专题03 直线与平面的位置关系（考点解读+考点归纳+10类题型）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第三册）

【解析版】 专题03 直线与平面的位置关系 本章主要讨论三维空间中的直线与平面，从四个简单直观的公理（也称为“基本事实”)出发，通过演绎推理的方法建立起关于空间的点、直线与平面之间基本关系的比较系统完整的理论；这方面的要求与“二期课改“教材相比，有明显的提高，因此课程的难度也略有增大；作这样变化的目的在于克服学生空间直观想象和逻辑推理上的不足；所以，充分利用教材的内容但不要超越教材的难度，注意给学生铺设好从平面到立体的台阶，聚焦培养学生的能力和索养； 因此，在学习过程中，培养学生的空间观念与空间想象能力是学习立体几何的关键；教学中，应关注空间图形及其位置关系的多种表征方式；如实物、模型、图形、符号及文字等，并通过不同表征方式的相互转化来帮助学生理解空间概念、图形和解决，用好长方体这一直观的模型； ． 一、《必修第二册》目录与内容提要 【本章教材目录】 第10章 空间直线与平面 10.1 平面及其基本性质 10.1.1 空间的点、直线与平面；10.1.2 相交平面；10.1.3 空间图形的平面直观图的画法； 10.2 直线与直线的位置关系 10.2.1 空间的平行直线；10.2.2 异面直线；10.2.3 两条异面直线所成的角； 10.3 直线与平面的位置关系 10.3.1 直线与平面平行；10.3.2 直线与平面垂直；10.3.3 直线与平面所成的角；10.3.4 三垂线定理； 10.4 平面与平面的位置关系 10.4.1 平面与平面平行；10.4.2 二面角 *10.5 异面直线间的距离 【本章内容提要】 1、立体几何中的公理及其推论 （1）公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上； （2）公理2 不在同一直线上的三点确定一个平面； 推论1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面； 推论2 两条相交直线确定一个平面； 推论3 两条平行直线确定一个平面； （3）公理3 如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； （4）公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行； 2、直线与直线的位置关系 （1）有三种可能的位置关系：相交、平行、异面； （2）等角定理　如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等； 推论1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补； 推论2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等； （3）异面直线的定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线； （4）异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线是异面直线； （5异面直线所成的角的定义：两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角； 3、直线与平面的位置关系 （1）直线与平面平行的判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行； （2）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行； （3）线面垂直的定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直； （4）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面上的两条相交直线都垂直，那么直线与该平面垂直； （5）直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行； 推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直； 推论:2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直； （6）线面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角； （7）三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直； 4、平面与平面的位置关系 （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；（2）两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； （3）一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，一个二面角的大小等于它的平面角的大小； （4）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直； （5）平面与平面垂直的性质定理：如果果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两个平面交线的直线与另一个平面垂直； *5、异面直线间的距离 （1）定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； （2）定义：两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离； 1、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 直线与平面的位置关系的分类标准 （1）按公共点个数分类 （2）按直线是否在平面内分类 2、直线与平面平行的判定定理 文字语言 符号语言 图形语言 如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，则该直线与这个平面平行； 应用线面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤： （1）利用性质定理在面内找平行线； （2）证明直线与直线平行； 常用方法：三角形的中位线定理，平行四边形的平行关系、成比例线段、线线平行的传递性． （3）说明两线与平面的位置关系（一条在面内，一条不在面内）； （4）得出结论； 3、直线与平面平行的性质定理 文字语言 符号语言 图形语言 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行； 4、直线与平面垂直的定义 文字语言 符号语言 图形语言 直线与平面垂直的定义及其相关概念：　 　　如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直；如果直线l与平面α 垂直，我们记作l⊥α． 这时，直线l叫做平面α 的垂线（或者法线），l与α的交点叫做垂足； 画示意图时，通常使直线l与表示平面α的平行四边形的一边垂直； 5、直线与平面垂直的重要结论 文字语言 符号语言 图形语言 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； l⊥α 6、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 符号语言 图形语言 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直； 【说明】该定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”的互相转化； 7、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 符号语言 图形语言 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行； a⊥α，b⊥α⇒ a// b 推论1： 过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直； · 推论2： 过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直； 8、点到平面的距离 文字语言 符号语言 图形语言 点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离； 如图，PP′⊥平面α，P′为垂足， 线段PP′的长度即为点P到平面α的距离； 直线到平面的距离：如果一条直线l平行于一个平面α，那么直线l上任意两点到平面α 的距离都相等（证明过程留作习题），从而就可以把直线l上一点M到平面α 的距离定义为直线l到与它平行的平面α的距离； 9、直线和这个平面所成的角 文字语言 图形语言 一条直线l与一个平面α虽然相交，但不垂直，称之为斜交； 这条直线l称为平面α的斜线；斜线l和平面α的交点A叫做斜足； 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的投影（也称射影）； 平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 另外，我们约定，如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；如果一条直线和平面平行或在该平面上，就说二者所成的角是00的角 求斜线和平面所成的角的一般步骤： （1）作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足 和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为斜线和平面所成的角； （2）证：证明（1）中所作出的角就是所求直线与平面所成的角；（注：关键证明线面垂足，即证得斜线在面内的射影）； （3）求：通过解三角形（通常是直角三角形），求出（1）中所作的角的大小． 10、三垂线定理 文字语言 符号语言 图形语言 三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直； 已知 PO、PA分别是 平面的垂线、斜线， OA是PA在平面上 的射影，a ；则 a⊥OAa⊥PA. 【注意】创造出符合三垂线定理的条件： 题型1、准确把握角的概念 例1、（1）若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是（ ） A．直线上所有的点都在平面外 B．直线上有无数多个点都在平面外 C．直线上有无数多个点都在平面内 D．直线上至少有一个点在平面内 【答案】B； 【解析】直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外； （2）下列命题中正确的个数是（ ） ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行； ③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b在平面α外，那么b∥α. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】可借助正方体来判断．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确； AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确； 假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，又b在平面α外，，所以b∥α， 故命题③正确． 【说明】1、在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断； 2、若直线a⊂平面α，则平面α内的直线与直线a有平行或相交的关系；若直线a与平面α相交，则平面α内的直线与直线a有相交或异面的关系；若a∥α，则平面α内的直线与直线a有平行或异面的关系； 题型2、准确理解直线与平面平行的位置关系 例2、（1）能保证直线a与平面α平行的条件是(　　) A．b⊂α，a∥b B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c C．b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，且AC∥BD D．直线a在平面α外，b⊂α，a∥b 【答案】D； 【解析】由线面平行的判定定理可知，D正确； （2）如果直线a∥直线b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(　　) A．相交 B．b∥α C．b⊂α D．b∥α或b⊂α 【答案】D； 【解析】如图，正方体中，A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，AB⊂平面ABCD； A1B1∥C1D1，A1B1∥平面ABCD，C1D1∥平面ABCD， ∴b与α的位置关系是b∥α或b⊂α； 【说明】判别线面平行，通常可以从视角：1、利用定义，证明线面无公共点，一般利用反证法来验证；2、利用直线与平面平行的判定定理；3、利用平面与平面平行的性质； 题型3、直线与平面平行的判定 例3、（1）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是 【答案】平行； 【解析】如图所示，连接BD交AC于点O； 在正方体中容易得到点O为BD的中点； 又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1； 又∵OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE， ∴BD1∥平面ACE； （2）如图，点P在平面四边形ABCD外， 底面ABCD为梯形，AB∥CD， PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点； 求证：BE∥平面PAD； 【证明】方法1：　如图，取PD的中点F，连接EF，FA. 由题意知EF为△PDC的中位线， ∴EF∥CD，且EF＝CD＝2. 又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF， ∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF. 又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD， ∴BE∥平面PAD. 方法2、如图，延长DA，CB相交于H，连接PH， ∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4， ∴＝＝，即B为HC的中点， 又E为PC的中点，∴BE∥PH， 又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD. 方法3：如图，取CD的中点H，连接BH，HE， ∵E为PC的中点，∴EH∥PD， 又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴EH∥平面PAD， 又由题意知ABDH， ∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD， 又AD⊂平面PAD，BH在平面PAD外， ∴BH∥平面PAD， 又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE， ∴平面BHE∥平面PAD， 又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PAD. 【说明】1、一种转化：直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化． 2、判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用定义，证明线面无公共点，一般利用反证法来证明；（2）利用直线与平面平行的判定定理；（3）利用平面与平面平行的性质； 题型4、直线与平面平行的性质及其应用 例4、（1）如图，已知AB与CD是异面直线， 且AB∥平面α，CD∥平面α， AC ∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝G，BC∩α＝H. 求证：四边形EFGH是平行四边形． 【证明】因为AB∥平面α，AB平面ABC， 平面ABC∩平面α＝EH， 所以AB∥EH， 因为AB∥平面α，AB平面ABD， 平面ABD∩平面α＝FG， 所以AB∥FG，所以EH∥FG， 同理由CD∥平面α可证EF∥GH， 所以四边形EFGH是平行四边形； （2）如图，已知四边形ABCD是平行四边形， 点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点， 在DM上取一点G， 过G和AP作平面交平面BDM于GH. （1）求证：AP∥平面BDM； （2）若G为DM中点，求证：＝； 【证明】（1）如图，连接AC交BD于点O，连接OM， 在△ACP中，O，M分别为AC，PC的中点， ∴OM∥AP，OM⊂平面BDM，AP⊄平面BDM， ∴AP∥平面BDM. （2）∵AP∥平面BDM，AP⊂平面APGH， 平面BDM∩平面APGH＝GH，∴AP∥GH， 又AP∥OM，∴GH∥OM， 又G为DM中点， ∴GHOM，又OMAP，∴＝； 【说明】1、直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行；2、线面平行的判定与性质定理经常交替使用：先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，可称为平行链，如下图： 线线平行线面平行线线平行； 题型5、对直线与平面垂直位置关系的理解 例5、（1）试判断下面说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． ①垂直于同一条直线的两直线平行．(　　) ②一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(　　) ③一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．(　　) ④如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线所确定的平面．(　　) ⑤垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．(　　) ⑥过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．(　　) 【答案】①×；②√；③×；④√；⑤√；⑥√； 【解析】 题号 分析 结论 1 空间中垂直于同一直线的两直线可相交、平行或异面 错误 ② 满足线面垂直的条件 正确 ③ 这无数条直线可能是一组平行线 错误 ④ 由基本性质及线面垂直的判定定理知结论成立 正确 ⑤ 结合线面垂直的判定和性质易得正确 正确 ⑥ 由线面垂直的判定定理知正确 正确 （2）已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m∥n，m⊥α⇒n⊥α ②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n ③m∥n，m∥α⇒n∥α ④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β 其中正确命题的序号是(　　) A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C； 【解析】两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，①正确；分别在两个平行平面内的直线平行或异面，②错；③中m∥n，m∥α⇒n∥α或n⊂α，③错；④α∥β，m⊥α，∴m⊥β，又m∥n，∴n⊥β，④正确．故选C． 【说明】直线和平面垂直的定义中的“任何一条”与“所有”表达相同的含义，当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线；判断和证明直线与平面垂直的常见方法有：①定义法；②判定定理，要寻找平面内的两条相交直线； 题型6、准确把握角的概念 例6、（1）下列说法正确的是(　　) A．垂直于同一条直线的两直线平行 B．垂直于同一条直线的两直线垂直 C．垂直于同一个平面的两直线平行 D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行 【答案】C； 【解析】在空间中垂直于同一直线的两条直线，可能平行，可能相交，也可能异面，所以A、B错；垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内，也可以是直线和平面平行，所以D错；由线面垂直性质定理知C正确； （2）已知a，b是异面直线，α∩β＝c，a⊥α，b⊥β，直线l⊥a，l⊥b，求证：l∥c. 【提示】先利用线垂直面的性质得线垂直线再证平行； 【证明】如图，在a上取一点A，过点A作直线b′⊥β， ∵b⊥β，∴b′∥b（直线与平面垂直的性质定理）； ∵l⊥b，b′∥b， ∴l⊥b′.∵l⊥a， ∴l垂直于由a与b′确定的平面γ； ∵a⊥α，α∩β＝c，∴a⊥c， 同理b⊥c； ∵b∥b′，∴c⊥b′，又a∩b′＝A，a与b′确定的平面为γ， ∴c⊥γ.又∵l⊥γ，∴l∥c（直线与平面垂直的性质定理）； 【说明】证明线线平行的常见方法有：1、利用线线平行定义：证共面且无公共点；2、利用平行公理：证明两线同时平行于第三条直线；3、利用线面平行的性质定理；4、利用面面平行的性质定理；5、利用线面垂直的性质定理； 题型7、对三垂线的理解与初步应用 例7、（1） （1）若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，有下列关系： ① ②平面 ③ ④， 其中正确的是___________. 【提示】注意：首先“平面”，然后“” 先由题意，得到，根据线面垂直的判定定理以及性质，可判断①②④正确；推出与不垂直；假设，根据线面垂直的判定定理与性质推出，得出矛盾，即可得出③错. 【答案】①②④ 【解析】因为为以为直径的圆上异于的一点， 所以， 因为直线垂直于以为直径的圆所在的平面，所以平面， 因此；即①正确； 又，且平面， 所以平面；即②正确； 又平面，所以；即④正确； 因为平面，所以，即是以为直角的直角三角形，所以与不垂直； 若，根据，，平面，可得平面，则，这与“，不垂直”矛盾，故，不垂直；即③错； 故答案为：①②④； 【说明】本题主要考查了三垂线定理，线面垂直，线线垂直的判断，熟记线面垂直的判定定理和性质即可； （2）已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC上的射影一定是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】B； 【解析】如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连接OA，OB，OC. 所以PO⊥平面ABC.因为PA＝PB＝PC，且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°， 所以△PAO≌△PBO≌△PCO， 所以AO＝BO＝CO.即点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC的外心． 【说明】三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直 的充要条件是 它和这条斜线在平面上的投影垂直； 题型8、对点到这个平面的距离的理解与求法 例8、（1）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________． 【答案】4； 【解析】如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD. 因为PA⊥平面ABC， 所以PA⊥BC. 又PD∩PA＝P， 所以CB⊥平面PAD，所以AD⊥BC. 在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4. 在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝＝4. （2）已知在△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝.S是△ ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离． 【解析】方法1：如图，连接PA，PB，易知SA⊥AC，BC⊥AC.分别取AB，AC的中点E，F，连接PE，EF，PF，则EF∥BC，PF∥SA. 所以EF⊥AC，PF⊥AC. 因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF，所以PE⊥AC. 易证△SAC≌△SBC，所以PA＝PB. 又E是AB的中点，所以PE⊥AB. 因为AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC. 从而PE的长就是点P到平面ABC的距离． 因为P是SC的中点，所以在Rt△APE中，AP＝SC＝，AE＝AB＝， 所以PE＝＝＝， 即点P到平面ABC的距离为. 方法2：如图，过点A作BC的平行线， 过点B作AC的平行线，两直线交于点D. 因为AC＝BC＝1，AB＝， 所以AC⊥BC.所以四边形ADBC为正方形， 连接SD. 易知AC⊥SA，又AC⊥AD，SA∩AD＝A， 所以AC⊥平面SDA，所以AC⊥SD. 易知BC⊥SB，又BC⊥BD，SB∩BD＝B， 所以BC⊥平面SDB，所以BC⊥SD. 因为BC∩AC＝C，所以SD⊥平面ADBC. 所以SD的长即点S到平面ABC的距离， 在Rt△SAD中，易得SD＝. 因为点P为SC的中点，故点P到平面ABC的距离为SD＝. 【说明】1、从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等换法转换求解； 2、线面距与面面距： （1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离； （2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离； 题型9、直线与平面所成的角及其求法 例9、（1）等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________． 【答案】45°； 【解析】如图，设C在平面α内的射影为点O， 连接AO，MO，则∠CAO＝30°， ∠CMO就是CM与α所成的角； 设AC＝BC＝1，则AB＝， 所以CM＝，CO＝， 所以sin∠CMO＝＝，所以∠CMO＝45°. 答案：45° （2）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中． ①求A1B与平面AA1D1D所成角的大小； ②求A1B与平面BB1D1D所成角的大小． 【解析】①∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. ②如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角． 设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝. 又∵∠A1OB＝90°， ∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°， ∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 【说明】求直线与平面所成的角的步骤 1、作（找）——作（找）出直线和平面所成的角；寻找过斜线上一点与平面垂直的直线； 2、证——证明所作或找到的角就是所求的角并指出线面的平面角；连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角 3、求——常用解三角形的方法（通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形）；把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角; 4、答——注意：直线与平面所成的角θ的取值范围是：[0°, 90°]; 题型10、直线与平面的相关综合题 例10、（1）如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径， C是圆周上一点，其中AC＝3，PA＝4，BC＝5， 则PB与平面PAC所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据题意，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则BC⊥AC， 又由PA⊥圆O所在平面，则PA⊥BC， 因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 则BC⊥平面PAC，故∠BPC是PB与平面PAC所成的角，在△ACB中，AC＝3，BC＝5，AC⊥BC， 则AB＝＝， 在△PAB中，AB＝，PA＝4，PA⊥AB， 则PB＝＝5， 在△PCB中，BC＝5，PB＝5， 则sin∠BPC＝＝. （2）如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形． ①求证：AB∥平面EFGH； ②若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围； 【证明】①∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF∥HG. ∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD， ∴EF∥平面ABD. 又∵EF⊂平面ABC， 平面ABD∩平面ABC＝AB， ∴EF∥AB， 又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. ②设EF＝x(0<x<4)， 由(1)知EF∥AB， ∴＝＝， 与(1)同理可得CD∥FG， ∴＝， 则＝＝＝1－， ∴FG＝6－x. ∴四边形EFGH的周长 L＝2＝12－x. 又∵0<x<4，∴8<L<12， 故四边形EFGH周长的取值范围是(8，12)； 1、两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题： ①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行； ③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点． 其中正确的个数是 （个） 【答案】2； 【解析】①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确； 2、如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是 (填序号)． 【答案】①③④； 【解析】根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件； 3、如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为 【答案】直角三角形 【解析】由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P， 所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故选B. 4、已知在平面内，，平面，则直线与的位置关系是________. 【提示】注意：首先“平面”，然后“”等价； 【答案】垂直 【解析】在中，因为，，所以，； 又因为，平面，是斜线在平面上的射影， 所以，, 【说明】本题考查了三垂线定理的直接应用； 5、如图所示，四边形ABCD是梯形， AB∥CD，且AB∥平面α， AD，BC与平面α分别交于点M，N，且M是AD的中点， AB＝4，CD＝6，则MN＝________. 【答案】5 【解析】因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN， 所以AB∥MN， 又M是AD的中点，AB∥CD， 所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5. 6、如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1； 则点B与D1到平面A1C1CA的距离分别是 ， ； BC1到平面ADD1A1的距离是 ； 【答案】；；2； 【解析】由题意知BD＝B1D1＝2，B，D1到平面AC1的距离分别为和，都为；BC1到平面AD1的距离等于AB的长，为2； 7、直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面（ ） A．有且只有一个 B．有无数多个 C．有且只有一个或不存在 D．不存在 【答案】A 【解析】在a上任取一点A，则过点A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，又∵a∩b′＝A，∴a与b′确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的； 8、下列命题中，正确的是（ ） A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α B．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α 【答案】C； 【解析】当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确； 当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确， C正确； 若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，所以D不正确． 【说明】对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事； 9、如图所示，已知两条异面直线AB与CD， 平面MNPQ与AB，CD都平行， 且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上， 求证：四边形MNPQ是平行四边形； 【解析】∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN， ∴AB∥MN； 又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ， ∴AB∥PQ，∴MN∥PQ. 同理可证NP∥MQ. 故四边形MNPQ是平行四边形； 10、如图所示，在Rt△BMC中， 斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4， ∠MBC＝60°， 求MC与平面ABC所成角的正弦值； 【解析】由题意知，A是M在平面ABC上的射影， ∴MA⊥平面ABC， ∴MC在平面ABC上的射影为AC. ∴∠MCA即为直线MC与平面ABC所成的角． 又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°， ∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝. 在Rt△MAB中，MA＝＝＝3. 在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝， 即MC与平面ABC所成角的正弦值为. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【原卷版】 专题03 直线与平面的位置关系 本章主要讨论三维空间中的直线与平面，从四个简单直观的公理（也称为“基本事实”)出发，通过演绎推理的方法建立起关于空间的点、直线与平面之间基本关系的比较系统完整的理论；这方面的要求与“二期课改“教材相比，有明显的提高，因此课程的难度也略有增大；作这样变化的目的在于克服学生空间直观想象和逻辑推理上的不足；所以，充分利用教材的内容但不要超越教材的难度，注意给学生铺设好从平面到立体的台阶，聚焦培养学生的能力和索养； 因此，在学习过程中，培养学生的空间观念与空间想象能力是学习立体几何的关键；教学中，应关注空间图形及其位置关系的多种表征方式；如实物、模型、图形、符号及文字等，并通过不同表征方式的相互转化来帮助学生理解空间概念、图形和解决，用好长方体这一直观的模型； ． 一、《必修第二册》目录与内容提要 【本章教材目录】 第10章 空间直线与平面 10.1 平面及其基本性质 10.1.1 空间的点、直线与平面；10.1.2 相交平面；10.1.3 空间图形的平面直观图的画法； 10.2 直线与直线的位置关系 10.2.1 空间的平行直线；10.2.2 异面直线；10.2.3 两条异面直线所成的角； 10.3 直线与平面的位置关系 10.3.1 直线与平面平行；10.3.2 直线与平面垂直；10.3.3 直线与平面所成的角；10.3.4 三垂线定理； 10.4 平面与平面的位置关系 10.4.1 平面与平面平行；10.4.2 二面角 *10.5 异面直线间的距离 【本章内容提要】 1、立体几何中的公理及其推论 （1）公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上； （2）公理2 不在同一直线上的三点确定一个平面； 推论1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面； 推论2 两条相交直线确定一个平面； 推论3 两条平行直线确定一个平面； （3）公理3 如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； （4）公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行； 2、直线与直线的位置关系 （1）有三种可能的位置关系：相交、平行、异面； （2）等角定理　如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等； 推论1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补； 推论2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等； （3）异面直线的定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线； （4）异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线是异面直线； （5异面直线所成的角的定义：两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角； 3、直线与平面的位置关系 （1）直线与平面平行的判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行； （2）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行； （3）线面垂直的定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直； （4）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面上的两条相交直线都垂直，那么直线与该平面垂直； （5）直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行； 推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直； 推论:2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直； （6）线面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角； （7）三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直； 4、平面与平面的位置关系 （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；（2）两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； （3）一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，一个二面角的大小等于它的平面角的大小； （4）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直； （5）平面与平面垂直的性质定理：如果果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两个平面交线的直线与另一个平面垂直； *5、异面直线间的距离 （1）定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； （2）定义：两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离； 1、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 直线与平面的位置关系的分类标准 （1）按公共点个数分类 （2）按直线是否在平面内分类 2、直线与平面平行的判定定理 文字语言 符号语言 图形语言 如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，则该直线与这个平面平行； 应用线面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤： （1）利用性质定理在面内找平行线； （2）证明直线与直线平行； 常用方法：三角形的中位线定理，平行四边形的平行关系、成比例线段、线线平行的传递性． （3）说明两线与平面的位置关系（一条在面内，一条不在面内）； （4）得出结论； 3、直线与平面平行的性质定理 文字语言 符号语言 图形语言 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行； 4、直线与平面垂直的定义 文字语言 符号语言 图形语言 直线与平面垂直的定义及其相关概念：　 　　如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直；如果直线l与平面α 垂直，我们记作l⊥α． 这时，直线l叫做平面α 的垂线（或者法线），l与α的交点叫做垂足； 画示意图时，通常使直线l与表示平面α的平行四边形的一边垂直； 5、直线与平面垂直的重要结论 文字语言 符号语言 图形语言 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； l⊥α 6、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 符号语言 图形语言 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直； 【说明】该定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”的互相转化； 7、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 符号语言 图形语言 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行； a⊥α，b⊥α⇒ a// b 推论1： 过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直； · 推论2： 过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直； 8、点到平面的距离 文字语言 符号语言 图形语言 点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离； 如图，PP′⊥平面α，P′为垂足， 线段PP′的长度即为点P到平面α的距离； 直线到平面的距离：如果一条直线l平行于一个平面α，那么直线l上任意两点到平面α 的距离都相等（证明过程留作习题），从而就可以把直线l上一点M到平面α 的距离定义为直线l到与它平行的平面α的距离； 9、直线和这个平面所成的角 文字语言 图形语言 一条直线l与一个平面α虽然相交，但不垂直，称之为斜交； 这条直线l称为平面α的斜线；斜线l和平面α的交点A叫做斜足； 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的投影（也称射影）； 平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 另外，我们约定，如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；如果一条直线和平面平行或在该平面上，就说二者所成的角是00的角 求斜线和平面所成的角的一般步骤： （1）作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足 和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为斜线和平面所成的角； （2）证：证明（1）中所作出的角就是所求直线与平面所成的角；（注：关键证明线面垂足，即证得斜线在面内的射影）； （3）求：通过解三角形（通常是直角三角形），求出（1）中所作的角的大小． 10、三垂线定理 文字语言 符号语言 图形语言 三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直； 已知 PO、PA分别是 平面的垂线、斜线， OA是PA在平面上 的射影，a ；则 a⊥OAa⊥PA. 【注意】创造出符合三垂线定理的条件： 题型1、准确把握角的概念 例1、（1）若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是（ ） A．直线上所有的点都在平面外 B．直线上有无数多个点都在平面外 C．直线上有无数多个点都在平面内 D．直线上至少有一个点在平面内 （2）下列命题中正确的个数是（ ） ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行； ③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b在平面α外，那么b∥α. A．0 B．1 C．2 D．3 【说明】1、在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断； 2、若直线a⊂平面α，则平面α内的直线与直线a有平行或相交的关系；若直线a与平面α相交，则平面α内的直线与直线a有相交或异面的关系；若a∥α，则平面α内的直线与直线a有平行或异面的关系； 题型2、准确理解直线与平面平行的位置关系 例2、（1）能保证直线a与平面α平行的条件是(　　) A．b⊂α，a∥b B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c C．b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，且AC∥BD D．直线a在平面α外，b⊂α，a∥b （2）如果直线a∥直线b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(　　) A．相交 B．b∥α C．b⊂α D．b∥α或b⊂α 【说明】判别线面平行，通常可以从视角：1、利用定义，证明线面无公共点，一般利用反证法来验证；2、利用直线与平面平行的判定定理；3、利用平面与平面平行的性质； 题型3、直线与平面平行的判定 例3、（1）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是 （2）如图，点P在平面四边形ABCD外， 底面ABCD为梯形，AB∥CD， PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点； 求证：BE∥平面PAD； 【说明】1、一种转化：直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化． 2、判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用定义，证明线面无公共点，一般利用反证法来证明；（2）利用直线与平面平行的判定定理；（3）利用平面与平面平行的性质； 题型4、直线与平面平行的性质及其应用 例4、（1）如图，已知AB与CD是异面直线， 且AB∥平面α，CD∥平面α， AC ∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝G，BC∩α＝H. 求证：四边形EFGH是平行四边形． （2）如图，已知四边形ABCD是平行四边形， 点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点， 在DM上取一点G， 过G和AP作平面交平面BDM于GH. （1）求证：AP∥平面BDM； （2）若G为DM中点，求证：＝； 【说明】1、直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行；2、线面平行的判定与性质定理经常交替使用：先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，可称为平行链，如下图： 线线平行线面平行线线平行； 题型5、对直线与平面垂直位置关系的理解 例5、（1）试判断下面说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． ①垂直于同一条直线的两直线平行．(　　) ②一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(　　) ③一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．(　　) ④如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线所确定的平面．(　　) ⑤垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．(　　) ⑥过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．(　　) （2）已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m∥n，m⊥α⇒n⊥α ②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n ③m∥n，m∥α⇒n∥α ④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β 其中正确命题的序号是(　　) A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【说明】直线和平面垂直的定义中的“任何一条”与“所有”表达相同的含义，当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线；判断和证明直线与平面垂直的常见方法有：①定义法；②判定定理，要寻找平面内的两条相交直线； 题型6、准确把握角的概念 例6、（1）下列说法正确的是(　　) A．垂直于同一条直线的两直线平行 B．垂直于同一条直线的两直线垂直 C．垂直于同一个平面的两直线平行 D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行 （2）已知a，b是异面直线，α∩β＝c，a⊥α，b⊥β，直线l⊥a，l⊥b，求证：l∥c. 【说明】证明线线平行的常见方法有：1、利用线线平行定义：证共面且无公共点；2、利用平行公理：证明两线同时平行于第三条直线；3、利用线面平行的性质定理；4、利用面面平行的性质定理；5、利用线面垂直的性质定理； 题型7、对三垂线的理解与初步应用 例7、（1） （1）若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，有下列关系： ① ②平面 ③ ④， 其中正确的是___________. 【说明】本题主要考查了三垂线定理，线面垂直，线线垂直的判断，熟记线面垂直的判定定理和性质即可； （2）已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC上的射影一定是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【说明】三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直 的充要条件是 它和这条斜线在平面上的投影垂直； 题型8、对点到这个平面的距离的理解与求法 例8、（1）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________． （2）已知在△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝.S是△ ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离． 【说明】1、从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等换法转换求解； 2、线面距与面面距： （1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离； （2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离； 题型9、直线与平面所成的角及其求法 例9、（1）等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________． （2）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中． ①求A1B与平面AA1D1D所成角的大小； ②求A1B与平面BB1D1D所成角的大小． 【说明】求直线与平面所成的角的步骤 1、作（找）——作（找）出直线和平面所成的角；寻找过斜线上一点与平面垂直的直线； 2、证——证明所作或找到的角就是所求的角并指出线面的平面角；连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角 3、求——常用解三角形的方法（通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形）；把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角; 4、答——注意：直线与平面所成的角θ的取值范围是：[0°, 90°]; 题型10、直线与平面的相关综合题 例10、（1）如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径， C是圆周上一点，其中AC＝3，PA＝4，BC＝5， 则PB与平面PAC所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. （2）如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形． ①求证：AB∥平面EFGH； ②若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围； 1、两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题： ①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行； ③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点． 其中正确的个数是 （个） 2、如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是 (填序号)． 3、如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为 4、已知在平面内，，平面，则直线与的位置关系是________. 5、如图所示，四边形ABCD是梯形， AB∥CD，且AB∥平面α， AD，BC与平面α分别交于点M，N，且M是AD的中点， AB＝4，CD＝6，则MN＝________. 6、如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1； 则点B与D1到平面A1C1CA的距离分别是 ， ； BC1到平面ADD1A1的距离是 ； 7、直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面（ ） A．有且只有一个 B．有无数多个 C．有且只有一个或不存在 D．不存在 8、下列命题中，正确的是（ ） A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α B．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α 9、如图所示，已知两条异面直线AB与CD， 平面MNPQ与AB，CD都平行， 且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上， 求证：四边形MNPQ是平行四边形； 10、如图所示，在Rt△BMC中， 斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4， ∠MBC＝60°， 求MC与平面ABC所成角的正弦值； ( 17 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$