专题2.3 方程组的解集（高效培优讲义）数学人教B版2019必修第一册

专题2.3方程组的解集 教学目标 1.帮助学生掌握方程组解集的写法； 2.使学生理解消元思想； 3.让学生经历求解方程组的过程，逐步提升学生的代数推理能力. 教学重难点 教学重点：方程组解集的书写，求解方程组. 教学难点：方程组的解法. 知识点01 方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 注意：（1）解方程组常用的方法：消元法． （2）当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． 【即学即练】方程组的解集是 ． 知识点02 二元一次方程组 方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 【即学即练】方程组解集是（    ） A． B． C． D． 知识点03 三元一次方程组 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 【即学即练】方程组的解集的是（    ） A．{(1，－2，3)} B．{(1，0，1)} C．{(0，－1，0)} D．{(0，1，－2)} 知识点04二元二次方程组 二元二次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数为2，像这样的方程叫做二元二次方程． 二元二次方程组：方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的最高次数为2，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 注：(1)二元二次方程组有两种类型：一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成；二是由两个二元二次方程组成，我们主要学习第一种类型． (2)解二元二次方程组的思路是消元和降次． 【即学即练】解方程组 题型01 不含参二元一次方程组 【典例1】解下列方程组： (1)； (2)． 【变式1】解方程组： 【变式2】解方程组： 【变式3】解下列方程组： (1) (2) 【变式4】解方程组： 题型02 含参二元一次方程组 【典例1】关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求的值． 【变式1】关于x，y的二元一次方程组的解满足，则 ． 【变式2】若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【变式3】要使方程组有正整数解，则整数有 个． 【变式4】二元一次方程组，它的解x和y值相等，则a的值为 ． 题型03 三元一次方程组 【典例1】解方程组． 【变式1】三元方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】三元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【变式3】解方程组：． 【变式4】解方程组： 消元法解三元一次方程组的两个注意点 (1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数． (2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的． 注；解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先要消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元，达到消元的目的． 题型04 二元二次方程组的解（二次幂+一次幂） 【典例1】解方程组． 【变式1】解方程组： 【变式2】解方程组： 【变式3】解方程组： 【变式4】解方程组：． 把二元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断． 题型05 二元二次方程组的解（二次幂+二次幂） 【典例1】解方程组：． 【变式1】解方程组： 【变式2】解方程组：． 【变式3】解方程组： 【变式4】解方程组： 解“二次幂+二次幂”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是： (1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二次幂+一次幂”型方程组．解这两个“二次幂+一次幂”型方程组，所得的解都是原方程组的解． (2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解． 题型06 根据解集求参数 【典例1】已知，满足方程组且，则 . 【变式1】若关于x，y的方程组与的解集相等，则a、b的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 【变式3】若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数 ． 【变式4】若关于的方程组有无穷多组解，则的值为 题型07 方程组在实际问题中的应用 【典例1】乐山市某小区物业对面积为3600平方米的区域进行了绿化，整项工程由甲、乙两个林队先后接力完成，甲园林队每天绿化200平方米，乙园林队每天绿化160平方米，两队共用21天．求甲乙两个园林队在这项绿化工程中分别工作了多少天． 【变式1】《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒，问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式2】《九章算术》中有这样一道题：今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大、小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，可列出的二元一次方程组为 ． 【变式3】七年级的地质兴趣小组到一座山顶进行田野调查．上山之前，20名成员各买了一张缆车票，共花费1180元．缆车票价如下表所示，则他们购买的车票中有 张往返票． 票种 票价/元 往返 80 单程 45 【变式4】某车间有名工人，每人每天能生产螺栓个或螺母个，且一个螺栓配两个螺母，为使每天生产的螺栓与螺母刚好配套，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？ 1．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一根竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子再量竿，却比竿子短一托，问索和竿子各几何？”“其大意为：“现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问绳索和竿子各多少尺？”设绳索长尺，竿子长尺，下列所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 2．关于x，y的方程组的解集，不正确的说法是（    ） A．可能是空集 B．可能是无限集 C．可能是单元集 D．可能是 3．关于x，y的方程组的解集为，则（    ） A．1 B．5 C．6 D．7 4．方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 5．下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 6．温州某中学2015学年七年级一班40名同学为某灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表： 捐款（元） 20 40 50 100 人数 10 ** ** 8 表格中捐款40元和50元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，若设捐款40元的有x名同学，捐款50元的有y名同学，根据题意，可得方程组（    ） A． B． C． D． 7．（多选）方程组的解有（    ） A． B． C． D． 8．（多选）对于二元一次方程组的解用集合表示正确的为 A． B． C． D． 9．方程组的解集是 . 10．若关于的方程组与的解集相等，则 ； . 11．解关于x，y的方程组． 12．求方程组的解集. 13．（1）求方程组的解集； （2）求三元一次方程组的解集. 14．求下列方程组的解集： (1)  ； (2)． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3方程组的解集 教学目标 1.帮助学生掌握方程组解集的写法； 2.使学生理解消元思想； 3.让学生经历求解方程组的过程，逐步提升学生的代数推理能力. 教学重难点 教学重点：方程组解集的书写，求解方程组. 教学难点：方程组的解法. 知识点01 方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 注意：（1）解方程组常用的方法：消元法． （2）当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． 【即学即练】方程组的解集是 ． 【答案】 【分析】解方程求方程组的解，进而写出解集. 【详解】由，可得或， 当时，，即； 当时，，即； 所以原方程的解集为. 故答案为： 知识点02 二元一次方程组 方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 【即学即练】方程组解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程组，用列举法表示解集 . 【详解】方程组，解得或， 所以方程组解集是. 故选：C 知识点03 三元一次方程组 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 【即学即练】方程组的解集的是（    ） A．{(1，－2，3)} B．{(1，0，1)} C．{(0，－1，0)} D．{(0，1，－2)} 【答案】A 【分析】将第一个式子分别与第二、第三个式子相加消去，可得，求解可得，再代入第一个式子，即得解 【详解】由题意 将第一个式子分别与第二、第三个式子相加得： 代入第一个式子，可得 故方程组的解集为：{(1，－2，3)} 故选：A 知识点04二元二次方程组 二元二次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数为2，像这样的方程叫做二元二次方程． 二元二次方程组：方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的最高次数为2，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 注：(1)二元二次方程组有两种类型：一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成；二是由两个二元二次方程组成，我们主要学习第一种类型． (2)解二元二次方程组的思路是消元和降次． 【即学即练】解方程组 【答案】{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－，)}. 【分析】化简可得x＋y＝0或x－y－5＝0，然后分别与联立解方程即可. 【详解】由x2－y2－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y－5)＝0， 所以x＋y＝0或x－y－5＝0， 所以原方程组可化为两个方程组： 或 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是： 或或或， 所以原方程组的解集为{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－，)}. 【点睛】本题主要考查解方程组，重在考查计算，属基础题. 题型01 不含参二元一次方程组 【典例1】解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理方程组，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②，得：， 解得：， 将代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：， 整理，得， ，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， ∴方程组的解为． 【变式1】解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 由，得． 把代入①，得． ． 所以这个方程组的解是 【变式2】解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的特点确定相应解法是解题的关键． 根据加减消元法计算即可． 【详解】解：， ，得， ， 把代入②，得， ， ∴． 【变式3】解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）由①得，再利用代入法解方程组即可． （2）由①②，得，再求解即可. 【详解】（1）解： 由①，得． 将代入②，解得 所以． 所以原方程组的解为 . （2）解： 由①②，得， 将代入①，得． 所以原方程组的解为. 【变式4】解方程组： 【答案】． 【分析】本题考查了解二元一次方程组．由①得③，把③代入②求出x，把x的值代入③求出y即可． 【详解】解：， 由①得③， 把③代入②得， 解得， 把代入③得：， 所以这个方程组的解是． 题型02 含参二元一次方程组 【典例1】关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了同解方程组，先解方程组求出，然后代入方程中，得出关于m，n的方程组求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 把代入方程中，得 ， 解得， ∴． 【变式1】关于x，y的二元一次方程组的解满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数的值，将两个方程相加变形后，列出方程进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 【变式2】若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法和同底数幂的除法，解题关键是准确求解方程组． 先根据方程组求得，将代入，可得：，然后化简得到，然后即可求解． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【变式3】要使方程组有正整数解，则整数有 个． 【答案】4 【分析】先解方程组，用含a的代数式表示出方程组的解，根据方程组有正整数解求出a的范围，再求出符合的整数a即可． 【详解】解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， 即方程组的解是， ∵方程组有正整数解， ∴或2或4或8， 解得：或或或，即整数有4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于a的不等式组是解此题的关键． 【变式4】二元一次方程组，它的解x和y值相等，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据x和y值相等可得，，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 它的解x和y值相等， 解①得：， ， ∴， 将，代入②，得， 解得． 故答案为：． 题型03 三元一次方程组 【典例1】解方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查解三元一次方程组，掌握消元法是关键． 根据题意，运用消元法将三元一次方程组转换为二元一次方程组，再转换为一元一次方程求即可． 【详解】解：， 得，， 得，， ④，⑤联立方程组得，， 得，， 解得，， 把代入④得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为． 【变式1】三元方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解三元一次方程组．根据解三元一次方程组的方法可以解答本题． 【详解】解：， 得，， 得：， ∴三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是， 故选：A． 【变式2】三元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题通过代入消元法求解三元一次方程组，首先利用第一个方程将y表示为x的代数式，代入第二个方程求出x，再回代求y，最后利用第三个方程求z，本题考查了解三元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：方程组为， 将第一个方程代入第二个方程：得， 解得， 将代入，得， 将代入第三个方程， 得：， ∴， ∴， 因此，方程组的解为， 故选：B 【变式3】解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的解法，掌握消元法解三元一次方程组是解题的关键. 先利用第一个方程简化：由 ，直接将 代入第二个和第三个方程，得到关于 和 的方程组。得到关于 和 的方程组，使用加减消元法解关于 和 的方程组即可解题. 【详解】解：由 ，直接将 代入第二个和第三个方程，可得到关于 和 的方程组 将方程得, 解得： ， 将 代入方程②得 ， 解得 ， 方程组的解为 ， 【变式4】解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组的应用，解此题的关键是能正确消元，即把三元一次方程组转化成二元一次方程组．利用消元法解三元一次方程组． 【详解】解：②+③得， 解得：， ①+③得，④ 将代入④得， 解得：， 将，，代入①得， 解得： ∴原方程组的解为 消元法解三元一次方程组的两个注意点 (1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数． (2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的． 注；解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先要消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元，达到消元的目的． 题型04 二元二次方程组的解（二次幂+一次幂） 【典例1】解方程组． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解二元二次方程组，先根据得到，则可得到方程组或，分别解这两个方程组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， 解方程组得， 解方程组得， ∴原方程组的解为或． 【变式1】解方程组： 【答案】或 【分析】本题考查了解二元二次方程组， 由②得，③，代入①，解一元二次方程，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：由②得，③ 将③代入①得， 解得： 当时，； 当时， ∴方程组的解为：或 【变式2】解方程组： 【答案】或 【分析】本题主要考查了解二元二次方程组，根据可得，即或，据此可得或，解两个方程组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 则原方程组可转化为或， 解方程组得， 解方程组得， ∴原方程组的解为或． 【变式3】解方程组： 【答案】或 【分析】本题考查了解二元二次方程组, 由①得，③，代入②，解一元二次方程，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：由①得，③， 将③代入②得， 即 ∴ 解得： 将代入③得， 将代入③得， ∴方程组的解为：或 【变式4】解方程组：． 【答案】或 【分析】本题考查了解方程组，先将因式分解为或，再分别联立，解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由②得， ∴或， 联立得， 解得， 联立得， 解得． 把二元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断． 题型05 二元二次方程组的解（二次幂+二次幂） 【典例1】解方程组：． 【答案】或或或 【分析】本题考查解二元二次方程组．将原方程通过公式法和因式分解方进行变形，从而得到新的二元一次方程组，利用消元法解方程组即可得到答案． 【详解】解：由得， ∴或， 由得， ∴或， ∴或或或， 解方程组得或或或， 故方程组的解为或或或． 【变式1】解方程组： 【答案】或 【分析】本题考查了解二元二次方程组，正确的计算是解题的关键． 将方程组因式分解后，由②得，分别代入①，解关于x，y的二元一次方程组，即可求解． 【详解】解： 方程组可变形为 由②，得， 把代入①，得，即， 解方程组得． 把代入①，得，即， 解方程组得． ∴方程组的解为或． 【变式2】解方程组：． 【答案】或或或 【分析】本题考查了二元二次方程组，由①可得，则由①可得，得出，，分别代入②，解方程，即可求解． 【详解】解： 由①可得 ∴， 将代入②得， 解得： ∴或 将代入②得， 解得： ∴或 ∴原方程组的解为：或或或 【变式3】解方程组： 【答案】，，，． 【分析】本题主要考查了解二次方程，掌握解方程的方法及步骤是解题的关键． 先由得：或，再把当时和当时分别代入转化为解一元二次方程即可． 【详解】解： 由得：或， 当时，，整理得：， 解得：，， ∴，， 当时，，整理得：， 解得：，， ∴，， 综上可知：方程组的解为：，，，． 【变式4】解方程组： 【答案】或或或 【分析】本题考查了解二元二次方程组，利用因式分解法解方程是解题的关键．利用因式分解法对每个方程进行化简，再联立化简后的方程即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 解得：或， 由②得，， 解得：或， 当，时，解得； 当，时，解得； 当，时，解得； 当，时，解得； 综上所述，方程组的解为或或或． 解“二次幂+二次幂”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是： (1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二次幂+一次幂”型方程组．解这两个“二次幂+一次幂”型方程组，所得的解都是原方程组的解． (2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解． 题型06 根据解集求参数 【典例1】已知，满足方程组且，则 . 【答案】或0 【分析】由题得，代入方程组，解方程组即得. 【详解】∵， ∴代入得， 消去得，， ∴或. 故答案为：或0. 【变式1】若关于x，y的方程组与的解集相等，则a、b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由解得，再把代入，求解即可. 【详解】由题意联立方程为：，解得， 把代入得，解得. 故选：B 【变式2】设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 【答案】且 【分析】由题意方程组消元后所得方程无解即可. 【详解】因为方程组的解集为， 所以消元后无解， 所以且， 解得且. 故答案为：且 【变式3】若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数 ． 【答案】2 【分析】将二元一次方程组转化为一元一次方程，根据根的特点，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，即， 关于，的二元一次方程组的解集为， 关于的方程的无解， ，即， 故答案为：2． 【变式4】若关于的方程组有无穷多组解，则的值为 【答案】 【分析】根据二元一次方程组有无穷多组解知两方程为同一方程，由此可求得，代入可得结果. 【详解】方程组有无穷多组解，与为同一方程， ，. 故答案为：. 题型07 方程组在实际问题中的应用 【典例1】乐山市某小区物业对面积为3600平方米的区域进行了绿化，整项工程由甲、乙两个林队先后接力完成，甲园林队每天绿化200平方米，乙园林队每天绿化160平方米，两队共用21天．求甲乙两个园林队在这项绿化工程中分别工作了多少天． 【答案】甲园林队工作了6天，乙园林队工作了15天． 【分析】此题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程．设甲园林队工作了x天，乙园林队工作了y天，根据题意列出二元一次方程组即可求解． 【详解】设甲园林队工作了x天，乙园林队工作了天， 根据题意得 解得， 答：甲园林队工作了6天，乙园林队工作了15天． 【变式1】《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒，问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 根据题意，设醇酒为斗，行酒为斗，需建立两个方程：总斗数为2斗，总花费为30钱． 【详解】解：设醇酒为斗，行酒为斗，根据题意得， 故选：A． 【变式2】《九章算术》中有这样一道题：今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大、小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，可列出的二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组．设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．据此列二元一次方程组即可． 【详解】解：设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛， ∵已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛， ∴， ∵1个大容器和5个小容器的总容量为2斛， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】七年级的地质兴趣小组到一座山顶进行田野调查．上山之前，20名成员各买了一张缆车票，共花费1180元．缆车票价如下表所示，则他们购买的车票中有 张往返票． 票种 票价/元 往返 80 单程 45 【答案】8 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设购买了往返票x张，单程票y张，根据总张数为20张，总费用为1180元，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设购买了往返票x张，单程票y张，根据题意得： ， 解得：， ∴购买了往返票8张，单程票12张． 故答案为：8． 【变式4】某车间有名工人，每人每天能生产螺栓个或螺母个，且一个螺栓配两个螺母，为使每天生产的螺栓与螺母刚好配套，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？ 【答案】21名工人生产螺栓，28名工人生产螺母 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组．设应安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母， 根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设应安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母， 根据题意，得， 解得：， 答：应安排21名工人生产螺栓，28名工人生产螺母． 1．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一根竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子再量竿，却比竿子短一托，问索和竿子各几何？”“其大意为：“现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问绳索和竿子各多少尺？”设绳索长尺，竿子长尺，下列所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列方程即可求解. 【详解】设绳索长尺，竿子长尺，由题意得到， 故选：A 2．关于x，y的方程组的解集，不正确的说法是（    ） A．可能是空集 B．可能是无限集 C．可能是单元集 D．可能是 【答案】A 【分析】由方程组的计算将式子转化为，即可分类讨论求解方程的根. 【详解】由得从而得，即 若，则可取任意实数，此时解有无数个，故B正确， 若,则，故CD正确， 解集不可能是空集，所以A错误， 故选：A 3．关于x，y的方程组的解集为，则（    ） A．1 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】将代入方程组，可得的关系式，求解即可. 【详解】由题意，将代入方程组得， 则，故. 故选：D. 4．方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的定义以及表示方法求解. 【详解】方程组的解为, 所以方程组的解集为， 故选：D. 5．下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 【答案】D 【分析】分类讨论的值，再分别判断线性方程组解的情况即可. 【详解】由题意得，， 即， 当时，不成立，方程组无解； 当时，，方程组有唯一解. 故选：D. 6．温州某中学2015学年七年级一班40名同学为某灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表： 捐款（元） 20 40 50 100 人数 10 ** ** 8 表格中捐款40元和50元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，若设捐款40元的有x名同学，捐款50元的有y名同学，根据题意，可得方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据某中学七年级一班有40名同学和共捐款2000元，再结合表格中的数据求解。 【详解】因为等量关系有：①某中学七年级一班有40名同学；②共捐款2000元， 所以根据七年级一班有40名同学，得方程x+y=40-10-8，即x+y=22； 根据共捐款2000元，得方程40x+50y=2000-20×10-100×8，40x+50y=1000. 列方程组为. 故选：C. 【点睛】本题主要考查方程组的实际应用，属于基础题。 7．（多选）方程组的解有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先求解x，再求解y即可得解. 【详解】由x2=1，得x=±1， 当x=1时，y2=1，得y=±1， 当x=-1时，y2=-1，无解. 故方程组的解为 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了解二元方程组，属于基础题. 8．（多选）对于二元一次方程组的解用集合表示正确的为 A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据解集为有序实对，可利用列举法和描述法分别表示出来得到结果. 【详解】方程组的解集为有序数对，列举法表示为，描述法表示为或. 故选 【点睛】本题考查方程组解集的集合表示，易错点是忽略可用列举法和描述法表示集合，造成结论缺失. 9．方程组的解集是 . 【答案】 【分析】根据题意，利用消元法，准确计算，即可求解. 【详解】由方程，可得， 将代入方程，可得， 整理得，解得或， 当，可得；当时，可得 所以不等式的解集为. 故答案为：. 10．若关于的方程组与的解集相等，则 ； . 【答案】 /-0.5 【分析】根据条件得的解，也是两个方程组的解集，从而得到，进而可求出结果. 【详解】因为方程组与的解集相等， 所以的解集也是它们的解集， 由，得到， 所以，解得， 故答案为：. 11．解关于x，y的方程组． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论，后运用二元一次方程组的解法解题即可. 【详解】当时无解； 当时，两式相减，解得, 综上所得，当时无解；当时，解集为 12．求方程组的解集. 【答案】 【分析】利用消元法即可解出方程组. 【详解】由得，代入得： ，解得或， 当时，；当时，. 所以方程组的解为或，其解集为. 13．（1）求方程组的解集； （2）求三元一次方程组的解集. 【答案】（1），（2） 【分析】（1）将第2个方程化简变形后，利用代入法求解， （2）给第2个方程两边同乘以3，再第3个方程相加，消去，得到关于的方程，再与第1个方程联立求解即可 【详解】（1）由，得，得，代入中得， ，得， 所以， 所以方程组的解集为 （2）给两边同乘以3，得，再与相加， 得， 由，得， 把代入中，解得， 所以原方程组的解集为 14．求下列方程组的解集： (1)  ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法求得正确结果. （2）利用代入消元法求得正确结果. 【详解】（1）， ①得：③， ③②得：， 代入①， ， 所以方程组的解集为. （2） 由①得代入②， ， ， 或， 当时，， 当时，， 所以方程组的解集为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$