专题06 拓展练：空间角（线线角、线面角、二面角）问题九大题型（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第三册

专题06 拓展练：空间角（线线角、线面角、二面角）问题 题型一：线线角（定值） 题型二：线线角（最值范围）问题 题型三：根据线线角求参数 题型四：线面角（定值） 题型五：直线与平面所成角（最值范围）问题 题型六：根据线面角求参数 题型七：二面角（定值） 题型八：二面角（最值范围）问题 题型九：根据二面角求参数 题型一：线线角（定值） 1．已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为 . 2．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的大小为 ． 3．在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 4．如图，将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，若取图中相关线段的中点进行转化，则可求得直线与所成的角为 . 5．在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型二：线线角（最值范围）问题 6．已知正方体的棱长为1，是棱的中点，为棱上的动点（不含端点），记㫒面直线与所成的角为，则的取值范围是 . 7．在正方体中，是棱的中点，是底面内（包括边界）的一个动点，若平面，则异面直线与所成角的取值范围是 . 8．如图正方体中，点是的中点，点为正方形内一动点，且平面，若异面直线与所成角为，则的最小值为 . 9．在矩形中，，是的中点，将沿折起，则在翻折过程中，异面直线与所成角的取值范围是 . 10．在正方体中，P是侧面上的动点，与垂直，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型三：根据线线角求参数 11．如图，在四棱锥中，平面，，，，．    (1)求证：平面； (2)若异面直线与所成的角为，求点B到平面的距离． 12．正方体的棱长为4，点是棱上一点（不包括端点），若异面直线与所成角的余弦值为，求的长． 13．如图，已知三棱锥，三角形为等边三角形，，. (1)若点为的中点，证明：； (2)当时，求异面直线与所成角的余弦值； (3)当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值. 14．如图，几何体为直四棱柱截去一个角所得，四边形是菱形，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若直线与所成角的正切值为，求平面与相交所得线段的长度． 15．如图，在直三棱柱中，，D是AC的中点，．    (1)求证：平面； (2)若异面直线AC和所成角的余弦值为，求四棱锥的体积． 题型四：线面角（定值） 16．如图，在正方体中，E、F分别为BC，的中点，则直线与EF所成角的大小为 ；直线CD与平面DEF所成角的正弦值为 . 17．如图，在四棱台中，平面，四边形为正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为 .    18．在正方体中，，，分别是，，各棱的中点．则与平面所成角的余弦值 ． 19．在正四面体中，M为线段AC上一点，且，点N为线段BC的中点，则直线与平面所成角的正切值是 ． 20．在长方体中，，，P、Q分别为上底面的边AD、CD的中点，过P、Q的平面与底面交于R、S两点，R、S分别在下底面的边、上，，平面PSRQ与棱交于点T，则直线TS与侧面所成角的正切值为 ． 题型五：直线与平面所成角（最值范围）问题 21．已知圆锥的顶点为，轴截面是边长为1的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）．若，则与圆锥底面所成角的正切值的取值范围是 . 22．直三棱柱中，平面平面，且，则与平面所成的角的取值范围是 . 23．三棱锥中，面面，，，，，,为射线上一动点，求直线与面所成角的正弦的最大值为 24．如图，平面平面，，，．平面内一点满足，记直线OP与平面OAB所成角为，则的最大值是 ． 25．如图，已知三棱锥的所有棱长均相等，点满足，点在棱上运动，设与平面所成角为，则的最大值为 题型六：根据线面角求参数 26．如图，在正方体中，，点为棱AB上的动点（不含端点），点为上一点，直线DH交平面于点. (1)求证平面； (2)若， （i）求证平面； （ii）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为. 27．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)试作出二面角，并求二面角的正切值； (3)在棱上是否存在点，使得与底面所成角的正切值等于，如果存在求出；如果不存在，说明理由．（注：本题建系不得分） 28．如图，在四棱柱中，四边形为菱形，，，，是侧棱上的一点. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 29．如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 30．如图，在正方形中，点E、F分别是AB、BC的中点，将、分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB. (1)求证：； (2)点M是PD上一点，若直线MF与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 题型七：二面角（定值） 31．如图，某一个自行车停放时，车体由尺寸相同的前后轮和脚撑来支撑，前后轮的轴中心分别为，，与地面接触点分别为，，脚撑一端固定在后轮轴中心处，另一端与地面接触于点，若，两点间距离为厘米，车轮外径（直径）为厘米，脚撑长度等于车轮半径，，则后车轮所在平面与地面的夹角（即二面角）的余弦值为 . 32．在正方体中，二面角的平面角大小为 . 33．在四面体中，是正三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上，使得四面体与四面体的体积之比为，则二面角的余弦值为 . 34．如图，边长为4的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，为的中点．二面角的正切值为 ． 35．如图，已知在矩形中，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，则二面角的余弦值为 ． 题型八：二面角（最值范围）问题 36．如图，已知正四面体，为线段上的动点（端点除外），则二面角的平面角的余弦值的取值范围是 ． 37．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，则二面角D﹣AF﹣B的平面角余弦值的取值范围是 ． 38．如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点.将沿DE翻折到，沿EF翻折到， (1)求证：平面平面； (2)当F是边BC的中点时，求二面角的余弦值； (3)若，连接DF，设直线SE与平面所成角为，求的最大值. 39．在正三棱柱中，分别是棱上的动点（不包括端点），且满足，则： (1)是否存在点E，使得，若存在，求出； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)求二面角的最大值. 40．在如图所示的直三棱柱中，分别是线段上的动点． (1)若平面，求的值； (2)若三棱柱是正三棱柱，是的中点，求二面角余弦值的最小值． 题型九：根据二面角求参数 41．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面，点在棱上． (1)求； (2)若平面，求三棱锥的体积； (3)若二面角的大小为，求． 42．在直三棱柱中，，，，，， (1)若平面，求的值； (2)若二面角与二面角的大小相等，求的值． 43．如图，在直三棱柱中，为正方形，，分别为，的中点. (1)若，求证：； (2)设，设，当为何值时，平面与平面所成角的余弦为. 44．在中，，，，D，E分别是AC，AB上的点，满足，且DE经过的重心.将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示. (1)求证：平面； (2)求直线CM和平面所成的角； (3)在线段上是否存在点F，使二面角的余弦值？若存在，求CF的长度；若不存在，请说明理由.（要求用几何法解答） 45．如图，在三棱台中，与都垂直，已知．    (1)求证：平面平面． (2)直线与底面所成的角为多少时，二面角的余弦值为？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 拓展练：空间角（线线角、线面角、二面角）问题 题型一：线线角（定值） 题型二：线线角（最值范围）问题 题型三：根据线线角求参数 题型四：线面角（定值） 题型五：直线与平面所成角（最值范围）问题 题型六：根据线面角求参数 题型七：二面角（定值） 题型八：二面角（最值范围）问题 题型九：根据二面角求参数 题型一：线线角（定值） 1．已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】取中点，则，所以即为异面直线与所成角，根据题干求出各边的长，利用余弦定理求解即可. 【详解】设中点为，连接，， 因为为线段中点，所以，则或其补角即为异面直线与所成角， 因为，，， 所以，，， 所以在中由余弦定理可得， 所以异面直线与所成角的正弦值为， 故答案为： 2．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】利用作平行线作出异面直线CE与PB所成角，解三角形，即可求得答案. 【详解】在四棱锥中，设F为的中点，连接， 由题意知四边形为正方形，设， 由于E为的中点，故，则即为异面直线CE与PB所成角或其补角， 底面ABCD，底面ABCD，则, 结合，则， 又， 则在中，， 结合，则， 即异面直线CE与PB所成角的大小为， 故答案为： 3．在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】利用平行六面体的结构特征确定异面直线所成的角，再借助空间向量数量积的运算律求出，进而利用余弦定理求得答案. 【详解】在平行六面体中，， 则是异面直线与所成角或其补角， 而，，， ， ， ， ， 在中，. 故答案为：. 4．如图，将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，若取图中相关线段的中点进行转化，则可求得直线与所成的角为 . 【答案】60°/ 【分析】过点作于点，分别取的中点，连接，证明是直线与所成的角或补角.过点作于点，连接，借助于求得，最后在中，运用余弦定理求出即可求得. 【详解】 设正方形的边长为，过点作于点， 分别取的中点，连接， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 由于，，则， 所以， 故是直线与所成的角或补角. 在中，过点作于点，连接，则，故平面 因平面，则，则 在中，， 由余弦定理，， 在中，，又， 在中，由余弦定理，， 因，故，即直线与所成的角为. 故答案为： 5．在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正三棱柱特点，则（或其补角）为异面直线与所成的角，再在中，应用余弦定理求解即可. 【详解】 在正三棱柱中， ，则（或其补角）为异面直线与所成的角． 设，在中， ，， 由余弦定理得 故选：D. 题型二：线线角（最值范围）问题 6．已知正方体的棱长为1，是棱的中点，为棱上的动点（不含端点），记㫒面直线与所成的角为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】方法1：通过作平行线找出异面直线AB与EG所成角，设，在直角三角形中用x表示出，将问题转化为求在上的值域即可. 方法2：建立空间直角坐标系，运用坐标法求得异面直线AB与EG所成角的余弦值的范围，进而求得其正弦值的范围即可. 【详解】方法1：取的中点N，连接，如图所示，      则，面， 所以异面直线AB与EG所成角即为，， 设，（）， 所以， 又因为， 所以， 所以，即： . 7．在正方体中，是棱的中点，是底面内（包括边界）的一个动点，若平面，则异面直线与所成角的取值范围是 . 【答案】 【分析】取中点，中点，连接，，，取中点，连接，推导出平面平面，从而的轨迹是线段，当与重合时，异面直线与所成角取最大值，当与或重合时，异面直线与所成角取最小值，即可得解. 【详解】解：取中点，中点，连接，，，取中点，连接， ∵在正方体中，是棱的中点， ∴，， ∵平面，，平面， ∴平面，同理可得平面， ∵，，是平面内两相交直线， ∴平面平面， ∵是底面内（包括边界）的一个动点，平面， ∴的轨迹是线段， ∵，是中点，∴， ∵，∴， ∴当与重合时，异面直线与所成角取最大值， ∵，是上动点，， ∴当与或重合时，异面直线与所成角取最小值， ∴异面直线与所成角的取值范围是. 故答案为：. 8．如图正方体中，点是的中点，点为正方形内一动点，且平面，若异面直线与所成角为，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】取的中点，的中点，可证平面平面，结合条件可得点的轨迹为线段（不含端点），可得异面直线与所成角即与所成角，即，由此可得当最小时，最小，运算得解. 【详解】如图，取的中点，的中点，连接， 因为是的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形， ，同理，可证， 又平面，平面，平面， 所以平面，平面， ，平面，则平面平面， 因为点是正方形内一点，且平面， 所以平面，即点的轨迹为线段（不含端点）， 因为，所以异面直线与所成角即与所成角，即， 连接，因为平面，平面， 所以，则， 设正方体的棱长为2，则， 所以当最小时，最小， 在中，当时，最小，由等面积法可得， 所以最小值为. 故答案为：. 9．在矩形中，，是的中点，将沿折起，则在翻折过程中，异面直线与所成角的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由题意，取中点为，中点为，中点为，连接，，，得到即为异面直线与所成角，或所成角的补角，记异面直线与所成角为，则，根据题意，画出图形，结合翻折过程求出临界值，再由余弦定理，即可求出结果. 【详解】由题意，取中点为，中点为，中点为，连接，，， 则，， 将沿折起，在翻折过程中，始终有，； 所以即为异面直线与所成角，或所成角的补角， 记异面直线与所成角为，则 因为，不放设，则，，， 所以， 由题意可得，在翻折过程中，逐渐减小，当点与重合时，最小，如图2； 此时； 翻折前，取最大，如图1；此时， 所以， 由余弦定理可得：， 因为，所以，即， 所以，因此； 又翻折前，以及点点与重合，这两种情况下，与是相交直线， 所以，即； 故. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查求异面直线所成角的范围，熟记异面直线所成角的概念，灵活运用立体几何的方法求解异面直线所成的角即可，属于常考题型. 10．在正方体中，P是侧面上的动点，与垂直，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接，易证得直线平面． 因为与垂直，且是侧面上的动点，所以点是线段上的动点． 又，所以直线与直线所成的角即． 连接，平面，平面，， 在直角三角形中，设，， 则，因此， 因为，所以当时，取得最小值，最小值为． 题型三：根据线线角求参数 11．如图，在四棱锥中，平面，，，，．    (1)求证：平面； (2)若异面直线与所成的角为，求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知证明，由线面垂直得到，再由线面垂直的判定证明结论； （2）若是的中点，易得，异面直线与所成的角为，利用线面垂直的判定及性质证明相关线段垂直，并求出相关线段的长度，应用等体积法求点面距. 【详解】（1）由，，，，即为直角梯形， 所以，， 所以，即， 又平面，平面，则， 由平面，故平面； （2）若是的中点，则，故为平行四边形，    所以且，故异面直线与所成的角，即为， 由平面，平面，则， 又，易知，则， 所以，则， 由平面，平面，则， 由平面，平面，则， 由，，则，而平面， 所以平面，平面，则， 故， 所以，而，且， 设点B到平面的距离为， 则，即，可得. 12．正方体的棱长为4，点是棱上一点（不包括端点），若异面直线与所成角的余弦值为，求的长． 【答案】1 【分析】将原正方体补形为长方体，利用线线角的定义得到为异面直线与所成的角，从而利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】将原正方体的一侧补上另一个正方体变为如图所示的长方体. 在上取点使，连接，则易得， 所以即为异面直线与所成的角(或其补角). 设，则，， ， 又，， 则，所以为锐角， 所以，解得， 所以. 13．如图，已知三棱锥，三角形为等边三角形，，. (1)若点为的中点，证明：； (2)当时，求异面直线与所成角的余弦值； (3)当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过直角三角形和等边三角形的性质，求出，即可证明. （2）取中点，连接,将异面直线与所成角变为与所成的角，利用余弦定理即可求解. （3）根据第二问的求解过程，表示出EF，即可求解. 【详解】（1）设，取中点，连接，， 为等边三角形，为中点， ， 在中，为中点，， 在中，， ， 在中，， . （2）设，取中点，连接，， 取中点，连接，由（1）得，， 在中，为中点， 且， 故异面直线与所成角为与所成的角， 在中，, , 在中，， 故异面直线与所成角的余弦值为. （3）设,， 异面直线与所成角的余弦值为 由（2）可知， ，故， 在中，， ，故. 14．如图，几何体为直四棱柱截去一个角所得，四边形是菱形，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若直线与所成角的正切值为，求平面与相交所得线段的长度． 【答案】(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）利用正三角形性质和直棱柱性质，先证明平面，然后由面面垂直判定定理可证； （2）将几何体补形为直四棱柱，记，，的中点为Q，连接交于点E，交于点F，连接，则即为所求，先证平面，设，由求出，然后可解. 【详解】（1）连接，因为是菱形，，所以为正三角形， 又为的中点，所以， 由直棱柱性质可知，平面， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）将几何体补形为直四棱柱， 记，的中点为Q， 连接交于点E，交于点F，连接，则即为所求，连接. 由题知，，且，所以四边形为平行四边形，所以， 则为直线与所成角（或补角）， 由（1）知，平面， 又平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以, 所以， 设，则， 所以，解得，则， 易知为正三角形，E为重心，所以， 所以. 15．如图，在直三棱柱中，，D是AC的中点，．    (1)求证：平面； (2)若异面直线AC和所成角的余弦值为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)4. 【分析】（1）连接，交于点，连接，利用中位线定理证明平面． （2）利用几何法求出异面直线和所成角的余弦，结合正弦定理及三角形面积公式求得，再利用割补法求出体积作答. 【详解】（1）在直三棱柱中，连接，交于点，连接， 四边形为平行四边形，则为的中点， 又为的中点，于是，又平面，平面， 所以平面.    （2）在直三棱柱中，由，知为锐角， 显然，则为异面直线和所成的角，即， 由，得，， ，直三棱柱的体积 ， ， 所以. 题型四：线面角（定值） 16．如图，在正方体中，E、F分别为BC，的中点，则直线与EF所成角的大小为 ；直线CD与平面DEF所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】做辅助线，分析可知直线与EF所成角为（或其补角），即可得结果；利用等体积法求点C到平面DEF的距离，进而可求线面夹角. 【详解】连接， 因为E、F分别为BC，的中点，则∥， 可知直线与EF所成角为（或其补角）， 又因为，可知为等边三角形， 可得，所以直线与EF所成角的大小为； 设正方体的边长为2，点C到平面DEF的距离为， 因为， 则的面积， 又因为，即，解得， 所以直线CD与平面DEF所成角的正弦值为. 故答案为：；. 17．如图，在四棱台中，平面，四边形为正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为 .    【答案】 【分析】根据线面垂直判定定理得出平面，则即为所求的线面角，再计算求解. 【详解】连接与交于点，因为平面，平面， 所以， 因为四边形为正方形，所以平面， 又，则平面， 故即为在平面上的射影，即为所求的线面角， 又，，故.    故答案为：. 18．在正方体中，，，分别是，，各棱的中点．则与平面所成角的余弦值 ． 【答案】 【分析】分别取为各边中点，连接，，且交于O，连接，首先证面面，转化为求与平面所成角余弦值，再利用线面、面面垂直的判定证面面，由线面角的定义有与平面所成角为或其补角，最后应用余弦定理求其余弦值. 【详解】如下图，分别取为各边中点，连接，，且交于O，连接， 由题设，易知， 由面，面，则面，同理可证面， 由，面，则面面， 所以与平面所成角，即为与平面所成角， 由，且等边中，，面， 所以面，面，则面面，面面， 故在面的投影在直线上，则与平面所成角为， 若正方体的棱长为1，则中，， 所以， 故与平面所成角，即与平面所成角的余弦值为. 故答案为：. 19．在正四面体中，M为线段AC上一点，且，点N为线段BC的中点，则直线与平面所成角的正切值是 ． 【答案】/ 【分析】过点A作AO垂直底面，垂足为O，连接，过点M作于G，连接NG，可得即为直线与平面所成角的平面角，由已知求得，由余弦定理可得，再由勾股定理求得，则由，即可求得直线与平面所成角的正切值. 【详解】如图，过点A作AO垂直底面，垂足为O，连接， 因为平面，则，， 过点M作于G，连接NG， 又，则且， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 则即为直线与平面所成角的平面角， 设正四面体的棱长为2，则， 所以，则， 在中， 则由余弦定理可得：， 在中，， 所以， 所以直线与平面所成角的正切值是． 故答案为：． 20．在长方体中，，，P、Q分别为上底面的边AD、CD的中点，过P、Q的平面与底面交于R、S两点，R、S分别在下底面的边、上，，平面PSRQ与棱交于点T，则直线TS与侧面所成角的正切值为 ． 【答案】 【分析】在线段上取一点R，使得，则，延长交于点K，连接，交线段于点T，则直线与平面所成的角为，即可求解． 【详解】如图： 因为，所以在线段上取一点R，使得，则， 延长交于点K，连接，交线段于点T， 则直线与平面所成的角为， 由得， 而， 由得，，得， 得， 则， 故答案为： 题型五：直线与平面所成角（最值范围）问题 21．已知圆锥的顶点为，轴截面是边长为1的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）．若，则与圆锥底面所成角的正切值的取值范围是 . 【答案】 【分析】先作出辅助线，得到点的轨迹为线段，当点与重合时，取得最小值，当点与或重合时，取得最大值，，从而得到线面角的正切值的取值范围. 【详解】因为轴截面是边长为1的等边三角形，故， 因为为的中点，所以， 在上取点，使得，过点作⊥，交底面圆周于点， 则，此时，又， 故∽，则， 故，故， 因为⊥底面圆，底面圆，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面，所以平面， 所以点的轨迹为线段，连接， 当点与重合时，取得最小值，当点与或重合时，取得最大值， 则， 设与圆锥底面所成角为，则， 故答案为：. 22．直三棱柱中，平面平面，且，则与平面所成的角的取值范围是 . 【答案】 【分析】作于D.判断出即为与平面所成的角.设，，利用几何性质得到，进而.证明出. 解得，即可求出的取值范围 【详解】作于D. 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以即为与平面所成的角，. 设，，则. 在直角三角形中，由正弦的定义：. 在直角三角形中，由等面积可得：， 所以，所以. 在直三棱柱中，. 因为平面，所以. 因为平面，平面，， 所以平面，故，从而，即. 于是，解得：. 又，解得：. 故答案为：. 23．三棱锥中，面面，，，，，,为射线上一动点，求直线与面所成角的正弦的最大值为 【答案】 【分析】过作，可得底面，可得到线面角.，设，则，，表示出，即可得到表达式，求出最小值即可. 【详解】 如图，过作，垂足点为，连接, 根据面面，面面，可得底面， 即为直线与面所成角，设， 设，又，则， 因为，，，，则， 易知，且， 在中，， 由余弦定理可得：， 又，， 所以，， 令， 则，，当时，取得最大值. 所以，直线与面所成角的正弦的最大值为． 故答案为：． 24．如图，平面平面，，，．平面内一点满足，记直线OP与平面OAB所成角为，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】作出图形，找出直线与平面所成的角，证出平面，得出，得出点的轨迹就是平面内以线段为直径的圆点除外，转化成与圆有关的最值问题，即可求出结果 【详解】如图， 过点作，交的延长线于点，连接，， 取的中点为，连接，过点作，垂足为， 平面平面，且平面平面，平面，， ，平面，在平面上的射影就是直线， 故就是直线与平面所成的角，即， ，， 又，，，平面， 平面，平面，， 故点的轨迹就是平面内以线段为直径的圆点除外， ，且，， 设，则，从而， ，如图， 当且仅当，即是圆的切线时，角有最大值，有最大值， 取得最大值为：． 故答案为：. 25．如图，已知三棱锥的所有棱长均相等，点满足，点在棱上运动，设与平面所成角为，则的最大值为 【答案】/ 【分析】设棱长为，，然后可得，设到平面的距离为，利用三角形相似可得，然后可得，即可求出答案. 【详解】设棱长为，，则． 点到平面的距离为 设到平面的距离为，则，， ， 时，的最大值为． 故答案为：． 题型六：根据线面角求参数 26．如图，在正方体中，，点为棱AB上的动点（不含端点），点为上一点，直线DH交平面于点. (1)求证平面； (2)若， （i）求证平面； （ii）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由题可证得四点共面，然后由面面平行性质得到线线平行，从而可求解 【详解】（1）证明：四点共面， 平面平面ABCD，平面平面，平面平面， 平面平面平面. （2）（i）证明：如图所示， 连接平面平面，， 又平面平面平面， 又平面平面. （ii）如图所示，在平面内作直线垂足为， 连接，设. 平面， 平面即为直线与平面所成角. 平面， 平面平面， ， 当时，直线与平面所成角的正弦值为. 27．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)试作出二面角，并求二面角的正切值； (3)在棱上是否存在点，使得与底面所成角的正切值等于，如果存在求出；如果不存在，说明理由．（注：本题建系不得分） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析 【分析】（1）通过勾股定理求出边长，证明线线垂直，再通过面面垂直判断定理，证明面面垂直即可. （2）根据定义，做出二面角的平面角，并证明，求出平面角的正切值即可. （3）做出线面角的平面角，求出平面角的正切值的表达式，根据范围解出当正切值为时，边长的比值即可. 【详解】（1） ，，，， ，，， 又，面，面， 面，面， 面面. （2） 由题意知侧棱，为中点，所以，且，所以为正三角形， 如图所示，作中点,连接，过作交延长线于，连接， 可知，因为面面，面面，，面， 所以面，又，面，面， 所以面，又因为面，所以， 所以即为二面角的平面角， , . （3） 如图所示，作面，因为面，所以，所以为在面上的射影，所以三点共线，连接，再过作于. 所以为与底面所成角的平面角， 因为面，所以，在矩形中， 因为，面，面， 所以面，所以，因为，所以. 设， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以，则， 在中，， 可得， 当时，即，平方后化简得， 解得或（舍）， 当时，即时，， 所以当时与底面所成角的正切值等于. 28．如图，在四棱柱中，四边形为菱形，，，，是侧棱上的一点. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）利用线面垂直的判定得出平面，进而可证结论； （2）利用等体积法求出点C到平面的距离，再利用线面平行的性质可得答案； （3）根据距离求出，结合余弦定理可得的长度. 【详解】（1）连接，设的交点为，连接； 因为，，所以与全等，所以， 因为底面为菱形，所以，且为的中点，所以, 因为平面，所以平面，又平面，所以. （2）因为四边形是边长为2的菱形，且, 所以，. 因为，且为的中点，所以. 因为，所以,所以，. 由（1）知，因为，平面，所以平面; 设点C到平面的距离为， 因为，所以,解得. 因为平面，所以点到平面的距离为. （3）因为直线与平面所成角的正弦值为，所以,即. 过E作平面,垂足为F,连接，则点在的延长线上, ,从而, 设,则； 因为四边形为菱形,且,所以,所以, 由余弦定理可得, 则,解得,故. 29．如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质可知平面，即可得，由题意可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）做辅助线，分析可知，由垂直关系可得，设，利用等体积法运算求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 由平面，可得， 又因为是的中点，，则， 且，、平面，所以平面. （2）假设在上存在异于端点的点，使得直线与平面所成的角大小为. 过点作平面，垂足为，连结、、，    则，， 设，，则， 由（1）可知：平面，， 可知平面， 由平面，可得， 在中，， 在中，， 因为底面是直角梯形，，，， 则，， 可得，， 由得，， 即，解得， 故存在点，使得直线与平面所成的角大小为，此时. 30．如图，在正方形中，点E、F分别是AB、BC的中点，将、分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB. (1)求证：； (2)点M是PD上一点，若直线MF与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得，则由线面垂直的判定定理可得平面，则，再由正方形性质可得，则平面，从而可证得； （2）由（1）可得为直线MF与平面所成角，则，令，然后根据正方形的性质求出其它边长，最后在中利用余弦定理可求得结果. 【详解】（1）证明：在正方形中，连接，则， 因为点E、F分别是AB、BC的中点，所以∥， 所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以； （2）解：由（1）平面，所以为直线MF与平面所成角， 所以， 令，则， 所以， 设，连接， 由（1）知平面，因为平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角， 因为为的中点，，所以为等腰三角形， 所以， 因为，所以， 所以， ，， 在中，由余弦定理得 ， 所以二面角的余弦值为. 【点睛】 关键点点睛：此题考查由线面垂直证线线垂直，考查线面角和二面角，考查折叠问题，解题的关键是弄清折叠前后边角的关系，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题》 题型七：二面角（定值） 31．如图，某一个自行车停放时，车体由尺寸相同的前后轮和脚撑来支撑，前后轮的轴中心分别为，，与地面接触点分别为，，脚撑一端固定在后轮轴中心处，另一端与地面接触于点，若，两点间距离为厘米，车轮外径（直径）为厘米，脚撑长度等于车轮半径，，则后车轮所在平面与地面的夹角（即二面角）的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据二面角的平面角定义，作图，利用线面垂直以及面面垂直的判定与性质，结合余弦和角公式以及直角三角形，可得答案. 【详解】由题意，在平面内作交的延长线于， 在平面内作，垂足为，连接， 取线段的中点为，连接，作图如下： 因为，，平面，， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 在与中，由题意可知，，， 则全等于，所以，在中，由为中点，则， 由，则， 在中，，则， 可得， 则，已知， 在中，， 由图可得为二面角的平面角， 则. 故答案为：. 32．在正方体中，二面角的平面角大小为 . 【答案】 【分析】通过分析图形找到二面角的平面角，求角的余弦值，确定角的大小. 【详解】 如图，取中点，连接， 由题意得，、、为等边三角形， ∴，， ∴为二面角的平面角. 设等边三角形边长为2，则， ∴， ∴. 故答案为：. 33．在四面体中，是正三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上，使得四面体与四面体的体积之比为，则二面角的余弦值为 . 【答案】/0.5 【分析】画出二面角，计算三角形边长，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】设，则，取中点    所以,, 因为， 所以点为中点， 因为平面平面，, 所以 所以平面, 所以，， 又因为 所以二面角的平面角为 所以. 故答案为： 34．如图，边长为4的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，为的中点．二面角的正切值为 ． 【答案】 【分析】利用面面垂直性质证明得出线面垂直，作出二面角的平面角并利用勾股定理求得线段长度，即可得出二面角的正切值. 【详解】依题意平面平面，且平面平面，平面， 易知，因此可得平面， 过点作于点，连接，如下图所示： 由平面，又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面，平面，可得； 即可得即为二面角的平面角； 显然，且，三角形为正三角形，所以； 在中，. 即二面角的正切值为. 故答案为： 35．如图，已知在矩形中，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，则二面角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】过点在平面内作，垂足为点，连接，证明二面角的平面角为，根据几何关系即可求解． 【详解】由平面知识易证，所以. 在三棱锥中，， ∴， 过点在平面内作，垂足为点，连接． ∵， ∴易得平面又∵平面， ∵平面，平面， 平面， ∴二面角的平面角为， 在中，， 由余弦定理可得， ∴， ∴， ∵平面平面， ∴，故， ∴二面角的余弦值为． 故答案为：. 题型八：二面角（最值范围）问题 36．如图，已知正四面体，为线段上的动点（端点除外），则二面角的平面角的余弦值的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当点从点运动到点时，二面角的平面角逐渐增大，二面角的平面角最小趋于二面角的平面角，最大趋于二面角的平面角的补角，求出二面角的平面角和二面角的平面角即可. 【详解】当点从点运动到点时，二面角的平面角逐渐增大，二面角的平面角最小趋于的平面角，最大趋于二面角的平面角的补角， 设正四面体的棱长为，如图所示，取的中点，连接、， 易知为二面角的平面角，， 所以， 同理可得：二面角的平面角的补角的余弦值为， 故二面角的平面角的余弦值的取值范围是， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的求解，考查空间想象能力，属于中档题. 37．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，则二面角D﹣AF﹣B的平面角余弦值的取值范围是 ． 【答案】（，1）． 【分析】由于平面ABD⊥平面ABC，因此作DK⊥AB，则DK⊥平面ABCF，作DO⊥AF，则OK⊥AF， 则∠DOK为所求二面角的平面角，而cos∠DOK，设，，然后计算（可在矩形中计算），把表示为的函数，求得其取值范围． 【详解】作DK⊥AB，则DK⊥平面ABCF，作DO⊥AF，则OK⊥AF， 则∠DOK为所求二面角的平面角，cos∠DOK， 设DF＝x，AF，AD2＝AO•AF，则AO，OD， 由平面图形ABCD知，∠DAF＝90°﹣∠FAB， 故tan∠FABcot∠DAF， 所以OKOA， 所以cos∠DOK，x∈（1，2）， 故答案为（，1）． 【点睛】本题考查求二面角，解题时首先要作出二面角的平面角并证明，这可利用题设中的面面垂直的性质，然后引入变形，把所求二面角的余弦值表示为的函数，从而可得取值范围． 38．如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点.将沿DE翻折到，沿EF翻折到， (1)求证：平面平面； (2)当F是边BC的中点时，求二面角的余弦值； (3)若，连接DF，设直线SE与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面. （2）取的中点，证得，，得到二面角的平面角为，在中，利用余弦定理，即可求解； （3）设在面上的射影为，得到为与平面所成角，设，求得，在中求出和，结合得到，令，得到，令，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）证明：因为是正方形，为的中点，所以，， 又因为,且平面，所以平面， 因为平面SEF，所以平面平面. （2）解：取的中点，由题意得，则，， 所以二面角的平面角为， 在中，因为，，， 可得，所以二面角的余弦值为. （3）解：设在面上的射影为，连接，则为直线与平面所成角， 设，则， 可得， 在中，由，，， 可得，且， 因为，即，可得， 又因为，所以， 令，则，则， 令，任取， 则， 因为，，，所以即， 所以在上单调递减， 所以当，即时，取得最大值为. 39．在正三棱柱中，分别是棱上的动点（不包括端点），且满足，则： (1)是否存在点E，使得，若存在，求出； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)求二面角的最大值. 【答案】(1)存在，； (2)； (3). 【分析】（1）假设存在点E使得，从而可证明平面，从而得到，再由锐角三角函数及勾股定理求出； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可求出的最大值，再由锥体的体积公式计算可得； （3）过点F作，垂足为D，即可得到平面，再过点D作，垂足为G，连接，从而得到就是二面角的一个平面角，由锐角三角函数求出的最大值. 【详解】（1）假设存在点使得， 则因为，所以 由正三棱柱，平面，且平面，可得， 又因为，是平面内的两条相交直线， 所以平面， 又平面，所以， 又，所以， 又，且， 所以，解得（负值已舍去），则， 所以存在点使得，此时； （2）如图，在中，    由余弦定理得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，即三棱锥体积最大值为； （3）如图，过点F作，垂足为D， 由为正三棱柱，可知平面，平面， 所以平面平面，又平面平面，平面， 所以平面， 过点D作，垂足为G，连接，    因为平面，所以， 又，平面， 所以平面， 所以是二面角的一个平面角， 所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以二面角的最大值为. 40．在如图所示的直三棱柱中，分别是线段上的动点． (1)若平面，求的值； (2)若三棱柱是正三棱柱，是的中点，求二面角余弦值的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，交于，连接，则可证平面平面，从而得到，故可求的值，也可以过点作，可证 四边形是平行四边形，从而可求的值. （2）过作，垂足为，再过作，垂足为，连接，可证即为二面角的平面角，故可求二面角余弦值的最小值，也可以利用建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角的余弦值的最小值. 【详解】（1）法1：（1）过点作，交于，连接，如图， 由平面，平面， 则平面且， 又平面，，且平面， 故平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以，从而，故. 法2：过点作，交于，则由可得， 所以四点共面，而平面，平面， 平面平面，所以， 四边形是平行四边形， 所以，所以. （2）法1：过作，垂足为， 由正三棱柱可得平面平面， 而平面平面，平面，则平面， 再过作，垂足为，连接， 因为平面，故， 而平面，故平面， 而平面，故， 则即为二面角的平面角． 又在中，， ， 当位于时，此时， 故二面角余弦值的最小值为. 题型九：根据二面角求参数 41．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面，点在棱上． (1)求； (2)若平面，求三棱锥的体积； (3)若二面角的大小为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据平面得平面平面，从而可得平面，故为直角三角形，从而可求； （2）可证为的中点，从而可利用等积转化求三棱锥的体积； （3）过点作的平行线交于点，可证为二面角的平面角，利用解直角三角形可求的值 . 【详解】（1）∵平面，平面，∴平面平面， 又∵，平面，平面平面，∴平面， 又∵平面，∴，∴为直角三角形， ∴，即． （2）连接与交于点，连接， ∵平面，平面，平面平面， ∴，可知为的中点，而平面平面，故， 在中，，，， ∴，，， ∴ ． （3）由题意知平面，过点作的平行线交于点， ∴平面，再作（为垂足）， 因为平面，故，而平面， 所以平面，而平面，故， ∴为二面角的平面角，， 由（2）可知，∴是等腰直角三角形， 同理也是等腰直角三角形，从而， 在中，，，∴， 不妨设，，则且， ∴，∴． 42．在直三棱柱中，，，，，， (1)若平面，求的值； (2)若二面角与二面角的大小相等，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，由线面平行的性质可得出，再结合中位线的性质可得出的值； （2）解法一（几何法）：过点在平面内作，垂足为，连接、，分析可知二面角和二面角的平面角分别为、，根据以及二倍角的正切公式求出的长，即可求出的值； 解法二（空间向量法）：以为原点，、、分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系，设二面角与二面角的平面角分别为、，且，利用空间向量法结合二倍角的余弦公式可得出的等式，解之即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 平面，平面，平面平面， ， 又是的中点，故是的中点，. （2）因为二面角与二面角的大小相等， 所以二面角是二面角的大小的一半， 法一：几何法 过点在平面内作，垂足为，连接、， ，，，、平面， 平面， 平面，， 又，，、平面，平面， 又、平面，，， 二面角和二面角的平面角分别为、， 分别记作和，则为锐角，且， 因为，，，故， 所以，， 即，解得， 又，解得，所以． 43．如图，在直三棱柱中，为正方形，，分别为，的中点. (1)若，求证：； (2)设，设，当为何值时，平面与平面所成角的余弦为. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质，结合直三棱柱的结构特征推理得证. （2）作出二面角的平面角，利用几何法求出正切值即可得解. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面，而平面，则， 而，平面，于是平面， 连接，而平面，则，由正方形，得， 又平面，因此平面，而平面， 则，由，分别为，的中点，得， 所以. （2）在平面内过作于，而平面平面， 平面平面，则平面，又平面， 则，过作于，连接，而平面， 因此平面，又平面，则，是二面角的平面角， 由，得，而， 则，又，于是， 所以当时，平面与平面所成角的余弦为. 44．在中，，，，D，E分别是AC，AB上的点，满足，且DE经过的重心.将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示. (1)求证：平面； (2)求直线CM和平面所成的角； (3)在线段上是否存在点F，使二面角的余弦值？若存在，求CF的长度；若不存在，请说明理由.（要求用几何法解答） 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据⊥平面，得到⊥，故⊥，结合，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，得到与平面的夹角即为与平面的夹角，利用等体积法求出到平面的距离，进而得到点平面的距离为，从而求出线面角的正弦值，求出答案； （3）作出辅助线，找到二面角的平面角为，利用余弦定理和勾股定理求出各边长，并求出，利用正切差角公式得到，得到方程，求出CF的长度. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 将沿DE折起到的位置，故始终有，， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以，故， 因为，，平面， 所以平面； （2）由（1）可知，两两垂直， 因为DE经过的重心，所以，故， ， 由勾股定理得， 连接，取的中点，在上取点，使得，连接， 则，， 又，，故四边形为平行四边形， 故，， 与平面的夹角即为与平面的夹角， 其中，而平面， 故， 由勾股定理得， 中，，故， ，， 故由余弦定理得， 故， 则， 设到平面的距离为， 由于，故，解得， 故点平面的距离为， 设直线CM和平面所成角的大小为， 则， 故直线CM和平面所成的角为 （3）存在，，理由如下： 连接，过点作于点，连接， 因为平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以，， 故二面角的平面角为， 设，， 在中，由余弦定理得， 故， 则， ， 其中，， 故，， 则 ， 故，解得. 存在，. 45．如图，在三棱台中，与都垂直，已知．    (1)求证：平面平面． (2)直线与底面所成的角为多少时，二面角的余弦值为？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合棱台的性质可推出平面，根据面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）过作于D，说明是与平面ABC所成的角，作，说明为二面角的平面角．进而结合解三角形可得，利用三角恒等变换，即可求得答案. 【详解】（1）与都垂直，由棱台的性质得， ．又平面， 平面．又平面ABC， ∴平面平面，即平面平面． （2）由（1）知，平面平面ABC．如图，    过作于D，平面平面平面， 则平面， 是与平面ABC所成的角，即． 作于E，连接平面ABC，平面ABC，． 又，平面， 平面平面， 则为二面角的平面角． 在中，，得． 平面，平面，所以，则， 在中，． 由∽-，得，则． ，则， ，即， 于是，则， . 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$