精品解析：贵州省黔南州2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷

黔南州2024－2025学年度第二学期期末质量监测 高一数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上． 3．选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写．在试卷、草稿纸上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据2，3，6，8，9，10的中位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 在中，E为边BC上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 从0~9这10个数中随机选择一个数，则事件“这个数平方的个位上的数字是6”的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为100的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（ ） A. 估计观看比赛场数的极差为6 B. 估计观看比赛场数的众数为2 C. 估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D. 估计观看比赛不超过2场的学生概率为 7. 如图，某数学建模活动小组为了测量河对岸的塔高，选取与塔底B在同一平面的两个测量基点C与D．现测量得，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高（ ） A. 20m B. C. 30m D. 8. 函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. z的虚部是2 C. 复数z的共轭复数为 D. 复数z在复平面内对应的点位于第四象限 10. 已知事件A，B满足，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件B可能为对立事件 B. 若事件A与事件B相互独立，则它们的对立事件也相互独立 C. 若事件A与事件B互斥，则 D. 若事件A与事件B相互独立，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，Q是侧面内的动点（含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 四点共面 B. 异面直线与所成的角为 C. 当点Q在线段上运动时，三棱锥的体积为定值 D. 当时，点Q的运动轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为锐角，且，则______． 13. 在一次猜灯谜活动中，共有10道灯谜、甲、乙两名同学独立竞猜，甲同学猜对了8道，乙同学猜对了4道，假设猜对每道灯谜是等可能的．若任选一道灯谜，则恰有一人猜对的概率为______． 14. 在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，三棱柱为一“堑堵”，P是的中点，，则该“堑堵”的外接球的表面积为______；在过点P且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的定义域M； （2）判断函数的奇偶性，若，求的值． 16. 已知平面向量，且． （1）求和的坐标； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 17. 在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题．条件①：；条件②：． （1）若，求的面积； （2）求的取值范围． 18. 2025年7月，黔南州“铁人三项赛”在州府都匀市举行．志愿者的服务工作是比赛成功举办的重要保障，都匀市某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值． （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数（保留两位小数）． （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取部分担任本市的宣传者．若这100名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和15，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和20，据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，E，F分别为线段PA，DC的中点． （1）证明：平面PBC； （2）证明：平面PBD； （3）若，记PC与平面PAB所成的角为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔南州2024－2025学年度第二学期期末质量监测 高一数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上． 3．选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写．在试卷、草稿纸上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】． 故选：D. 2. 样本数据2，3，6，8，9，10的中位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解. 【详解】因为样本数据个数是偶数，所以这组数据的中位数是第3位数和第4位数的平均数， 即. 故选：B. 3. 在中，E为边BC上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合线段的比例关系来推导的表达式. 【详解】由图形可知：． 故选：A 4. 从0~9这10个数中随机选择一个数，则事件“这个数平方的个位上的数字是6”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法求解出古典概型的概率. 【详解】从0~9这10个数中随机选择一个数，共有10种可能，其样本空间可表示为， 若一个数平方的个位上的数字是6，则该数是4或6，共2种情况，故所求概率为．故B正确. 故选：B. 5. 已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆台体积公式即可求得结果. 【详解】设上、下底面的半径分别为，高为h，母线， 则，， 所以. 故选：C. 6. 某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为100的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（ ） A. 估计观看比赛场数的极差为6 B. 估计观看比赛场数的众数为2 C. 估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D. 估计观看比赛不超过2场的学生概率为 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，利用极差的定义得到答案；B选项，先求出，比较频率得到众数为1；C选项，求出观看比赛不低于4场的学生所占百分比，进而求出学生约为220人；D选项，计算出观看比赛不超过2场的学生频率，进而判断D选项. 【详解】A选项，由表可知，估计观看比赛场数的极差为，A错误； B选项，由频率分布表的性质，得． 由表知，出现频率最高的场数为1，所以众数为1，B错误； C选项，因为观看比赛不低于4场的学生所占百分比为， 所以估计观看比赛不低于4场的学生约为（人），C错误； D选项，估计观看比赛不超过2场的学生概率为，D正确． 故选：D. 7. 如图，某数学建模活动小组为了测量河对岸的塔高，选取与塔底B在同一平面的两个测量基点C与D．现测量得，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高（ ） A. 20m B. C. 30m D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求得，在中，解直角三角形得解. 【详解】在中，由三角形内角和定理， 得. 由正弦定理，得，即，解得． 在中，，即塔高． 故选：C. 8. 函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据取整函数的定义求函数的值域. 【详解】设，其中，为的小数部分，则， 则， 所以函数的值域为：. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. z的虚部是2 C. 复数z的共轭复数为 D. 复数z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，利用复数模公式求解；对B，根据复数虚部概念判断；对C，根据共轭复数的定义判断；对D，根据复数的几何意义判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，复数的虚部为2，故B正确； 对于C，复数的共轭复数为，故C错误； 对于D，因为复数z在复平面内对应的点的坐标为，则复数z在复平面内对应的点位于第二象限，故D错误. 故选：AB. 10. 已知事件A，B满足，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件B可能为对立事件 B. 若事件A与事件B相互独立，则它们的对立事件也相互独立 C. 若事件A与事件B互斥，则 D. 若事件A与事件B相互独立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用事件的对立可对A判断；由利用相互独立事件的定义，可对B判断；利用互斥事件的概率公式，即可对C判断；利用相互独立事件的概率公式即可对D判断. 【详解】对于A，由对立事件的概率和为1，但，故A错误； 对于B，根据相互独立事件的性质可得事件与事件相互独立，则它们的对立事件也相互独立，故B正确； 对于C，若事件与事件互斥，则，故C正确； 对于D，根据相互独立事件的定义，，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，Q是侧面内的动点（含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 四点共面 B. 异面直线与所成的角为 C. 当点Q在线段上运动时，三棱锥的体积为定值 D. 当时，点Q的运动轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由题可得，，得得证；对B，连接，可得异面直线与所成的角为，求解判断；对C，由等体积法，可得，求解判断；对D，由题可得点Q的运动轨迹是在侧面内以的中点为圆心，半径的圆弧，求解判断. 【详解】对于A，如图1，在正方体中，易知． 又P，N分别是的中点，则，所以，即四点共面，故A正确； 对于B，如图2，分别连接，由题意，易知， 则异面直线与所成的角为，易知为等边三角形，故，故B错误； 对于C，如图3，由等体积法，得． 因为，可得平面，又点Q在线段上运动， 所以点Q到平面的距离为定值．又也为定值， 所以为定值，即为定值， 且，故C正确； 对于D，如图4，取的中点，易得平面， 当时，点Q的运动轨迹是在侧面内以的中点为圆心，半径的圆弧， 在中，由，，可得，同理，， 所以圆弧圆心角为，所以点Q的运动轨迹的长度为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为锐角，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，且为锐角，推出，根据即可求解. 【详解】因为为锐角，且，所以， 故． 故答案为：. 13. 在一次猜灯谜活动中，共有10道灯谜、甲、乙两名同学独立竞猜，甲同学猜对了8道，乙同学猜对了4道，假设猜对每道灯谜是等可能的．若任选一道灯谜，则恰有一人猜对的概率为______． 【答案】##0.56 【解析】 【分析】已知甲、乙两人猜灯谜的独立事件恰有一人猜对的概率P, 设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”,则. 【详解】设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则，， 所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为： ． 故答案为：. 14. 在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，三棱柱为一“堑堵”，P是的中点，，则该“堑堵”的外接球的表面积为______；在过点P且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①如图1，把原三棱柱补成正方体，则正方体对角线为外接球的一条直径，根据求出半径，再根据面积公式求解. ②如图2，取中点E，F，G构造面，由与线线平行推出与面平行，根据边长关系进一步推出四边形即为唯一的等腰梯形，求其面积即可. 【详解】如图1，将三棱柱补成正方体， 则外接球的半径，则外接球的表面积为． 如图2，分别取的中点为E，F，G，连接FG，EP，EF，PG． 因为F，G分别为的中点，所以且． 在直三棱柱中，且． 因为E，P分别为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以且，所以，且，所以P，E，F，G四点共面． 因为E，F分别为的中点，所以． 又,，所以． 因为且F，G分别为的中点，所以， 则，所以四边形即为符合要求的等腰梯形． 当E不是的中点时，不平行平面，则四边形不是等腰梯形，故等腰梯形有且仅有一个． 在等腰梯形中，,． 过点G作的垂线，交于点H， 所以． 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的定义域M； （2）判断函数的奇偶性，若，求的值． 【答案】（1）函数的定义域为； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，得，解出不等式，取交集即可； （2）通过计算，并与比较，即可判断奇偶性，根据奇偶性，即可求得. 【小问1详解】 由题意，， 由，解得， 则函数的定义域为． 【小问2详解】 由（1）知函数的定义域关于原点对称． 又， 所以函数为奇函数， 又，所以． 16. 已知平面向量，且． （1）求和的坐标； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两平行向量、垂直向量的坐标关系列方程求解； （2）求出、的坐标，直接代入向量夹角公式中求余弦值即可. 【小问1详解】 因为，所以，则， 因为，所以，则. 【小问2详解】 因为，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为. 17. 在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题．条件①：；条件②：． （1）若，求的面积； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①，由正弦定理和同角三角函数关系得到，故，由余弦定理得到，利用三角形面积公式进行求解； 选②，由余弦定理求出，，由三角形面积公式求出答案； （2）解法一：由余弦定理和基本不等式得到，结合三角形的三边关系可知，从而求出的取值范围； 解法二：由正弦定理得到，结合三角恒等变换得到，结合，求出，得到答案. 【小问1详解】 选条件①：由正弦定理，得． 因为，所以， 所以，得． 因为，所以． 在中，当时， 由余弦定理， 得，即，所以， 所以． 选条件②：因为，整理得． 由余弦定理，得． 因为，所以． 在中，当时， 由余弦定理， 得，即，所以， 所以． 【小问2详解】 解法一：由题设及（1）可知． 由余弦定理，得， 化简得．又， 所以， 解得， 当且仅当时等号成立， 由三角形的三边关系可知， 所以，即的取值范围为． 解法二：由题设及（1）可知． 由正弦定理，得， 所以， 得 ， 因为，则， 所以， 故， 所以，即的取值范围为． 18. 2025年7月，黔南州“铁人三项赛”在州府都匀市举行．志愿者的服务工作是比赛成功举办的重要保障，都匀市某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值． （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数（保留两位小数）． （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取部分担任本市的宣传者．若这100名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和15，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和20，据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差． 【答案】（1） （2）69.50；71.67 （3）32 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图中各小矩形的面积之和为1，列式求解； （2）根据频率直方图估算平均数公式，百分位数定义列式求解； （3）根据分层抽样的抽样比公式，结合总体方差运算公式进行求解即可. 【小问1详解】 ，解得. 【小问2详解】 由频率分布直方图易知每组的频率依次为， 所以这100名候选者面试成绩的平均数约为 . 因为， 设这100名候选者面试成绩的第60百分位数为x，则， 则，解得， 故第60百分位数为. 【小问3详解】 设第四组、第五组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为， 且两组频率之比为， 则第四组和第五组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为 ， 故估计第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差是32. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，E，F分别为线段PA，DC的中点． （1）证明：平面PBC； （2）证明：平面PBD； （3）若，记PC与平面PAB所成的角为，求的最大值． 【答案】（1）证明：证法一：如图1，取PB的中点为Q，连接EQ，CQ． 又E，F分别为线段PA，DC的中点，四边形ABCD为菱形， 所以且，且， 所以且，所以四边形EFCQ为平行四边形，所以． 又平面，平面PBC，所以平面PBC． 证法二：如图2，取PD的中点为G，连接EG，FG． 由中位线性质，可得，且，所以． 又平面，平面PBC，所以平面PBC． 同理可证平面PBC． 又，平面，平面EFG， 所以平面平面PBC． 又平面EFG，所以平面PBC． （2）证明：如图3，连接AC，BD． 因为四边形ABCD为菱形，所以． 因为平面，平面ABCD，所以． 又平面，平面PBD，，所以平面PBD． （3） 【解析】 【分析】（1）证法一：根据平行四边形性质以及线面平行的判定，可得答案；证法二：利用中位线性质以及线面平行判定，可得面面平行，根据面面平行的性质，可得答案. （2）根据菱形以及线面垂直的性质，可得线线垂直，利用线面垂直判定，可得答案. （3）利用等体积法，选定三棱锥，根据解三角形的思路，表示高与底，建立函数，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设． 因为四边形ABCD为菱形，而，故． 因为平面，平面，平面，平面ABCD， 故． 又因为，故． 而，故． 设d为点C到平面PAB的距离， 所以． 又． 由等体积法，有，故， 解得． 而PC与平面PAB所成的角为，所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $