专题01线线角、线面角、二面角问题（三大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020必修第三册）

专题01线线角、线面角、二面角问题 空间角的求法： 求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算． (1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)． (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)． (3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法． 题型一：空间中直线与直线所成的角 1．（2022秋•静安区校级期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，． （Ⅰ）证明平面； （Ⅱ）求异面直线与所成角的大小． 2．（2022秋•黄浦区校级月考）已知正方体． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求证：平面． 3．（2023秋•青浦区校级月考）如图所示圆锥中，为底面的直径，，分别为母线与的中点，点是底面圆周上一点，若，，圆锥的高为． （1）求圆锥的侧面积； （2）求异面直线与所成角的大小． 4．（2021秋•嘉定区期末）如图，直三棱柱中，，，点是的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的大小． （结果用反三角函数值表示） 5．（2023秋•松江区校级期中）在四面体中，各棱长均相等，、分别是、的中点，、分别是、边上的点，且． （1）求证：、、、四点共面； （2）求异面直线和所成角的大小． 6．（2022·上海浦东新·高二期末）如图，在正方体中. (1)求异面直线和所成的角的余弦值； (2)求证：直线平面. 7．（2021·上海中学高二阶段练习）如图，长方体中，，，点为的中点． (1)求证：直线∥平面PAC； (2)求异面直线与AP所成角的大小. 题型二：空间中直线与平面所成的角 1．（2023秋•浦东新区校级期末）在圆锥中，是底面圆周上一点．设的长为1，且圆锥的侧面展开图是半圆． （1）记圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积　　（用，表示）；在本题中，求圆锥的侧面积； （2）求母线与底面所成角的大小． 2．（2022秋•长宁区校级期中）已知在正三棱柱中，，点、分别为棱、的中点． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求四面体的体积． 3．（2023秋•浦东新区期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由． 4．（2023秋•普陀区校级期中）如图，在三棱锥中，和都是等腰直角三角形，，，二面角的大小为． （1）求证：直线与直线不垂直； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 5．（2021·上海市大同中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，垂直于底面，，、分别为、的中点. （1）求证：； （2）求与平面所成的角. 6．（2021·上海市进才中学高二期中）已知正四棱锥中，，； (1)求侧棱与底面所成角的正弦值； (2)求正四棱锥的体积 题型三：二面角 1．（2023秋•闵行区校级期末）某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动．处有一栋大楼，某学生选、（与在同一水平面上）两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼（大楼与水平面垂直）楼顶的仰角为． （1）求，两点间的距离； （2）求大楼的高度及二面角的正切值． 2．（2023秋•浦东新区期末）如图，在长方体中，，． （1）求二面角的正切值； （2）设三棱锥的体积为，是否存在体积为为正整数），且十二条棱长均相等的直四棱柱，使得它的所有棱长和为24，若存在，求出该直四棱柱底面菱形的内角的大小；若不存在，请说明理由． 3．（2022秋•奉贤区校级月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，平面，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正切值； （3）求点到平面的距离． 4．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，点在圆柱的底面圆周上，为圆的直径，圆柱的侧面积为，，． （1）求三棱锥的表面积； （2）求二面角的大小． 5．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，在棱长为1的正方体中，点、分别为棱、中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小． 6．（2022秋•黄浦区校级期中）如图，在正方体中． （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求二面角的大小． 7．（2021秋•徐汇区校级期中）如图，几何体中，是正三角形，和都垂直于平面，且，，，分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 8．（2023秋•普陀区校级期中）在直角三角形中，已知，，，为线段上除端点外任意一点（如图，将三角形沿折成直二面角（如图． （1）若为中点，求直线与平面所成角的正切值； （2）若为中点，求二面角的正切值； （3）翻折后的是否存在最小值，若存在，请给出；若不存在，请说明理由． 9．（2022·上海·复旦附中高二期中）如图所示，某农户拟在院子的墙角处搭建一个谷仓，墙角可以看作如图所示的图形，其中OA、OB、两两垂直（OA、OB、均大于2米）．该农户找了一块长、宽分别为2米和1米的矩形木板．将木板的一边紧贴地面，另外一组对边紧贴墙面，围出一个三棱柱（无盖）形的谷仓． (1)若木板较长的一边紧贴地面，且围成的谷仓体积为立方米，问：此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为多少？ (2)应怎样摆放木板，才能使得围成的谷仓容积最大？并求出该最大值． 10．（2021·上海·格致中学高二期中）在四棱锥中，底面为梯形，，为正三角形，且，，四棱锥的体积为． (1)求证：平面； (2)求PC与平面ABCD所成角的正弦值； (3)设平面平面，求证：，并求二面角的大小． 11．（2021·上海中学高二期中）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是线段AB、CD的中点，，，将沿DM翻折，在翻折过程中A点记为P点． (1)从翻折至的过程中，求点P运动的轨迹长度； (2)翻折过程中，二面角P−BC−D的平面角为θ，求的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01线线角、线面角、二面角问题 空间角的求法： 求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算． (1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)． (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)． (3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法． 题型一：空间中直线与直线所成的角 1．（2022秋•静安区校级期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，． （Ⅰ）证明平面； （Ⅱ）求异面直线与所成角的大小． 【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直 【分析】（Ⅰ）通过证明，来证得平面； （Ⅱ）判断出异面直线与所成角，解三角形求得角的大小． 【解答】证明：（Ⅰ）由于四边形是矩形，所以， 由于，所以， 由于，，平面，所以平面． 解：（Ⅱ）由于，所以平面， 由于平面，所以， 所以是异面直线与所成角， ， 所以，由于是锐角，所以． 【点评】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题． 2．（2022秋•黄浦区校级月考）已知正方体． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求证：平面． 【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直 【分析】（1）根据正方体的性质可得，进而可得异面直线与所成角的大小即直线与所成角，再根据求解即可即可； （2）根据线面垂直的证明可得平面，从而得到，同理可得，结合线面垂直的判定证明即可． 【解答】解：（1）如图，因为为正方体，故得且， 故四边形为平行四边形，故，所以异面直线与所成角的大小即直线与所成的角． 根据正方形对角线等长可得，故． 即异面直线与所成角的大小为． 证明：（2）如图，根据正方体的性质可得，且平面，又平面，故， 又，，平面，故平面，又平面，故． 同理，且，，平面，故平面，即得证． 【点评】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题． 3．（2023秋•青浦区校级月考）如图所示圆锥中，为底面的直径，，分别为母线与的中点，点是底面圆周上一点，若，，圆锥的高为． （1）求圆锥的侧面积； （2）求异面直线与所成角的大小． 【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【分析】（1）根据已知条件求出圆锥的底面半径和母线长，然后根据圆锥的侧面积公式求解即可； （2）连接，，可得为异面直线与所成的角或其补角，在中，利用余弦定理求解即可． 【解答】解：（1）设圆锥底面半径为，母线长为，因为为直径，是的中位线， 所以，， 所以侧面积； （2）连接，，由，分别为，的中点，得， 所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中，，，取中点为，连接，，则， ，所以， 在中，， 所以异面直线与所成角的大小为． 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查运算求解能力，是中档题． 4．（2021秋•嘉定区期末）如图，直三棱柱中，，，点是的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的大小． （结果用反三角函数值表示） 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角 【分析】（1）结合三棱锥的体积公式即可求解； （2）通过平移法，先找出两直线所成的角，然后结合余弦定理可求． 【解答】解：（1） ． 所以三棱锥的体积为， 即所求三棱锥的体积为． （2）联结， 由题意得，，且， 所以直线与所成的角就是异面直线与所成的角． 在△中，， ， 由余弦定理得， 因为，所以． 因此所求异面直线与所成角的大小为． 【点评】本题主要考查了三棱锥的体积求解，还考查了异面直线所成角的求解，属于中档题． 5．（2023秋•松江区校级期中）在四面体中，各棱长均相等，、分别是、的中点，、分别是、边上的点，且． （1）求证：、、、四点共面； （2）求异面直线和所成角的大小． 【考点】共面直线及四点共面 【分析】（1）根据条件，证明，即可证得、、、四点共面； （2）以，，为基底，将表示出来，利用向量的夹角公式求得夹角余弦值，进而得出两异面直线所成角的大小． 【解答】（1）证明：因为、分别是、的中点，所以， 由、分别是、边上的点，且，可得， 所以， 故、、、四点共面； （2）解：由题意，在四面体中，各棱长均相等，设棱长为1， 则有，且， 由，可得，又是中点，可得， 则 ， 所以， ， 所以， 故直线和所成角的余弦值为， 即直线和所成角的大小为． 【点评】本题考查空间四点共面的判定，考查异面直线所成角的大小，属中档题． 6．（2022·上海浦东新·高二期末）如图，在正方体中. (1)求异面直线和所成的角的余弦值； (2)求证：直线平面. 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据已知，可将异面直线和所成的角转化为直线和所成的角，再根据题目的边长关系，即可完成求解； （2）可通过连接，证明四边形为平行四边形，从而得到，再利用线面平行的判定定理即可完成证明. (1)因为，所以就是异面直线和所成的角.又因为为正方体，所以异面直线和所成的角为，所以异面直线和所成的角的余弦值为. (2) 连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以；平面，平面；所以直线平面. 即得证. 7．（2021·上海中学高二阶段练习）如图，长方体中，，，点为的中点． (1)求证：直线∥平面PAC； (2)求异面直线与AP所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2)30°. 【分析】(1)和交于点，由即能证明直线∥平面． (2)由，得即为异面直线与所成的角．由此能求出异面直线与所成角的大小． (1)设和交于点，则为的中点， 连结，又∵是的中点，∴， 又∵平面，平面， ∴直线∥平面； (2)由(1)知，，∴即为异面直线与所成的角， ∵，且， ∴． 又，，∴ 故异面直线与所成角的大小为． 题型二：空间中直线与平面所成的角 1．（2023秋•浦东新区校级期末）在圆锥中，是底面圆周上一点．设的长为1，且圆锥的侧面展开图是半圆． （1）记圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积　　（用，表示）；在本题中，求圆锥的侧面积； （2）求母线与底面所成角的大小． 【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【分析】（1）根据题意，由圆锥侧面积公式可得第一空答案，由圆锥的结构特征可得，即可得的值，计算可得答案； （2）根据题意，易得为母线与底面所成角，结合三角函数的定义此计算可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，圆锥的底面圆半径为，母线长为， 则圆锥的侧面积， 本题中，圆锥的侧面展开图是半圆，则有， 则， 故该圆锥的侧面积； （2）由图可知，为母线与底面所成角， ， ， 母线与底面所成角为． 【点评】本题考查圆锥的侧面积，考查直线与平面所成的角，是中档题． 2．（2022秋•长宁区校级期中）已知在正三棱柱中，，点、分别为棱、的中点． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求四面体的体积． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角 【分析】（1）由题意可得平面，从而得即为直线与平面所成的角，再解三角形即可得解； （2）由（1）知是四面体的底面上的高，接着计算的面积及长度，再由三棱锥的体积公式计算即可得解． 【解答】解：（1）由题意可得， 又，，且，平面， 平面， 为直线与平面所成的角， ，， ， 直线与平面所成角的大小为． （2）由已知得． 由（1）知是四面体的底面上的高， 四面体的体积． 【点评】本题主要考查线面角的计算，锥体体积的计算，属基础题． 3．（2023秋•浦东新区期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由． 【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角 【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角，根据三角形的边角关系即可求解； （2）根据几何法求解线面角的几何角，利用三角形的边角关系即可求解． 【解答】解：（1）因为为正方形，则， 则异面直线与所成的角即为与所成的角或其补角， 因为三角形是等边三角形， 所以，则， 因为平面，所以， 所以，即； （2）作交于点，连接，， 因为平面，所以平面， 则与平面所成的角大小为， 设，则， 所以， 则， 故存在点，当时，与平面所成的角大小为． 【点评】本题考查异面直线所成角及线面角的求法，属中档题． 4．（2023秋•普陀区校级期中）如图，在三棱锥中，和都是等腰直角三角形，，，二面角的大小为． （1）求证：直线与直线不垂直； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【考点】直线与平面所成的角 【分析】（1）用反证法，假设，可推得平面平面，与题设矛盾，故假设不成立，即可证得结论； （2）证明平面，即可得为直线与平面所成角，直接求其正弦值即可． 【解答】（1）证明：若，则由，可知：平面， 又平面，所以平面平面， 这与二面角的大小为相矛盾， 故直线与直线不垂直； （2）解：取中点，中点，连接，，， 由题意，，， 所以即为二面角的平面角，即， 又由题设知：，所以为正三角形， 取的中点，连接，，则有， 又平面，所以，又， 所以平面，即为直线与平面所成角， 又，，所以， 故，即直线与平面所成角的正弦值为． 【点评】本题考查空间中的垂直关系，考查线面角的求法，属中档题． 5．（2021·上海市大同中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，垂直于底面，，、分别为、的中点. （1）求证：； （2）求与平面所成的角. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由题设易得，由已知及线面垂直的性质有面，根据线面垂直的判定可证、，再由线面垂直的判定及平行的推论可得面，最后由线面垂直的性质证结论. （2）若与平面所成角为，由线面垂直易知，即可求线面角的大小. 【详解】（1）由即，又，有， ∵面，面， ∴，而，则有面， 又面，则， 由面，有，且，为的中点，则， 又为的中点，有，即，而， 又，则，即共面， ∴面，而面，故. （2）由（1）知：面，若与平面所成角为，且， ∴ ，则，故. 6．（2021·上海市进才中学高二期中）已知正四棱锥中，，； (1)求侧棱与底面所成角的正弦值； (2)求正四棱锥的体积 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由于正四棱锥，故顶点在底面的投影在底面的中心，连结 分析可得即为侧棱与底面所成角，利用题干长度关系求解即可 （2）由于平面，故，计算即可 (1)由于正四棱锥，故顶点在底面的投影在底面的中心，连结 故平面，即为侧棱与底面所成角 由，，故 又平面，平面，故 故 即侧棱与底面所成角的正弦值为 (2)由（1）平面，且 故 即正四棱锥的体积为 题型三：二面角 1．（2023秋•闵行区校级期末）某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动．处有一栋大楼，某学生选、（与在同一水平面上）两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼（大楼与水平面垂直）楼顶的仰角为． （1）求，两点间的距离； （2）求大楼的高度及二面角的正切值． 【考点】二面角的平面角及求法；解三角形 【分析】（1）在中，，根据正弦定理可知，即可得出答案． （2）在中，，过点作，垂足为，可得二面角的平面角为，，即可得出答案． 【解答】解：（1）在中，， 根据正弦定理可知：，则， 所以． （2）在中，，则， 所以， 过点作，垂足为， 因为面，面， 所以， 又， 所以面， 所以二面角的平面角为， 在中， ， ， 所以大楼的高度为，二面角的正切值为． 【点评】本题考查正弦定理，考查三角函数在实际中应用． 2．（2023秋•浦东新区期末）如图，在长方体中，，． （1）求二面角的正切值； （2）设三棱锥的体积为，是否存在体积为为正整数），且十二条棱长均相等的直四棱柱，使得它的所有棱长和为24，若存在，求出该直四棱柱底面菱形的内角的大小；若不存在，请说明理由． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法 【分析】（1）过作交于，连接由线面垂直的性质定理可得，再由等面积法可得的长，则二面角的正切值，即可得出答案． （2）由等体积法可得，由十二条棱长均相等的直四棱柱，使得它的所有棱长和为24，则每条棱的长度为2，设菱形的一个角为，则底面积为，则直四棱柱的体积为，进而可得答案． 【解答】解：（1）过作交于，连接， 为正方体，则平面， 又在底面的投影为， ，且， 则二面角的正切值． （2）三棱锥的体积为， 因为十二条棱长均相等的直四棱柱，使得它的所有棱长和为24，则每条棱的长度为2， 设菱形的一个角为，则底面积为， 则直四棱柱的体积为，即， 为正整数， 不妨取，则，即， 则存在体积为为正整数），且十二条棱长均相等的直四棱柱，使得它的所有棱长和为24，且菱形的内角为． 【点评】本题考查二面角，几何体的体积，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 3．（2022秋•奉贤区校级月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，平面，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正切值； （3）求点到平面的距离． 【考点】平面与平面垂直；二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算 【分析】（1）设，连接，由已知得，从而得到平面，由此能证明平面平面； （2）过点作垂直于点，连接，由线面垂直的判定可得平面，平面，得到二面角的平面角为，求解直角三角形得答案； （3）在底面作，垂足为，根据平面可知点到平面的距离就是点到平面的距离，求出即可求出点到平面的距离． 【解答】证明：（1）设，连接， 菱形，是中点， 为的中点，， 平面， 平面， 又平面， 故平面平面． 解：（2）过点作垂直于点，连接， 由，平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 因为平面，所以，，，，平面，平面． 二面角的平面角为， 因为底面是边长为1的菱形，，，则为等边三角形， 所以，，又，所以， 所以， 在直角中，． 解：（3）在底面作，垂足为， 平面，平面，所以， ，，平面， 所以平面， 所以平面， 所以点到平面的距离就是点到平面的距离， 在中，，，， 所以，即点到平面的距离为． 【点评】本题主要考查二面角以及点到平面的距离，属于中档题． 4．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，点在圆柱的底面圆周上，为圆的直径，圆柱的侧面积为，，． （1）求三棱锥的表面积； （2）求二面角的大小． 【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【分析】（1）由圆柱的性质结合题意可较易证明构成三棱锥的面为直角三角形，求出对应各三角形的边长，即可得出三棱锥的表面积； （2）找出二面角的平面角，求出平面角即为二面角的大小． 【解答】解：（1）由题意知：，圆柱的侧面积为：， ，，， ， 又为圆直径，为直角三角形， ，， ，， 又：，与圆所在的平面垂直，平面， ， 又，平面， ， 又：，， ．． （2）如图所示： 延长交圆于点，过作于点， 由（1）可知：与圆所在的平面垂直，在圆所在的平面内，， ，平面，， 又为平面与平面的交线， 为二面角的平面角， ，△为直角三角形，， ， ， 即：二面角的大小为：． 【点评】本题主要考查二面角的平面角，属于中档题． 5．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，在棱长为1的正方体中，点、分别为棱、中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小． 【考点】直线与平面垂直；二面角的平面角及求法 【分析】（1）先证明，再证明即可． （2）先证明为二面角的平面角，再根据求解即可． 【解答】解：（1）如图，在平面上的射影为， 由、分别为棱、中点， 故， 同理，，所以平面． （2）作，为垂足，连，则， 故为二面角的平面角． 又， 故， 所以二面角的大小为． 【点评】本题主要考查线面垂直和二面角的平面角，属于中档题． 6．（2022秋•黄浦区校级期中）如图，在正方体中． （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求二面角的大小． 【考点】异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法 【分析】（1）判断平面，求出异面直线和所成角的大小． （2）作于，连接，所以为的平面角，则的平面角的大小为，由此能求出二面角的大小． 【解答】解：（1）连结，交 于，正方体中， 所以，，所以平面， 所以， 异面直线和所成角的大小为． （2）作于，连接，所以为的平面角， 则的平面角的大小为， 设正方体的棱长为2，则，，， △，可得， ， ． 二面角的大小为． 【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 7．（2021秋•徐汇区校级期中）如图，几何体中，是正三角形，和都垂直于平面，且，，，分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 【考点】直线与平面平行；二面角的平面角及求法 【分析】（1）连，，由已知中是的中点，结合三角形中位线的性质，可得平行且等于的一半，又由、都垂直于平面，且，，可得四边形是平行四边形，进而得到，由线面平行的判定定理即可得到平面； （2）易知平面，所以为的射影，故分别计算面积可求二面角的余弦值，从而得解． 【解答】（1）证明：、分别为、的中点， ，且， 又、都垂直于面，，又， 所以，， 四边形为矩形， ，又面，面 面． （2）解：设二面角的大小为， 易知平面，所以，在中可得， 在中可得，又，在中边上的高为， 所以， 又是正三角形，所以， 又垂直于平面，，所以平面，所以， 又平面，所以为的射影， ，， 所以二面角的正切值为． 【点评】本题以多面体为载体，考查直线与平面平行的判定，熟练掌握线面平行的判定方法及证明步骤是解答本题的关键． 8．（2023秋•普陀区校级期中）在直角三角形中，已知，，，为线段上除端点外任意一点（如图，将三角形沿折成直二面角（如图． （1）若为中点，求直线与平面所成角的正切值； （2）若为中点，求二面角的正切值； （3）翻折后的是否存在最小值，若存在，请给出；若不存在，请说明理由． 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角 【分析】根据折叠前和折叠后的线线关系，线面关系，运用几何法将线面角，面面角找出并证明，求解相应的值即可解答（1）（2）；根据在翻折之前的中， 当时，翻折后最小，即可求解（3）． 【解答】解：（1）过作交的延长线与，连接， 二面角为直二面角，平面平面， ，平面， 即为直线与平面所成角， 由，，，可得， 为中点，，，， 平面，， 在中，， 在中，， 在中，； （2）过作交于点，连接， 平面，， ，， 平面，， 即为二面角的平面角， 由（1）可知：，， 在中，，，， ， ， ，解得， 在中，，， ， ； （3）在翻折之前的中， 当时，翻折后最小， 此时，，故． 【点评】本题主要考查线面角和二面角的求法，属中档题． 9．（2022·上海·复旦附中高二期中）如图所示，某农户拟在院子的墙角处搭建一个谷仓，墙角可以看作如图所示的图形，其中OA、OB、两两垂直（OA、OB、均大于2米）．该农户找了一块长、宽分别为2米和1米的矩形木板．将木板的一边紧贴地面，另外一组对边紧贴墙面，围出一个三棱柱（无盖）形的谷仓． (1)若木板较长的一边紧贴地面，且围成的谷仓体积为立方米，问：此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为多少？ (2)应怎样摆放木板，才能使得围成的谷仓容积最大？并求出该最大值． 【答案】(1)和 (2)体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45° 【分析】（1）利用设二面角为或三棱柱底面的一条直角边长为两种方法进行求解即可； （2）用（1）中的或表示谷仓容积，再利用三角函数和基本不等式，进行求最值即可得解. (1)法一：设其中一个锐二面角的大小为， 则三棱柱底面的两条直角边长分别为、，高为1， 体积，解得或， 所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为和． 法二：设三棱柱底面的一条直角边长为， 则另一条直角边长为，高为1， 体积，解得x＝1或， 所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为和． （2）法一：同（1）中法一所设， 若长边紧贴底面，体积， 等号当且仅当时成立； 若短边紧贴底面，体积， 等号当且仅当时成立； 显然，所以体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地， 与两个墙面所成锐二面角均为45°． 法二：同（1）中法二所设， 若长边紧贴底面，体积， 等号当且仅当时成立； 若短边紧贴底面，体积， 等号当且仅当时成立； 显然，所以体积最大值为1立方米， 此时木板长边贴地， 与两个墙面所成锐二面角均为45°（也可描述底面两条直角边长）． 10．（2021·上海·格致中学高二期中）在四棱锥中，底面为梯形，，为正三角形，且，，四棱锥的体积为． (1)求证：平面； (2)求PC与平面ABCD所成角的正弦值； (3)设平面平面，求证：，并求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合题意，即可得证. （2）根据面面垂直的判定、性质定理，结合正三角形的性质，可证平面ABCD，则即为PC与平面ABCD所成角，据四棱锥的体积，可求得CD长，在中，求得各个边长，即可得答案. （3）根据线面平行的判定和性质定理，可证，结合题意，可得，同理，则即为二面角所成的平面角，根据三角形性质，即可得答案. (1)证明：因为，所以， 因为，所以， 又因为，即，且平面， 所以平面； (2)因为平面，平面ABCD， 所以平面平面ABCD， 取AD中点Q，连接PQ，CQ， 因为为正三角形，Q为AD中点， 所以，又平面平面ABCD，且平面平面ABCD=AD， 所以平面ABCD， 所以即为PC与平面ABCD所成角， 在中，， 设CD长为x， 则四棱锥的体积， 求得CD长， 在中，， 在中，， 所以， 所以PC与平面ABCD所成角的正弦值为 (3)证明：因为，平面PCD，平面PCD， 所以平面PCD， 又平面，且平平面， 所以. 因为，， 所以，同理， 所以即为二面角所成的平面角， 因为为正三角形， 所以，即二面角的大小为. 11．（2021·上海中学高二期中）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是线段AB、CD的中点，，，将沿DM翻折，在翻折过程中A点记为P点． (1)从翻折至的过程中，求点P运动的轨迹长度； (2)翻折过程中，二面角P−BC−D的平面角为θ，求的最大值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）取DM的中点E，则从翻折至的过程中，点P运动的轨迹是以点E为圆心，AE为半径的半圆，由此可求得点P运动的轨迹长度. （2）由（1）得，连接AN，并延长交BC延长线于F，过P作，再过点O 作，则就是二面角P−BC−D的平面角θ，设，，，可得，令，运用辅助角公式和正弦函数的性质可求得最大值. (1)解：取DM的中点E，则从翻折至的过程中，点P运动的轨迹是以点E为圆心，AE为半径的半圆， 因为，，所以，所以点P运动的轨迹长度为. (2)解：由（1）得，连接AN，并延长交BC延长线于F，，折起后，有面，过P作，则面，再过点O 作，则就是二面角P−BC−D的平面角θ， 设， ，， ， 令，所以，所以，解得. 所以的最大值为.     原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$