第05讲 对数与对数函数（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第05讲 对数与对数函数 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 对数的定义 3 知识点2 常用对数与自然对数 4 知识点3 对数的基本性质及对数恒等式 4 知识点4 对数的运算性质 4 知识点5 换底公式 5 知识点6 对数函数的一般形式及定义域 5 知识点7 对数函数的图象及性质 6 知识点8 解对数不等式 7 题型破译 8 题型1 对数的运算 8 【方法技巧】对数的运算 题型2 对数函数的定义域 11 【方法技巧】对数函数的定义域 题型3 对数函数的图象与性质 13 题型4 对数函数的单调性 16 【方法技巧】对数函数的单调性 题型5 对数函数的值域与最值 19 题型6 对数函数中奇偶性的应用 21 题型7 对数函数值的大小比较 24 【方法技巧】对数函数值的大小比较 题型8 对数型糖水不等式的应用 27 04真题溯源·考向感知 29 05课本典例·高考素材 30 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）对数的运算性质的应用 （2）利用给定函数模型解决实际问题 （3）数式与对数式的互化 （4）比较对数式的大小 （5）对数函数的单调性 （6）对数的运算 单选题 填空题 解答题 北京卷T9（4分） 北京卷T7（4分） 北京卷T9（4分） 北京卷T4（4分） 北京卷T11（5分） 考情分析： 北京卷中，对数与对数函数多以单选、填空题（4~5 分，中低档题）出现，近三年均有考查，常与指数函数、不 等式、函数图象与性质结合。核心考查：（1）对数运算：对数的运算法则（同底数对数加减、对数的幂运算），对数 与指数的互化；（2）对数函数的图象及性质；易错点：对数运算时公式记错，忽略对数函数定义域等 复习目标： 1.掌握对数运算（对数的运算法则、对数与指数的互化）； 2.理解对数函数定义（定义域、底数范围），掌握图象（过定点、单调性）与性质（定义域、值域）； 3.能结合单调性比较对数式大小，解对数不等式； 4.会分析含参对数函数的单调性。 知识点1 对数的定义 如果（且），那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作 ，这里，a叫作对数的 底数 ，N叫作对数的 真数 ．    自主检测若（且），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为（且），所以. 故选：A. 知识点2 常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把记作 ，以无理数为底数的对数称为自然对数，并且把记为 知识点3 对数的基本性质及对数恒等式 性质1 负数 和 零 没有对数 性质2 1的对数是 ，即 性质3 底数的对数是 即 对数恒等式： ， 自主检测 （    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 知识点4 对数的运算性质 如果且，，，那么： （1） ； （2） ； （3） ． 推广：． ，， 自主检测计算： ． 【答案】11 【详解】原式 ． 知识点5 换底公式 换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 自主检测已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】． 知识点6 对数函数的一般形式及定义域 一般地，函数 叫作对数函数，其中 是自变量，x的范围是 对数函数的定义域 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数 大于0 ;若自变量在底数上，应保证底数 大于0且不等于1 自主检测1函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由解得或，又，且，所以 故选：B. 自主检测2在对数式中，实数的取值范围应该是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】由题意得，解得且. 故选：D. 知识点7 对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过定点 ，即时， 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 增函数 是上的 减函数 自主检测1函数 的图象恒过定点A，则A点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，当，即时，恒有， 所以A点的坐标为. 故选：C 自主检测2已知且，则函数的图象必经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】A 【详解】当时，函数的图象经过第一、二、四象限，如图， 当时，函数的图象经过第一、二、三象限，如图， 综上可知，函数的图象必经过第一、二象限． 故选：A． 知识点8 解对数不等式 （1）形如的不等式，借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分 与 两种情况讨论. （2）形如的不等式，应将化为 以为底数的对数式 的形式，再借助函数的单调性求解. （3）形如的不等式，基本方法是将不等式两边化为 同底的两个对数值 ，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集. （4）形如的不等式，可用 换元法（令） ，先解，得到的取值范围.然后再解的范围. 自主检测不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由，得， 所以，即， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 题型1 对数的运算 例1-1（24-25高三下·北京顺义·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，且当时，，则 ． 【答案】 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，且当时，， 则，故. 故答案为：. 例1-2若 则 （   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为 所以 则 . 故选：A. 例1-3（2025·北京·二模）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得. 故选：B. 例1-4计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 例1-5（2025·北京顺义·一模）在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， ， 两式相减可得：， 又， 所以， 所以， 故选：C 方法技巧 （1） 记熟对数运算法则（同底对数加减、乘除转化），按规则逐步算。 （2） 注意对数底数、真数的范围，避免无意义。 （3）遇到复杂式，用换底公式、拆 / 凑对数形式简化，方便运算。 【变式训练1-1】计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)1 (2)0 【详解】（1）原式； （2）原式. 【变式训练1-2·变载体】已知正实数满足，则 ． 【答案】15 【详解】因为，则． 故答案为：15. 【变式训练1-3·变载体】已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，又因为， 所以， 故选：B. 【变式训练1-4·变载体】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以． 【变式训练1-5·变载体】历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（    ）倍．（精确到1．参考数据：） A．87 B．88 C．89 D．90 【答案】 【详解】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级. 因为地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为， 所以， 且， 所以， 根据精确度要求精确到1，所以， 故选：C. 题型2 对数函数的定义域 例2-1（2025·北京海淀·模拟预测）若集合是函数的定义域，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以，故. 故选：C. 例2-2（2025·北京丰台·二模）函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为： 例2-3（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 方法技巧 （1） 对数函数，核心是真数(x > 0)；复合函数要保证每一层真数、底数都合规。 （2） 列不等式组：分别写真数(>0)、底数(>0)且不等于1)，解出x范围。 【变式训练2-1·变载体】函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则有，∴. 故所求函数的定义域是． 故答案为： 【变式训练2-2·变载体】函数的定义域为 ，值域为 . 【答案】 【详解】因为，所以恒成立， 由，得，则的定义域为， ，故的值域为. 故答案为：； 【变式训练2-3·变载体】函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式训练2-4·变载体】若函数定义域为，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】对一切实数均成立， 所以当时，显然成立； 当时，， 解得； 故的取值范围为. 故答案为： 题型3 对数函数的图象与性质 例3-1已知函数的图象经过定点，且幂函数的图象过点，则 ． 【答案】3 【详解】函数中，当，即时，恒有，则点， 由幂函数的图象过点，得. 故答案为：3 例3-2为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（   ） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 【答案】D 【详解】函数化为：，显然把函数的图象下移2个单位长度即得的图象， 所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向下平移2个单位长度. 故选：D 例3-3已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可知，， 故，故函数与函数的单调性相同， 故选：B. 例3-4（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）已知是函数图象上两个不同的点，则下列个式子中正确的是（    ） ① ；                 ② ； ③ ；            ④ . A．① ③ B．② ③ C．① ④ D．② ④ 【答案】B 【详解】如图所示，    设，的中点为， 点在函数的图象上，且轴，则， 由图知点在的左侧，即，故①错误，②正确； 则，即， 即，故③正确，④错误. 故选：B. 【变式训练3-1】已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为 【答案】 【详解】令，可得. 所以定点的坐标为. 故答案为：. 【变式训练3-2·变载体】如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，的一个是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】B 【详解】因为， 即当时, ， （3）是，（4）是， 又与关于轴对称， （1）是. 故选：B. 【变式训练3-3·变载体】已知且，则函数与函数的图象可能的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，故，故， 而与关于对称， 各选项中只有B满足， 故选：B. 【变式训练3-4·变载体】如图，曲线是函数的图象，曲线与曲线关于y轴对称，曲线与曲线关于直线对称，曲线与曲线关于x轴对称，则曲线，，对应的函数解析式分别是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，曲线与曲线关于y轴对称，且曲线是函数的图象， 所以曲线对应的函数解析式为， 由曲线与曲线关于直线对称， 所以曲线对应的函数解析式为， 由曲线与曲线关于x轴对称， 所以曲线对应的函数解析式为，即. 故选：A. 题型4 对数函数的单调性 例4-1函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由已知得，解得或，函数的定义域为， 因为总为增函数，要求函数的单调递增区间， 由同增异减可得即求函数在上的增区间 由二次函数的性质可得在上的增区间为， 故函数的单调递增区间是. 故选：A. 例4-2下列函数是奇函数且在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，易知的定义域为，关于原点对称， 又函数，所以是奇函数，但在上单调递减，故A错误； 对于B，函数是非奇非偶函数，故B错误； 对于C，，因为， 所以的定义域为关于原点对称， 又， 所以是奇函数， 又在上单调递增，为增函数， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，函数在上不为增函数，故D错误. 故选：C. 例4-3已知函数，对任意，都有成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】对于对数函数，当时，函数在上单调递增. 因为这里，要使在上递增，所以. 对于一次函数，其斜率为，当时，函数在上单调递增. 所以要使在上递增，. 在这个分段点处，需要满足在处的值不大于在处的值. 当时，；. 所以，即. 综合前面的条件，需要同时满足，，. 取交集可得，的取值范围是. 故答案为：. 例4-4已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数在上单调递增， 可得在上单调递增， 且在上恒成立，故需满足，解得. 故选：B. 方法技巧 （1） 看底数。 （2） 对于复合函数，用 “同增异减” 的原则，把函数拆成外层对数函数和内层函数，分别判断它们的单调性，再综合起来看。 （3）函数里有参数时，讨论参数对底数范围的影响，确定不同参数情况下函数的单调区间。 【变式训练4-1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即，解得. 所以函数的定义域为， 又的对称轴为，开口向下， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 故由复合函数的单调性可得的单调递增区间是. 故选：B. 【变式训练4-2】已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上单调递增，由函数在上单调递增， 可得在上单调递增且恒成立， ，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 【变式训练4-3·变考法】已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立. 又由基本不等式可得，当且仅当时，取得等号， 所以. 因为函数在上单调， 所以在上单调， 由复合函数单调性可知在上单调， 所以结合二次函数的性质可得：或，解得或. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 【变式训练4-4·变考法】已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，其在上单调递增， 若在单调递增，，所以. 故选：D． 题型5 对数函数的值域与最值 例5-1函数的最小值为 ． 【答案】． 【详解】设，当时取等号. ∵，∴． 又∵在上为减函数，， ∴的最小值为． 故答案为：. 例5-2已知函数的最大值为2，则 ． 【答案】6 【详解】因为函数由与复合而成， 而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值， 由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得． 故答案为： 例5-3已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使函数在区间上有最大值或最小值， 由于开口向上， 故需函数在区间上有最小值，且． 该函数图像的对称轴为直线，所以， 解得， 所以，且，即实数的取值范围为． 故选：B． 【变式训练5-1】函数的最大值为 . 【答案】 【详解】由题意，知在上单调递减，在上单调递减， 故在上单调递减， 则当时该函数取到最大值， 故答案为： 【变式训练5-2·变考法】已知函数，则有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 【答案】B 【详解】解：，令，，， 任取、且，则，， 所以， 则，所以函数在上单调递增， 故当时，， 所以， 又因为函数为减函数，故. 故选：B. 【变式训练5-3】若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 故当时，在上取得最小值为， 又因为函数在上的最大值是2， 所以且，即，解得． 故选：C. 题型6 对数函数中奇偶性的应用 例6-1已知函数是奇函数，则 . 【答案】1 【详解】由，得， 所以函数的定义域为， 因为为奇函数， 所以，解得， 故答案为：1 例6-2若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（    ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值 【答案】A 【详解】设， 因为，所以恒成立，所以的定义域为且关于原点对称， 又 ， 所以是奇函数， 因为在上有最大值，所以在上有最大值为， 所以在上有最小值，所以在上有最小值． 故选：A． 【变式训练6-1】已知函数，的最大值为，最小值为，则 . 【答案】 【详解】令，且， ， 所以为奇函数，且在上连续， 根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称， 则，故. 故答案为： 【变式训练6-2·变考法】若是奇函数，则 ． 【答案】 【详解】因为是奇函数， 定义域关于原点对称， 由,可得， 所以且， 所以，解得， 所以函数的定义域为， 则，即，解得， 此时， 符合题意， 所以. 故答案为：. 【变式训练6-3·变题型】已知函数，若函数的图象关于点对称，则（    ） A．-3 B．-2 C． D． 【答案】C 【详解】方法一：依题意将函数的图象向左移1个单位长度关于原点对称，即是奇函数， 因奇函数的定义域关于原点对称，而时函数无意义，故时也无意义， 即，解得 此时为奇函数，则 解得故. 故选：C． 方法二：依题意恒成立，代入得 化简得，, 整理得：， 即(*)， 依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使，则得， 回代(*)可得，，即，故. 故选：C. 题型7 对数函数值的大小比较 例7-1（2025·北京朝阳·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 又在上为增函数， 所以， 综上，， 故选：D 例7-2（2025·北京昌平·二模）已知，，，其中e为自然对数的底数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数为单调递增函数， 因为，可得，即，可得； 又由，可得， 由函数为单调递减函数，可得，即， 所以. 故选：A. 例7-3（2025·北京海淀·一模）已知四个数，，，，其中最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知，所以可得， 即； 再由基本不等式可得，即； 显然，即； 因此可得，即最小的是. 故选：C 方法技巧 （1） 同底数的对数，用单调性比较，(a > 1)时真数大的函数值大，(0 < a < 1)时真数大的函数值小。 （2） 不同底数的对数，找中间值像 0、1 来过渡，或者用换底公式转化成同真数的形式，比较底数倒数的大小。 （3）函数含参数时，讨论参数对底数、真数的影响，分情况比较大小，比如参数在底数位置或者真数位置的情况。 【变式训练7-1】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 由，得， 由，可知， 综上得：. 故选：C. 【变式训练7-2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 可知，． 故选：B 【变式训练7-3】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据换地公式,,则, 由基本不等式可知即， 因为，即， 则，可知， ，可知，所以. 综上可知. 故选：D. 【变式训练7-4】已知，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由换底公式等价变形得：， 因为，两边取以7为底的对数可得：， 又因为，两边取以7为底的对数可得：， 可知， 由，可得， 由，可得， 从而可得， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是借助已知数据和指数对数运算，可以估算出，从而可以让与有理数进行大小比较. 题型8 对数型糖水不等式的应用 例8-1已知，则（    ） A． B． C． D． 【法一】对数型糖水不等式 因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 , 且 . 所以 , 即 , 选 A. 【法二】普通型糖水不等式 由已知条件 , 可得 . 同公式 (2) 的证明过程, 可以得到 , 即 . 所以 , 即 . , 即 , 所以 , 即 . 综上, , 选 A. 【变式训练8-1】比较大小: 与 ？ 【答案】 【法一】 。 【法二】 。 【法三】对数型糖水不等式直接可得 【变式训练8-2】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数函数的性质知， ， ， 所以，，； 当时，， 所以 ， 取，则， 所以 ，即， 综上，. 故选：C. 【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论：. 1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 5．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【详解】函数，所以. 故答案为：1 1．使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D．，且 【答案】D 【详解】 解得，即且. 故选：D 2．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：因为，所以； （2）解：因为，所以，所以，因为且，所以； （3）解：因为，所以，所以； （4）解：因为，所以，即，所以，所以 3．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：因为，所以； （2）解：因为，所以； （3）解：因为，所以； （4）解：因为，所以； （5）解：因为，所以； （6）解：因为，所以； 4．已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】利用对数的运算法则及对数的性质计算可得. 【详解】， 解：（1）. （2） （3）. （4）. 【点睛】本题考查对数的运算法则及对数的性质的应用，属于基础题. 5．求下列各式中x的值： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，所以， 又因为且，所以. （3）因为，所以. （4）. （5） . 【点睛】本题主要考查对数的运算，同时考查了指数、对数互化公式，属于简单题. 6．求满足下列条件的各式的值： （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）首先解方程求出的值，再根据对数恒等式计算可得； （2）根据对数恒等式计算可得. 【详解】解：（1） ， ； （2），. 【点睛】本题考查对数恒等式的应用（且），属于基础题. 7．用表示. 【答案】 【解析】根据对数的运算性质,化简即可得解. 【详解】由对数的运算性质,化简可得 【点睛】本题考查了对数的运算性质及简单应用,属于基础题. 8．求下列函数的定义域. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）由对数的真数大于0，列出式子计算即可； （2）由对数的真数大于0，及偶次方根被开方数非负，列出式子计算即可； （3）由对数的真数大于0，及偶次方根被开方数非负，列出式子计算即可； （4）由对数的底数大0且不为1，及真数大于0，列出式子计算即可. 【详解】（1）由题意，，即定义域为. （2）由题意，，即， 所以，解得. 所以该函数的定义域为. （3）由题意，，即， 所以，解得. 所以该函数的定义域为. （4）由题意，，解得或， 所以该函数的定义域为. 【点睛】本题考查函数的定义域，注意偶次方根被开方数非负、对数的真数大于零、对数的底数大于零且不为1，属于基础题. 9．比较下列各题中三个值的大小: (1); (2). 【答案】(1) (2) 【解析】(1)利用换底公式分析即可. (2)分别两两作差,根据基本不等式分析作差后的正负再判定即可. 【详解】解:(1) 因为, 且,故 (2) , 同理可证. 【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性以及作差比较大小的问题,属于中档题. 10．函数，，的图象如图所示， (1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么； (2)以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出，，的图象； (3)从（2）的图中你发现了什么？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）当底数大于时，在直线的右侧，底数越大，函数图象越靠近轴，所以①对应函数，②对应函数，③对应函数. （2） （3）从（2）的图中发现的图象分别与的图象关于轴对称. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 对数与对数函数 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 对数的定义 3 知识点2 常用对数与自然对数 4 知识点3 对数的基本性质及对数恒等式 4 知识点4 对数的运算性质 4 知识点5 换底公式 5 知识点6 对数函数的一般形式及定义域 5 知识点7 对数函数的图象及性质 5 知识点8 解对数不等式 6 题型破译 7 题型1 对数的运算 7 【方法技巧】对数的运算 题型2 对数函数的定义域 8 【方法技巧】对数函数的定义域 题型3 对数函数的图象与性质 9 题型4 对数函数的单调性 11 【方法技巧】对数函数的单调性 题型5 对数函数的值域与最值 12 题型6 对数函数中奇偶性的应用 12 题型7 对数函数值的大小比较 13 【方法技巧】对数函数值的大小比较 题型8 对数型糖水不等式的应用 14 04真题溯源·考向感知 14 05课本典例·高考素材 15 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）对数的运算性质的应用 （2）利用给定函数模型解决实际问题 （3）数式与对数式的互化 （4）比较对数式的大小 （5）对数函数的单调性 （6）对数的运算 单选题 填空题 解答题 北京卷T9（4分） 北京卷T7（4分） 北京卷T9（4分） 北京卷T4（4分） 北京卷T11（5分） 考情分析： 北京卷中，对数与对数函数多以单选、填空题（4~5 分，中低档题）出现，近三年均有考查，常与指数函数、不 等式、函数图象与性质结合。核心考查：（1）对数运算：对数的运算法则（同底数对数加减、对数的幂运算），对数 与指数的互化；（2）对数函数的图象及性质；易错点：对数运算时公式记错，忽略对数函数定义域等 复习目标： 1.掌握对数运算（对数的运算法则、对数与指数的互化）； 2.理解对数函数定义（定义域、底数范围），掌握图象（过定点、单调性）与性质（定义域、值域）； 3.能结合单调性比较对数式大小，解对数不等式； 4.会分析含参对数函数的单调性。 知识点1 对数的定义 如果（且），那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作 ，这里，a叫作对数的 ，N叫作对数的 ．    自主检测若（且），则（    ） A． B． C． D． 知识点2 常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把记作 ，以无理数为底数的对数称为自然对数，并且把记为 知识点3 对数的基本性质及对数恒等式 性质1 和 没有对数 性质2 1的对数是 ，即 性质3 底数的对数是 即 对数恒等式： ， 自主检测 （    ） A．3 B． C． D． 知识点4 对数的运算性质 如果且，，，那么： （1） ； （2） ； （3） ． 推广：． ，， 自主检测计算： ． 知识点5 换底公式 换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 自主检测已知，则（   ） A． B． C． D． 知识点6 对数函数的一般形式及定义域 一般地，函数 叫作对数函数，其中 是自变量，x的范围是 对数函数的定义域 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数 ;若自变量在底数上，应保证底数 自主检测1函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 自主检测2在对数式中，实数的取值范围应该是（   ） A． B．且 C． D．且 知识点7 对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过定点 ，即时， 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 是上的 自主检测1函数 的图象恒过定点A，则A点的坐标为（   ） A． B． C． D． 自主检测2已知且，则函数的图象必经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 知识点8 解对数不等式 （1）形如的不等式，借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分 与 两种情况讨论. （2）形如的不等式，应将化为 的形式，再借助函数的单调性求解. （3）形如的不等式，基本方法是将不等式两边化为 ，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集. （4）形如的不等式，可用 ，先解，得到的取值范围.然后再解的范围. 自主检测不等式的解集为 ． 题型1 对数的运算 例1-1（24-25高三下·北京顺义·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，且当时，，则 ． 例1-2若 则 （   ） A．1 B． C． D．2 例1-3（2025·北京·二模）设，则（   ） A． B． C． D． 例1-4计算： (1)； (2)． 例1-5（2025·北京顺义·一模）在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1） 记熟对数运算法则（同底对数加减、乘除转化），按规则逐步算。 （2） 注意对数底数、真数的范围，避免无意义。 （3）遇到复杂式，用换底公式、拆 / 凑对数形式简化，方便运算。 【变式训练1-1】计算下列各式的值： (1)； (2). 【变式训练1-2·变载体】已知正实数满足，则 ． 【变式训练1-3·变载体】已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-4·变载体】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-5·变载体】历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（    ）倍．（精确到1．参考数据：） A．87 B．88 C．89 D．90 题型2 对数函数的定义域 例2-1（2025·北京海淀·模拟预测）若集合是函数的定义域，，则等于（    ） A． B． C． D． 例2-2（2025·北京丰台·二模）函数的定义域为 ． 例2-3（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 方法技巧 （1） 对数函数，核心是真数(x > 0)；复合函数要保证每一层真数、底数都合规。 （2） 列不等式组：分别写真数(>0)、底数(>0)且不等于1)，解出x范围。 【变式训练2-1·变载体】函数的定义域为 ． 【变式训练2-2·变载体】函数的定义域为 ，值域为 . 【变式训练2-3·变载体】函数的定义域为 ． 【变式训练2-4·变载体】若函数定义域为，则a的取值范围是 . 题型3 对数函数的图象与性质 例3-1已知函数的图象经过定点，且幂函数的图象过点，则 ． 例3-2为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（   ） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 例3-3已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 例3-4（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）已知是函数图象上两个不同的点，则下列个式子中正确的是（    ） ① ；                 ② ； ③ ；            ④ . A．① ③ B．② ③ C．① ④ D．② ④ 【变式训练3-1】已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为 【变式训练3-2·变载体】如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，的一个是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【变式训练3-3·变载体】已知且，则函数与函数的图象可能的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-4·变载体】如图，曲线是函数的图象，曲线与曲线关于y轴对称，曲线与曲线关于直线对称，曲线与曲线关于x轴对称，则曲线，，对应的函数解析式分别是（    ）    A． B． C． D． 题型4 对数函数的单调性 例4-1函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 例4-2下列函数是奇函数且在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 例4-3已知函数，对任意，都有成立，则a的取值范围是 ． 例4-4已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1） 看底数。 （2） 对于复合函数，用 “同增异减” 的原则，把函数拆成外层对数函数和内层函数，分别判断它们的单调性，再综合起来看。 （3）函数里有参数时，讨论参数对底数范围的影响，确定不同参数情况下函数的单调区间。 【变式训练4-1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-3·变考法】已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-4·变考法】已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型5 对数函数的值域与最值 例5-1函数的最小值为 ． 例5-2已知函数的最大值为2，则 ． 例5-3已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】函数的最大值为 . 【变式训练5-2·变考法】已知函数，则有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 【变式训练5-3】若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 题型6 对数函数中奇偶性的应用 例6-1已知函数是奇函数，则 . 例6-2若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（    ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值 【变式训练6-1】已知函数，的最大值为，最小值为，则 . 【变式训练6-2·变考法】若是奇函数，则 ． 【变式训练6-3·变题型】已知函数，若函数的图象关于点对称，则（    ） A．-3 B．-2 C． D． 题型7 对数函数值的大小比较 例7-1（2025·北京朝阳·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 例7-2（2025·北京昌平·二模）已知，，，其中e为自然对数的底数，则（    ）． A． B． C． D． 例7-3（2025·北京海淀·一模）已知四个数，，，，其中最小的是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 （1） 同底数的对数，用单调性比较，(a > 1)时真数大的函数值大，(0 < a < 1)时真数大的函数值小。 （2） 不同底数的对数，找中间值像 0、1 来过渡，或者用换底公式转化成同真数的形式，比较底数倒数的大小。 （3）函数含参数时，讨论参数对底数、真数的影响，分情况比较大小，比如参数在底数位置或者真数位置的情况。 【变式训练7-1】设，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-4】已知，记，，，则（    ） A． B． C． D． 题型8 对数型糖水不等式的应用 例8-1已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-1】比较大小: 与 ？ 【变式训练8-2】设，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 1．使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D．，且 2．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4). 3．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 4．已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 5．求下列各式中x的值： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 6．求满足下列条件的各式的值： （1）若，求的值； （2）若，求的值. 7．用表示. 8．求下列函数的定义域. （1）； （2）； （3）； （4）. 9．比较下列各题中三个值的大小: (1); (2). 10．函数，，的图象如图所示， (1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么； (2)以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出，，的图象； (3)从（2）的图中你发现了什么？ 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$