则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出的最大值，再解关于m的不等式即可作答. 【详解】解：当时，，则，当且仅当时取等号， 依题意，，解得或， 所以实数m的取值范围是或， 故选：B. 【变式3】若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】分离参数，利用基本不等式求在时的最小值即可确定实数的取值范围. 【详解】对任意的，使得均成立，可转化为：， 根据基本不等式，时，（当且仅当时取等）， 因此，，. 故答案为：. 【变式4】已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到，求出答案. 【详解】正数，满足， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 则只需，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 题型09 均值不等式的应用 【典例1】一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市．已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要（   ） A．2小时 B．4小时 C．6小时 D．8小时 【答案】D 【详解】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则（小时），当且仅当，即时取等号． 【变式1】“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求昆虫的最大跳跃高度. 【详解】由可知，故， 当且仅当时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：B. 【变式2】某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆）与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：）及平均车长（单位：）的值有关，其公式为．若不限定车型，，则最大车流量为（   ） A．1000辆 B．1200辆 C．1500辆 D．1900辆 【答案】D 【详解】，当且仅当，即时，等号成立，此时车流量最大为1900辆． 【变式3】港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30升的燃油，第二种方案是每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（   ） A．采用第一种方案更划算 B．采用第二种方案更划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案更划算 【答案】B 【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．第一种方案的均价为；第二种方案的均价为．因为，当且仅当时，等号成立，所以无论油价如何变化，第二种方案更划算． 【变式4】现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费万元与仓库到车站的距离x千米的函数关系近似为；每月库存货物费万元与x的函数关系近似为．这家公司应该把仓库建在距离车站 千米处，才能使两项费用之和最少． 【答案】4 【分析】先根据题意找到两项费用与的关系，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以总费用为 当且仅当时等号成立，解得或（舍） 故答案为：4. 1．已知，且，，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用代换1法，结合基本不等式即可求最小值. 【详解】由，可得， 又因为，，所以， 当且仅当时取等号， 故选：A. 2．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因，则， 则，等号成立时. 故的最小值是. 故选：C 3．已知，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】由基本不等式可得答案. 【详解】，当且仅当，即时取等号. 故选：C 4．已知，则的最小值是（    ） A． B．1 C．4 D．7 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是. 故选：A 5．已知实数，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．16 C．5 D．10 【答案】A 【分析】根据基本不等式利用“1”的代换法求解． 【详解】∵，，且， ∴，当且仅当，即时等号成立， 故选：A． 6．若正实数x，y满足，则的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】整理等式，根据基本不等式，可得答案. 【详解】由有，则，当且仅当时，等号成立. 故选：D． 7．已知正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由，再利用基本不等求最小值即可. 【详解】由（当且仅当时取等号）， 故选：C． 8．已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】，然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】因为为正数，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 9．（多选）下列命题为真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为2 D．的最大值为5 【答案】AD 【分析】对于A：根据不等式的性质分析判断即可；对于BC：举反例说明即可；对于D：利用基本不等式分析求解. 【详解】对于选项A：因为，则， 可得，故A正确； 对于选项B：例如，则，故B错误； 对于选项C：例如，则， 可知2不为的最小值，故C错误； 对于选项D：因为，当且仅当时，即时，等号成立， 可得， 所以的最大值为5，故D正确； 故选：AD. 10．（多选）若正实数a，b满足，则（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式可对A项判断求解；利用再结合A项即可对B项判断求解；利用单位“1”可对C项求解判断；D项通过化简可得，再结合单位“1”的应用可得，即可对D项判断求解. 【详解】A：由题意得，则，当且仅当时取等号，故A项错误； B：由，则，当且仅当时取等号，故B项正确； C：由，当且仅当，即时取等号，故C项正确； D：由，则， 则， 当且仅当时，即时取等号，此时，故D项正确. 故选：BCD. 11．已知函数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将整理为，再根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 12．已知，且，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故答案为：1 13．（1）已知实数、满足，.求的取值范围. （2）已知，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用待定系数法得出，再利用不等式的基本性质可求得的取值范围； （2）由已知条件得出，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）设，其中、， 所以，解得，，即， 因为，，所以，， 由不等式的基本性质可得，即， 因此，的取值范围是； （2）因为，即，即， 由基本不等式可得， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 14．已知，求函数的最小值. 【答案】2 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】已知， ∵，∴， ∴， 当且仅当，即时，有最小值2. 15．已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）直接利用基本不等式即可求解， （2）利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时，等号成立． 因为，所以，解得， 则的最大值是4． （2）因为，所以． 因为，，所以，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，所以， 则，即的最小值是 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 均值不等式及其应用 教学目标 1. 理解两个实数的平方和不小于它们积的2倍这一重要不等式的证明，并能从几何意义的角度去解释，形成数形结合的完美统一． 2. 理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明，及其几何意义，会用这两个重要不等式解决简单的实际应用题． 3. 通过定理的证明培养学生的逻辑推理能力，通过定理的应用揭示数学的应用价值． 教学重难点 教学重点：1．均值不等式定理的证明和应用． 2．会用均值不等式解决简单的最大（小）问题． 教学难点：注意运用定理求最大（小）值的条件 知识点01 均值不等式 均值不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 均值不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 【即学即练】下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 知识点02 利用均值不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 【即学即练】已知，求的最大值； 题型01对均值不等式的理解 【典例1】设a，b∈R，下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C．a2+b2＞2ab D． 【变式1】若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4】下列结论正确的是（　　） A．当x<2时，x＋≥4 B．当x≥2时，x＋的最小值是2 C．当x>0时，＋≥4 D．当x>0时，x＋的最小值为1 题型02 由均值不等式比较大小 【典例1】已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【变式1】设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知a，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】比较大小： 2(填“”“”“”或“”)． 题型03 由均值不等式证明不等关系 【典例1】（1）已知，，，求证：； （2）已知、、都是正实数，且，求证：. 【变式1】（1）比较与的大小； （2）证明不等式： 【变式2】已知正实数，满足. (1)求的最小值； (2)证明：. 【变式3】证明： (1)若，求证：； (2)若，求证：. 【变式4】（1）已知，求的最大值； （2）已知，都是正数，且，求证：. 题型04 利用均值不等式求积的最大值 【典例1】（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 【变式1】利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 【变式2】设，，且，则的最大值． 【变式3】求下列各式的最值 (1)当时，求的最小值； (2)已知，求的最大值. 【变式4】（1）已知，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 题型05 利用均值不等式求和的最小值 【典例1】已知，求的最大值； 【变式1】（1）已知，求函数的最小值及取最小值时的值； （2）已知，求函数的最大值及取最大值时的值． 【变式2】（1）已知，求的最小值； （2）已知是正实数，且，求的最小值. 【变式3】（1）已知，求的最大值； （2）已知两正数，满足，分别求和的最小值. 【变式4】已知. (1)求的最小值； (2)求的最小值 题型06 利用均值不等式求二次与二次（一次）商式的最值 【典例1】当时，函数的最小值是 ． 【变式1】若，则函数的值域为 ． 【变式2】函数 的最小值为 ． 【变式3】当时，函数的最小值为 ． 【变式4】若存在，使成立，则的取值范围是 . 题型07 利用均值不等式求条件等式求最值 【典例1】若，则的取值范围是 ． 【变式1】已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式3】已知实数满足，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（多选）已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 题型08 均值不等式中的恒成立问题 【典例1】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式1】已知，若不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D．5 【变式2】若对任意，不等式恒成立．则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式3】若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围 ． 【变式4】已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 题型09 均值不等式的应用 【典例1】一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市．已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要（   ） A．2小时 B．4小时 C．6小时 D．8小时 【变式1】“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆）与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：）及平均车长（单位：）的值有关，其公式为．若不限定车型，，则最大车流量为（   ） A．1000辆 B．1200辆 C．1500辆 D．1900辆 【变式3】港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30升的燃油，第二种方案是每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（   ） A．采用第一种方案更划算 B．采用第二种方案更划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案更划算 【变式4】现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费万元与仓库到车站的距离x千米的函数关系近似为；每月库存货物费万元与x的函数关系近似为．这家公司应该把仓库建在距离车站 千米处，才能使两项费用之和最少． 1．已知，且，，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 2．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 4．已知，则的最小值是（    ） A． B．1 C．4 D．7 5．已知实数，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．16 C．5 D．10 6．若正实数x，y满足，则的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．已知正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 9．（多选）下列命题为真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为2 D．的最大值为5 10．（多选）若正实数a，b满足，则（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．的最小值是 D．的最小值是 11．已知函数，则的最小值为 ． 12．已知，且，则的最小值为 . 13．（1）已知实数、满足，.求的取值范围. （2）已知，求的最小值. 14．已知，求函数的最小值. 15．已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$