专题1.5 异面直线间的距离（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第三册

专题1.5 异面直线间的距离 教学目标 1.认识和理解两条异面直线的公垂线概念及其距离 初步感受求异面直线间的距离的多种方法. 教学重难点 教学重点：异面直线的公垂线 教学难点：找公垂线 知识点01异面直线的距离 （1）定理： 对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； （2）两条异面直线之间的距离定义：将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离； 【即学即练】是正角形所在平面外一点，分别是和的中点，且.    (1)求证：是和的公垂线； (2)求异面直线和之间的距离. 知识点02 异面直线距离求法 1、异面直线的距离公式 如图，已知两条异面直线 、 所成的角为 ，它们的公垂线段 的长度为 ，在直线 、 上分别取：点 、 ，设 ，则 . 2、求异面直线距离的常用方法 （1）直接法：找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度 （2）转化为线面距离：过其中一条直线b上的任一点作另一条直线a的平行线c，b和c所决定的平面与a之间的距离即为异面直线的距离 （3）转化为平行平面距离：过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离即为异面直线的距离 题型01 异面直线间的距离 【典例1】已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是 ． 【变式1】如图，已知长方体中，，，，则异面直线与距离是 ． 【变式2】如图，在四面体ABCD中，已知所有棱长都为a．求两异面直线与之间的距离． 【变式3】在棱长为a的正方体中，求： (1)与之间的距离； (2)AC与之间的距离． 【变式4】如图，已知正方体的棱长为1．求异面直线与之间的距离．      求异面直线距离的常用方法 （1）直接法：找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度 （2）转化为线面距离：过其中一条直线b上的任一点作另一条直线a的平行线c，b和c所决定的平面与a之间的距离即为异面直线的距离 （3）转化为平行平面距离：过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离即为异面直线的距离 题型02异面直线间的距离应用 【典例1】如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． E．均不是 【变式1】如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且．已知，，．则线段的长为 ． 【变式2】已知正四棱锥的所有棱长均为为的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为 ． 【变式3】在棱长为1的正方体中，E为的中点，M为AC上一点，N为DE上一点，MN的最小值为 ． 【变式4】在直二面角的棱上有两点，和分别在两个面上，并且都垂直于棱．若，，，求的长及和之间的距离． 异面直线的距离公式 如图，已知两条异面直线 、 所成的角为 ，它们的公垂线段 的长度为 ，在直线 、 上分别取：点 、 ，设 ，则 . 题型03点面距离 【典例1】如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，过的平面与棱相交于点. (1)求证：是的中点； (2)求点到平面的距离. 【变式1】《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，平面，，四边形中，，，，． (1)证明：四面体为鳖臑； (2)求点C到平面的距离． 【变式2】如图，已知点为所在平面外一点，若平面，，    (1)求证：面面； (2)若与面所成的角的大小为，，求点到平面的距离. 【变式3】如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 【变式4】如图，已知圆柱的高为5，直三棱柱的顶点、、在圆柱上底面的圆周上，顶点、、在圆柱下底面的圆周上，已知，，，为的中点． (1)求二面角的正切值； (2)求到平面的距离． 题型04 线面距离 【典例1】已知三棱锥中，与底面所成角相等，，为中点，点在上且截面.    (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离. 【变式1】已知正方体中，棱长为2，点是棱的中点. (1)连结，求证：直线与直线是异面直线； (2)求直线到平面的距离. 【变式2】如图,为菱形外一点,平面,,为棱的中点. (1)求证:平面; (2)若,求到平面的距离. 【变式3】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离. 【变式4】已知三棱锥中，平面，，， M为中点，过点M分别作平行于平面的直线交于点E，F． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求直线到平面的距离． 1．在正方体中，棱长为a，所在直线与成异面直线且距离为a的棱有 条． 2．已知正方体的棱长为a，异面直线DB与之间的距离为 ． 3．如图，已知长方体中，，，，则异面直线与BC距离是 ． 4．已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 5．在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为 . 6．在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为 . 7．已知正方体的棱长为1，则在正方体的顶点中，满足到平面的距离为的一个顶点为 . 8．如图，平面.正方形的边长为，，则到平面的距离是 . 9．已知正方体的棱长为1，点到平面的距离为 . 10．已知正方体棱长为，则点到平面的距离为 . 11．四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，是的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)求异面直线和之间的距离. 12．如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是和的中点，求异面直线EF与AB之间的距离．    13．如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求点B到平面的距离. 14．如图，在四棱锥中，△PAD为等边三角形，四边形是菱形，，，． (1)证明：平面平面． (2)求点A到平面的距离． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 异面直线间的距离 教学目标 1.认识和理解两条异面直线的公垂线概念及其距离 初步感受求异面直线间的距离的多种方法. 教学重难点 教学重点：异面直线的公垂线 教学难点：找公垂线 知识点01异面直线的距离 （1）定理： 对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； （2）两条异面直线之间的距离定义：将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离； 【即学即练】是正角形所在平面外一点，分别是和的中点，且.    (1)求证：是和的公垂线； (2)求异面直线和之间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明即可求证是和的公垂线； （2）由（1）知在等腰三角形中，直接求出异面直线和之间的距离. 【详解】（1）连接，如下图所示：    易知与是全等的正三角形， 又是的中点，所以； 又是的中点，可得； 同理可证 又； 所以是和的公垂线； （2）在等腰三角形中， 易知， 所以 即异面直线和之间的距离为. 知识点02 异面直线距离求法 1、异面直线的距离公式 如图，已知两条异面直线 、 所成的角为 ，它们的公垂线段 的长度为 ，在直线 、 上分别取：点 、 ，设 ，则 . 2、求异面直线距离的常用方法 （1）直接法：找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度 （2）转化为线面距离：过其中一条直线b上的任一点作另一条直线a的平行线c，b和c所决定的平面与a之间的距离即为异面直线的距离 （3）转化为平行平面距离：过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离即为异面直线的距离 题型01 异面直线间的距离 【典例1】已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是 ． 【答案】 【分析】证明平面，从而将异面直线与距离转换成点到平面的距离，接着证明平面即可结合正方体性质得所求距离为. 【详解】连接，因为平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离就是直线到平面的距离， 又平面，所以异面直线与距离就是点到平面的距离， 由正方体性质可知，平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面， 所以由正方体性质点到平面的距离为， 即异面直线与距离为. 故答案为：. 【变式1】如图，已知长方体中，，，，则异面直线与距离是 ． 【答案】 【分析】根据正方体的性质找出异面直线的公垂线，即可求出异面直线的距离； 【详解】 因为平面，则异面直线与距离是过作的垂线即的边上的高，， 则， 故答案为： 【变式2】如图，在四面体ABCD中，已知所有棱长都为a．求两异面直线与之间的距离． 【答案】. 【分析】取的中点，连接，证明为异面直线与的公垂线段，解三角形求其大小. 【详解】取的中点，连接， 因为， 所以，又平面，， 所以平面，平面， 所以， 由已知可得，为中点， 所以， 所以为异面直线与的公垂线段， 因为，， 所以， 所以异面直线与之间的距离为. 【变式3】在棱长为a的正方体中，求： (1)与之间的距离； (2)AC与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，，进而可得结果； （2）根据题意可得，，进而可得结果. 【详解】（1）设，连接， 因为为正方形，则， 且平面，平面，则， 所以与之间的距离为. （2）因为分别为的中点，则∥，且， 且平面，平面， 则平面，平面， 由平面，平面，可得，， 所以AC与之间的距离为. 【变式4】如图，已知正方体的棱长为1．求异面直线与之间的距离．    【答案】 【分析】证明平面平面，将异面直线与之间的距离转化为平行平面的距离，再转化为点到平面的距离，结合等体积法求解. 【详解】因为， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以异面直线与之间的距离与平面和平面之间的距离相等， 所以异面直线与之间的距离等于点到平面的距离， 设点到平面的距离为， 则， 又， 所以， ， 所以， 所以异面直线与之间的距离为.    求异面直线距离的常用方法 （1）直接法：找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度 （2）转化为线面距离：过其中一条直线b上的任一点作另一条直线a的平行线c，b和c所决定的平面与a之间的距离即为异面直线的距离 （3）转化为平行平面距离：过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离即为异面直线的距离 题型02异面直线间的距离应用 【典例1】如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】C 【分析】在上取点，使，连接、，过点作于点，结合题意可得平面，平面，故点到直线距离的最小值为，计算出即可得. 【详解】在上取点，使，连接、，过点作于点， 由，故，又平面， 平面， 故平面，由平面，平面，故， 故，又，，、平面， 故平面，故到平面的距离为， 又在线段上，故点到直线距离的最小值为， 由，故，则， 故. 故选：C. 【变式1】如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且．已知，，．则线段的长为 ． 【答案】4或2 【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，利用向量的数量积运算，结合题意已知可得结果. 【详解】由题意知，，所以， 展开得， 异面直线a，b所成角为，代入， 所以或， 故答案为：4或2 【变式2】已知正四棱锥的所有棱长均为为的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为 ． 【答案】/0.5 【分析】分析证明为异面直线的公垂线段，由此可求动点M到直线BE的距离的最小值即可. 【详解】 因为为等边三角形，为的中点， 所以， 由已知，，， 所以， 所以， 所以为异面直线，的公垂线段， 所以的长为动点M到直线BE的距离最小值， 所以动点M到直线BE的距离最小值为. 故答案为：. 【变式3】在棱长为1的正方体中，E为的中点，M为AC上一点，N为DE上一点，MN的最小值为 ． 【答案】 【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后，再画出正方体，把各个点的位置标出，然后在图中找出各条线段，根据直角三角形的斜边大于直角边可知：最小值就是异面直线的距离，最后在三角形中解出高即可 【详解】 如图，正方体中，平面又平面，又中平面 平面上所有直线；过作于 ， ，为所求 在中， 故答案为： 【变式4】在直二面角的棱上有两点，和分别在两个面上，并且都垂直于棱．若，，，求的长及和之间的距离． 【答案】，和之间的距离为. 【分析】过点作，，由条件证明平面，由此证明，利用勾股定理求，证明平面，由此可得距离与点到平面的距离相等， 等体积法求结论. 【详解】过点作，， 则四边形为平行四边形， 所以， 又，所以， 因为，所以为二面角的平面角， 由已知， 因为，平面， 所以平面，平面， 所以，因为，所以， 因为，，， 所以，又， 所以， 所以， 因为，平面，平面， 所以平面， 所以异面直线的距离与直线与平面的距离相等， 所以异面直线的距离等于点到平面的距离， 设点到平面的距离为， 则三棱锥的体积， ，， 所以， 所以和之间的距离为. 异面直线的距离公式 如图，已知两条异面直线 、 所成的角为 ，它们的公垂线段 的长度为 ，在直线 、 上分别取：点 、 ，设 ，则 . 题型03点面距离 【典例1】如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，过的平面与棱相交于点. (1)求证：是的中点； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）连接，由面面平行的性质定理得到，进而得到，结合E是棱的中点，得到结论； （2）根据等体积法可求. 【详解】（1）连接，如图所示. 因为平面平面，平面平面，平面平面，所以. 又，所以四边形为平行四边形，，. 又E是棱的中点，所以F是的中点. （2）在正方体中，易求. 在中，由余弦定理可求，， . 设点到平面的距离为d. ，， . 【变式1】《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，平面，，四边形中，，，，． (1)证明：四面体为鳖臑； (2)求点C到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）由余弦定理和勾股定理及逆定理得到⊥，为直角三角形，由题目条件得到⊥平面，⊥，为直角三角形，结合为直角三角形，得到结论； （2）由等体积法进行求解，得到点C到平面的距离. 【详解】（1）四边形中，，，，， 由勾股定理得，且， 故. 在中，由余弦定理得， 故，由勾股定理逆定理得⊥，为直角三角形. 因为平面，，故平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以⊥平面， 又因为平面，所以⊥， 故为直角三角形. 因为平面，平面，所以，， 所以为直角三角形. 综上，四面体为鳖臑； （2）， 因为平面，且，所以， 由（1）知⊥，在中，由勾股定理得， 所以， 设点C到平面的距离为，其中， 所以，点C到平面的距离为. 【变式2】如图，已知点为所在平面外一点，若平面，，    (1)求证：面面； (2)若与面所成的角的大小为，，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质判定，面面垂直的判定推理得证. （2）由线面角求出，由（1）的结论，作出点到平面的垂线段，进而求出长度. 【详解】（1）由平面，平面，得，而， 平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （2）由平面，得是与面所成的角，则， 而，则，在平面内过作于， 由（1）知，平面平面，平面平面，因此平面， 所以点到平面的距离为.    【变式3】如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再根据中位线的性质，结合线面平行的判断定理，即可证明； （2）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，即可证明，，即可证明线面垂直； （3）利用等体积，求点到平面的距离. 【详解】（1） 如图，连接，设，连接， 因，，可得是平行四边形，则， 又，则得， 因平面，平面，故平面. （2）由（1）已得，因，故四边形为菱形，则， 因平面 平面则， 又平面，故平面. （3）在中，， 因平面 平面则 在中，，同理，，， 故满足勾股定理，则， 故 而 ，设点D到平面的距离为d， 由等体积法得 ， 得 = 故点D到平面的距离为 【变式4】如图，已知圆柱的高为5，直三棱柱的顶点、、在圆柱上底面的圆周上，顶点、、在圆柱下底面的圆周上，已知，，，为的中点． (1)求二面角的正切值； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明平面，得，得到为二面角的平面角，计算边长，解三角形即可求得； （2）利用等体积转化即可求得点面距离. 【详解】（1）如图，连接，，因平面，平面， 则，又，，，平面， 故平面，又平面，故， 则即二面角的平面角． 在中，，，. 所以二面角的正切值为. （2），， 平面，即点到平面的距离为， 又平面，， 设点到平面的距离为， 则由，可得， 又， 所以，解得：， 即到平面的距离为. 题型04 线面距离 【典例1】已知三棱锥中，与底面所成角相等，，为中点，点在上且截面.    (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设在面上射影为，先证明是的外心，再证明点和点重合，由此证明结论； （2）方法一：根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明点到平面的距离即，结合平面求结论. 方法二：由线面平行性质定理证明，再证明平面，利用等体积法求点到面的距离，结合平面可得结论. 【详解】（1）与底面成相等的角，设点在平面上射影为， 则有， ∴ 且， ∴是的外心. 是直角三角形，且是斜边的中点， ∴点和点重合， ∴平面. （2）法一：由（1）平面，平面，则， 又，，平面， ∴平面，又平面，则①. 且，又， 也是等腰直角三角形，，， 截面，过的平面与平面交于， ，则②， 由①②，都在面内，则平面， ∴点到平面的距离即， ，且由知是中点， ∴.点到平面的距离为. ∴平面， ∴到平面的距离即为点到面的距离，即为.    法二：截面，过的平面与平面交于， ∴，是中点，则是中点，故， 由（1）平面，又平面， ∴，又，，平面， ∴平面，平面， ，且， ， ∵， 因为是中点，平面， 所以点到平面的距离为， 设点到面的距离为， ， ∴，故， ∵平面， ∴到平面的距离即为C点到面的距离，即为. 【变式1】已知正方体中，棱长为2，点是棱的中点. (1)连结，求证：直线与直线是异面直线； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据和不共面从而得结论; （2）由直线到平面的距离转换为点到平面的距离，再根据直线和平面的垂直，即可得答案. 【详解】（1）假设和共面，因为，，可确定平面，则平面，而是棱的中点，平面，所以和共面不成立，故和不共面. 故直线与直线是异面直线. （2）因为在正方体中，所以，平面，平面， 所以平面，直线到平面的距离，即点平面的距离， 连接，与交于点， 在正方体中，所以， 又在正方体中，所以平面，由平面， 所以，又，平面，平面， 所以平面.所以的长度即点平面的距离， 因为正方体中，棱长为2，所以 的长度为. 故直线到平面的距离为. 【变式2】如图,为菱形外一点,平面,,为棱的中点. (1)求证:平面; (2)若,求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）连接，根据已知得和，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）先把到平面的距离转化为点到平面的距离,再利用等体积法求解即可. 【详解】（1）连接,如图: 因为,四边形为菱形, 所以, 又为棱的中点, 所以, 因为, 所以, 因为平面,平面, 所以, 又平面,平面, 所以平面. （2）因为平面,平面, 所以平面, 则到平面的距离即为点到平面的距离, 设点到平面的距离为, 因为,,平面,,四边形为菱形, 所以, 解得, 即到平面的距离为. 【变式3】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，利用中位线的性质易知，结合线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）因为平面，直线到平面的距离即点到平面的距离，取的中点，连接，分析可知平面，结合等体积法可求出点到平面的距离. 【详解】（1）连接，并交于点， 因为四边形为正方形，则为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，因此平面. （2）因为平面，直线到平面的距离即点到平面的距离， 取的中点，连接，如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，， ， 因为平面，所以平面， 所以. 因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，则， 因为，、平面，故平面， 因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以，， 因为平面，平面，所以， 故， 所以， 设点到平面的距离为，则，解得， 因此，直线与平面的距离为. 【变式4】已知三棱锥中，平面，，， M为中点，过点M分别作平行于平面的直线交于点E，F． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）先明确要求的线面角，然后在直角三角形中求解. （2）可以转化为点到面的距离，然后利用体积法求解. 【详解】（1）如图：连接，. 因为平面，所以为所求直线与平面所成的角. 在中：因为，所以， 又为中点，所以. 所以：. （2）因为：平面，所以点到平面的距离即为直线到平面的距离，设为. 则. 又，， 所以. 所以：直线到平面的距离为2. 1．在正方体中，棱长为a，所在直线与成异面直线且距离为a的棱有 条． 【答案】4 【分析】由异面直线的判定可得结论． 【详解】解：在正方体中， 与成异面直线的棱且距离为a的有，，，，共4条． 故答案为：4． 2．已知正方体的棱长为a，异面直线DB与之间的距离为 ． 【答案】a 【分析】利用异面直线距离的意义求解即得. 【详解】在正方体中，平面平面， 且平面，平面，因此平面与平面的距离为， 而平面，平面， 所以异面直线DB与之间的距离为面与平面的距离. 故答案为：    3．如图，已知长方体中，，，，则异面直线与BC距离是 ． 【答案】4 【分析】因为分别与、垂直，故是与的公垂线，即可求解． 【详解】因为分别与、垂直，故是与的公垂线， 所以的长4就是与之间的距离， 故答案为：4 4．已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】由定义说明是异面直线与所成角或其补角，然后计算． 【详解】因为，所以是异面直线与所成角或其补角， 在直角中，，， 故答案为：．    5．在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】利用线面角的定义求得，进而求得，再利用线面垂直的判定与性质定理证得平面，从而得解. 【详解】在平面中过作，垂足为， 因为平面，所以为与平面所成角，则， 又平面，所以，， 又，所以，，， 因为，则， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以为点到平面的距离，即所求为. 故答案为：. 6．在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为 . 【答案】 【分析】先证明线面平行，得到直线到平面的距离等于点到平面的距离，证明线面垂直，得到即为点到平面的距离，求出答案. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 直线到平面的距离等于点到平面的距离， 连接，与相交于点，则⊥， 又⊥平面，平面， 所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故即为点到平面的距离， 因为正方体的棱长为2， 所以， 故直线到平面的距离. 故答案为： 7．已知正方体的棱长为1，则在正方体的顶点中，满足到平面的距离为的一个顶点为 . 【答案】点（中任填一个即可）（答案不唯一） 【分析】根据等体积转换，易求得点到平面的距离为，再证平面平面，则得点到平面的距离都是，即得答案. 【详解】 如图，在三棱锥中，设点到平面的距离为， 因正方体的棱长为1，易得,, 由等体积可得：,即，解得， 即点到平面的距离为. 连接交于点,则点为的中点，且平面, 故点到平面的距离等于点到平面的距离，也是. 由,可得,则， 因平面，平面，则平面， 同理可证平面,由平面， 故得平面平面，即平面内的任一点到平面的距离都是， 故点到平面的距离都是. 故答案为：点（中任填一个即可） 8．如图，平面.正方形的边长为，，则到平面的距离是 . 【答案】 【分析】证明线面平行，得到点到平面的距离等于到平面的距离，过点作⊥于点，证明出⊥平面，故的长即为到平面的距离，结合，，利用勾股定理等知识进行求解. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 即点到平面的距离等于到平面的距离， 过点作⊥于点， 因为平面，平面， 所以， 又⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故的长即为到平面的距离， 因为，，故， 则. 故答案为： 9．已知正方体的棱长为1，点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】根据等积法即可求解. 【详解】    设点到平面的距离为，由，得，解得. 故答案为： 10．已知正方体棱长为，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】利用等体积法，由求解即可. 【详解】 设点A到平面的距离为h，则， 中， ， ∵，∴， ∴点A到平面的距离为． 故答案为： 11．四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，是的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)求异面直线和之间的距离. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）取中点，连接，作，垂足为，再过点A作，连接，通过构造线面垂直，确定二面角的一个平面角，由等面积法及勾股定理计算即可； （2）利用线面平行的判定，确定异面直线的距离为线面距离结合（1）的结论计算即可. 【详解】（1） 取中点，连接，作，垂足为， 再过点A作，连接， 根据题意可知为正三角形， 则，， 又平面，则平面， 因为平面，则， 又平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，， 在中，， 在中，， 所以二面角的余弦值为. （2）根据底面是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 故平面， 所以线段的长度即为直线与平面间的距离， 也即异面直线和之间的距离. 由上可知，所以异面直线和之间的距离为. 12．如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是和的中点，求异面直线EF与AB之间的距离．    【答案】 【分析】取的中点G，连接EG、FG，则可证得∥平面，则异面直线EF与AB之间的距离即为直线AB与平面间的距离，再转化为点B与平面的距离，连接，，设，则可得BM为点B到平面的距离，然后求解即可. 【详解】解：取的中点G，连接EG、FG，所以∥， 因为∥，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面， 所以异面直线EF与AB之间的距离即为直线AB与平面间的距离， 即点B与平面的距离． 连接，，设． 因为∥，，所以． 因为平面，平面，所以， 因为∥，所以 因为，平面 所以平面，即BM为点B到平面的距离． 因为，， 所以， 即异面直线EF与AB之间的距离为．        13．如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求点B到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助棱柱性质及中位线性质，再结合线面平行性质定理即可得； （2）借助线面垂直的判定定理与性质定理可得，再借助等体积法计算即可得. 【详解】（1）由，分别为，的中点，则， 由直三棱柱性质可得，故， 又平面，平面，故平面； （2）由底面为直角三角形，，则， 又，则，由直三棱柱性质可得平面， 又、平面，则、，又、平面， ，故平面，又平面，故， 又、，， 则， 设点B到平面的距离为，则由， 可得，即， 即点B到平面的距离为. 14．如图，在四棱锥中，△PAD为等边三角形，四边形是菱形，，，． (1)证明：平面平面． (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据边长关系得出及，再应用线面垂直判定定理证明平面ABCD，最后应用面面垂直判定定理证明即可； （2）应用三棱锥体积公式应用等体积计算点到平面距离即可. 【详解】（1）证明：取棱的中点E，连接． 因为四边形是菱形，，所以． 因为E是棱AD的中点，所以，则． 因为为等边三角形，且，E是棱AD的中点，所以． 因为，所以，所以． 因为平面，平面，且，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）因为，所以的面积． 由（1）可知平面，且，则三棱锥的体积． 因为，所以的面积． 设点A到平面的距离为d，则三棱锥的体积． 因为，所以， 解得，即点A到平面的距离为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$