专题04平面与平面的位置关系九大题型（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第三册

专题04 平面与平面的位置关系 题型一：平面与平面平行的判定 题型二：补全面面平行的条件 题型三：面面平行的性质 题型四：二面角（定值） 题型五： 二面角（最值范围） 题型六：根据二面角求参数 题型七：证明面面垂直 题型八：补全面面垂直的条件 题型九：面面垂直的性质及其应用 题型一：平面与平面平行的判定 1．设，为两个不同的平面，则“”是“内有无数条直线与平行”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知为两条不同直线，为三个不同平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．如图，在正三棱柱中，，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与直线所成角的大小． 4．如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，分别是棱的中点，是的中点． (1)证明：； (2)证明：平面平面； 5．如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)取中点，求证：平面平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 题型二：补全面面平行的条件 6．如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离； (3)试在线段上确定一点，使得平面平面，并给出证明． 7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，E是的中点． (1)求证：； (2)设与交于O点，是否存在上一点F，使得平面平面，若存在请指出F点的位置，并说明理由． 8．如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 9．如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：在上存在一点P，使得平面平面DCF． 10．如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 题型三：面面平行的性质 11．在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则（   ） A． B． C． D． 12．已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 13．如图，空间六面体中，，，平面平面为正方形，平面平面.求证：； 14．如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 15．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点. (1)求证：； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由. 题型四：二面角（定值） 16．如图，三棱柱中，侧面是菱形，侧面是正方形，，点是的中点，二面角平面角的大小为，则的长为 . 17．如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则棱的长为 ：二面角的大小为 . 18．三棱锥中，，且，则当该三棱锥的体积最大时二面角的正切值为 . 19．如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为 ． 20．如图，在三棱锥中，，，，，若三棱锥的体积为，则二面角的大小为 . 题型五： 二面角（最值范围） 21．多面体为正方体，点满足，且，直线与平面所成角为，若二面角的大小为，则的最大值是 . 22．如图，在正方体中，，是棱上任一点，若平面和平面所成的角为，则的最小值为 ． 23．如图，矩形中，分别为边上的定点，且，分别将沿着向矩形所在平面的同一侧翻折至与处，且满足，分别将锐二面角与锐二面角记为与，则的最小值为 . 24．已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示，沿将四边形翻折成，设二面角的大小为，在翻折过程中，当二面角取得最大角，此时的值为（    ） A． B． C． D． 25．已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示，沿将四边形翻折成，则在翻折过程中，二面角的大小为，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 题型六：根据二面角求参数 26．在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，二面角为，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 27．如图，在平行四边形中，，，，现将沿直线翻折至，使得点到达点的位置，且二面角的平面角等于，则直线与平面所成的角为（    ）． A． B． C． D． 28．如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，平面与平面的锐二面角的余弦值为，求该三棱柱的体积． 29．如图1，在等腰梯形ABCD中，，将沿边AC翻折，使点翻折到点，连接PB，得到三棱锥，如图2，其中． (1)证明：平面PAC． (2)若，求三棱锥的体积． (3)若，试问在侧棱PC上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出CE的长度；若不存在，请说明理由． 30．如图1，在平行四边形中，，，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，经过直线且与直线平行的平面为，平面平面，平面平面. (1)证明：. (2)若二面角的大小为，求的长. 31．如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点.    (1)求证：平面平面； (2)当二面角的大小为时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 32．平行四边形中，，，为边的中点，将沿着直线翻折为，若为线段的中点，在翻折过程中，    (1)求证：平面； (2)若二面角，求与平面所成角的正弦值． 题型七：证明面面垂直 33．如图所示，已知三棱锥中，⊥底面，，D、F分别为AC、PC的中点，⊥于E. (1)求证：⊥平面； (2)求证：平面⊥平面. 34．如图所示，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且，.求证：平面ABC⊥平面BSC.    35．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱的中点．求证：    (1)平面； (2)平面平面； 36．如图，在三棱锥中，、、分别为棱、、的中点．已知，，，. 求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 37．如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且，在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； 题型八：补全面面垂直的条件 38．如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.    (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论. 39．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD． (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB； (3)求二面角A﹣BC﹣P的大小； (4)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论． 40．如图所示，在正四棱柱中，是线段上的动点. （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 41．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，点D是线段AB上的动点． （1）当点D是AB的中点时，求证：AC1∥平面B1CD； （2）线段AB上是否存在点D，使得平面ABB1A1⊥平面CDB1？若存在，试求出AD的长度；若不存在，请说明理由． 42．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）在棱上是否存在一点，使平面平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由 题型九：面面垂直的性质及其应用 43．如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2．求证：平面. 44．如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且.证明：平面. 45．如图所示，斜三棱柱的各棱长均为， 侧棱与底面所成角为，且侧面底面.证明：点在平面上的射影为的中点.    46．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； 47．如图，在三棱锥中，E是线段AD的中点，F是线段CD上的一点．    (1)若平面，试确定F在CD上的位置，并说明理由； (2)若F为CD的中点，且，平面平面，证明：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平面与平面的位置关系 题型一：平面与平面平行的判定 题型二：补全面面平行的条件 题型三：面面平行的性质 题型四：二面角（定值） 题型五： 二面角（最值范围） 题型六：根据二面角求参数 题型七：证明面面垂直 题型八：补全面面垂直的条件 题型九：面面垂直的性质及其应用 题型一：平面与平面平行的判定 1．设，为两个不同的平面，则“”是“内有无数条直线与平行”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据面面平行性质以及线面平行性质判断即可. 【详解】易知当“”时，一定满足“内有无数条直线与平行”，因此充分性成立； 若“内有无数条直线与平行”，此时可能相交，有无数条直线与两平面的交线平行，即必要性不成立； 所以“”是“内有无数条直线与平行”成立的充分不必要条件. 故选：A 2．已知为两条不同直线，为三个不同平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据线面平行、面面平行的性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 若，所以可能平行也可能异面，所以A错误； 对于选项B： 若，所以可能与平面平行，也可能在平面内，所以B错误； 对于选项C： 若，那么，也可能平面相交，所以C错误； 对于选项D： 根据平行平面的传递性，若，则.所以D正确. 故选：D. 3．如图，在正三棱柱中，，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与直线所成角的大小． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由是正三棱柱，分别证明，，再根据线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）根据线面平行的判断定理分别证明平面，平面，再根据面面平行的判定定理即可证明平面平面； （3）连接交于点，连接，得到，得到（或其补角）就是异面直线与所成的角，通过计算得到，由等腰三角形的三线合一可知，即可求出直线与直线所成角的大小. 【详解】（1）由题意知是正三角形，是的中点，， 又是正三棱柱， 平面，平面，. 又平面，平面，， 平面； （2） 连接， ，，且， 四边形是平行四边形， 又平面，平面，平面. 又分别是的中点，，且， 四边形是平行四边形， 又平面，平面，平面. 又平面，平面，， 平面平面； （3）连接交于点，连接， 分别是的中点，， （或其补角）就是异面直线与所成的角， 设，，， ，，. 又是的中点，，即. 直线与直线所成角的大小为. 4．如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，分别是棱的中点，是的中点． (1)证明：； (2)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据等腰三角形性质以及线面垂直的性质可得线线垂直，利用线面垂直判定以及性质，可得答案； （2）利用平行四边形的性质可得线线平行，根据线面平行的判定与面面平行的判定，可得答案. 【详解】（1）∵是棱的中点，，∵，∴为等腰三角形， 又∵是的中点，∴，∵平面，平面， ∴，又，平面，∴平面， 又∵平面，∴． （2）∵是棱的中点，， ，且，四边形为平行四边形，则， 即，平面，平面，∴平面， 同理平面，又平面， ∴平面平面． 5．如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)取中点，求证：平面平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理推理得证. （2）易证平面，结合（1）可证结论成立. （3）利用几何法求出夹角的余弦. 【详解】（1）在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）由为的中点，为的中点，得，， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而， 平面，所以平面平面． （3）由（1）知，，则是异面直线与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，， 因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 题型二：补全面面平行的条件 6．如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离； (3)试在线段上确定一点，使得平面平面，并给出证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)G为线段上靠近的三等分点，证明见解析 【分析】（1）求证，，再结合线面垂直的判定定理即可； （2）将问题转化为求点到平面的距离，再取的中点为，求证平面，即可求出； （3）在上取点，使，从而，再结合，利用面面平行的判定定理即可求证. 【详解】（1）在等腰梯形中，，， 则四边形是平行四边形，则， 因为，所以为等边三角形，则 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，可得 连接，在中，由余弦定理可， 则，所以，则． 因为、分别是、中点，所以，所以， 从而可得，， 因为，、平面，所以平面； （2）由（1）可知，因平面，平面，则平面， 所以点到平面的距离即为点到平面的距离， 因为是中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的一半． 取的中点为，连接， 因为为等边三角形，所以， 由（1）知，因为，而，则， 又因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，、平面，所以平面， 因为是等边三角形，边长为，故， 所以点到平面的距离为， 故点到平面的距离为； （3）设，则， 在上取点，使，从而， 连接，因为平面，平面，所以平面， 又由（1）可知，，平面，平面， 则平面， 又因为，平面，所以平面平面， 故G为线段上靠近的三等分点时，平面平面． 7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，E是的中点． (1)求证：； (2)设与交于O点，是否存在上一点F，使得平面平面，若存在请指出F点的位置，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)F为的中点， 【分析】（1）由题意知证得，，由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质定理可得. （2）假设F为的中点，由线面平行的判定定理证得平面，平面，再由面面平行的判定定理证得平面平面，所以假设成立，故F为的中点. 【详解】（1）因为侧棱平面，平面， 所以，又因为底面是矩形，所以， 平面，， 所以平面，平面，所以. （2）假设F为的中点，连接，在中，， 所以平面，平面，所以平面， 在中，， 所以平面，平面，所以平面， ，所以平面平面. 故假设成立，F为的中点. 8．如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取PB的中点，连接，由题意可证得且，即证得四边形为平行四边形，再证得结论； （2）取BC的中点，连接，由题意可证得平面平面，由题意可证得重合，再求出的值． 【详解】（1）证明：取PB的中点，连接， 在四棱锥中，底面为正方形，E，F分别为AD，PC的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形，， 而平面平面PBE， 平面； （2）存在满足条件的，且， 证明如下：取BC的中点，连接FQ，DQ，则， 由平面平面平面， 又平面平面， 又平面平面与重合， 即为BC的中点，．    9．如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：在上存在一点P，使得平面平面DCF． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接DE，由线面平行的判定定理分别证明平面，平面，再由面面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点P，连接，，，由面面平行的判定定理，即可证明. 【详解】（1）连接DE，由题意知，，， 即四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面． 同理，四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又，DC，平面， 所以平面平面． （2）如图，取的中点P，连接，，， 由（1）知，又分别是的中点，可得， 因为分别为的中点，所以，则， 又， 平面，平面， 所以平面平面DCF．故结论得证． 10．如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，E为PC中点，证明见解析 【分析】（1）应用线面平行判定定理证明即可； （2）先取点，再应用面面平行判定定理证明即可； 【详解】（1）取AP的中点Q，连接MQ，BQ，    因为M，Q分别为PD，PA的中点， 所以，， 又因为N为BC的中点， 所以，． 所以，， 所以四边形MNBQ为平行四边形，所以， 又因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB． （2）存在点E，当E为PC中点时，平面平面PAB． 证明如下：由图（1）因为A是PD中点，，， 所以且， 所以四边形ABCD是平行四边形，所以． 因为E，M分别为PC，PD中点，所以， 所以， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB， 同理可知平面PAB，又因为平面平面， 所以平面平面PAB．    题型三：面面平行的性质 11．在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设为的中点，则即为所在直线，判断与是异面直线，即可判断A；由，与不垂直，即可判断B；由条件可证得平面，而，可得平面，从而，即可判断C，D. 【详解】设为的中点，连接， ∵为的中点，为的中点，∴， 又∵，∴， ∴四点共面， ∴平面与平面的交线为，则即为所在直线， ∵与是异面直线，即与是异面直线，故A错误； ∵，而在直角中，，则与不垂直， 故与不垂直，即与不垂直，故B错误； ∵平面，平面，∴， 又，，平面， ∴平面，又， ∴平面，即平面， ∵平面，∴，故C错误，D正确， 故选：D. 12．已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用面面平行的性质定理可得，再逐项分析求解即可. 【详解】正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面，所以， 正方体中，且，四边形为平行四边形， 则有，所以，C选项正确； 都与相交，则与都不平行，ABD选项都错误. 故选：C. 13．如图，空间六面体中，，，平面平面为正方形，平面平面.求证：； 【答案】证明见解析 【分析】根据条件可得平面平面，利用面面平行的性质定理即可证明. 【详解】平面平面， 平面. 四边形为正方形，， 平面，平面， 可得平面. 平面平面， 平面平面. 平面平面平面平面， . 14．如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设得，应用线面平行的判定证明平面，同理证平面，再由面面平行的判定和性质即可证明结论； （2）由题设，再由线面平行的判定和性质即可证明结论. 【详解】（1）∵M、N分别为PC、CD的中点， ∴，又平面，平面， ∴平面，同理可证平面， 由都在平面内，则平面平面， 由平面，故：平面； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD，又平面PBC，平面平面， ∴. 15．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点. (1)求证：； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）在梯形中，，可得面，从而证明线面平行； （2）取中点，连接，，证明平面，从而证明面面平行，得到结论. 【详解】（1）在梯形中，，又面，面， 面，面，面面，， ，. （2）取中点，连接，， ，分别为，的中点， ，平面，平面， 平面， 取的中点，连接，则，则，且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为平面平面， 所以平面，，、平面，平面平面， 是上的动点，平面，平面， 当为中点时，平面. 题型四：二面角（定值） 16．如图，三棱柱中，侧面是菱形，侧面是正方形，，点是的中点，二面角平面角的大小为，则的长为 . 【答案】1 【分析】取的中点，连接，由几何性质可得为二面角的平面角，再由余弦定理可得. 【详解】 取的中点，连接， 因为为正三角形，所以， 又侧面是正方形，点是的中点， 所以，即为二面角的平面角，且大小为， 所以，由余弦定理可得，解得. 故答案为：1. 17．如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则棱的长为 ：二面角的大小为 . 【答案】 【分析】由已知条件，根据线面角，面面角的定义求解即可. 【详解】由题意，在长方体中， 四边形是边长为的正方形，且与平面所成角为， 所以平面， 因为平面, 所以, 故与平面所成角为, 所以为等腰直角三角形，且, 所以. 又因为,且平面平面, 所以二面角为. 故答案为：①；②. 18．三棱锥中，，且，则当该三棱锥的体积最大时二面角的正切值为 . 【答案】 【分析】先利用，可计算得到底面面积，当恰好为三棱锥的高时，三棱锥体积最大，此时两两互相垂直，取的中点,连接利用二面角的平面角的定义算出二面角的正切值. 【详解】 依题意可得三棱锥体积为 因为所以当面时，即时三棱锥体积最大，此时两两互相垂直. 取的中点为，连接 因为所以 又因为所以，所以为二面角的平面角，又因为 所以二面角的正切值为 故答案为:. 19．如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为 ． 【答案】/ 【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解三角形求. 【详解】由多面体为正三棱柱可知，为正三角形，且, 取的中点为，连接，，则，， 所以即为二面角的平面角，所以， 在中，，，所以， 所以正三棱柱侧棱长为. 故答案为：. 20．如图，在三棱锥中，，，，，若三棱锥的体积为，则二面角的大小为 . 【答案】/ 【分析】取的中点为，利用线面垂直的判定定理可得平面，为二面角的平面角，设点到的距离为，利用三棱锥的体积求出，再由可得答案. 【详解】取的中点为，连接，因为，所以， 又，，平面，所以平面， 平面，则，所以为二面角的平面角， 且，因为，， 所以，，， 设点到的距离为，则， 三棱锥的体积为，解得， 所以，因为，所以， 则二面角的大小为. 故答案为：. 题型五： 二面角（最值范围） 21．多面体为正方体，点满足，且，直线与平面所成角为，若二面角的大小为，则的最大值是 . 【答案】 【分析】 根据共面的充要条件及线面垂直的判定定理，利用线面垂直的性质定理及线面角的定义，结合二面角的平面角的定义及二次函数的性质即可求解. 【详解】 ∵，且， ∴P在平面上， 设，连接，，且，如图所示 因为平面，又平面， 所以，又，，平面，平面， 所以平面，平面，所以， 同理可得，又，平面，平面， 所以平面， 设正方体的棱长为1，则可知为棱长为的正四面体， 所以为等边三角形的中心， 由题可得，得，所以， 又∵与平面所成角为，则， 可求得，即在以为圆心，半径的圆上，且圆在平面内， 由平面，又∵平面， ∴平面平面，且两个平面的交线为，把两个平面抽象出来，如图所示， 作于点，过点作交于N点，连接PN， ∵平面平面，平面，平面平面， ∴平面，平面， ∴， 又，与为平面中两相交直线， 故平面，平面，∴ ∴为二面角的平面角，即为角， 设，当与点不重合时，在中， 可求得， 若M与点重合时，即当时，可求得，也符合上式， 故， ∵，，∴，∴， ∴， ∴ 令， 则，当，即时等号成立， ∴， 故的最大值是. 故答案为：. 【点睛】 解决此题的关键是根据已知条件作出图形，再利用线面垂直的判定及性质定理，然后根据线面角及二面角的平面角的定义找出所求角，结合三角形相似及二次函数的性质即可. 22．如图，在正方体中，，是棱上任一点，若平面和平面所成的角为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】分类讨论点的位置，当异于时，先作二面角的平面角，并设，进而转化为关于的函数，最后求出该函数的最小值即可 【详解】如下图所示： 当与重合时，可得：； ②当异于时，延长交于点，连接，则为平面与平面的交线，由平面，平面，可得： 过作于点，连接，可得：平面 可得： 故为平面与平面所成的角，即 设，可得：，， 可得： 当且仅当，即为的中点时取等号. 综上，的最小值为 故答案为： 【点睛】求二面角方法： （1）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角； （2）通过向量法：建立空间直角坐标系，然后求出两个平面的法向量，进而根据法向量表示出二面角； 23．如图，矩形中，分别为边上的定点，且，分别将沿着向矩形所在平面的同一侧翻折至与处，且满足，分别将锐二面角与锐二面角记为与，则的最小值为 . 【答案】 【分析】如图所示，作于，在底面投影为，于，在底面投影为，将立体图形还原到平面图形，设，根据相似得到各线段的长度，得到的函数表达式，计算二次函数的最值得到答案. 【详解】如图①，作于，在底面投影为，， 同理，于，在底面投影为，， ，故，还原到平面图形如图②所示： 易知是中点，是中点，， 设，， 同理可求得，， ， 当且仅当 取得最小值. 故答案为: . 【点睛】本题考查了二面角的问题，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和转化能力，其中通过立体和平面的转化，将二面角的三角函数值转化为二次函数是解题的关键. 24．已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示，沿将四边形翻折成，设二面角的大小为，在翻折过程中，当二面角取得最大角，此时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作的垂线交与，交于，于，然后利用定义法可得为二面角的平面角，设，可得，，从而，然后求函数最大值时的值即可. 【详解】过作的垂线交与，交于，于， 设在平面内的投影为，则在直线上， 过作的垂线，垂足为，则为二面角的平面角， 设，由题意，， 则， 由，，得， 所以， 所以， 令，可得，则， 所以，当即，也即时，取到最大值， 此时最大，即二面角取得最大角. 故选：B 25．已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示，沿将四边形翻折成，则在翻折过程中，二面角的大小为，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作 的垂线交与，交于，于，然后可得为二面角的平面角，设，可得，，，然后可求出答案. 【详解】过作 的垂线交与，交于，于，    设在平面内的投影为，则在直线上，过作的垂线，垂足为， 则为二面角的平面角，设 由题意 ，， 由，，， ， ， 令，可得解得， 所以； 故选：C． 题型六：根据二面角求参数 26．在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，二面角为，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找出异面直线所成角的等角（或补角）以及二面角的平面角.取分别为的中点，可推出．进而可得平面，进而得到.设，在中，由余弦定理可解出.然后在中，即可求出结果. 【详解】 如图，由，得为异面直线AB与PC所成的角或其补角，设分别为的中点，连接PE，PF，EF. 由底面为正方形，为等边三角形，得，，则即为二面角的平面角，所以． 又平面，平面，，所以平面， 因为平面，所以，又，所以. 设，则， 在中，由余弦定理得 ，所以. 又，，所以，又， 在中，由余弦定理可得． 故选：A． 27．如图，在平行四边形中，，，，现将沿直线翻折至，使得点到达点的位置，且二面角的平面角等于，则直线与平面所成的角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平行四边形中，利用正弦定理求得，则，.在翻折后的立体图形中，根据定义作出二面角的平面角，以及直线与平面所成的角，利用边长关系可求得. 【详解】在平行四边形中，，，， 在中，根据正弦定理，，即， 解得，所以，即，则，且. 翻折后，如图，分别取的中点，连接， 则，所以，故是二面角的平面角，即， 过点作于点，连接， 由，，平面，平面，可得平面， 因为平面，所以， 又，平面，平面，可得平面. 所以是直线与平面所成的角. 在中，，，则， 在中，，，则， 因为是锐角，所以. 故选：A. 28．如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，平面与平面的锐二面角的余弦值为，求该三棱柱的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合中点，可得线线垂直，进而可得平面，进而根据面面垂直的判定求解， （2）根据面面角的定义可得为平面与平面所成的角，即可根据锐角三角函数求解棱柱的高，由体积公式即可求解. 【详解】（1）证明：连接,则与相交于， 由于三棱柱为正三棱柱， 故为等边三角形， 故,, 结合是与的中点，所以, 又与相交于，且平面， 故平面， 平面，故平面平面， （2）延长与的延长线交于点,连接, 则平面与平面相交于直线， 由于是的中点，故,即是的中点， 因此,故， 又平面，平面， 故, 平面， 故平面，平面， 故，又，因此为平面与平面所成的角， ,故， 因此, 故三棱柱的体积为 29．如图1，在等腰梯形ABCD中，，将沿边AC翻折，使点翻折到点，连接PB，得到三棱锥，如图2，其中． (1)证明：平面PAC． (2)若，求三棱锥的体积． (3)若，试问在侧棱PC上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出CE的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）求证以及，再利用线面垂直的判定定理即可； （2）利用棱锥的体积公式计算即可； （3）作出二面角的平面角，再结合三角函数值求出的长度即可判断. 【详解】（1）如图1，在梯形ABCD中，取边AB的中点，连接CF． 因为，所以， 所以四边形AFCD是平行四边形，所以， 因为，所以，所以， 因为，且，所以， 所以， 因为平面平面PAC，且，所以平面 （2）如图2，取棱AC的中点，连接PG， 由（1）可知平面PAC，且平面ABC，则平面平面ABC， 因为，且为线段AC的中点，所以， 因为平面平面，平面，所以平面， 则为三棱锥的高， 因为，所以，则 故三棱锥的体积． （3）假设存在满足条件的点． 如图2，作，垂足为，作，垂足为． 由（2）可知平面平面ABC，又，且平面平面， 所以EH平面ABC， 因为平面ABC，所以， 因为，且平面，，所以平面EHK． 因为平面EHK，所以，则为二面角的平面角． 设，则． 因为，且，所以，则． 易证，则，故． 由题意可得，则． 因为平面ABC，且平面ABC，所以， 所以， 则，解得，故． 因为在棱PC上，所以，所以假设不成立，即不存在点，使得二面角的余弦值为． 30．如图1，在平行四边形中，，，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，经过直线且与直线平行的平面为，平面平面，平面平面. (1)证明：. (2)若二面角的大小为，求的长. 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理、平行直线等知识来证得. （2）作出二面角的平面角，求得，解直角三角形求得. 【详解】（1）由于，平面，平面平面，所以， 由于，平面，平面平面，所以， 所以. （2）折叠前，四边形是平行四边形，，所以， 折叠后， 过作，则四边形是矩形，所以， 所以是二面角的平面角，所以， 由于，所以三角形是等边三角形，所以， 由于平面，所以平面， 而，所以平面， 由于平面，所以，， 所以. 31．如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点.    (1)求证：平面平面； (2)当二面角的大小为时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知可推得，又，根据线面垂直的判定定理得平面，然后根据面面垂直的判定定理，即可可证； （2）由已知可推得即为二面角的平面角，即，进而求出，在中得出，即可得答案. 【详解】（1）由题设，平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，故， 由圆的性质有，都在平面内，故平面， 由平面，所以平面平面. （2）由平面，所以在平面上的投影为， 所以直线CA与平面ABM所成角， 由二面角的大小为，，故， 由，则，，， 由平面，则，故. 所以直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 32．平行四边形中，，，为边的中点，将沿着直线翻折为，若为线段的中点，在翻折过程中，    (1)求证：平面； (2)若二面角，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）方法一：取中点，结合三角形中位线性质可证得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可证得结论； 方法二：延长交于点，利用三角形中位线性质可证得，由线面平行的判定可证得结论； （2）取中点，，作，根据二面角平面角定义可得到，结合平面，根据长度和角度可计算求得； 方法一：根据体积，可求得点到平面的距离，由可求得结果； 方法二：作，可证得平面，由三角形中位线性质和线面角定义可知所求角为，由长度关系可求得的值，即为所求正弦值． 【详解】（1）方法一：取中点，连接，   分别为中点，，； 四边形为平行四边形，为中点，，， ，，四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面． 方法二：延长交于点，连接，   四边形为平行四边形，，又为中点，为中点， 又为中点，，又平面，平面， 平面． （2）取中点，连接，，，连接， ，四边形为平行四边形，四边形为菱形， ，则翻折后， 则即为二面角的平面角，， 作，垂足为，连接，     平面， 平面，又平面，， 又，，平面，平面， 又平面，； 为边长为的等边三角形，， ，，， 又，， ，； 方法一：，， 设点到平面的距离为， ，，， 解得：， 设与平面所成角为，则， 即与平面所成角的正弦值为． 方法二：取中点，连接，作，垂足为，连接，   分别为中点，且， 与平面所成角即为与平面所成角； 平面，平面，， 又，，平面，平面， 即为与平面所成， ，又，， ，即与平面所成角的正弦值为． 题型七：证明面面垂直 33．如图所示，已知三棱锥中，⊥底面，，D、F分别为AC、PC的中点，⊥于E. (1)求证：⊥平面； (2)求证：平面⊥平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线面垂直得到⊥，由三线合一得到BD⊥AC，得到⊥平面，又平面，故⊥，从而得到线面垂直； （2）由⊥平面，得⊥，结合DF∥AP，DE⊥AP，得到DE⊥DF，从而得到⊥平面，又平面，得到平面⊥平面. 【详解】（1）∵⊥底面，平面，∴⊥. 由，D为AC的中点，得BD⊥AC. 又，平面， ∴⊥平面，又平面， ∴⊥. 由已知⊥，，平面， ∴⊥平面； （2）由⊥平面，平面，得⊥. 由D、F分别为AC、PC的中点，得DF∥AP. 又由已知得DE⊥AP，所以DE⊥DF，又，平面， ∴⊥平面， 又平面， ∴平面⊥平面. 34．如图所示，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且，.求证：平面ABC⊥平面BSC.    【答案】证明见解析 【分析】先得到为二面角的平面角，设，表达出其他边长，由勾股定理逆定理得，即，得到面面垂直. 【详解】∵，， ∴均为等边三角形，故， 取BC中点O，连接AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC， ∴为二面角的平面角， 设，故，又，故， 故， ∵，∴，故， ∴，故，即， ∴平面ABC⊥平面BSC. 35．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱的中点．求证：    (1)平面； (2)平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，得出，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）根据面面垂直的判定与性质定理即可得证； 【详解】（1），分别为，的中点，，， 且， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面； （2）四边形为正方形， ， ， ， 平面，平面， ， ，，又，，平面， 平面； 平面； ∴平面平面. 36．如图，在三棱锥中，、、分别为棱、、的中点．已知，，，. 求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）因为、分别为棱、的中点，所以. 又平面，平面，所以直线平面. （2）因为、、分别为棱、、的中点，，， 所以，，. 因为，所以，所以，即， 又，，所以， 因为，、平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 37．如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且，在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； 【答案】点为的中点，证明见解析 【分析】根据线面垂直、面面垂直的判定定理可证点为中点时，平面平面. 【详解】当点为中点时，平面平面， 证明如下：连接， 因为四棱锥是正四棱锥，所以，所以. 在正方形中，，所以， 在正方形中，，因为，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 题型八：补全面面垂直的条件 38．如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.    (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当为中点时面面，证明见解析 【分析】（1）依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，从而得证； （2）当为中点时，面面，首先证明，由线面垂直的性质得到，从而得到平面，即可得证. 【详解】（1），为的中点． ，平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面， ． （2）存在点，当为中点时，面面； 证明如下： 四边形是正方形，为的中点，则， 所以，又，所以 ， 由（1）知，平面，平面，， 又，平面，平面， 平面， 平面平面．    39．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD． (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB； (3)求二面角A﹣BC﹣P的大小； (4)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)45° (4)能，证明见解析 【分析】（1）根据题意可得BG⊥AD，根据面面垂直的性质可证；（2）根据题意得PG⊥AD，BG⊥AD根据线面垂直的判定定理可证AD⊥平面PGB；（3）根据二面角的平面角的定义可得：∠PBG为二面角A﹣BC﹣P的平面角，结合题意求解；（4）先证平面DEF∥平面PGB，再说明平面PGB⊥平面ABCD即可． 【详解】（1）在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD， 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以BG⊥平面PAD． （2）连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD边的中点， 得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD， PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，PG∩BG＝G， 所以AD⊥平面PGB，因为PB⊂平面PGB． 所以AD⊥PB． （3）由（2）可得PB⊥AD，BG⊥AD， ∵AD∥BC，所以PB⊥BC，BG⊥BC， 所以∠PBG为二面角A﹣BC﹣P的平面角 因为PG＝BG＝，所以∠PBG＝45°； （4）当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下： 取PC 的中点F，连接DE、EF、DF， 在△PBC中，FE∥PB，FE平面PGB，PB平面PGB ∴FE∥平面PGB 在菱形ABCD中，DG∥BE且DGBE BEDG为平行四边形，则DE∥BG，DE平面PGB，BG平面PGB ∴DE∥平面PGB EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB， 因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG， 又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G， ∴PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB， 所以平面PGB⊥平面ABCD， 所以平面DEF⊥平面ABCD． 【点睛】 40．如图所示，在正四棱柱中，是线段上的动点. （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）连接，，根据正四棱柱的性质可得平面，平面，即可得到平面平面，即可得证； （2）首先证明面，即可得到平面平面，依题意平面与面重合时满足平面平面，即可确定的位置，从而得解； 【详解】解：（1）连接，，在正四棱柱中，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面， 且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面， 又，面，所以平面平面，又平面， 所以平面 （2）因为在正四棱柱，，面，面，所以， ，面，所以面，因为平面，所以平面平面，因为面面， 要使平面平面，则平面与面重合，即在的中点时满足题意，所以 41．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，点D是线段AB上的动点． （1）当点D是AB的中点时，求证：AC1∥平面B1CD； （2）线段AB上是否存在点D，使得平面ABB1A1⊥平面CDB1？若存在，试求出AD的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）AD＝. 【分析】（1）在中，利用中位线定理得DE∥AC1，再利用线面平行的判定定理即证； （2）作CD⊥AB时，即证CD⊥平面ABB1A1，证得平面ABB1A1⊥平面CDB1，再利用直角三角形中的射影定理求得AD即可. 【详解】（1）证明：如图，连接BC1，交B1C于点E，连接DE， 则点E是BC1的中点，又点D是AB的中点，由中位线定理得DE∥AC1，. 因为DE⊂平面B1CD， AC1⊄平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD.. (2)当CD⊥AB时，平面ABB1A1⊥平面CDB1. 证明：因为AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC， 所以AA1⊥CD. 又CD⊥AB，AA1∩AB＝A， 所以CD⊥平面ABB1A1， 因为CD⊂平面CDB1，所以平面ABB1A1⊥平面CDB1， 故点D满足CD⊥AB时，平面ABB1A1⊥平面CDB1. 因为AB＝5，AC＝3，BC＝4，所以AC2＋BC2＝AB2， 故△ABC是以角C为直角的三角形，又CD⊥AB，所以利用直角三角形中的射影定理得. 42．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）在棱上是否存在一点，使平面平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，当为的中点时，能使平面平面 【分析】（1）利用已知可以判定四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可以得到线线平行，利用线面平行的判定定理证明出平面； （2）根据为正三角形可以得到，再根据是等边三角形得到，这样根据线面垂直的判定定理可以证明平面，再利用线面垂直的性质定理可以证明出； （3）可以猜想为的中点时.根据已知侧面垂直于底面，可以通过面面垂直的性质定理可以得到平面.这样利用中位线可以证明出平面，这样证明出猜想是正确的. 【详解】（1）由已知，，所以四边形是平行四边形.. 又平面，平面，平面. （2）连接.，.是等边三角形， 又，平面.. （3）当为的中点时，能使平面平面.证明如下、 平面平面，平面平面，，平面， 平面.连结交于.则是的中点，. 平面.又平面，平面平面. 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了数学探究能力，考查了推理论证能力. 题型九：面面垂直的性质及其应用 43．如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2．求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质与判定定理即可证明. 【详解】因为平面平面，平面，平面平面，， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面. 44．如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】借助余弦定理证得，再利用面面垂直的性质推理得证. 【详解】在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 由余弦定理得：， 则，即， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. 45．如图所示，斜三棱柱的各棱长均为， 侧棱与底面所成角为，且侧面底面.证明：点在平面上的射影为的中点.    【答案】证明见解析 【分析】作于，由平面平面，证得平面，再证得为等边三角形，即可求证. 【详解】过作于， 由平面平面，平面平面， 平面，，得平面，因此，    又，从而为等边三角形，为中点. 46．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果； （2）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果； 【详解】（1）由题意， 连接，易知，， ∴点为的中点，∵为为的中点， 在中，，， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由题意证明如下， 取棱的中点，连接， 在等边三角形中，， ∵平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面，故， 又已知，，平面,所以平面． 47．如图，在三棱锥中，E是线段AD的中点，F是线段CD上的一点．    (1)若平面，试确定F在CD上的位置，并说明理由； (2)若F为CD的中点，且，平面平面，证明：． 【答案】(1)F是CD的中点，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线面平行的性质，证得，又是的中点，得是的中点． （2）由已知面面垂直证得平面，可得． 【详解】（1）F是CD的中点，理由如下：若平面， 由平面，平面平面，得． 又是的中点，在上，所以是的中点． （2）证明：如图所示，    由，为中点，则， 平面平面，且平面平面， 平面，则有平面，又平面，所以． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$