第05讲 线线、线面、面面垂直的判定与性质（核心考点讲与练）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第三册）

第05讲线线、线面、面面垂直的判定与性质（核心考点讲与练） ( 考点 考向 ) 1.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理及其推论 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 ⇒l⊥α 推论1 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 ⇒b⊥α 推论2 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 ⇒a∥b 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直. (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α ( 方法 技巧 ) 1.证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质． 2.利用判定定理证明平面与平面垂直的一般方法 先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明 3.证明面面垂直常用的方法： （1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理. 在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可 ( 能力拓展 ) 题型一：线面垂直的判定 一、填空题 1．（2021·上海浦东新·高二期中）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的___________直线都垂直，那么此直线与该平面垂直. 【答案】两条相交 【分析】根据直线与平面垂直的判定定理得解； 【详解】解：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直. 故答案为：两条相交 2．（2021·上海·高二专题练习）若，分别为四棱柱的棱，的中点，则加上条件________，就可得结论：平面.（写出你认为正确的一个条件） 【答案】底面是菱形且底面 【分析】根据题意，先得到一个满足题意的条件，再由线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】只需加上条件：底面是菱形且底面， 证明如下：因为底面是菱形，连接，，则， 在四棱柱中，，则， 又，分别为棱，的中点，所以，所以； 因为底面，所以， 因为平面，平面，， 所以平面. 故答案为：底面是菱形且底面. 【点睛】本题主要考查补全线面垂直的条件，熟记线面垂直的判定定理即可，属于常考题型. 二、解答题 3．（2021·上海市甘泉外国语中学高二期中）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1. (1)求证：平面C1BD； (2)求证：⊥平面A1D C. 【分析】（1）推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面； （2）推导出，平面，，由此能证明平面． (1)正方体．，， 又，，，， 四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 平面． (2)正方体． ，平面， 平面，， 又，平面． 4．（2021·上海市七宝中学高二期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，，，，，. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见详解(2) 【分析】（1）由等腰三角形、直角三角形的性质，根据线面垂直的判定证明BM⊥平面PAC； （2）由于平面，故，计算即得解 (1)证明：∵AB⊥BC，AB＝BC， ∴ 为等腰直角三角形，又M为AC的中点，AC＝2， ∴MB＝AC＝1，且BM⊥AC， 又∵PA⊥PC，∠PAC＝30°， ∴MP＝AC＝1， 综上有：MB＝MP＝1，又PB＝，即MP2＋MB2＝BP2， ∴MP⊥MB，又AC∩MP＝M，AC，MP平面PAC ∴BM⊥平面PAC. (2)由（1）平面 故 故三棱锥的体积 5．（2021·上海·高二专题练习）如图，在棱长为的正方体中，，，分别是棱、和所在直线上的动点： （1）求的取值范围： （2）若为面内的一点，且，，求的余弦值： （3）若、分别是所在正方形棱的中点，试问在棱上能否找到一点，使平面?若能，试确定点的位置，若不能，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）点M为的中点，理由见解析 【分析】（1）设，求出，利用余弦定理求解，然后求出的取值范围． （2）设在，三边上的投影分别是，转化求出，即可得