2.1.3 方程组的解集（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦方程组的解集，涵盖概念、消元法（代入、加减）及二元一次、三元一次、二元二次方程组解法，通过水果单价问题和《张邱建算经》百鸡问题导入，衔接初中知识搭建学习支架。 其亮点是融入古代数学情境（如《孙子算经》木长问题），以消元法渗透化归思想，设置对点体验、典例分析等分层练习，培养数学眼光、思维和语言，助力学生提升解题能力，为教师提供系统教学资源。

第二章 等式与不等式 2.1.3 方程组的解集 2.1等式 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 理解方程组解集的概念：方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集。掌握用消元法（代入消元法、加减消元法）解方程组的方法。能根据方程组中未知数的个数与方程的个数，判断方程组的解集是有限集还是无限集。能解读古代数学语境（如《九章算术》《孙子算经》等），正确列出方程组。 学会消元法解方程组的思想方法，体会”化多元为一元”的化归思想，在实际情境中分析问题，构建方程组模型，计算结果并检验实际合理性。 激趣诱思 水果单价问题： 买3个苹果和2个梨共花18元，买2个苹果和3个梨共花17元，苹果和梨单价各是多少？ 设苹果的单价为x元，梨的单价为y元， 依题意：3x+2y=18, 2x+3y=17。 问题本质：如何求出这里面的未知量？ 由这两个方程可以构成一个二元一次方程组，只要会解二元一次方程组，就可得到未知量，从而知道两种水果的单价。 激趣诱思 《张邱建算经》百鸡问题： “今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？” 设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为 x,y,z，则可列出方程组： 这个方程组与我们初中所学的二元一次方程组有什么不同？它的解有多少个？ 目标一：二元一次方程组的解集 1、 方程组的解集 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地,将多个方程联立,就能得到方程组. 方程组中,每个方程的解集的交集称为这个方程组的解集. 二元一次方程组 三元一次方程组 方程组含有两个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都 是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方 程组. 方程组含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组. 三元一次方程组 二元二次方程组:方程组中含有两个未知数,含有未知数的项的最高次数为2,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元二次方程组. 6 2、 二元一次方程组的解法 知识讲解 互动探究 新课引入 (1)代入消元法(代入法): 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解. (2)加减消元法(加减法): 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程. 7 求下列方程组的解集. 对点体验 解析 ▶ (1) 由②得 ③, 把③代入①,得 , 解这个方程,得 , 把 代入③,得 , 所以这个方程组的解集为 . 求下列方程组的解集. 对点体验 解：②,得 ③, ③①,得 ,解得 , 把 代入①,得 , 解这个方程得. 所以这个方程组的解集为. 目标二：三元一次方程组 解题思路 知识讲解 互动探究 新课引入 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 11 求方程组的解集 对点体验 解析 ▶ ①+③,得 , ②+③,得 , ④与⑤组成方程组 解这个方程组,得 把代入②,得, 所以,所以这个方程组的解集 为. 特别提醒 解三元一次方程组时,先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点,然后确定先要消去的未知数,再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元,达到消元的目的. 三元一次不定方程组的解法 知识讲解 互动探究 新课引入 当“三元一次方程组”只含有两个方程时,我们将其中一个未知数看成已知数,此时,方程组即二元一次方程组,利用消元思想即可求解. 如将 z 看成已知数,方程组 的解集为 {(x,y,z)∣x=3+z,y=2z+2,z∈R},该解集是无限集. 14 特别提醒 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时,方程组的解集可能含有无穷多个元素. 此时,如果将其中一些未知数看成常数,那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来. 已知 则 2x+y 的值为______. 对点体验 解析 ▶ 由①+②,整理得 ③, 由①-③,整理得 ④, 将④代入③,整理得 , . 答案 ▶ 8 点评 : 本题也可用代入法求解,由②得 z=14-3x-2y,代入①整理即可得 2x+y=8. 目标三：二元二次方程组 二元二次方程和方程组 知识讲解 互动探究 新课引入 二元二次方程:含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数为2,像这样的方程叫做二元二次方程. 二元二次方程组:方程组中含有两个未知数,含有未知数的项的最高次数为2,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元二次方程组. 18 知识剖析 知识讲解 互动探究 新课引入 二元二次方程组有两种类型: 一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成; 二是由两个二元二次方程组成. 我们主要学习第一种类型. 2. 解二元二次方程组的思路是消元和降次. 19 求方程组 的解集. 对点体验 解析 ▶ 由①得 , 把③代入②,得 , 整理得, , 解这个方程,得 . 把 代入③,得 , 把 代入③,得 . 所以原方程组的解集为. 目标四：典型例题 题型 1 求二元一次方程组的解集 例1 求方程组的解集. 典例分析 牛刀小试 用代入消元法求二元一次方程组的解集 结构化思维解题 方程变形 → 代入另一个方程 → 解方程 → 回代 → 得方程组的解集 解析 ▶ 方法1 由②得 , 把③代入①,得 , 解这个一元一次方程,得 , 把 代入③,得 . 所以方程组的解集为 . 方法2 由①得 , 即 ③, 把③代入②,得 , 解这个一元一次方程,得 , 把 代入③,得 . 所以这个方程组的解集为 . 用代入消元法求二元一次方程组解集的步骤 (1)变形 选取一个系数比较简单的二元一次方程进行变形,变形为 (或 是常数,的形式. (2)代入 把 (或 代入另一个没有变形的方程,消去一个未知数,得到一个一元一次方程. (3)求解 解消元后的一元一次方程,求出一个未知数的值. (4)回代 把求得的未知数的值代入步骤(1)中变形后的方程,求出另一个未知数的值. (5)写解集 用集合表示为 的形式. 题型 1 求二元一次方程组的解集 例2 求下列方程组的解集: 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ 方法1 (加法消元) ①+②,得, 解得, 把代入②,得,解得. 所以方程组的解集为. 方法2 (减法消元) ①②,得, 解得 , 把 代入①,得 ,解得. 所以方程组的解集为. 当一个方程组的两个方程中，同一个未知数的系数相等或互为相反数时，用加减消元法较简单.当一个方程组的两个方程通过变形用含有一个未知数的式子来表示另一个未知数比较复杂时，往往选用加减消元法. 用加减消元法求二元一次方程组解集的步骤 (1)变形 根据同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数,将方程的两边都乘以适当的数. (2)加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时,将两个方程相加;同一个未知数的系数相等时,将两个方程相减. (3)求解 解消元后的一元一次方程,求出一个未知数的值. (4)回代 把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中,求出另一个未知数的值. (5)写解集 用集合表示为的形式. 题型2 三元一次方程组 例3 求下列方程组的解集： 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ (1) 方法1 ①②,得 ④, ③与④组成二元一次方程组 解这个方程组,得 把代入①,得, 所以. 所以三元一次方程组的解集为. 题型2 三元一次方程组 例3 求下列方程组的解集： 典例分析 牛刀小试 (2)①③,得 ,即 ④, ③②,得 ⑤. ④与⑤组成二元一次方程组解这个方程组,得 把代入③,得, 所以. 所以三元一次方程组的解集为. 求三元一次方程组解集的一般步骤 (1)消元 把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组,利用代入消元法或加减消元法,消去两个方程组中的同一个未知数,得到关于另外两个未知数的二元一次方程组. (2)求解 解这个二元一次方程组,求出两个未知数的值. (3)回代 将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程,得到一元一次方程. (4)求解 解这个一元一次方程,求出第三个未知数的值. (5)写解集 把方程组的解用集合表示出来. 题型 3 求二元二次方程组的解集 例4 求方程组 的解集. 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ 由②,得 ③, 把③代入①,得 ,整理得 , 解这个方程,得 或 . 把 代入③,得 , 把 代入③,得 , 所以原方程组的解集为 . 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤 变形 把二元一次方程变形,用含一个未知数的式 子表示另一个未知数,即y=ax+b(或x=ay+b (a,b是常数,a≠0) 代入：把y=ax+b(或x=ay+b)代入二元二次方程 ， 解：消元后的方程 回代：把求得的未知数的值代入y=ax+b(或x= ay+b),求出另一个未知数的值 写解集： 写出原方程组的解集 题型 3 求二元二次方程组的解集 例5 求方程组 的解集. 典例分析 牛刀小试 由①-②, 整理得. ③ 由③解得, 代入①, 并整理, 得, 解得 利用③可知, 时, ; 时, . 因此, 原方程组的解集为. 两个都是二元二次方程，不是研究的重点，主要用加减消元法。 目标五：针对训练 举一反三 1.方程组的解集是() A. B. C. D. 解析：由 ，得 ，代入 ，得 ，解得 ， 所以 .故方程组的解集为.故选 A. 举一反三 2.若方程组的解和的值互为相反数,则实数的值等于() A.0 B.1 C.2 D.3 解析: 由题意, 可知 , 代入 , 得 , 所以 .将 , 代入 , 得 , 所以 .故选 C. 举一反三 3.方程组的解集是(D) A. B. C. D. 解析: 由 得 即方程组的解构成的集合为 . 故选 D. 举一反三 4.古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸.屈绳量之，不足一尺.问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺，将绳子对折再量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺?”.设绳子长尺，木条长尺，根据题意所列方程组正确的是() A. B. C. D. 解析: 绳子长尺，木条长尺，依题意有 故选 B. 举一反三 5.有甲、乙、丙三种货物，若购甲 3 件、乙 7 件、丙 1 件，共需 64 元，若购甲 4件、乙 10 件、丙 1 件，共需 79 元.现购甲、乙、丙各 1 件，共需() A.32 元 B.33 元 C.34 元 D.35 元   解析：设甲每件元、乙每件元、丙每件元.根据题意列方程组得 ，得.故选 C. 举一反三 6.小亮解得方程组的解集为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，则的值为.   解析：把代入中，得，解得，的值为 .   目标六：小结 学海拾贝 知识小结 方程组的解集 │ ├── 概念：各方程解集的交集 │ ├── 解法核心：消元思想（化归思想） │ ├── 代入消元法 │ └── 加减消元法 │ └── 解集类型判断 ├── 未知数个数 = 方程个数 → 通常有限解（唯一解或有限个解） └── 未知数个数 > 方程个数 → 可能含有无穷个元素（无限集） 学海拾贝 2. 核心要点 要点 内容 解集定义 方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集。解集用集合表示，如 。 消元法 解方程组的基本思路是消元，把”二元”变为”一元”，把”三元”变为”二元”。 解集分类 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷个元素。此时可将某些未知数看成已知数，其他未知数用其表示。 数学思想 化归思想：将复杂方程组通过消元转化为简单方程求解；建模思想：将实际问题抽象为方程组模型。 学海拾贝 3. 方法总结 •解二元一次方程组：代入消元法适用于某一未知数系数为1或-1的情况；加减消元法适用于同一未知数系数成倍数关系的情况。 •解三元一次方程组：先观察系数特点，灵活选择先消去的未知数，逐步化”三元”→“二元”→“一元”。 •解二元二次方程组：基本思路是先消元转化为一元二次方程，再降次转化为一元一次方程求解。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $