天津市弘毅中学2024-2025学年高三上学期第一次过程性诊断数学试题

高三数学试卷 第 1 页（共 4 页） 天津市弘毅中学 2024—2025学年度第一学期第一次过程性诊断 高三数学 本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 第 I卷（选择题 共 45分） 一、选择题：本大题共 9小题，每小题 5分，共 45分，在每小题的 4个选项中，只有一项是 符合题目要求的，将答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．。 1.已知全集 U = {1,2,3,4,5,6}，集合 A = {1,2,4}，B = {1,3,5}，则(∁UA)⋂B = A. {1} B. {3,5} C. {1,6} D. {1,3,5,6} 2.设 x ∈ R，则“x2 + x − 2 > 0”是“|x − 2| < 1”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.函数�(�) = ����⋅��� 2 � 的图像可能是( ) A. B. C. D. 4.三个数� = 40.2, � = 30.4, � = ���0.40.5的大小顺序是( ) A. a b c  B. c a b  C. b c a  D. b a c  高三数学试卷 第 2 页（共 4 页） 5.计算式子 lg2 − lg 15 − e 2ln2的值为( ) A. -3 B. -2 C.—1 D.— 1 2 6.函数 sin( )y A x   的部分图象如图所示，则( ) A． 2sin( + )6 y x  B． 2sin(2 ) 3 y x   C． 2sin(2 ) 6 y x   D． 2sin( + )3 y x  7. 已知正六边形 ABCDEF边长为 2，下列说法正确的是( ) A. AC − AE = BF B. AC + AE = 4 C. AD ⋅ ED = AD ⋅ DE D. AD在AB 上的投影向量为AB 8.已知空间向量    0,1, 2 , 1, 2, 2a b    ，则向量 a  在向量 b  上的投影向量是（ ） A． 2 4 4, , 3 3 3      B． 1 2 2, , 3 3 3      C．  2,4,4 D． 4 2 2, , 3 3 3      9.将函数 g(x) = 2cos2 x + π6 − 1的图象，向右平移 π 4个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的 2倍，得到函数�(�)，则下列说法正确的个数是( ) ①函数�(�)的最小正周期为π ② 函数�(�)在区间 7π12 , 5π 4 上单调递增 ③ 函数�(�)在区间 2π3 , 5π 4 上的最小值为− 3 ④ x =  π 12是函数�(�)的一条对称轴 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 高三数学试卷 第 3 页（共 4 页） 第Ⅱ卷（非选择题 共 105分） 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分，将答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．。 10.设 i为虚数单位，复数 3 i 1 i    . 11. 若扇形的周长为 4，则扇形的面积的最大值是______. 12.设向量a ，b 不共线，�� = 2� + �� ，�� = � + � ，�� = � − 2� ，若 A，B，D三点共线， 则实数 p的值是__________． 13. 已知 tan(α + π4 ) = 1 2 ，则 2sinα+3cosα sinα+cosα =____________． 14. 已知 a，b，c为△ ABC的三个内角 A，B，C的对边，向量m = 3, − 1 ，n = (cosA, sinA)， 若m ⊥ n ，且 acos B +  bcos A = 2csin C，则角 B =__________． 15.如图，在▵ABC 中，∠BAC = π3，AD = 2DB，P 为 CD 上一点，且满足AP = mAC + 1 3AB ， m = ；若▵ABC的面积为 2 3，则|AP |的最小值为 ． 三、解答题：本大题共 5小题，第 16题 14分，第 17题 15分，第 18 题 15 分，第 19 题 15 分，第 20 题 16 分，共 75 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 16. 已知函数�(�) = 2���(� + �6 ) − 2����，． （1）求函数�(�)的值域、对称轴方程、单调递减区间； （2）� ∈ [ �2 , �],若���� = 4 5，求函数�(�)的值. 高三数学试卷 第 4 页（共 4 页） 17.在▵ABC中，角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c.已知 a = 39, b = 2, ∠A = 120∘． （1）求 sinB的值； （2）求 c的值； （3）求 sin B − C 的值． 18.如图，在四棱锥 O − ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的正方形，OA ⊥底面 ABCD，OA = 2， M为 OA的中点，N为 BC的中点： (1)证明：直线 MN//平面 OCD； (2)求直线 AC与平面 OCD所成角的余弦值． (3)求点 N到平面 OCD的距离. 19. 已知等差数列{��}的首项为 1，3�2 = �5.数列{��}为等比数列，且�2 − �2 = 1，�5 − �3 = 1． （1）求数列{��}和{bn}的通项公式； （3）设数列 �� ∙ bn 的前 n 项和为Sn，求Sn； （3）求证 �=1 � �2 �� ⋅ ��+1 = �(� + 1) 2��+1 . 20.设函数    2 lnf x ax x a    R ． (1)若  f x 在点   e, ef 处的切线斜率为 1 e ，求 a 的值； (2)求  f x 的单调区间； (3)若   exg x ax  ，求证：在 0x  时，    f x g x ．