专题03 直线与平面的位置关系（高效培优专项训练）数学沪教版2020高二必修第三册

专题03 直线与平面的位置关系 题型一：证明线面平行 题型二：补全线面平行的条件 题型三：线面平行的性质 题型四：证明线面垂直 题型五：补全线面垂直的条件 题型六：线面垂直证明线线平行（垂直） 题型七：点（线）面距离问题 题型八：求线面角 题型九：根据线面角求参数 题型十：三垂线定理的应用 题型一：证明线面平行 1．如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点．求证：平面    【答案】证明见解析 【分析】取中点，连接，由题可得四边形为平行四边形，据此可完成证明. 【详解】在三棱柱中，取中点，连接， 由分别为和的中点，得且， 由O为BC中点，得且，则且， 即四边形为平行四边形，于是， 又平面，平面，所以平面.    2．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，分别为的中点．求证：直线平面；    【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，由题可得四边形为平行四边形，则，据此可完成证明. 【详解】取的中点，连接， 因为为的中点，所以且， 因为底面为矩形，，为的中点， 所以且， 故且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面    3．如图，在正方体中，E是的中点． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面ACE； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）连接，根据正方体的性质得到，即可得到或其补角其即为异面直线和所成角，从而得解； （2）连接BD，设直线BD交直线AC于点O，连接EO，即可得到，从而得证. 【详解】（1）连接，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角即为异面直线和所成角， 又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为； （2）连接BD，设直线BD交直线AC于点O，连接EO， 因为在正方体中，底面ABCD是正方形，所以O为BD中点， 又因为E为的中点，所以， 又因为平面ACE，平面ACE，所以直线平面ACE． 4．如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l． (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意证得，再由线面平行的判定定理即可证明直线平面； （2）由（1）知，直线平面，由线面平行的性质定理证得，再由线面平行的判定定理即可知证明直线平面； 【详解】（1）因为分别是的中点，所以， 平面，平面，所以直线平面； （2）由（1）知，直线平面，平面， 平面与平面的交线为直线l，所以， 平面，平面，所以直线平面. 题型二：补全线面平行的条件 5．如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 故答案为：. 6．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）由条件求三棱锥的底面的面积和高，再由锥体体积公式求结论； （2）先证明，再根据线面平行判定定理证明结论； （3）提出猜测线段上存在点P，使得平面，且，再结合线面平行判定定理证明结论， 【详解】（1）因为四边形为菱形，， 所以，，又为的中点， 所以为等边三角形，，，， 所以， 又平面，， 所以三棱锥的体积， （2）连结， 因为，分别为的中点，所以，， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以，，又是的中点，且， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面, 所以平面． （3）线段上存在点P，使得平面，且， 证明如下： 连接，其中AC交DE于点，连接 在菱形ABCD中，，且 所以，又， 所以， 所以四边形是平行四边形 平面，平面， 平面. 7．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）取中点，连和，证明四边形为平行四边形，结合线面平行的判定，即可证得平面.； （2）取中点，连接，，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，结合面面平行的性质，即可证得平面． 【详解】（1）证明：取中点，连和，可得且， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取中点，连接和， 因为和分别为和的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 又由（1）可得∥平面，且，平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，且平面，所以平面， 所以，当为中点时，平面． 8．如图，多面体是由一个直三棱柱与一个四棱锥组成，其中，，，是上的一点． (1)若是中点． ①求证：平面；②求异面直线与所成角的余弦值． (2)若为与交点，问上是否存在一点，使得平面？如果存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)存在，且 【分析】（1）①连接交于点，连接，利用中位线的性质得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； ②分析可知，异面直线与所成角为或其补角，求出三边边长，结合余弦定理可求得结果； （2）由线面平行的性质可得出，由此得出，即可得解. 【详解】（1）连接交于点，连接，如下图所示： 在三棱柱中，，，所以，四边形为平行四边形， 因为，所以为的中点， 又因为为的中点，所以，且， 因为平面，平面，故平面； 在直三棱柱中，平面，平面，所以， 所以，， 同理可得，， 所以，，， 因为，所以，异面直线与所成角为或其补角， 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （2）如下图所示： 因为，，所以， 因为平面，平面，平面平面， 所以，故，因此. 所以，线段上存在一点，使得平面，且． 题型三：线面平行的性质 9．在四棱锥中，底面为平行四边形，点是侧棱上的动点，若平面，则 ． 【答案】1 【分析】应用线面平行性质定理得出线线平行即可得出比值. 【详解】如图，连结交于，连结， 因为平面，根据线面平行的性质定理，得， 又是的中点，所以是的中点，所以．    故答案为：1. 10．如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 . 【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理，可得到，即可求的长. 【详解】根据题意，因为平面，平面， 且平面平面 所以. 又是的中点，所以是的中点. 因为在中，，故. 故答案为： 11．如图，在三棱锥中，为棱靠近点的三等分点，分别为棱的中点，若点在线段上，若连接，交于点，在中，设，则 ；若平面，则 . 【答案】 【分析】第一空：由已知得，进而可得，利用在同一直线上，可求，利用线面平行的性质可求. 【详解】第一空：因为为棱靠近点的三等分点，所以， 又，所以，又分别为棱的中点，所以， 所以，又在同一直线上，所以， 解得； 第二空：连接，因为平面，又平面，平面平面， 所以，所以，由，可得，所以. 故答案为：①；②. 12．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为棱上的点，若，且平面，则 ． 【答案】/ 【分析】首先作辅助线，根据相似可求得，然后根据线面平行的性质得出线线平行，进而由相似定理可求得. 【详解】如图，连接交于点，连接． 因为，所以， 因为平面，平面平面平面， 所以，所以． 故答案为：. 13．如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，.    (1)求证：平面SCE； (2)若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接CE，先根据平行四边形的定义及性质证明，然后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）连接BF，过点F作交SD于点G，连接CG，利用基本事实得B，C，G，F四点共面，然后利用线面平行的性质定理得，然后利用平行四边形的性质确定点的位置. 【详解】（1）连接CE，因为，即， 又因为，所以四边形ABCE为平行四边形，所以， 又因为平面，平面SCE，所以平面SCE. （2）连接BF，过点F作交SD于点G，连接CG， 因为，所以，所以B，C，G，F四点共面， 因为平面，平面BCGF，平面平面， 所以，所以四边形BCGF是平行四边形， 所以，所以，所以F为线段SE的中点.    题型四：证明线面垂直 14．如图，已知平面，    (1)求证:平面; (2)若，求围成这个四面体的所有图形的面积之和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明； 利用线面垂直的性质定理可知四个面都是直角三角形，然后可求表面积. 【详解】（1）    因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面 （2）因为平面，平面，所以, 因为平面，平面，所以， 因为,所以由勾股定理可得： 15．如图所示四棱锥，其中交于点.求证：平面；    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形全等和线面垂直的判定定理来证明线面垂直. 【详解】因为，所以均在的垂直平分线上，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又因为平面平面， 所以平面. 16．如图，在棱长为2的正方体中，､､分别为棱､､的中点. 求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】通过证明，，即可利用线面垂直的判定定理证得平面； 【详解】正方体中， 因为，分别为棱，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以，所以， 正方形中，∵为的中点，为的中点， ∴，∴， 设、交点为，则， ∴，即； 又、平面，， ∴平面. 17．如图，在平行四边形中， ， ， 平面，，，分别为， 的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】连接，推导出，，从而平面，进而，再求出，由此能证明平面. 【详解】如图所示，连接，在平行四边形中，，， ， ，即， 从而有，， 平面，平面，， 又，平面，平面， 又平面， ， 又，为中点， ，又,平面， 平面. 题型五：补全线面垂直的条件 18．已知直线l，a，b，平面，若要得到结论，则需要在条件，，⊥，⊥中另外添加的一个条件是 . 【答案】a与b相交 【分析】根据线面垂直的判定定理可得答案. 【详解】由线面垂直的判定定理得到，a与b相交. 故答案为：a与b相交 19．如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点． (1)证明：面； (2)若满足面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，可得出，再由已知条件可得出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）分析可知，计算出三边边长，利用余弦定理求出的值，可求得的长，进而可求得的长，即可得解. 【详解】（1）证明：因为，，，所以，， 所以，，则， 因为平面，平面，所以，， 又因为，、平面，所以，平面. （2）解：因为平面，平面，所以，， 若面，平面，则， 因为，， 由余弦定理可得， 因为平面，、平面，则， 所以，，， 在中，，，， 所以，， 所以，， 所以，，则， 因此，若满足面，则. 20．已知正方体的棱长为，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3) 【分析】（1）由平行四边形和三角形中位线性质可证得，由线面平行判定可得结论； （2）取中点，由等腰三角形三线合一性质和勾股定理可证得，，由线面垂直的判定可得平面，进而得到的长； （3）根据（1）（2）的结论可知所求距离为的长，由（2）可知. 【详解】（1）连接， ，，四边形为平行四边形，； 分别为中点，，， 平面，平面，平面. （2）取中点为， ，， ，，又， ，， 又，，则， ，平面，平面，此时， 则线段上存在点，为中点，使得平面，此时. （3）平面，到平面的距离即为点到平面的距离， 由（2）知：当为中点时，平面，则点到平面的距离即为， 又，直线到平面的距离为. 21．如图，在四棱锥A－BCDE中，四边形BCDE为菱形，，，AE＝AC，点G是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点． (1)证明：∥平面CEG． (2)点H为线段BD上一点，设，若AH⊥平面CEG，试确定t的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)0. 【分析】（1）取AG的中点Ⅰ，记，连接FⅠ，DⅠ，GO，由三角形中位线定理可得∥，∥，然后先证得线面平行，再可证得面面平行； （2）由已知可得△ABC≌△ABE，则GC＝GE，得OC⊥OG，结合已知可得OC⊥平面ABD，则OC⊥AG，利用余弦定理求出，再由勾股定理的逆定理可得BG⊥OG，由线面垂直的判定可得AG⊥平面CEG，从而可得H与B重合，进而可求得结果. 【详解】（1）证明：如图，取AG的中点Ⅰ，记，连接FⅠ，DⅠ，GO． 在△ACG中，F，Ⅰ分别为AC，AG的中点，所以∥， 同理，在△BDⅠ中，有∥， 因为平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 又平面ⅠFD， 所以∥平面CEG． （2）解：因为底面BCDE是菱形，所以OC⊥OD． 因为AE＝AC，BC＝BE，所以△ABC≌△ABE， 则GC＝GE， 又因为点O是EC的中点，所以OC⊥OG． 因为，平面ABD， 所以OC⊥平面ABD， 因为平面ABD， 所以OC⊥AG． 因为，， 所以， 则， 则，所以BG⊥OG． 又因为，平面CEG， 所以AG⊥平面CEG． 若AH⊥平面CEG，则H与B重合． 故． 22．若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）取中点，连接、，证明出四边形是平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）取的中点，连接、，证明出平面平面，平面，可得出平面，由此可得出结论. 【详解】（1）证明：取中点，连接、. 因为、分别是、的中点， 所以且. 在平行四边形中，且， 因为是的中点，所以且. 所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）解：当点为线段的中点时，平面，理由如下： 取的中点，连接、. 因为，，，所以，平面， 因为、分别为、的中点，则， 平面，平面，则平面， 又因为平面，，所以，平面平面， 所以，平面. 故当点是线段的中点时，平面，此时，. 题型六：线面垂直证明线线平行（垂直） 23．如图，是等边三角形，直线平面ABC，直线平面ABC，且，F是线段EB的中点．求证：平面ABC． 【答案】证明见解析 【分析】取AB的中点M，先证四边形是平行四边形，则，再利用线面垂直的性质、线面平行的判定推理得证． 【详解】取AB的中点M，连接FM和CM， 在中，F是EB的中点，M是AB的中点，则且， 由平面，而平面，得， 所以，，因此四边形是平行四边形，， 而平面，平面，所以平面． 24．如图，在直三棱柱中，，D，E分别是棱BC，上的点（点不同于点），且平面，F为的中点．求证：直线平面． 【答案】证明见解析 【分析】先应用线面垂直的判定定理得出平面，再根据线面垂直的性质得出线线平行，进而得出线面平行即可. 【详解】因为，F为的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 又平面，平面，平面，所以平面． 又平面，所以． 又平面，平面，所以平面． 25．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形．为中点． (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判断，结合平行公理推理得证. （2）取的中点，则，根据题设条件可证得四边形是矩形，即有，利用线面垂直的判定和性质推理可得证. 【详解】（1）取的中点，连接，由为中点，得且， 又，，则，， 因此四边形为平行四边形，，又平面，平面， 所以平面. （2）取的中点，连结，由三角形为等边三角形，得， 在直角梯形中，，且， 则，且，四边形是平行四边形， 由，得平行四边形是矩形，则， 而，平面，平面， 因此平面，而平面，则，所以. 26．如图，在直三棱柱中，，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过证明平面外一条直线与平面内一条直线平行，依据线面平行的判定定理来证明线面平行； （2）先证明一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，依据线面垂直的判定定理得到线面垂直，再利用线面垂直的性质得到线线垂直. 【详解】（1）连接交于点E，连接，如图所示. 在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以 又点D是棱的中点，所以， 又平面平面，所以平面. （2）因为，点D是棱的中点，所以 在直三棱柱中，平面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. 因为，所以 又，所以，所以， 又平面，则平面， 又平面，所以. 题型七：点（线）面距离问题 27．在所有棱长均为2的正四棱锥中，顶点P到底面的距离为 ． 【答案】 【分析】根据正四棱锥性质求高，即得顶点P到底面的距离. 【详解】如图，设为底面的中心，则底面， 因为平面，所以， 由题意，， 则在正方形中，， 所以， 则顶点P到底面的距离为. 故答案为：. 28．在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为 . 【答案】 【分析】先证明线面平行，得到直线到平面的距离等于点到平面的距离，证明线面垂直，得到即为点到平面的距离，求出答案. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 直线到平面的距离等于点到平面的距离， 连接，与相交于点，则⊥， 又⊥平面，平面， 所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故即为点到平面的距离， 因为正方体的棱长为2， 所以， 故直线到平面的距离. 故答案为： 29．正方体的棱长为2，则直线与平面的距离是 ． 【答案】 【分析】先证明出平面，得到到平面的距离即为直线与平面的距离，作出辅助线，证明出BD⊥平面，BO即为直线与平面的距离，求出即为答案. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 故点到平面的距离即为直线与平面的距离， 连接交于点， 因为四边形为正方形，所以⊥BD， 又因为⊥平面ABCD，平面ABCD， 所以⊥BD， 因为，平面， 所以BD⊥平面，故BO即为直线与平面的距离， 因为正方体的棱长为2， 所以， 故直线与平面的距离为. 故答案为： 30．在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，，点是体对角线的中点，则顶点到平面距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四棱柱性质利用线面垂直可得顶点到平面的距离即为顶点到平面的距离，计算可得结果. 【详解】连接交于点，连接交于点，连接，如下图所示：    由点是体对角线的中点，根据四棱柱性质可知点在线段上，即平面； 因此顶点到平面的距离即为顶点到平面的距离， 因为是直四棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又因为为菱形，所以， 且，平面，可得平面； 因此即为顶点到平面的距离， 由，可得， 所以顶点到平面距离为. 故选：A 31．正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（    ） A． B．a C． D． 【答案】C 【分析】连接，它们交于点，证明平面，得的长即为棱到面的距离， 【详解】如图，连接，它们交于点，正方形中， 又平面，平面，所以， 平面，所以平面， 所以的长即为棱到面的距离，而， 所以所求距离为． 故选：C． 题型八：求线面角 32．在正方体中，直线与平面所成角为 . 【答案】/ 【分析】连接交于，连接，可得为直线和平面所成的角，结合边长关系即可求解. 【详解】如图，连接交于，连接， 因为平面，在平面内， 所以，又，，，平面， 所以平面， 所以为直线和平面所成的角， 设正方体的棱长为1，则，，又平面，故， 所以， 因为，所以， 所以直线和平面所成的角为， 故答案为： 33．在正方体中，若E是的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】做出线面角，利用直角三角形的边角关系求角. 【详解】如图： 作于，连接. 因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 又平面，所以. 不妨设，则在中，，，, 所以， 所以. 故答案为： 34．已知正方体，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】 【分析】找出线面角，然后根据三角函数定义可得. 【详解】设正方体棱长为，则， 由正方体性质可知，平面， 所以即为直线与平面所成角， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 35．在正方体中，E是边的中点． (1)求和底面ABCD所成角的大小； (2)求EB和底面所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据正方体的性质，结合线面角的定义进行求解即可 【详解】（1）连接，设该正方体的棱长为， 在正方体中，平面， 所以是和底面ABCD所成角， 因此； （2）连接， 在正方体中，平面， 所以是和底面ABCD所成角， 因此 36．如图，ABCD是矩形，平面ABCD，，，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且．求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值．    【答案】 【分析】根据线面角的定义，作出直线与平面所成的角，进而在直角三角形中求解即可. 【详解】如图所示，过E作于M，连接FM， 因为平面ABCD， 所以平面ABCD， 则为直线EF与平面ABCD所成的角． ， ． 在中，， 因为 ∴解得. 故答案为：.    题型九：根据线面角求参数 37．正方体中，为正方形中心，（），直线与平面所成角为，则取最大时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面中过点作交于点，连接，即可得到即为线与平面所成角，且，设正方体的棱长为，则，从而求出，即可得解. 【详解】在平面中过点作交于点，连接， 由正方体的性质可知平面，则即为直线与平面所成角， 则，设正方体的棱长为，则， 所以当时，此时取最大值，为的中点， 又，所以当时取最大值. 故选：A 38．一个四棱台的上下底面均为正方形，上底边长为4cm，下底是边长为8cm，侧面为全等的等腰梯形，且棱台的侧棱与上下底面的夹角均为，则这个棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棱台几何特征求得它的高，再利用棱台体积公式计算可得结果. 【详解】连接和分别交于点，如下图所示： 则平面过上下底面的中心，作于点，如下图： 易知底面，底面， 因此即为侧棱与下底面的夹角的平面角，可得， 显然，且， 易知， 所以，则； 又为等腰直角三角形，可得； 可得这个棱台的体积为. 故选：D 39．设点在正四面体的棱上，与平面所成角为，则（    ） A．4 B．10 C．14 D．20 【答案】B 【分析】取的中点的中点，连接，过作于，可证得平面，则（或其补角）为与平面所成角，设正四面体的棱长为2，在中求出，则在中求出，从而可求得，代入计算可得答案. 【详解】取的中点的中点，连接，过作于， 因为四面体为正四面体，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以（或其补角）为与平面所成角， 所以，则， 设正四面体的棱长为2，则, 所以， 所以为锐角，所以， 所以 ， 在中，，则 ， 在中，，则 所以，解得， 所以, 所以 . 故选：B 40．在四棱锥中，已知平面，底面四边形是正方形，，直线与平面所成角的正切值是，则 ． 【答案】 【分析】由线面角的定义，证明平面，则直线与平面所成角为，利用直角三角形的边长的关系计算. 【详解】四棱锥中， 平面， 平面，，， 底面四边形是正方形，则， 平面，，平面， 则直线与平面所成角为，   中，，， 中，. 故答案为： 41．在正四棱柱 中， 已知底面的边长为2， 点P是的中点，直线与平面成角. 则正四棱柱的高为 . 【答案】 【分析】根据线面角的定义得即为直线与平面所成的角，在中由可得结果. 【详解】连接，因为在正四棱柱 中，所以平面， 所以为直线在平面内的射影， 所以即为直线与平面所成的角，即 设正四棱柱的高为h，又，在中，， 解得， 故答案为：. 42．如图，已知四面体的所有棱长都相等，分别是棱上的点，满足．若与平面所成的角为，求的值．    【答案】 【分析】 在上取点，使得，然后作出与平面所成的角，根据已知列方程求解即可. 【详解】设四面体的所有棱长的棱长为1， 因为，所以． 在上取点，使得，则， 故． 如图，过点A作平面于点，连接CO． 过点作于点，则平面， 所以为与平面所成的角，即， 所以为等腰直角三角形．    又正三棱锥性质可知，为正三角形的中心， 所以，所以， 所以； 在中，由余弦定理得． 在中，，即， 解得． 题型十：三垂线定理的应用 43．已知直角三角形中，，，若平面，，则E到斜边的距离为 . 【答案】/ 【分析】过点作，交于点，连接，由三垂线定理证明，即可得到E到斜边的距离为，进而求出即可得解. 【详解】如图，过点作，交于点，连接，    则，所以， 因为平面，平面， 平面，平面， 所以是在平面上的射影， 由及三垂线定理得，又， 所以E到斜边的距离为. 故答案为：. 44．已知直角三角形中，，，若平面，且，则E到斜边的距离为 ． 【答案】/ 【分析】过作交于点，连接， 由三垂线定理证即可得E到斜边的距离为，进而求出即可得解. 【详解】如图，过作交于点，连接， 则，所以， 因为平面，平面、平面，平面， 所以是在平面上的射影， 由及三垂线定理得，又， 所以E到斜边的距离为. 故答案为：. 45．如图，在中，，，，平面，，为边上的一个动点，求的最小值． 【答案】 【分析】根据线面垂直可得线线垂直，将问题转化为即可由勾股定理求解. 【详解】∵P是定点，要使的值最小，只需即可． 要使，由于平面， ∴由三垂线定理知只需使即可， ∵，，∴． ∴． ∴， 故的最小值为. 46．在正方体中，M是棱的中点，O为是底面ABCD的中心，P为平面上的动点． (1)若P在棱上，求直线与所成角的大小； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)90°； (2)证明见解析 【分析】（1）依据三垂线定理，直线垂直于斜线在这个平面上的射影，就垂直于这条直线，从而发现恒与垂直． （2）根据三垂线定理即可求解. 【详解】（1）取中点，则平面，为在平面上的射影， 在正方形中，，，△ 由三垂线定理可知，故直线与所成角的大小为90°    （2）由于平面，所以是直线在平面上的射影， 由于，且，所以，故， 由三垂线定理得    2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 直线与平面的位置关系 题型一：证明线面平行 题型二：补全线面平行的条件 题型三：线面平行的性质 题型四：证明线面垂直 题型五：补全线面垂直的条件 题型六：线面垂直证明线线平行（垂直） 题型七：点（线）面距离问题 题型八：求线面角 题型九：根据线面角求参数 题型十：三垂线定理的应用 题型一：证明线面平行 1．如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点．求证：平面    2．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，分别为的中点．求证：直线平面；    3．如图，在正方体中，E是的中点． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面ACE； 4．如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l． (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面． 题型二：补全线面平行的条件 5．如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为 ． 6．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 7．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 8．如图，多面体是由一个直三棱柱与一个四棱锥组成，其中，，，是上的一点． (1)若是中点． ①求证：平面；②求异面直线与所成角的余弦值． (2)若为与交点，问上是否存在一点，使得平面？如果存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型三：线面平行的性质 9．在四棱锥中，底面为平行四边形，点是侧棱上的动点，若平面，则 ． 10．如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 . 11．如图，在三棱锥中，为棱靠近点的三等分点，分别为棱的中点，若点在线段上，若连接，交于点，在中，设，则 ；若平面，则 . 12．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为棱上的点，若，且平面，则 ． 13．如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，.    (1)求证：平面SCE； (2)若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点. 题型四：证明线面垂直 14．如图，已知平面，    (1)求证:平面; (2)若，求围成这个四面体的所有图形的面积之和. 15．如图所示四棱锥，其中交于点.求证：平面；    16．如图，在棱长为2的正方体中，､､分别为棱､､的中点. 求证：平面； 17．如图，在平行四边形中， ， ， 平面，，，分别为， 的中点，求证：平面. 题型五：补全线面垂直的条件 18．已知直线l，a，b，平面，若要得到结论，则需要在条件，，⊥，⊥中另外添加的一个条件是 . 19．如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点． (1)证明：面； (2)若满足面，求的值． 20．已知正方体的棱长为，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求到平面的距离． 21．如图，在四棱锥A－BCDE中，四边形BCDE为菱形，，，AE＝AC，点G是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点． (1)证明：∥平面CEG． (2)点H为线段BD上一点，设，若AH⊥平面CEG，试确定t的值． 22．若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型六：线面垂直证明线线平行（垂直） 23．如图，是等边三角形，直线平面ABC，直线平面ABC，且，F是线段EB的中点．求证：平面ABC． 24．如图，在直三棱柱中，，D，E分别是棱BC，上的点（点不同于点），且平面，F为的中点．求证：直线平面． 25．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形．为中点． (1)求证：平面； (2)求证：. 26．如图，在直三棱柱中，，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)若，求证：． 题型七：点（线）面距离问题 27．在所有棱长均为2的正四棱锥中，顶点P到底面的距离为 ． 28．在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为 . 29．正方体的棱长为2，则直线与平面的距离是 ． 30．在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，，点是体对角线的中点，则顶点到平面距离为（   ）    A． B． C． D． 31．正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（    ） A． B．a C． D． 题型八：求线面角 32．在正方体中，直线与平面所成角为 . 33．在正方体中，若E是的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的大小为 ． 34．已知正方体，求直线与平面所成角的正弦值. 35．在正方体中，E是边的中点． (1)求和底面ABCD所成角的大小； (2)求EB和底面所成角的大小． 36．如图，ABCD是矩形，平面ABCD，，，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且．求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值．    题型九：根据线面角求参数 37．正方体中，为正方形中心，（），直线与平面所成角为，则取最大时的值为（    ） A． B． C． D． 38．一个四棱台的上下底面均为正方形，上底边长为4cm，下底是边长为8cm，侧面为全等的等腰梯形，且棱台的侧棱与上下底面的夹角均为，则这个棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 39．设点在正四面体的棱上，与平面所成角为，则（    ） A．4 B．10 C．14 D．20 40．在四棱锥中，已知平面，底面四边形是正方形，，直线与平面所成角的正切值是，则 ． 41．在正四棱柱 中， 已知底面的边长为2， 点P是的中点，直线与平面成角. 则正四棱柱的高为 . 42．如图，已知四面体的所有棱长都相等，分别是棱上的点，满足．若与平面所成的角为，求的值．    题型十：三垂线定理的应用 43．已知直角三角形中，，，若平面，，则E到斜边的距离为 . 44．已知直角三角形中，，，若平面，且，则E到斜边的距离为 ． 45．如图，在中，，，，平面，，为边上的一个动点，求的最小值． 46．在正方体中，M是棱的中点，O为是底面ABCD的中心，P为平面上的动点． (1)若P在棱上，求直线与所成角的大小； (2)若，且，求证：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$