精品解析：河南信阳市商城县2025-2026学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

2025—2026学年普通高中高一下学期期末教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（i为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】， 故， 所以 故的虚部为. 2. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 则，， 所以在上的投影向量为. 3. 已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面 C. 若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D. 若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由平行的传递性知A正确； 对于B，如图①，在正方体中， 当，时，与相交； 当，时， ； 当，时，与异面； 所以由，可得a与c可能相交、平行或异面，故B正确； 对于C，若 a ，b 分别在两个相交平面内，如图所示， 可知这两条直线可能平行、相交或异面，故C正确； 对于D，如图①，在正方体中， 与相交，与异面，此时与平行； 与相交，与异面，此时与相交； 与相交，与异面，此时与异面； 所以a与c相交，b与c异面，则a与b可能相交、平行或异面，故D错误. 4. 如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是（ ） A. ①是棱台 B. ②不是圆台 C. ③是棱锥 D. ④是棱柱 【答案】A 【解析】 【详解】图①不是由棱锥截到的，所以①不是棱台； 图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台； 图③是棱锥． 图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱． 5. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，由可得，即可得结果. 【详解】设的中点为，连接， 因为，即， 则，可得， 又因为，即， 且，则，所以为底边和腰不相等的等腰三角形． 6. 《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，在阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合线面垂直的性质、余弦定理及勾股定理求解即可. 【详解】因为平面，，平面，所以，. 长方形中，， 在中，，同理可得. 取，，，中点，，，连接，，，，. 则，；；，； ，. 所以与所成的角即为异面直线与所成角. 因为平面，所以底面. 又底面，所以，所以. 在中，. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 7. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的取值范围是（ ） A. （0,9） B. （0,27） C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】余弦定理结合向量的数量积定义求解即可 【详解】由余弦定理知． 又是锐角三角形，所以且， 得所以， 则，又， 令，因为在单调递增， 又，. 故的取值范围是． 8. 已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动，则正数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当正四面体的外接球为圆锥的内切球时，的值最大，根据已知条件求出两个球的半径，解不等式即可. 【详解】当正四面体的外接球为圆锥的内切球时，的值最大. 因为圆锥的底面半径为1，轴截面为正三角形，所以正三角形的边长为2， 如图（一），圆锥轴截面内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，，即内切球的半径为. 因为正四面体的边长为，则补全为正方体时其棱长为，如图（二）所示， 所以正四面体的外接球半径，所以， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C. 若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，也满足，A错误． 对于B，因为，，所以，B正确． 对于C，复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，C正确． 对于D，复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，D正确． 10. 中国载人航天技术飞速发展，神舟二十三号载人飞船发射前夕，某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有100名学生进入决赛，把他们的决赛成绩（均为整数）分成六组得到如下频率分布直方图.则下列说法中，正确的有（ ） A. 频率分布直方图中m的值为0.010 B. 在参加学校决赛的100名学生中，成绩落在区间内的有60人 C. 根据此频率分布直方图可计算出这100名学生成绩的上四分位数为80分 D. 如果规定90分以上学生获得一等奖，估计有15%的学生获得一等奖 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，求出的值，即可判断A；求出成绩在内的频率，乘以总人数即可判断B；根据上四分位数的定义，结合频率分布直方图计算即可判断C；求出90分以上的频率即可判断D. 【详解】选项A：由频率分布直方图可知，，解得，故A正确； 选项B：成绩落在区间内的频率为，所以人数为人，故B正确； 选项C：前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 所以上四分位数为分，故C正确； 选项D：90分以上的频率为，估计有的学生获得一等奖，故D错误. 11. 已知，为非零向量，且满足，，则下列说法正确的有（ ） A. ，夹角的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A：因为，，即，所以， 设，夹角为，则， 当且仅当即时取等号，所以，故A错误； 对于B：因为，，，所以， 解得，故B正确； 对于C：因为，所以， ，故C正确； 对于D：，所以，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，由三点共线得到，再结合平行的坐标表示求解． 【详解】因为向量，，， ， 三点共线， ， . 13. 记的三个内角的对边分别为，且，，若是的外心，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形外心向量投影性质，求出与，再把拆为，展开数量积作差得到结果． 【详解】 作于，于， 在圆中，，所以， 所以， 同理， 所以． 14. 如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由正四棱台的体积公式求出四棱台的高，再分正四棱台外接球球心在直线上和直线的延长线上两种情况，根据，即可求出该四棱台的外接球半径，最后由外接球的表面积公式即可得出答案. 【详解】设棱台的上下底面中心分别为，设正四棱台的高为， 则正四棱台的体积为，则， ，， 若该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为， ， 则，由可得， 因为，则无解； 若该正四棱台外接球球心在直线的延长线上，设球的半径为， ， 则，由可得， 解得，故， 因此，该四棱台的外接球表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数z是纯虚数，求m的值： （2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m的值； （2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p，q的值. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数，所以. 由，解得或. 当时， ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为1； 【小问2详解】 当时，复数， 由题意知复数是关于x的方程的一个根. 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数. 所以由韦达定理可得， 解得. 16. 如图，在中，，，与的交点为M，过M作动直线分别交线段，于E，F两点. （1）用，表示. （2）设，. ①求的值， ②求的最小值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用三点共线列出方程，求解即可； （2）①利用三点共线，结合（1）的结论可得；②利用基本不等式1的妙用即可求解. 【小问1详解】 因为三点共线，所以可设， 又， 所以. 因为三点共线，所以， 解得. 所以. 【小问2详解】 设，， 则. 由（1）知，， 所以. 又三点共线，所以， ① ②， 当且仅当，即，时，等号成立. 所以当时，取得最小值，最小值为. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 直接利用正弦定理边化角进行运算； (2) 运用正弦定理将面积转化成角的正切值，再根据锐角三角形求出角的范围，从而求出三角形面积的范围. 【小问1详解】 因为，，所以， 即，根据正弦定理得，因为， ，所以，根据二倍角公式得，因为，，所以，即， . 【小问2详解】 因为，，所以面积， 根据正弦定理，代入得，又， 所以， 所以面积，因为，所以， 即，又为锐角三角形，所以，代入解得，，所以面积. 18. 某市为普及文明城市创建知识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数； （2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层随机抽样的方法抽取12人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人? （3）若落在的平均成绩是65，方差是4，落在的平均成绩为75，方差是4，求这两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】（1），平均数为 （2）6人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得的值，由各组中点值与频率乘积的和求得样本成绩的平均数； （2）计算样本答卷成绩为，，的频率的比，按比例计算在中的市民应抽取的人数； （3）根据平均数及方差公式计算可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，样本答卷成绩在，，，，，内的频率分别为: ，，，，，. 所以， 解得. 样本成绩的平均数为. 【小问2详解】 由（1）知，样本答卷成绩在，，的频率之比为， 所以频数比为， 所以若用分层随机抽样的方法抽取12人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取人. 【小问3详解】 由（1）知，样本答卷成绩在，的人数分别为， 记落在的答卷成绩为，， 则，； 记落在的答卷成绩为，， 则，. 所以. . 19. 如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）由题得，在△中，，，所以. 又因为矩形，所以. 因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可证，再结合线面垂直的判定定理可证平面，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据等体积法，利用三棱锥的体积求点到平面的距离即可； （3）根据二面角的定义作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的性质求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在△中，，所以，所以. 在直角△中，. 由（1）知平面，所以点到平面的距离为. 设点到平面ABD的距离为d， 由，得， 所以. 【小问3详解】 如图，在平面内作于点，在平面内作于点，连接.    由（2）知，，又， 平面， 所以平面， 因为平面，故. 因为，，平面，所以平面. 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角. 因为，所以，解得， 因为平面，又平面，故， 所以． 由题意知直角三角形中，，， 故，又，则， 所以， 故二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年普通高中高一下学期期末教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（i为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 4 2. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面 C. 若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D. 若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 4. 如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是（ ） A. ①是棱台 B. ②不是圆台 C. ③是棱锥 D. ④是棱柱 5. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 6. 《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，在阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的取值范围是（ ） A. （0,9） B. （0,27） C. D. 8. 已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动，则正数的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C. 若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 10. 中国载人航天技术飞速发展，神舟二十三号载人飞船发射前夕，某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有100名学生进入决赛，把他们的决赛成绩（均为整数）分成六组得到如下频率分布直方图.则下列说法中，正确的有（ ） A. 频率分布直方图中m的值为0.010 B. 在参加学校决赛的100名学生中，成绩落在区间内的有60人 C. 根据此频率分布直方图可计算出这100名学生成绩的上四分位数为80分 D. 如果规定90分以上学生获得一等奖，估计有15%的学生获得一等奖 11. 已知，为非零向量，且满足，，则下列说法正确的有（ ） A. ，夹角的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值为____. 13. 记的三个内角的对边分别为，且，，若是的外心，则_____. 14. 如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数z是纯虚数，求m的值： （2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 16. 如图，在中，，，与的交点为M，过M作动直线分别交线段，于E，F两点. （1）用，表示. （2）设，. ①求的值， ②求的最小值. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 18. 某市为普及文明城市创建知识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数； （2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层随机抽样的方法抽取12人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人? （3）若落在的平均成绩是65，方差是4，落在的平均成绩为75，方差是4，求这两组成绩的总平均数和总方差. 19. 如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $