第04讲 平面与平面间的位置关系 讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版必修第三册

本高中数学讲义聚焦平面与平面位置关系及异面直线距离核心知识点，系统梳理面面平行的判定与性质、二面角的定义及求解、面面垂直的判定与性质，构建平行链、垂直链、距离链的空间位置转化体系，为学生提供递进式学习支架。 资料通过6大易错辨析（如面面平行判定需相交直线）、7类典例精讲（如二面角四步法求解），培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维严谨推理的能力。课中助力教师突破重难点，课后作业结合真题巩固，帮助学生查漏补缺，提升空间几何应用意识。

第04讲 平面与平面间的位置关系与异面直线距离 （核心知识+6易错辨析+7典例精讲+课后作业） 【题型一】面面平行证明 【题型五】证明面面垂直 【题型二】面面平行性质应用 【题型六】面面垂直证线面垂直 【题型三】求二面角 【题型七】求异面直线距离 【题型四】由二面角大小求线段长度或距离 【知识点01】平面与平面平行 1. 面面平行判定定理（核心证明考点） 文字表述：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行。 符号语言：若 ，则 。 口诀：一面两交，平行对面，面面平行。 2. 面面平行常用推论 （1）平行于同一个平面的两个平面互相平行； （2）垂直于同一条直线的两个平面互相平行。 3. 面面平行性质定理 文字表述：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得两条交线平行。 符号语言：若 ，则 。 4. 平行平面延伸性质 （1）面面平行 一个平面内任意直线平行于另一平面（线面平行）； （2）两个平行平面间的距离处处相等。 【知识点02】二面角 1. 二面角定义 从一条直线（棱）出发的两个半平面所组成的空间图形，叫做二面角，是刻画两平面开合程度的核心量。 2. 二面角的平面角（核心定义） 在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两条射线所成角即为二面角的平面角。 平面角三要素：共顶点、同垂直于棱、分属两个半平面。 取值范围：。 3. 直二面角 当二面角的平面角 时，该二面角为直二面角，是面面垂直的判定依据。 4. 二面角求解四步法 作：依据定义作出平面角；证：证明所作角为二面角平面角；算：解三角形求角度；答：规范书写结果。 【知识点03】平面与平面垂直 1. 面面垂直定义 若两个平面相交且所成二面角为直二面角，则两平面垂直，记作 。 2. 面面垂直判定定理 文字表述：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直。 符号语言：若 ，则 。 核心转化：线面垂直 面面垂直。 3. 面面垂直性质定理 文字表述：两个平面垂直，在一个平面内垂直于两平面交线的直线，垂直于另一个平面。 符号语言：若 ，则 。 核心转化：面面垂直 线面垂直。 4. 延伸性质 若两平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则该垂线必在另一平面内。 【知识点04】异面直线的距离 1. 核心定义 异面直线：空间中不平行、不相交的直线，无公共点、不共面。 公垂线：与两条异面直线同时垂直且相交的直线；公垂线段：公垂线夹在两异面直线间的线段。 异面直线距离定义：两条异面直线的公垂线段的长度，为两异面直线的最短距离。 核心性质：任意一组异面直线有且仅有一条公垂线，异面直线距离是两直线上任意两点连线的最小值。 2. 三大求解方法（必考） 方法一：定义法（几何法） 直接在几何体中作出公垂线段，利用平面几何知识直接计算线段长度。适用于正方体、长方体、正棱柱等规则几何体。 方法二：转化法（高频通用） 线线距离 线面距离：将其中一条直线平移至过另一条直线的平面，异面直线距离等价于直线到平行平面的距离，进一步可转化为点面距离求解。 方法三：向量公式法（万能公式） 设两异面直线方向向量为 ，两直线上任意两点构成向量 ，则距离公式： 【知识点05】空间位置转化总体系 平行链：线线平行 线面平行 面面平行 垂直链：线线垂直 线面垂直 面面垂直 距离链：异面直线距离 线面距离 点面距离 易错点1：面面平行判定条件缺失 误区：一个平面内两条直线平行于另一平面，即可判定面面平行。 正解：必须是两条相交直线，平行直线无法判定面面平行，两平面可能相交。 易错点2：平行平面内线线关系误判 误区：两平行平面内任意直线互相平行。 正解：仅满足线面平行，平面内直线可平行、可异面，并非全部平行。 易错点3：二面角平面角作图不规范 误区：两面内任意垂线均可作为二面角平面角。 正解：必须满足共顶点、垂直棱、分属两面三要素，缺一不可。 易错点4：面面垂直性质滥用 误区：两平面垂直，平面内所有直线垂直另一平面。 正解：仅垂直于交线的直线垂直另一平面，其余直线为斜交。 易错点5：面面垂直无传递性 误区：。 正解：面面垂直无传递性，两平面可平行、相交、垂直。 易错点6：异面直线距离高频误区 误区1：和两条异面直线都垂直的直线就是公垂线。 正解：必须同时满足垂直+相交，仅垂直不相交不是公垂线。 误区2：异面直线上任意两点连线长度为距离。 正解：仅公垂线段长度为最短距离，其余连线长度均大于等于距离。 误区3：异面直线存在多条公垂线。 正解：任意一组异面直线有且仅有一条公垂线。 【题型一】面面平行证明 【典例1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，不在同一直线上的三点在平面α上，点、、在平面β上，且,．求证：平面平面β．    【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形的判定与性质先证线线平行，再证线面平行，最后可证面面平行. 【详解】因为， 所以四边形为平行四边形，则， 又，所以，同理得， 由已知得，，且， 所以平面平面β. 【变式1-1】两个全等的正方形和所在平面相交于，，且，过点M作于点H．求证：平面平面． 【答案】证明：因为正方形ABCD中，，，所以． 平面，平面，则平面． 因为，，所以． 因为，所以，所以， 所以．因为平面，平面，则平面. ，平面． 所以平面平面． 【分析】先证明线线平行，得到线面平行，最后得到面面平行即可. 【详解】略. 【变式1-2】如图，为不共线的三点，，且；求证：平面平面； 【答案】见解析； 【分析】由题意，可得四边形和四边形是平行四边形，从而可得，即证平面；，即证平面，再由面面平行的判定定理可证平面平面. 【详解】证明：，且， 四边形和四边形是平行四边形， ，平面，平面， 平面；，平面， 平面，平面. 又，平面. 平面平面 【变式1-3】（1）叙述两个平面平行的判定定理，并证明; （2）如图，正方体中，分别为的中点，求证:平面平面. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）写出面面平行的判定定理，然后用反证法证明即可； （2）根据为正方体，，为，中点得到，，然后利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，即，，，，， 证明：假设， ∵，，， ∴，同理可得，， ∴，与矛盾，所以不成立， 所以. （2） 取中点，连接，，， ∵为正方体，，为，中点， ∴，，，， ∴四边形，为平行四边形，，， ∵平面，平面，平面，平面， ∴∥平面，∥平面， ∵平面，平面，， ∴平面∥平面. 【题型二】面面平行性质应用 【典例2-1】已知正方体，平面和线段，，，分别交于点E，F，G，H，则截面EFGH的形状不可能是（    ） A．梯形 B．正方形 C．长方形 D．菱形 【答案】A 【分析】根据面面平行的性质定理，可以得出，，由此可推断四边形EFGH一定为平行四边形，从而可得出答案. 【详解】因为面面，面面，面面， 所以， 同理可得，所以四边形EFGH为平行四边形， 所以截面EFGH的形状不可能是梯形. 若面面，此时四边形EFGH是正方形，也是菱形； 当是所在棱的中点，分别与 重合时，四边形EFGH是长方形. 故选：A. 【典例2-2】在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F是侧面内的动点，若平面，则点F轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，中点，连接，则易证平面平面，进而得当F的轨迹为线段时，则有平面，再根据勾股定理及三角形的中位线计算即可. 【详解】如图所示： 取中点，中点，连接， 因为 ， ， 所以 ， 平面，平面， 所以平面， 同理可证明平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 当F的轨迹为线段时，此时平面，则有平面， 此时. 故选：B. 【典例2-3】如图，，、为夹在平面、间的平行线段，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】连接、，证明出四边形为平行四边形，可证得结论成立. 【详解】证明：连接、， 因为，则、共面， 因为，平面平面，平面平面，所以，， 所以，四边形为平行四边形，所以，. 【变式2-1】设是两个不同的平面，是直线且.“”是“”的__________条件.（填“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“不充分不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】根据线面平行与面面平行的判定的判定与性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由直线且，则或与相交，所以充分性不成立； 反之：若且，根据两平面平行的性质，可得，即必要性成立， 所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为______________. 【答案】或 【分析】由可知，根据两平面在点的同侧和异侧分别讨论，结合相似可得解. 【详解】 由已知，平面，平面， 所以， 当平面，在点同侧时，由可知点在靠近平面一侧， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 当平面，在点异侧时， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 综上所述或， 故答案为：或. 【变式2-3】如图，点S是所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且．求证：平面．    【答案】证明过程见解析 【分析】作出辅助线，得到线线平行，进而证明出线面平行，面面平行，从而证明出线面平行. 【详解】在上取，使得，则， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，所以，则， 又中，，故， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，， 所以平面 平面， 因为平面，所以 平面.    【题型三】求二面角 【典例3-1】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，，为棱的中点，且，则二面角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，证得，和，得到为二面角的平面角，在中，利用余弦定理，即可求得二面角的余弦值. 【详解】因为点为的中点，且，所以， 又因为，可得， 取的中点，连接，如图所示，则，且， 因为，所以，所以为二面角的平面角，, 在中，， 由余弦定理得， 所以二面角的余弦值为. 故选：D.    【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正方体中，二面角的大小是______. 【答案】 【分析】直接由定义法求二面角即可. 【详解】 取中点，连接，设正方体棱长为1， 则， 由三线合一可知，平面，平面， 平面平面，所以二面角的平面角为， 而在直角三角形中，， 所以. 故答案为：. 【变式3-2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，，．求： (1)二面角的大小； (2)二面角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平面得为二面角的平面角可得答案； （2）取的中点得为二面角的平面角，求出正切值可得答案. 【详解】（1）长方体中，平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为是正方形，所以， 所以二面角的大小为； （2）取的中点，连接， 因为是正方形，所以， ，， 所以，可得， 所以为二面角的平面角， 因为， 所以， 可得. 【变式3-3】如图，在长方体中，，. (1)求二面角的大小； (2)若点P是的中点，求证：直线平面. 【答案】(1) (2)如图，连接，连接BD交AC于O，连接， 易证且， 所以是平行四边形，所以， 因为BP不在平面上，平面， 所以平面. 【分析】（1）连接BD交AC于O，连接，可得是二面角的平面角，进而计算可得二面角的大小； （2）连接，连接BD交AC于O，连接，四边形是平行四边形，可得，进而可证结论. 【详解】（1）如图，连接BD交AC于O，连接， 易证且，则是二面角的平面角 在中，，，则， 所以二面角的大小是； （2）略 【题型四】由二面角大小求线段长度或距离 【典例4-1】在的二面角的一个面上有一点，它到棱的距离等于，则点到另一个平面的距离为__． 【答案】1 【分析】利用二面角的定义，点到平面距离的意义求解即得. 【详解】二面角大小为，点，于，且， 过作于，连接，显然，而平面， 则平面，又平面，因此，是二面角的平面角， 即，于是， 所以点到另一个平面的距离为1. 故答案为：1 【变式4-1】（24-25高二·上海·课堂例题）二面角为，，且点到的距离为4，则点到棱的距离为________． 【答案】 【分析】作平面、于点，利用线面垂直的判定定理、性质定理可得，即，根据可得答案. 【详解】作平面，垂足为，做于点，连接， 因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，平面，所以， 所以，因为， 所以，即点P到棱l的距离为. 故答案为：.    【变式4-2】如图，一个坡面度数为，人在坡面上从点沿着与坡面与水平面的交线成的方向行走米到达点，问人离水平面的距离为多少米？ 【答案】米 【分析】过点作底面于，在底面内作于，连接，利用二面角的定义可知，计算出的长，即可计算得出的长. 【详解】解：如图，过点作底面于，在底面内作于，连接， 因为平面，平面，， ，，、平面，平面， 平面，所以，，故， ，，故（米）. 即人离水平面的距离为米． 【变式4-3】一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成的二面角的度数）是30°，斜坡上有一直道，它与坡脚水平线成60°角，沿这条直道向上行走100米后升高多少米？（精确到1米） 【答案】43 【分析】作出辅助线，证明出，找到就是坡面与水平面所成的二面角的平面角，根据三角函数关系求出的长即为答案. 【详解】如图，ABCD为坡面，EF是直道，米，． 设FH是点F到水平面的垂线，垂足为H，作，且交AB于G，连接GF． 因为FH⊥，平面， 所以FH⊥， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面 所以， 所以就是坡面与水平面所成的二面角的平面角． 由题知，． 因此（米）． 答：沿着这条直道向上行走100米后约升高43米． 【题型五】证明面面垂直 【典例5-1】如图，正方体，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的定义证明. 【详解】证明：如图， 连接，， ∴平面， ∴，， ∴是二面角的平面角， 又， 所以平面平面． 【变式5-1】（24-25高二上·上海静安·阶段检测）如图，ABCD是边长为1的正方形，平面，，    (1)证明： 平面平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判断定理，首先证明平面，即可证明面面垂直； （2）首先根据，构造二面角的平面角，再根据余弦定理求解. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）由条件可知，，，且， 所以， 过点作，连结，则，且 所以为二面角的平面角，    由（1）知，平面，平面，所以， 由，则，所以，则， 中，，， 所以，所以, 所以二面角的大小为. 【变式5-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点.    (1)求证：平面平面； (2)当二面角的大小为时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知可推得，又，根据线面垂直的判定定理得平面，然后根据面面垂直的判定定理，即可可证； （2）由已知可推得即为二面角的平面角，即，进而求出，在中得出，即可得答案. 【详解】（1）由题设，平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，故， 由圆的性质有，都在平面内，故平面， 由平面，所以平面平面. （2）由平面，所以在平面上的投影为， 所以直线CA与平面ABM所成角， 由二面角的大小为，，故， 由，则，，， 由平面，则，故. 所以直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 【变式5-3】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，四面体中，，，是的中点，且，，，求证： (1)平面平面； (2)平面 平面； (3) 平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）要证明平面ABC⊥平面ADC垂直，转化为证明平面; （2）要证明平面平面,转化为证明平面； （3）要证明平面平面，即证明平面. 【详解】（1）因为，且点是的中点， 所以， 由，，，所以,则， 且，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面 （2）因为，，且点是的中点， 所以，，，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面； （3）由（1）（2）可知，，， 且，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面. 【题型六】面面垂直证线面垂直 【典例6-1】已知正方体，点为线段上的点，则满足平面的点的个数为______. 【答案】1 【分析】根据面面垂直的性质定理及在一个平面内过一点作已知直线的垂线的唯一性可得结果. 【详解】在正方体中，面，所以平面面， 且平面面，连接，交于P，则有, 即，由面面垂直的性质定理有平面， 又在平面内过点作直线的垂线有且仅有一条， 故垂足点P有且仅有一个， 故答案为：1.     【变式6-1】空间四边形中，平面平面，，，且，求与平面所成的角的大小. 【答案】 【分析】根据面面垂直性质定理，结合直角三角形的性质，利用线面角的定义，可得答案. 【详解】如图所示，取的中点，连接，.    因为，所以，又平面平面， 平面平面，平面，所以平面. 因此，即为与平面所成的角. 由于，为斜边的中点，所以， 因为平面，且平面，所以，故. 【变式6-2】如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，使和折成互相垂直的两个面．求证：，且． 【答案】 如图①所示，折叠前的等腰直角三角形为， 因为为斜边上的高， 所以，，， 如图②所示，连接， 则有，，， 因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以平面， 因为平面， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以为等边三角形， 所以. 【分析】根据面面垂直的性质和勾股定理即可证明. 【详解】略 【变式6-3】（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)由是正方形，则， 因为面面，面面，，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）由是正方形可得，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理即可证明； （2）过作交于，连接，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理可得面，故可得即为直线与平面所成角，由已知长度即可求线面角. 【详解】（1）略 （2）过作交于，连接， 因为是正方形，则， 因为面面，面面，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，，面，面， 所以面， 所以即为直线与平面所成角， 因为正方形边长为2，，， 所以，， 所以， 因为， 所以，即直线与平面所成角的大小为. 【题型七】求异面直线的距离 【典例7-1】（24-25高二·上海·随堂练习）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是________． 【答案】a 【分析】由正方体性质结合异面直线公垂线定义即可得解. 【详解】由正方体性质可知分别与、垂直， 故是与的公垂线段， 所以与之间的距离为. 故答案为：. 【变式7-1】已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是______. 【答案】 【分析】由题意直线与的距离，即为点到的距离，然后求出点到的距离即可． 【详解】在正方体中，平面， 所以直线与的距离即为点到的距离， 又因为正方形的对角线为，且， 所以点到的距离为， 即异面直线与之间的距离是. 故答案为：． 【变式7-2】（24-25高二上·上海·随堂练习）S是矩形所在平面外一点，，，与成60°角，与成30°角，，求：    (1)直线与的距离； (2)求直线与的距离． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先证明是异面直线的公垂线段，然后结合异面直线所成角以及解直角三角形知识即可求解； （2）先证明是异面直线的公垂线段，然后结合异面直线所成角以及解直角三角形知识即可求解. 【详解】（1）如图所示，在矩形中，． ∵，∴． 又，∴是异面直线的公垂线段，其长度为异面直线的距离． 又，与成30°角， 故在中，是与所成的角，∴． 又，∴，即直线与的距离为； （2）在矩形中，，，∴， 又，∴是直线的公垂线段，其长度为异面直线的距离． 又，故在中，是异面直线与所成的角，∴． 又，∴，∴直线与的距离为． 【变式7-3】（24-25高二上·上海·随堂练习）已知四面体的所有棱长均为a，E、F分别是的中点．求： (1)异面直线的公垂线段及公垂线段的长； (2)异面直线和所成的角． 【答案】(1)是的公垂线段， (2)45° 【分析】（1）连接，由全等得，结合等腰三角形三线合一得，同理有，可得公垂线段是，结合勾股定理可求解长度； （2）取的中点G，说明和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角，结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）如图，连接， 由已知，得． 所以．因为E是的中点， 所以． 同理可证， 所以是的公垂线段． 在中，，， 所以．    （2）如图，取的中点G，连接，则． 所以和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角． 连接，在中，，，， 由余弦定理，得，所以． 故异面直线和所成的角为45°． 1. 面面平行核心 判定抓相交直线平行，性质抓平行交线平行，杜绝平行直线判定面面平行的误区。 2. 二面角核心 严格遵循三要素，四步解题法，范围固定 ，是面面垂直的判定依据。 3. 面面垂直核心 判定：线面垂直推面面垂直；性质：面面垂直推线面垂直，全程紧扣公共交线。 4. 异面直线距离核心 唯一公垂线段长度为最短距离；三大解法：定义几何法、线面转化法、空间向量万能公式法，是空间距离计算的重难点。 5. 考场万能口诀 面面平行看相交，二面角度重三垂； 面面垂直抓交线，线面转化解全题； 异面距离找公垂，最短长度是核心； 立体不凭肉眼判，定理公式为依据。 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期中）二面角的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二面角的定义判定选项即可. 【详解】由二面角的定义可知，二面角的平面角范围是. 故选：D 2．（24-25高二·上海·课堂例题）平面与平面平行的一个充分条件是（    ） A．上有两条直线与平行； B．上有无数条直线与平行； C．上任一直线与平行； D．上有一直线，且β上有一直线． 【答案】C 【分析】根据平面与平面平行的判定定理可判断. 【详解】对于A，若平面内有两条直线与平面平行，若这两条直线平行，则平面与平面可能平行或相交，故A错误； 对B，若平面内有无数条直线分别与平面平行，若这无数条直线互相平行，则平面与平面可能平行或相交，故B错误； 对于C，平面上任一直线与平面平行，则平面内一定有两相交直线与平面平行， 由面面平行的判定定理可得平面与平面平行，故C正确； 对于D，上有一直线，且β上有一直线，当时，平面与平面可能平行或相交，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高三上·上海·阶段检测）设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列条件中可以推出的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据线面平行垂直的性质与判定判断即可. 【详解】对于，如图所示，当为平面和平面的交线时，推不出，故A错误； 对于，如图所示，，，，但推不出，故B错误； 对于C，因为，，所以可得，又，所以，故C错误； 对于，因为，，所以可得，又因为，所以，故D正确. 故选：D. 二、填空题 4．（25-26高二下·上海·阶段检测）正四面体中，相邻两个面所成二面角的大小为________． 【答案】 【分析】在正四面体中，作出正四面体中相邻平面的二面角，利用余弦定理可求其锐二面角的大小. 【详解】 在正四面体中，E为中点，则， 又平面平面，所以就是平面与平面所成锐二面角的平面角， 设正四面体棱长为，，， 所以相邻两个面所成的锐二面角的大小为. 5．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，已知长方体中，，，，则异面直线与距离是________． 【答案】 【分析】根据正方体的性质找出异面直线的公垂线，即可求出异面直线的距离； 【详解】 因为平面，则异面直线与距离是过作的垂线即的边上的高，， 则， 故答案为： 6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F.已知AB＝6，则AC＝________ 【答案】15 【分析】根据面面平行的性质可以得到线线平行，从而利用平行线分线段成比例即可求解. 【详解】 如图，连接与平面交于点，连接， ，且平面 ，平面 ， ， 同理可得， 所以 故答案为：15 三、解答题 7．（25-26高三·上海·一轮复习）如图 1，在平行四边形中，，，. 现将沿着翻折至， 使得点 到达点 的位置且平面平面 （如图 2），点是线段的中点，点在线段上.求证: 平面平面. 【答案】 由题可知，和都是等腰直角三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以， 在中，为中点，，所以， 又，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面. 【分析】先证明，结合面面垂直性质定理证明平面，由此可得，再证明，根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论. 【详解】略 8．（24-25高二上·上海松江·阶段检测）一山坡的倾斜度（山坡面与水平面所成二面角的度数）是，斜坡上一直道，它和坡脚成，为解决山腰处居民的饮水问题，有甲、乙两种方案． 方案甲：一次性投资12万元打深水井，取用与坡脚水平的暗河中的水（经检验符合饮用水标准）； 方案乙：沿铺设自来水管道，第一个费用为1万元，以后每往上一个所需费用比前一个的费用扩大1倍； 如果处高出暗河，那么选用哪个方案比较合理？请你说明理由．（不考虑其他因素） 【答案】甲合理，理由见解析 【分析】先利用二面角的定义，结合正弦函数的定义求得的长，从而求得方案乙所需费用，进而得解. 【详解】如图所示，是坡面，是直道，设． 设是点到水平面的垂线，垂足，作且交于，连结．    根据三垂线定理，得就是坡面和水平面所成的二面角的平面角． 由题意得，． 因此，．则． 方案乙：铺自来水管道所需费用万元，万元， 万元，万元， 总共需要费用万元万元． 故选用方案甲比较合算． 9．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，四面体SABC的所有棱长为a． (1)求异面直线的公垂线段EF的长； (2)求异面直线EF与SA所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，根据三角形的性质可证明是的公垂线段，再根据勾股定理求其长度即可； （2）取的中点，连接，可得和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角，再根据余弦定理求解即可. 【详解】（1）如图，分别取的中点，连接． 由已知，得．所以，是的中点， 所以， 同理可证， 所以是的公垂线段． 在中，， 所以． （2）取的中点，连接，则， 所以和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角， 连接，在中， ， 由余弦定理，得，所以，故异面直线和所成的角为． 10．如图，在长方形中，，，设，（），将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)因为四边形为长方形，所以， 又平面平面ABC，平面平面，平面， 所以平面； (2)3 【分析】（1）应用面面垂直性质定理结合，即可得出线面垂直； （2）应用二面角定义得出二面角的平面角为，再应用边长计算求值. 【详解】（1）略 （2）如图所示，在（ⅱ）图中过点S作，垂足为O， 延长交于点E，连接． 由翻折知， 所以二面角的平面角为， 在（ⅱ）图中设，因为中，， 又因为相似，所以，所以， 可得，，， 又平面，所以平面，平面， 所以，又因为平面，平面，所以， 是相交直线，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以， 所以，解得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 平面与平面间的位置关系与异面直线距离 （核心知识+6易错辨析+7典例精讲+课后作业） 【题型一】面面平行证明 【题型五】证明面面垂直 【题型二】面面平行性质应用 【题型六】面面垂直证线面垂直 【题型三】求二面角 【题型七】求异面直线距离 【题型四】由二面角大小求线段长度或距离 【知识点01】平面与平面平行 1. 面面平行判定定理（核心证明考点） 文字表述：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行。 符号语言：若 ，则 。 口诀：一面两交，平行对面，面面平行。 2. 面面平行常用推论 （1）平行于同一个平面的两个平面互相平行； （2）垂直于同一条直线的两个平面互相平行。 3. 面面平行性质定理 文字表述：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得两条交线平行。 符号语言：若 ，则 。 4. 平行平面延伸性质 （1）面面平行 一个平面内任意直线平行于另一平面（线面平行）； （2）两个平行平面间的距离处处相等。 【知识点02】二面角 1. 二面角定义 从一条直线（棱）出发的两个半平面所组成的空间图形，叫做二面角，是刻画两平面开合程度的核心量。 2. 二面角的平面角（核心定义） 在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两条射线所成角即为二面角的平面角。 平面角三要素：共顶点、同垂直于棱、分属两个半平面。 取值范围：。 3. 直二面角 当二面角的平面角 时，该二面角为直二面角，是面面垂直的判定依据。 4. 二面角求解四步法 作：依据定义作出平面角；证：证明所作角为二面角平面角；算：解三角形求角度；答：规范书写结果。 【知识点03】平面与平面垂直 1. 面面垂直定义 若两个平面相交且所成二面角为直二面角，则两平面垂直，记作 。 2. 面面垂直判定定理 文字表述：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直。 符号语言：若 ，则 。 核心转化：线面垂直 面面垂直。 3. 面面垂直性质定理 文字表述：两个平面垂直，在一个平面内垂直于两平面交线的直线，垂直于另一个平面。 符号语言：若 ，则 。 核心转化：面面垂直 线面垂直。 4. 延伸性质 若两平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则该垂线必在另一平面内。 【知识点04】异面直线的距离 1. 核心定义 异面直线：空间中不平行、不相交的直线，无公共点、不共面。 公垂线：与两条异面直线同时垂直且相交的直线；公垂线段：公垂线夹在两异面直线间的线段。 异面直线距离定义：两条异面直线的公垂线段的长度，为两异面直线的最短距离。 核心性质：任意一组异面直线有且仅有一条公垂线，异面直线距离是两直线上任意两点连线的最小值。 2. 三大求解方法（必考） 方法一：定义法（几何法） 直接在几何体中作出公垂线段，利用平面几何知识直接计算线段长度。适用于正方体、长方体、正棱柱等规则几何体。 方法二：转化法（高频通用） 线线距离 线面距离：将其中一条直线平移至过另一条直线的平面，异面直线距离等价于直线到平行平面的距离，进一步可转化为点面距离求解。 方法三：向量公式法（万能公式） 设两异面直线方向向量为 ，两直线上任意两点构成向量 ，则距离公式： 【知识点05】空间位置转化总体系 平行链：线线平行 线面平行 面面平行 垂直链：线线垂直 线面垂直 面面垂直 距离链：异面直线距离 线面距离 点面距离 易错点1：面面平行判定条件缺失 误区：一个平面内两条直线平行于另一平面，即可判定面面平行。 正解：必须是两条相交直线，平行直线无法判定面面平行，两平面可能相交。 易错点2：平行平面内线线关系误判 误区：两平行平面内任意直线互相平行。 正解：仅满足线面平行，平面内直线可平行、可异面，并非全部平行。 易错点3：二面角平面角作图不规范 误区：两面内任意垂线均可作为二面角平面角。 正解：必须满足共顶点、垂直棱、分属两面三要素，缺一不可。 易错点4：面面垂直性质滥用 误区：两平面垂直，平面内所有直线垂直另一平面。 正解：仅垂直于交线的直线垂直另一平面，其余直线为斜交。 易错点5：面面垂直无传递性 误区：。 正解：面面垂直无传递性，两平面可平行、相交、垂直。 易错点6：异面直线距离高频误区 误区1：和两条异面直线都垂直的直线就是公垂线。 正解：必须同时满足垂直+相交，仅垂直不相交不是公垂线。 误区2：异面直线上任意两点连线长度为距离。 正解：仅公垂线段长度为最短距离，其余连线长度均大于等于距离。 误区3：异面直线存在多条公垂线。 正解：任意一组异面直线有且仅有一条公垂线。 【题型一】面面平行证明 【典例1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，不在同一直线上的三点在平面α上，点、、在平面β上，且,．求证：平面平面β．    【变式1-1】两个全等的正方形和所在平面相交于，，且，过点M作于点H．求证：平面平面． 【变式1-2】如图，为不共线的三点，，且；求证：平面平面； 【变式1-3】（1）叙述两个平面平行的判定定理，并证明; （2）如图，正方体中，分别为的中点，求证:平面平面. 【题型二】面面平行性质应用 【典例2-1】已知正方体，平面和线段，，，分别交于点E，F，G，H，则截面EFGH的形状不可能是（    ） A．梯形 B．正方形 C．长方形 D．菱形 【典例2-2】在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F是侧面内的动点，若平面，则点F轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【典例2-3】如图，，、为夹在平面、间的平行线段，求证：． 【变式2-1】设是两个不同的平面，是直线且.“”是“”的__________条件.（填“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“不充分不必要”） 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为______________. 【变式2-3】如图，点S是所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且．求证：平面．    【题型三】求二面角 【典例3-1】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，，为棱的中点，且，则二面角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正方体中，二面角的大小是______. 【变式3-2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，，．求： (1)二面角的大小； (2)二面角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【变式3-3】如图，在长方体中，，. (1)求二面角的大小； (2)若点P是的中点，求证：直线平面. 【题型四】由二面角大小求线段长度或距离 【典例4-1】在的二面角的一个面上有一点，它到棱的距离等于，则点到另一个平面的距离为__． 【变式4-1】（24-25高二·上海·课堂例题）二面角为，，且点到的距离为4，则点到棱的距离为________． 【变式4-2】如图，一个坡面度数为，人在坡面上从点沿着与坡面与水平面的交线成的方向行走米到达点，问人离水平面的距离为多少米？ 【变式4-3】一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成的二面角的度数）是30°，斜坡上有一直道，它与坡脚水平线成60°角，沿这条直道向上行走100米后升高多少米？（精确到1米） 【题型五】证明面面垂直 【典例5-1】如图，正方体，求证：平面平面． 【变式5-1】（24-25高二上·上海静安·阶段检测）如图，ABCD是边长为1的正方形，平面，，    (1)证明： 平面平面； (2)求二面角的大小. 【变式5-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点.    (1)求证：平面平面； (2)当二面角的大小为时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 【变式5-3】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，四面体中，，，是的中点，且，，，求证： (1)平面平面； (2)平面 平面； (3) 平面平面． 【题型六】面面垂直证线面垂直 【典例6-1】已知正方体，点为线段上的点，则满足平面的点的个数为______. 【变式6-1】空间四边形中，平面平面，，，且，求与平面所成的角的大小. 【变式6-2】如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，使和折成互相垂直的两个面．求证：，且． 【变式6-3】（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【题型七】求异面直线的距离 【典例7-1】（24-25高二·上海·随堂练习）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是________． 【变式7-1】已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是______. 【变式7-2】（24-25高二上·上海·随堂练习）S是矩形所在平面外一点，，，与成60°角，与成30°角，，求：    (1)直线与的距离； (2)求直线与的距离． 【变式7-3】（24-25高二上·上海·随堂练习）已知四面体的所有棱长均为a，E、F分别是的中点．求： (1)异面直线的公垂线段及公垂线段的长； (2)异面直线和所成的角． 1. 面面平行核心 判定抓相交直线平行，性质抓平行交线平行，杜绝平行直线判定面面平行的误区。 2. 二面角核心 严格遵循三要素，四步解题法，范围固定 ，是面面垂直的判定依据。 3. 面面垂直核心 判定：线面垂直推面面垂直；性质：面面垂直推线面垂直，全程紧扣公共交线。 4. 异面直线距离核心 唯一公垂线段长度为最短距离；三大解法：定义几何法、线面转化法、空间向量万能公式法，是空间距离计算的重难点。 5. 考场万能口诀 面面平行看相交，二面角度重三垂； 面面垂直抓交线，线面转化解全题； 异面距离找公垂，最短长度是核心； 立体不凭肉眼判，定理公式为依据。 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期中）二面角的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 2．（24-25高二·上海·课堂例题）平面与平面平行的一个充分条件是（    ） A．上有两条直线与平行； B．上有无数条直线与平行； C．上任一直线与平行； D．上有一直线，且β上有一直线． 3．（24-25高三上·上海·阶段检测）设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列条件中可以推出的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、填空题 4．（25-26高二下·上海·阶段检测）正四面体中，相邻两个面所成二面角的大小为________． 5．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，已知长方体中，，，，则异面直线与距离是________． 6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F.已知AB＝6，则AC＝________ 三、解答题 7．（25-26高三·上海·一轮复习）如图 1，在平行四边形中，，，. 现将沿着翻折至， 使得点 到达点 的位置且平面平面 （如图 2），点是线段的中点，点在线段上.求证: 平面平面. 8．（24-25高二上·上海松江·阶段检测）一山坡的倾斜度（山坡面与水平面所成二面角的度数）是，斜坡上一直道，它和坡脚成，为解决山腰处居民的饮水问题，有甲、乙两种方案． 方案甲：一次性投资12万元打深水井，取用与坡脚水平的暗河中的水（经检验符合饮用水标准）； 方案乙：沿铺设自来水管道，第一个费用为1万元，以后每往上一个所需费用比前一个的费用扩大1倍； 如果处高出暗河，那么选用哪个方案比较合理？请你说明理由．（不考虑其他因素） 9．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，四面体SABC的所有棱长为a． (1)求异面直线的公垂线段EF的长； (2)求异面直线EF与SA所成角的大小． 10．如图，在长方形中，，，设，（），将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $