专题1.4 平面与平面的位置关系（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第三册

专题1.4 平面与平面的位置关系 教学目标 1.通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习，培养直观想象的核心素养． 2．借助平行关系的综合问题，提升逻辑推理的核心素养. 3. 通过学习平面与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养. 4. 通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养. 教学重难点 教学重点：①平面与平面平行的判定定理和性质定理②二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小③面面垂直的判定定理和性质定理 教学难点：能求简单二面角平面角的大小 知识点01 平面与平面平行 1、平面与平面位置关系 位置关系 定义 符号表示 平行 平面与平面没有公共点 ∥ 相交 平面与平面有且仅有一条公共直线 2、平面与平面平行的判定定理 （1）如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。） （2）符号语言 （3）图形语言 3、平面与平面平行的性质定理 （1）如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （2）符号语言 （3）图形语言 4、几个重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行 （2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另外一个 （4）夹在两个平行平面中的平行线段相等 （5）经过平面外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 注：①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行，把条件改成“一条”、“两条”、“无数条”都不一定成立 ②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面，但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行 5、半平面的定义 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面 【即学即练】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面. 证明： (1)； (2)平面平面. 知识点02 二面角 1、二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面． 2、符号语言： ①二面角. ②在,内分别取两点，(,),可记作二面角; ③当棱记作时，可记作二面角或者二面角. 3、画法 第一种是卧式法，也称为平卧式： 第二种是立式法，也称为直立式： 【即学即练】若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（   ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．关系无法确定 知识点03 二面角的平面角 1、定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 2、说明： ①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度； ②二面角的大小与垂足在上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的； ③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直； ④二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；当两个半平面合成一个平面时， ⑤当两个半平面垂直时，，此时的二面角称为直二面角. 3、二面角的平面角求法 （1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角. （2）三垂线定理及其逆定理 ①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角. (3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角. （4）面积射影法：根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原来的面积等于二面角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角； （5）法向量法：通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，求出二面角的一种方法。 【即学即练】设四边形是一个正方形，平面，，则二面角的大小为 . 知识点04 平面与平面垂直 1、平面与平面垂直定义 （1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. （2）符号语言: （3）图形语言 2、平面与平面垂直的判定定理 （1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) （2）符号（图形）语言:， 3、平面与平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)符号（图形）语言：，， . 【即学即练】如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，各棱长均为为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 题型01 平面与平面平行的判定 【典例1】如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； 【变式1】如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点．    (1)求证：平面； (2)若是线段的中点，证明：平面平面． 【变式2】如图，在四棱锥中，是正方形，分别是的中点． (1)求证：直线平面． (2)求证：平面平面． 【变式3】如图所示，已知四棱锥的底面为矩形，，，分别为，，的中点．求证：平面平面PCE． 【变式4】如图，在四棱锥中，，，四边形为菱形，，平面，E，F，Q分别是BC，PC，PD的中点. 证明：平面平面； 平面与平面平行的判定方法： (1)定义法：两个平面没有公共点． (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面． (3)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 题型02 补全面面平行的条件 【典例1】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是上一点且平面      (1)证明：为的中点； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 【变式1】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是的中点. 在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 【变式2】如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 【变式3】如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．    (1)求证：平面； (2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由． 【变式4】如图平面，是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点．当是的中点时，线段上是否存在点，使得平面平面，若存在指出点位置并证明，若不存在说明理由． 题型03 面面平行的性质 【典例1】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点． (1)证明：平面； (2)过F点作平面平面交于点，交于点， （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的值． 【变式1】如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且. (1)证明：； (2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【变式2】如图，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，平面平面.    (1)证明：； (2)证明：∥平面； (3)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式3】如图，在四棱锥中，，，，且四点共面.    (1)求证：底面为梯形； (2)是线段上的动点，线段上是否存在点，使平面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由. 【变式4】如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点. (1)求证：//平面； (2)求证：； (3)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使//平面？说明理由. （1）如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 题型04 二面角（定值） 【典例1】如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，则二面角的正切值为 . 【变式1】如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知是线段上的点， 且则二面角的正切值为 【变式2】在直三棱柱中，侧棱长为2，，且，D为中点，则二面角的正切值为 . 【变式3】在正方体中，二面角的平面角等于 ． 【变式4】在矩形中，平面，则平面与平面的夹角的正切值为 . （1）定义法；（2）三垂线法（3）面积投影法 题型05 二面角（最值范围） 【典例1】在三棱锥中，平面，，，三棱锥外接球的表面积为，则二面角正切值的最小值为 . 【变式1】在正方体中，N是上靠近点B的一个四等分点，M是棱上的动点，若平面与平面所成锐二面角的最小值为θ，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】在直三棱柱中，，，，，为线段的三等分点，点在线段EF上（包括端点）运动，则二面角的正弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】在正方体中，是棱的中点，是正方体棱上的一动点． (1)若为线段上的动点，求的最小值； (2)证明：平面平面； (3)若为线段上的动点，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 【变式4】如图，已知四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值的取值范围． （1）基本不等式；（2）二次（可化为二次）型； 题型06 根据二面角求参数 【典例1】如图，在四棱柱中，，平面．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【变式1】如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点. (1)若，求证：平面； (2)若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值. 【变式2】如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，． (1)证明：； (2)若二面角的余弦值为，求的值． 【变式3】如图，四棱锥中，底面，，. (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求. 【变式4】如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD，平面平面，平面平面. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)当MA为何值时，二面角的余弦值为． 题型07 证明面面垂直 【典例1】在平行六面体中，. (1)求证:平面 (2)求证:平面平面 【变式1】如图，在三棱锥P-ABC中，，，，棱的中点分别为. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 【变式2】如图1，在中，，，，分别为，，的中点，将沿翻折到的位置，如图2. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？请说明理由. 【变式3】如图所示的四棱锥中，平面，，，，． (1)若是中点，证明平面． (2)证明：平面平面； 【变式4】如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) 题型08 补全面面垂直的条件 【典例1】如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式1】如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【变式2】如图，在直四棱柱中，，，M是棱上一点． (1)求证：； (2)当M在上的何处时，有平面平面. 【变式3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 【变式4】如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形所在平面互相垂直，Q为的中点． (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由. 题型09 面面垂直的性质及其应用 【典例1】如图，在七面体中，底面是菱形，四边形是矩形． (1)证明：平面平面． (2)若，平面平面，求 【变式1】如图所示，在四棱锥，底面是正方形，与交于点，平面，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)是线段上一点，且满足，是否存在实数使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由 【变式2】如图所示，在四棱锥，底面是正方形，与交于点，平面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)是线段上一点，且满足，是否存在实数使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 【变式3】如图，在三棱柱中，． (1)若平面平面，求证：∥； (2)若平面平面，，求证：平面. 【变式4】如图所示，在三棱柱中，点D，E，F，G分别为棱，，，上的点，且，，，，四边形为矩形，平面平面，.    (1)证明：平面； (2)证明；平面. 平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 1．如图，是正三角形，、、互相平行且相等，且平面，，为的中点，则平面和平面所成的锐二面角的大小为 . 2．中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，在堑堵中，已知，则二面角的大小为 . 3．如图，在正方体中，是的中点，二面角的平面角是 ，其正切值为 ． 4．已知直线，，与平面，，，给出下列命题： ①，；②，； ③，；④，. 其中正确的命题是 填序号 5．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，且底面各边都相等，，M是上的一动点，当点M满足 时，平面平面． （只要填写一个你认为正确的条件即可） 6．已知直线l，m和平面，，且，，则下列命题中正确的是 . ①若，则    ②若，则 ③若，则    ④若，则 7．在长方体中，过直线的平面交直线于点E，交直线于点F，则四边形的形状为 . 8．已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，点P在正方体表面上运动，且平面，则动点P的轨迹（包含M，N）所围成图形面积为 . 9．已知，是不重合的平面，m，n是不重合的直线，下列命题中正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知l为空间的一条直线，，为空间的两个不同平面，则下列命题错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 11．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 12．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若侧面底面，求证：平面. 13．如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 14．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，为线段上一点． (1)当平面，求证：为的中点； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 平面与平面的位置关系 教学目标 1.通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习，培养直观想象的核心素养． 2．借助平行关系的综合问题，提升逻辑推理的核心素养. 3. 通过学习平面与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养. 4. 通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养. 教学重难点 教学重点：①平面与平面平行的判定定理和性质定理②二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小③面面垂直的判定定理和性质定理 教学难点：能求简单二面角平面角的大小 知识点01 平面与平面平行 1、平面与平面位置关系 位置关系 定义 符号表示 平行 平面与平面没有公共点 ∥ 相交 平面与平面有且仅有一条公共直线 2、平面与平面平行的判定定理 （1）如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。） （2）符号语言 （3）图形语言 3、平面与平面平行的性质定理 （1）如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （2）符号语言 （3）图形语言 4、几个重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行 （2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另外一个 （4）夹在两个平行平面中的平行线段相等 （5）经过平面外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 注：①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行，把条件改成“一条”、“两条”、“无数条”都不一定成立 ②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面，但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行 5、半平面的定义 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面 【即学即练】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面. 证明： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定、性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形，得是的中点. 而是的中点，则，又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以. （2）由，分别是，中点，得， 又平面，平面，则平面， 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又，平面，所以平面平面. 知识点02 二面角 1、二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面． 2、符号语言： ①二面角. ②在,内分别取两点，(,),可记作二面角; ③当棱记作时，可记作二面角或者二面角. 3、画法 第一种是卧式法，也称为平卧式： 第二种是立式法，也称为直立式： 【即学即练】若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（   ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．关系无法确定 【答案】D 【分析】举例验证两个二面角的位置关系，进而得到两个二面角的大小关系. 【详解】如图所示，平面平面ABC，    当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直， 因为二面角的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定． 故选：D. 知识点03 二面角的平面角 1、定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 2、说明： ①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度； ②二面角的大小与垂足在上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的； ③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直； ④二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；当两个半平面合成一个平面时， ⑤当两个半平面垂直时，，此时的二面角称为直二面角. 3、二面角的平面角求法 （1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角. （2）三垂线定理及其逆定理 ①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角. (3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角. （4）面积射影法：根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原来的面积等于二面角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角； （5）法向量法：通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，求出二面角的一种方法。 【即学即练】设四边形是一个正方形，平面，，则二面角的大小为 . 【答案】 【分析】由已知条件可证是二面角的平面角，在中，，即可求出的大小. 【详解】   平面，平面，， 又是正方形，， ，平面， 平面，平面，， 是二面角的平面角， 在中，，， 二面角的大小为. 故答案为： 知识点04 平面与平面垂直 1、平面与平面垂直定义 （1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. （2）符号语言: （3）图形语言 2、平面与平面垂直的判定定理 （1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) （2）符号（图形）语言:， 3、平面与平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)符号（图形）语言：，， . 【即学即练】如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，各棱长均为为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，结合中位线性质和线面平行的判定定理可得； （2）由线面垂直的性质定理得到，再由面面垂直的判定定理证明可. 【详解】（1）设，连接，可知为的中点， 因为为的中点，则， 且平面平面， 所以平面. （2）因为，且为的中点，则， 又因为平面平面，则， 且平面， 则平面，由平面，平面平面. 题型01 平面与平面平行的判定 【典例1】如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明出，得到四点共面； （2）先得到，，证明出线面平行，面面平行. 【详解】（1）∵，分别是，的中点， ∴是的中位线，∴， 又在三棱柱中，，∴， ∴，，，四点共面. （2）∵在三棱柱中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. 又，是，的中点，所以，又. 所以， ∵平面，平面，∴平面. 又，平面， 所以平面平面. 【变式1】如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点．    (1)求证：平面； (2)若是线段的中点，证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明； （2）利用面面平行的判定定理证明. 【详解】（1）证明：由四边形为正方形可知， 连接必与相交于中点，故， 面平面， 面．    （2）由点分别为中点可得：， 面平面平面， 又由（1）可知，平面， 且，平面, 故平面平面． 【变式2】如图，在四棱锥中，是正方形，分别是的中点． (1)求证：直线平面． (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形中位线定理和正方形性质得到，再由线线平行证明线面平行即可； （2）先证明直线平面，结合（1）已证直线平面，利用线面平行即可证明面面平行. 【详解】（1）因分别是的中点，则， 又是正方形，则，故， 因平面，平面，故直线平面. （2）因分别是的中点，则， 又平面，平面，故直线平面， 由（1）已证直线平面， 因平面，故平面平面. 【变式3】如图所示，已知四棱锥的底面为矩形，，，分别为，，的中点．求证：平面平面PCE． 【答案】证明见解析 【分析】由，所以平面，由四边形为平行四边形，所以，可得平面，进而可得结果. 【详解】证明  ：因为，分别为，的中点， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． 又由已知得，且， 所以四边形为平行四边形， 所以．而平面，平面， 所以平面． 又平面，平面，， 所以平面平面． 【变式4】如图，在四棱锥中，，，四边形为菱形，，平面，E，F，Q分别是BC，PC，PD的中点. 证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】利用面面平行的判定定理即可证明得出结论. 【详解】因为四边形为菱形，所以， 又E，F，Q分别是BC，PC，PD的中点， 所以，，故， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可得平面. 因为，，平面， 所以平面平面. 平面与平面平行的判定方法： (1)定义法：两个平面没有公共点． (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面． (3)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 题型02 补全面面平行的条件 【典例1】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是上一点且平面      (1)证明：为的中点； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为中点 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得为的中点. （2）通过证明面面平行的方法来确定点的位置. 【详解】（1）连接，设，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，又底面为平行四边形，所以为的中点， 所以为的中点． （2）存在，为中点时，平面平面， 因为为中点，为的中点，所以， 由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面， 同理可证得平面， 由于，平面， 所以平面平面.    【变式1】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是的中点. 在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 【答案】存在，为中点，证明见解析 【分析】分析，当为中点时，由线面平行判定定理得平面，平面，再结合面面平行判定定理求证即可得结论. 【详解】存在，为中点时，平面平面， 连接，设，连接，易知， 因为为中点，为的中点，所以， 由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面， 同理可证得平面， 由于，平面， 所以平面平面. 【变式2】如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明见解析 【分析】（1）过点作，交于点，连接，证得证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解； （2）取取一点，使得，证得，得到平面，结合（1）中平面，利用面面平行的判定定理，证得平面平面． 【详解】（1）过点作，交于点，连接， 因为为的三等分点，可得， 又因为为的三等分点，可得， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由平面，平面，所以平面. （2）当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明如下： 取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又由（1）知平面，且，平面， 所以平面平面， 即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面． 【变式3】如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．    (1)求证：平面； (2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判断定理，判断，即可证明线面平行；（2）根据面面平行的判断定理，转化为判断线线平行，即可确定点的位置，即可证明. 【详解】（1）因为分别是的中点， 所以，且平面，平面， 所以平面； （2）存在，点是的中点，此时，连结    因为分别是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 由（1）可知，平面，且，且平面， 所以平面平面， 所以上存在中点，使平面平面. 【变式4】如图平面，是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点．当是的中点时，线段上是否存在点，使得平面平面，若存在指出点位置并证明，若不存在说明理由． 【答案】存在为中点使面面，理由见解析 【分析】取的中点，连接，由面面平行的判定定理即可证明平面平面． 【详解】存在为中点，使得平面平面，理由如下： 当为中点，连接， 又是的中点，是的中点， 所以，， 而平面，平面，所以平面， 同理可证面， 又，即平面平面， 综上，为中点时平面平面． 题型03 面面平行的性质 【典例1】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点． (1)证明：平面； (2)过F点作平面平面交于点，交于点， （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)（i）证明见详解；（ii） 【分析】（1）连接交于，由三角形中位线可证，进而由线面平行的判定定理可证； （2）（i）由面面平行的性质定理可证；（ii）猜测点H为靠近点P的三等点，在此基础上证明平面平面即可. 【详解】（1）连交于，因为底面为平行四边形， 所以为的中点，而为的中点，所以， 又平面平面； 所以平面； （2）（i）因为平面平面，平面平面，平面平面， 由面面平行的性质定理可得； （ii）当为的三等点且时，有平面平面，下面证明： 因为为上的点，且，所以在中，，所以， 由（1）知平面，因为平面，所以平面， 由（i）可知，因为平面，平面，所以平面， 因为，所以平面平面，所以. 【变式1】如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且. (1)证明：； (2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）设交AC于点O，由题意可得PO⊥AC，，可证得平面，进而证得结论. （2）在线段PE取一点G，使得，由题意可得，可证得平面，进而可得平面平面，再证得，可得的值. 【详解】（1）设交于点O，连接，正方形中，则，， 又，则，又平面， 因此平面，而平面， 所以. （2）侧棱上存在一点F，满足条件， 证明如下：如图，正方形中，， 在线段取一点G，使得，由，得， 连接，则，而平面，平面， 则平面，由平面，，平面， 得平面平面，而平面平面，平面平面， 于是，， 所以＝. 【变式2】如图，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，平面平面.    (1)证明：； (2)证明：∥平面； (3)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，3 【分析】（1）根据题意可证∥平面，结合线面平行的性质即可得结果； （2）根据平行关系可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （3）取中点，连接，，可证平面∥平面，根据面面平行的性质可得，再结合平行线的性质运算求解. 【详解】（1）因为为平行四边形，则， 且平面，平面，可知∥平面， 又因为平面平面，平面， 所以. （2）取中点，连接，，    则，且， 可知，则四边形为平行四边形，可得， 且平面，平面， 所以∥平面. （3）存在，使平面，，理由如下： 取中点，连接，，    则∥，且平面，平面， 所以∥平面， 又因为∥平面，且，，平面， 所以平面∥平面， 平面平面，平面平面， 可得， 因为为中点，且为中点，可得， 又因为，所以. 【变式3】如图，在四棱锥中，，，，且四点共面.    (1)求证：底面为梯形； (2)是线段上的动点，线段上是否存在点，使平面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，证明见解析 【分析】（1）先证明，再利用线面平行的判定定理证平面，再利用线面平行的性质定理证明； （2）取为上靠近点的三等分点，证明平面平面即可. 【详解】（1）因，， 则为线段靠近点的三等分点，为线段靠近点的三等分点， 则， 又平面，平面，则平面， 又因四点共面，则平面，平面平面， 则，则， 又，所以底面为梯形. （2）存在，为上靠近点的三等分点，证明如下： 连接，，因为上靠近点的三等分点，则, 因且，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 因平面，平面，则平面， 因，平面，平面，则平面， 又，平面，平面，则平面平面， 因为上的动点，则平面，则平面.    【变式4】如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点. (1)求证：//平面； (2)求证：； (3)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使//平面？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，理由见解析 【分析】（1）取中点，连、，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明； （2）先通过线面平行的判定证得∥面，在利用线面平行的性质证得∥； （3）取中点，连接，，利用面面平行的判定证明平面∥平面，再利用面面平行的性质即可证明∥平面. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连、 ∥ 又∥ ∥ 四边形为平行四边形， ∥， 又平面，平面，∥平面； （2）在梯形中，∥， 又面，面， ∥面， 面，面面   ∥   ∥ （3）取中点，连接，， ，分别为，的中点， ∥， 平面，平面， 平面， 又由（1）可得∥平面，，、平面 平面∥平面， 是上的动点，平面， ∥平面， 当为中点时，∥平面. （1）如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 题型04 二面角（定值） 【典例1】如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，则二面角的正切值为 . 【答案】 【分析】过作于，取中点，为中点，连接，根据二面角为直二面角，得面，进而可得为二面角的平面角，求解即可. 【详解】过作于， ∵二面角为直二面角， ∴面，面，所以， 取中点，为中点，连接，则， ∵是正三角形，∴，∴， 面，面，， 所以面，面，得， ∴为二面角的平面角， 令，则， ∴， ∴在中, 即二面角的正切值为 【变式1】如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知是线段上的点， 且则二面角的正切值为 【答案】 【分析】利用空间垂直关系作出二面角的平面角，再结合勾股定理和正切函数可求得正切值. 【详解】 由已知是线段上的点， 且 利用勾股定理可得：， 由余弦定理可得：， 过点作，连接，由底面， 底面，所以有， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 故就是二面角的一个平面角， 而，则， 则， 所以二面角的正切值为， 故答案为： 【变式2】在直三棱柱中，侧棱长为2，，且，D为中点，则二面角的正切值为 . 【答案】 【分析】作出二面角的平面角，利用几何法求出正切值. 【详解】在直三棱柱中，取中点，连接， 由D为中点，得，而平面，则平面， 又平面，则，过作于，连接， 由平面，于是平面，而平面， 因此，是二面角的平面角， 由，得，，而， 所以二面角的正切值. 故答案为： 【变式3】在正方体中，二面角的平面角等于 ． 【答案】 【分析】根据二面角的平面角的定义，做出角的示意图，求出角. 【详解】 在正方体中，面，面， 所以，因为，，平面， 所以平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为,在正方体中易知. 故答案为：(或). 【变式4】在矩形中，平面，则平面与平面的夹角的正切值为 . 【答案】/ 【分析】过点作于，连接，证明平面，则，从而可得即为平面与平面所成角得平面角，再解即可. 【详解】如图，过点作于，连接， 因为平面，平面， 所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以即为平面与平面所成角得平面角， ， 由， 得， 所以， 即平面与平面的夹角的正切值为.    故答案为：. （1）定义法；（2）三垂线法（3）面积投影法 题型05 二面角（最值范围） 【典例1】在三棱锥中，平面，，，三棱锥外接球的表面积为，则二面角正切值的最小值为 . 【答案】/ 【分析】先由球的表面积求得其半径，再利用球的截面性质求得的外接圆的半径，从而求得的取值范围，进而求得二面角正切值的取值范围，由此得解. 【详解】依题意，设的外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为， 则，则（负值舍去）， 因为平面，，所以，即，则（负值舍去）， 因为，所以为的外接圆的直径，即， 过作交于，连接，如图，    设，则由，得， 故，得，当且仅当时，等号成立， 故由三角形面积相等得， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 则，即二面角正切值的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用基本不等式求得的取值范围，再推得为二面角的平面角，从而得解. 【变式1】在正方体中，N是上靠近点B的一个四等分点，M是棱上的动点，若平面与平面所成锐二面角的最小值为θ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点D作，垂足为G，连接，得出为平面与平面所成的锐二面角，知当最大时，最小即可求解． 【详解】如图， 平面平面，过点D作，垂足为G，连接， 则即为平面与平面所成的锐二面角，， 当最大时，最小，不妨设， 因为， 所以， ， 故选：C． 【变式2】在直三棱柱中，，，，，为线段的三等分点，点在线段EF上（包括端点）运动，则二面角的正弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作辅助线，利用二面角的定义找到二面角的平面角，再设，用表示出二面角的正弦值，最后利用函数知识求二面角的正弦值的范围即可. 【详解】在直三棱柱中,平面ABC，且平面ABC，故， 又，，所以，. 如图，过点作交于点，则，故平面ABC， 因为平面ABC，故， 过点作交AB于点，连接DN， 因为平面，平面，且， 所以平面，又平面，则， 故即二面角的平面角. 设，在直角中，，所以，， 所以，. 所以， 则， 易知在上的值域为， 所以. 故选：C. 【变式3】在正方体中，是棱的中点，是正方体棱上的一动点． (1)若为线段上的动点，求的最小值； (2)证明：平面平面； (3)若为线段上的动点，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）应用展开图得出距离和最小； （2）先应用线面垂直判定定理得出得，进而应用面面垂直判定定理证明； （3）应用面面垂直性质定理得出平面，结合二面角定义得出为平面与平面的夹角，最后应用余弦定理结合值域求解. 【详解】（1）将平面展开到平面，    则，仅当共线时等号成立， 所以的最小值为 （2）连    由图，平面，平面，所以 因为四边形为正方形，所以，平面， 由线面垂直的判定定理可得平面，平面，所以 同理可得，平面， 故平面； 又因为 平面，故平面平面 （3）过点作，交于点，    所以， 则平面即为平面，平面即为平面， 则平面平面， 且平面，则平面， 且平面，则， 可知为平面与平面的夹角， 因为为线段上的动点，所以为线段上的动点， 在正方体，结合对称性可知： 当为线段的中点时，取到最大值，取到最小值， 此时，则； 当为线段的端点重合时，取到最小值，取到最大值； 综上所述：， 所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围 【变式4】如图，已知四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，再结合以及线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）分别取、的中点、，连接、、，推导出二面角的平面角为，证明出平面平面，可知二面角的正弦值等于，求出的取值范围，可得出的取值范围，即可得出的取值范围，即为所求. 【详解】（1）在直角梯形中，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）分别取、的中点、，连接、、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 在直角梯形中，，则， 因为为的中点，，故，， 所以四边形为矩形，故， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为、平面，，所以平面. 因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以平面平面， 所以二面角是二面角的余角， 因此二面角的正弦值等于， 因为， 因为，故，所以， 综上所述，二面角正弦值的取值范围是. （1）基本不等式；（2）二次（可化为二次）型； 题型06 根据二面角求参数 【典例1】如图，在四棱柱中，，平面．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，由勾股定理证明线线平行，从而证明线面平行. （2）根据空间中点线面的位置关系，做出二面角的平面角，设出边长，由勾股定理和三角函数值，求出等式方程，解出边长. 【详解】（1）因为平面，而平面，所以， 又平面，所以平面， 而平面，所以． 因为，所以，故， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点作于，再过点作于，连接，    因为平面，平面，所以平面平面， 而平面平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 又，所以平面． 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，代入得， 又，而，所以，得， 故，解得，即． 【变式1】如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点. (1)若，求证：平面； (2)若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得，结合，可得平面； （2）由题意可得与平面所成角即为与平面所成角，过作于，连接，可得，可求得，利用等体积法可求得到平面的距离，可得与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为，又是的中点，所以， 又平面，平面，所以， 又底面是矩形，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面. （2）连接，因为，分别是，的中点，所以，， 又是的中点，底面是矩形，所以，， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以与平面所成角即为与平面所成角， 因为又平面，平面，所以， 过作于，连接， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以，所以， 由，可得，所以， 设到平面的距离为， 由，所以， 又，所以， 所以，解得， 又，所以与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的正弦值为. 【变式2】如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，． (1)证明：； (2)若二面角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）侧面是边长为2的正方形得到和的关系，、和的长度，根据侧面是平行四边形得到和，在中，由余弦定理得，判断的形状，证明平面，证明； （2）取的中点，记为D，连接，．证明，，平面，求出二面角的平面角，证明平面，记二面角为，表示出与的关系，找到和的关系，求出，求出，证明，求出. 【详解】（1）侧面是边长为2的正方形， ，，， 侧面是平行四边形， ， 在中，由余弦定理有， 解得，是直角三角形， ，，，平面， 平面，又平面， ； （2）取的中点，记为D，连接，， ，， ，， ，，平面， 平面，为二面角的平面角． 又平面，， 平面，记二面角为， 则，， ，． 平面，， ，，， 的值为． 【变式3】如图，四棱锥中，底面，，. (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得， 从而，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点作于，再过点作于，连接，确定即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可得到. 【详解】（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面. （2） 如图所示，过点作于，再过点作于，连接， 因为平面，平面，所以平面平面， 而平面平面，平面 所以平面，平面，， 又，，平面，平面， 又平面，， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 由二面角的余弦值为， 即，，即． 因为，设，则， 由等面积法可得，， 又， 而为等腰直角三角形，所以， 故，解得， 则.` 【变式4】如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD，平面平面，平面平面. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)当MA为何值时，二面角的余弦值为． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用线面平行的判定、性质推理即得. （2）在平面内过点作于，利用线面垂直的性质，线面垂直的性质、判定推理即得. （3）过作于，连接，确定二面角的平面角，借助余弦定理求解即得. 【详解】（1）菱形中，，平面，平面， 则平面， 而平面平面，平面， 所以. （2）在平面内过点作于，平面平面，平面平面， 则平面，而平面，于是， 又平面，平面， 则，而平面， 因此平面，又， 所以平面. （3）由（2）知平面，平面，则，菱形为正方形， 由平面，平面，得， 过作于，连接， ，而， 则≌，有，于是≌，则， 即，是二面角的平面角， 令，， ，而，在中，由余弦定理得： ，解得， 所以当的值为时，二面角的余弦值为． 【点睛】思路点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 题型07 证明面面垂直 【典例1】在平行六面体中，. (1)求证:平面 (2)求证:平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）因为平行六面体中，，平面，平面， 所以平面. （2）因为平行六面体中，， 所以平面是菱形，， 因为，，所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【变式1】如图，在三棱锥P-ABC中，，，，棱的中点分别为. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用等腰三角形中线可证明线线垂直，利用勾股定理可证明线线垂直，再通过线面垂直，最后可证明面面垂直即可. 【详解】（1） 因为棱的中点分别为， 所以，，所以， 又因为平面ADO，平面ADO，所以平面ADO. （2）因为，，O是BC的中点， 所以，且. 因为，所以， 所以，所以. 又因为，平面ABC，所以平面ABC. 又平面ABC，所以. 如图，连接OF，则，从而，且， 所以，得， 所以，所以. 由，，，平面，得平面， 又平面，所以平面平面. 【变式2】如图1，在中，，，，分别为，，的中点，将沿翻折到的位置，如图2. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在点为棱的中点时，满足平面平面，理由见解析. 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）根据线面垂直的判定定理证明即可； （3）取棱的中点，根据两平面平行的判定定理，证明平面平面，在用两平面垂直的判定定理，证明即可. 【详解】（1）因为在中，分别为，的中点， 所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在中，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 因为是由沿翻折到得到的， 所以，， 因为，平面，平面， 所以平面. （3）存在点为棱的中点时，满足平面平面. 如图，取棱的中点，连接，， 在中，因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面, 又平面，，平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，，所以平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【变式3】如图所示的四棱锥中，平面，，，，． (1)若是中点，证明平面． (2)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形中位线定理和条件证明，再由线线平行证得线面平行即可； （2）法一：取中点，连接，证明，利用勾股定理证得，即得，再由平面证明，最后由线线垂直证得平面，继而证得面面垂直；法二：同法一证得，利用面面垂直的判定定理证得平面平面，由面面垂直的性质定理推得平面，再由面面垂直的判断定理即可证得. 【详解】（1） 如图,取中点，连接，， 在中，，分别是、中点， 且， 又，且， ，四边形为平行四边形， ，因平面，平面， 平面. （2） 法一：如图，取中点，连接， 因，， ，即四边形为平行四边形， ，， 在中，，，， 则由可得，故． 因平面，平面，则， 又,平面，， 平面，平面，平面平面. 法二： 同法一，取中点，连接，同法证得， 平面，因平面，平面平面， 又平面平面，，平面平面， 平面，平面平面. 【变式4】如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，可知为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）由面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，利用勾股定理可证得，即可得到平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）证明：连接， 因为四边形为正方形，且为的中点，所以为的中点， 又因为为的中点，则， 平面，平面，平面. （2）证明：因为四边形为正方形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， ，所以，则， ，平面， 平面，又平面， 平面平面． 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) 题型08 补全面面垂直的条件 【典例1】如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用正三棱柱的特征及线面垂直的判定证明即可； （2）取的中点，不妨设，利用平行直线转化结合余弦定理解三角形求异面直线夹角即可； （3）先作于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可. 【详解】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面． 因为平面，所以. 因为是等边三角形，D为的中点，所以. 因为，平面，且， 所以平面． （2）如图，取的中点，连接，，则， 则是异面直线与CD所成的角或补角. 设，则，，，， 故， 即异面直线与CD所成角的余弦值为. （3）在中，作，垂足为E. 因为平面，且平面， 所以. 因为平面，且， 所以平面. 因为平面BCE，所以平面平面. 设，则，，故. 因为， 所以， 则，， 所以. 故在上存在点E，使得平面平面，此时. 【变式1】如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点，证明见解析． 【分析】（1）设为的中点，连接，，通过证明可得平面，进而可得结论； （2）当为的中点时，使平面平面，通过，可证明面面平行，进而可得面面垂直. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，，如图． ∵为正三角形， ∴． 在菱形中，， ∴为正三角形，又为的中点， ∴． 又，面 ∴平面． ∵平面，∴； （2）当为的中点时，满足平面平面． 证明如下： 在中，． 又平面，平面 ∴平面，同理，平面 在菱形中，． 平面，平面 ∴平面， 又平面，平面，， ∴平面平面． 由（1）得平面，而平面， ∴平面平面， ∴平面平面． 【变式2】如图，在直四棱柱中，，，M是棱上一点． (1)求证：； (2)当M在上的何处时，有平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)点M为棱的中点. 【分析】（1）证明，结合可得平面，即得证. （2）取的中点，的中点，连接交于点，连接，，证得平面，可得当点M为棱的中点时，平面. 【详解】（1）在直四棱柱中，平面，平面，则， 而，且平面，于是平面，而平面， 所以． （2）当点M为棱的中点时，平面平面． 如图，取的中点，的中点，连接交于点，连接，， 显然，则O是的中点，由N是DC的中点，，得， 在直四棱柱中，平面，平面， 于是平面平面，而平面平面，平面， 则平面，当点M为棱的中点时，，且， 因此是平行四边形，即，有平面，又平面，则平面平面， 所以点M为棱的中点时，有平面平面. 【变式3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）利用面面垂直的性质得平面，再利用线面垂直的性质判定推理作答. （2）取的中点，的中点，连接，再作出直二面角，并探讨线段长度关系，借助比例式求解作答. 【详解】（1）由侧面是正三角形，M是的中点，得， 由正方形，得，而平面平面，平面平面， 且平面，则平面，又平面，于是， 而平面， 所以平面. （2）取的中点，的中点，连接，连接，连接，连接，    于是，由正方形，得，则，令， 显然是正的中心，，， 又平面平面，平面平面，则平面， 平面，即有，而平面， 则平面，平面，在平面内过作交于， 显然，而平面，因此平面， 连接并延长交于，连接，于是平面平面， 过作，则有，，， ，，则，又，， 从而点是线段的中点，，过作交于， 于是，即，显然，因此， 所以在棱上存在点N使平面平面成立，. 【变式4】如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形所在平面互相垂直，Q为的中点． (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点N为AB中点，证明见解析 【分析】（1）通过证明底面来证得. （2）取为的中点，通过证明平面来证得平面平面. 【详解】（1）正三角形中，为的中点，故， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 又底面，所以； （2）存在点N，当N为AB中点时，平面平面，证明如下： 由（1）知：底面，又底面，所以， 因为四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，N为AB中点，所以， ，所以，所以， 因为，所以，所以， 而平面，所以平面， 又平面，所以平面平面；    题型09 面面垂直的性质及其应用 【典例1】如图，在七面体中，底面是菱形，四边形是矩形． (1)证明：平面平面． (2)若，平面平面，求 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件先证平面，平面，再利用面面平行的判定定理，即可求解； （2）根据题设条件得，利用面面垂直的性质可得，从而有，再利用，即可求解. 【详解】（1）平面是菱形，则， 又平面，平面，所以平面， 因为四边形是矩形，则， 又平面，平面，则平面， 又，平面，平面， 所以平面平面. （2）如图，设，取的中，连接， 因为，，又，面，所以面， 又面，所以， 又，则面，又面，则， 在和中，， 所以，则，∵是的中点，所以， 平面平面，平面平面，平面， 因为平面，∴， 又是的中点，∴， 又易知，，所以. 【变式1】如图所示，在四棱锥，底面是正方形，与交于点，平面，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)是线段上一点，且满足，是否存在实数使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由平面可得，由正方形的性质可得，进而结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据线面角的定义可得即为与平面所成角，进而求解即可； （3）取中点，连接，结合（2）中的结论可得平面平面，再由面面垂直的性质定理即可得到结果. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 在正方形中，， 因为平面， 所以平面. （2）由（1）知，平面， 所以即为与平面所成角， 因为，则， 则，又， 在中，. 即与平面所成角的正弦值为. （3）存在实数，使得平面，理由如下： 取中点，连接， 由（2）可知，因为，， 所以， 又平面，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面， 所以平面， 故存在实数，使平面． 【变式2】如图所示，在四棱锥，底面是正方形，与交于点，平面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)是线段上一点，且满足，是否存在实数使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，答案见解析 【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明； （2）由线面角的定义可得就是所求角，代入计算，即可得到结果； （3）结合（2）中的结论可得平面平面，再由面面垂直的性质定理即可得到结果. 【详解】（1）连接．由是正方形可知，点为中点． 又为的中点，所以． 又面，面， 所以平面． （2）证明：由底面，底面， ，由是正方形可知，， 又，、平面， 平面，即就是所求角， 因为 故所正弦值为． （3） 在线段上存在点，使平面．理由如下： 取中点，连接， 在四棱锥中，，， ． 由（2）可知，平面，而平面， 平面平面，且平面平面， ，平面，平面， 故在线段上存在点，使平面． 由为中点，得． 【变式3】如图，在三棱柱中，． (1)若平面平面，求证：∥； (2)若平面平面，，求证：平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意可证∥平面，结合线面平行的性质分析证明； （2）连接，根据面面垂直的性质可得平面，即可得，根据题意结合线面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）因为∥，且平面，平面，可得∥平面， 又因为平面，平面平面， 所以∥. （2）连接， 由题意可知：为菱形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 可知平面，且平面，可得， 且，，平面， 所以平面. 【变式4】如图所示，在三棱柱中，点D，E，F，G分别为棱，，，上的点，且，，，，四边形为矩形，平面平面，.    (1)证明：平面； (2)证明；平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）取的中点，利用平行公理及平行四边形性质，证明线面平行，进而证明面面平行，再利用面面平行的性质推理作答. （2）利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理作答. 【详解】（1）在三棱柱中，连接，取的中点，连接，如图，        因为，则，， 于是四边形是平行四边形，即有， 又平面，平面，则平面， 显然点为的中点，而点为的中点，则， 由，得，又，即有且， 于是四边形为平行四边形，则， 而平面平面，则平面， 又，平面，因此平面平面，而平面， 所以平面. （2）由四边形为矩形，得，因为平面平面， 平面平面，平面，因此平面， 而平面，则，又， ，于是， 因为平面，平面， 所以平面. 平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 1．如图，是正三角形，、、互相平行且相等，且平面，，为的中点，则平面和平面所成的锐二面角的大小为 . 【答案】 【分析】解法一，利用面积射影公式通过计算得出二面角的大小，.此时要注意：若二面角大于，则的补角的才是二面角的大小； 解法二，是添加辅助线或补形，作出二面角的棱，再用其他方法求解. 【详解】解法1（射影面积法）：∵平面，平面，平面， ∴是在平面内射影.设二面角大小为，则，设，则 ∵，，∴边上的高 ∴，∴，∴. ∴平面和平面所成的锐二面角的大小. 解法二（补棱）：如图，延长、相交于点，连结， ∵为的中点， ∴是.的中位线.∴. 又是正三角形，∴. ∴（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角）. 又平面，由三垂定理可知，. ∴是所求二面角的平面角. 又，故，即平面和平面所成的锐二面角的大小为. 故答案为：. 2．中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，在堑堵中，已知，则二面角的大小为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用几何法求出二面角大小. 【详解】在堑堵中，平面，平面，则， 而，平面，因此平面， 又平面，则，是二面角的平面角， 在中，，则. 故答案为： 3．如图，在正方体中，是的中点，二面角的平面角是 ，其正切值为 ． 【答案】 【分析】连接，得到，结合二面角平面角的定义即可求解. 【详解】在正方体中易知，连接， 所以， 又二面角的棱为,分别在两个办平面内， 所以二面角的平面角是； 设正方体棱长为1，则, 所以 故正切值为. 故答案为：； 4．已知直线，，与平面，，，给出下列命题： ①，；②，； ③，；④，. 其中正确的命题是 填序号 【答案】①② 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】①，，由平行公理得出，故①正确； ②，，由面面平行的性质得出，故②正确； ③，或，故③错误； ④，或，故④错误． 故答案为：． 5．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，且底面各边都相等，，M是上的一动点，当点M满足 时，平面平面． （只要填写一个你认为正确的条件即可） 【答案】（答案不唯一，，等都可） 【分析】先确定所填答案，如，再证明平面平面即可，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】由题知底面为菱形，则． 因为平面，平面，所以． 又，，平面，所以平面． 又平面，所以． 又，，，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． 故答案为：（答案不唯一，，等都可）. 6．已知直线l，m和平面，，且，，则下列命题中正确的是 . ①若，则    ②若，则 ③若，则    ④若，则 【答案】①④ 【分析】根据线面垂直的性质，面面平行的判定定理，面面垂直的性质逐一判断即可. 【详解】由直线l，m和平面，，且，，知： 在①中，若，则由线面垂直的性质得，而，所以，故①正确； 在②中，若，显然由可得，，此时不成立，故②错误； 在③中，若，则l与m相交、平行或异面，故③错误； 在④中，若，则，，故④正确. 故答案为：①④ 7．在长方体中，过直线的平面交直线于点E，交直线于点F，则四边形的形状为 . 【答案】平行四边形 【详解】在长方体中，平面平面，平面平面，平面平面， 则， 同理，由平面平面可得， 所以四边形为平行四边形. 故答案为：平行四边形. 8．已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，点P在正方体表面上运动，且平面，则动点P的轨迹（包含M，N）所围成图形面积为 . 【答案】 【分析】先证明平面平面，根据平面，得出平面，进而确定P的轨迹为正六边形，求解即可. 【详解】如图，分别取，，，，的中点E，F，G，H， 连接，，，，，，， 则，又平面，平面， 所以平面， 同理平面，又，平面， 所以平面平面， 在正方体中，易知平面， 所以平面， 又点P在正方体表面上运动， 故P点的轨迹为正六边形， 因为正方体的棱长为2，即， 所以，， 故正六边形的面积为. 故答案为：. 9．已知，是不重合的平面，m，n是不重合的直线，下列命题中正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】对于A，由，，分析出或，相交，即可判断；对于B，由，，分析出或，即可判断；对于C，由，，分析出，即可判断；对于D，过做平面，设，由，根据线面平行的性质定理可知，又由，可得，根据线面垂直的判定定理可得，即可判断D. 【详解】若，，则或，相交，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则，故C错误； 过做平面，设，若，则由线面平行的性质定理可知. 因为，所以，又因为，所以由线面垂直的判定定理可得， 故D正确. 故选：D 10．已知l为空间的一条直线，，为空间的两个不同平面，则下列命题错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】A 【分析】根据面面平行、面面垂直的判定定理和性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 若，则可能平行，可能相交，所以A错误； 对于选项B： 若，那么经过垂线的平面与另一平面垂直，所以，所以B正确； 对于选项C： 若，两平面平行，那么一平面内的任意一条直线与另一平面平行，所以，所以C正确； 对于选项D： 若，根据面面垂直的性质可知，所以D正确. 故选：A. 11．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明，再结合，利用线面垂直的判定定理可证平面. （2）根据平面，得到即为二面角的平面角，再在中，求的正弦. 【详解】（1）因为，，所以，. 又，，所以. 所以. 所以. 因为，即， 所以为直角三角形，且. 又平面，平面，所以. 平面，，所以平面. （2）因为平面，平面， 所以，. 所以即为二面角的平面角. 在中，，，，所以， 所以. 即二面角的正弦值为. 12．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若侧面底面，求证：平面. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，故，证明出平面； （2）由面面垂直得到线面垂直，即⊥平面，所以⊥，由三线合一得到⊥，故可证平面. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为是的中点，所以，， 底面为矩形，是的中点，所以，， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面； （2）底面为矩形，故⊥， 侧面底面，交线为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 侧面是正三角形，为的中点，所以⊥， 因为，平面， 所以平面. 13．如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】（1）借助长方体的性质与线面垂直的判定定理可得平面，再借助面面垂直的判定定理即可得证； （2）结合直线与平面所成角的定义可得等于直线与平面所成的角，再借助正弦的定义计算即可得； （3）找出符合要求的点，再借助线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）由长方体性质可得平面，又平面，故， 又，则底面为正方形，故， 又，、平面，故平面， 又平面，故平面平面； （2）令，连接、，由长方体性质可得， 则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 由（1）知平面，故等于直线与平面所成的角， ，，则， 即直线与平面所成的角的正弦值为； （3）存在，且，即点与重合，连接、、， 则， ， ， 有，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，故平面， 故在直线上存在点Q使得平面，且. 14．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，为线段上一点． (1)当平面，求证：为的中点； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，当为的一个三等分点（靠近A点） 【分析】（1）由题意可知为的中点，由线面平行的性质定理可得，即可得证； （2）由面面垂直的性质定理可得，只需满足，即可得平面，从而有平面平面，故只需找出成立时，求出点的位置即可. 【详解】（1）证明：因为为正方形，， 所以为的中点， 又因为平面，平面平面，平面， 所以， 又因为为的中点，所以为的中点； （2）存在，当为的一个三等分点（靠近A点）时，平面平面， 理由如下： 设， 因为为正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为在矩形中，设， 因为，，设， 在矩形中，因为，， 当时，即， 因此，又因为， 所以，在中，，故， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 在线段上是存在点，当为的一个三等分点（靠近A点）时， 平面平面. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$