北京市海淀区2024-2025学年高二下学期学业水平调研数学试卷

海淀区2025年高二年级学业水平调研 数学 2025.07 本试卷共6页，共两部分，19道题，满分100分.考试时长90分钟.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知数列满足，则的值为（ ） A. B. 16 C. D. 32 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. －10 B. －40 C. 10 D. 40 4. 某学校组织高二学生参加社会实践研学活动，研学路线有成都、南京、西安共3条．学校安排3名男教师和3名女教师一起负责研学活动，若每条路线安排男、女教师各1名，则不同的分配方案种数为（ ） A. 36 B. 72 C. 108 D. 216 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数有2个极值点 B. 函数在区间上没有零点 C. 函数在区间上单调递减 D. 曲线在点处的切线斜率小于零 6. 已知等差数列和等比数列，，则满足的数值m（ ） A. 有且仅有1个值 B. 有且仅有2个值 C. 有且仅有3个值 D. 有无数多个值 7. 甲、乙两名运动员进行某项比赛并约定：若其中一人连续赢两局，则此人获胜，比赛结束．已知每局比赛结果相互独立，且每局甲赢的概率为（没有平局）．则在第三局结束比赛的条件下，运动员甲获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数的定义域为，若对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数具有性质．下列四个函数中，具有性质的是（ ） A. B. C. D. ． 10. 已知函数．则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，函数在单调递减 B. 当时，函数有最大值2 C. 当时，函数有3个极值点 D. 当时，直线与曲线恰有2个交点 第二部分（非选择题共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知数列的通项公式为，则_____；记的前项和为，则_____．（用数字作答 12. 已知函数，则其定义域为_____，_____． 13. 现有甲、乙、丙三个人，需要执行某项试验任务，每个人至多执行一次．如果规定时间内某人完成任务，则试验成功，结束该任务；如果规定时间内某人不能完成任务，则撤回再由下一个人执行任务．若该项试验任务按照甲、乙、丙的顺序执行且甲、乙、丙三人在规定时间内完成任务的概率分别为，每个人能否完成任务相互独立，则试验成功的概率为_____． 14. 已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是_____． 15. 已知无穷数列的前项和满足，其中为常数，且．给出下列四个结论： ①实数； ②数列为等差数列； ③当时，对任意，存在，当时，； ④当恒成立时，一定为递减数列． 其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 17. 幻觉，是指模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象．幻觉率是指模型产生幻觉的概率．现抽取了由甲、乙、丙、丁四个公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： 公司 甲 乙 丙 丁 AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% （1）从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率低于2%的概率； （2）从表中提供的幻觉率低于2%的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率低于1.3%的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望; （3）已知某同学向表中乙或丙公司的某个AI模型进行了一次提问，经查证，该模型产生了AI幻觉，则该模型来自哪个公司的可能性更大?（结论不要求证明） 18. 已知函数． （1）当时，直线是曲线的一条切线，求的斜率的最小值; （2）当时，求证：函数存在极小值； （3）若存在实数，使得关于的不等式的解集为，直接写出的取值范围． 19. 给定正整数，若数列同时满足下列两个性质，则称数列为数列：①；②对任意，总存在，使得．记数列的个数为 （1）写出两个数列； （2）若为数列，求的值； （3）求的最大值． 海淀区2025年高二年级学业水平调研 数学 2025.07 本试卷共6页，共两部分，19道题，满分100分.考试时长90分钟.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 【11题答案】 【答案】 ①. 5 ②. 100 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】①②④ 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1） （2）单调增区间为和，单调递减区间为 【17题答案】 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）乙公司的可能性更大 【18题答案】 【答案】（1） （2）函数的定义域为. ， 令，则. 因为，所以，又因为，所以， 所以在上单调递增. 又因为， 当时，，所以， 又因为在上连续， 所以存在，使得，即， 所以当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增； 所以是的极小值点，函数存在极小值； （3） 【19题答案】 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析； （3）4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $